Baccalauréat STG Suites numériques EXERCICE 1 Monsieur X souhaite installer un chauffage géothermique dans sa maison. Une société spécialisée lui propose une étude. Un forage initial de 100 mètres doit être réalisé et des échangeurs de chaleur doivent être installés dans la maison. Le coût de cette réalisation serait pour Monsieur X de 3500. 1. Pour améliorer le rendement de l installation, la société qui installe ce chauffage suggère de réaliser un forage plus profond. Chaque décamètre supplémentaire est facturé 55 (on rappelle que 1 décamètre se note 1 dam et 1 dam = 10 m). La société remet à Monsieur X la feuille de calcul reproduite ci-dessous qui met en relation les forages supplémentaires, le coût de l installation et les économies annuelles en chauffage par rapport à une installation «classique». A B C D E 1 profondeur du profondeur suppl. coût de l installation économie amortie en (ans) forage : (dam) réalisée/an 2 100 + 0 0 3 500 500 7,0 3 100 + 10 1 3 555 525 4 100 + 20 2 3 610 551 5 100 + 30 3 3 665 579 6 100 + 40 4 3 720 608 7 100 + 50 5 3 775 638 8 100 + 60 6 3 830 670 Le coût de l installation est représenté par une suite (u n ) où n désigne le nombre de décamètres supplémentaires du forage. a. Quelle est la nature de la suite (u n )? Préciser les éléments caractéristiques de cette suite. b. Justifier la phrase «le coût de l installation pour un forage de 260 mètres de profondeur est représenté par u 16». c. Quel est le coût de l installation pour un forage de 260 mètres de profondeur? 2. La société donne, dans la colonne D, une modélisation de l économie annuelle en chauffage selon la profondeur du forage que fera Monsieur X. Pour une profondeur de 100 mètres l économie est de 500 par an et pour tout décamètre supplémentaire elle est augmentée de 5 %. Cette économie est représentée par une suite (v n ) où n désigne le nombre de décamètres supplémentaires. a. Quelle est la nature de la suite (v n )? Préciser les éléments caractéristiques de cette suite. b. Exprimer v n en fonction de n. c. Quelle formule, écrite en D3 qui, recopiée vers le bas, permet d obtenir les valeurs qui figurent dans la colonne D? 3. Monsieur X a souhaité calculer en combien de temps son installation sera amortie. Ainsi pour un forage minimal de 100 mètres, il aura amorti son installation en 7 ans (car 3500 500 = 7). Monsieur X opte pour une profondeur de forage de 260 mètres. Au bout de combien d années son installation sera-t-elle amortie? EXERCICE 2 Deux tableaux sont donnés en annexe : le premier donne l évolution du prix du mètre carré dans l immobilier résidentiel ancien en France de 1996 à 2009, le second donne les propositions de salaires d une agence immobilière. Partie A On étudie l évolution du marché immobilier résidentiel ancien en France entre 1996 et 2009. Les résultats sont répertoriés dans le tableau 1. 1. Calculer le prix du mètre carré en 2009, sachant qu il a subi une baisse de 14 % par rapport à 2008. Arrondir le résultat à l euro près. 1
2. Le taux d évolution de 1996 à 1997 est de+2 %. Calculer le prix du mètre carré en 1996. Arrondir le résultat à l euro près. 3. Calculer le taux global d évolution, arrondi à 0,1 % près, de ce prix entre 1997 et 2007. 4. Calculer le taux moyen annuel d évolution du prix du mètre carré entre 1997 et 2007, arrondi à 0,1 % près. Partie B Une agence immobilière propose à ses agents 2 types de rémunérations mensuelles différents. Proposition B : le salaire fixe s élève à 1 700 et chaque vente rapporte 300. Proposition C : le salaire fixe s élève à 1 700 et chaque vente permet une augmentation de salaire de 15 %. Le tableau 2 est un extrait d une feuille d un tableur qui donne les salaires des deux propositions en fonction du nombre de ventes réalisées. On note B n le salaire obtenu avec la proposition B et C n le salaire obtenu avec la proposition C pour n ventes réalisées. 1. Justifier que B 1 = 2000 et que C 1 = 1955. 2. Déterminer B n en fonction de n. Quelle est la nature de la suite (B n )? 3. Donner une relation entre C n+1 et C n. Quelle est la nature de la suite (C n )? En déduire l expression de C n en fonction de n. 4. a. Préciser la formule à écrire dans la cellule B3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition B. b. Donner de même la formule à écrire dans la cellule C3 puis à recopier vers le bas pour obtenir les différents salaires avec la proposition C. Tableau 1 Évolution des prix de l immobilier Année Prix du mètre carré (en euros) Taux d évolution entre deux années successives (arrondi à 0,1 %) 1996 1997 1 400 +2,0 % 1998 1 456 +4,0 % 1999 1 601 +10,0 % 2000 1 749 +9,2 % 2001 1 915 +9,5 % 2002 2 145 +12,0 % 2003 2 445 +14,0 % 2004 2 812 +15,0 % 2005 3 093 +10,0 % 2006 3 279 +6,0 % 2007 3 361 +2,5 % 2008 3 028 9,9 % 2009 14,0 % Tableau 2 Salaires (en euros) en fonction du nombre de ventes A B C 1 n B n C n 2 0 1 700 1 700,00 3 1 2 000 1 955,00 4 2 2 300 2 248,25 5 3 2 600 2 585,49 6 4 2 900 2 973,31 7 5 3 200 3 419,31 8 6 3 500 3 932,20 9 7 3 800 4 522,03 EXERCICE 3 1. Le prix du pétrole «a flambé» en 2008, voici un tableau donnant le prix, en dollars, du baril de pétrole au cours des 6 premiers mois de l année. mois janvier février mars avril mai juin prix en dollars 91,99 95,05 103,78 109,07 123,15 132,32 Les résultats seront donnés à 0, 1 % près. Source : Direction des ressources é nergéitiques et minérales (DIREM) 2
a. On décide de calculer les taux d évolution mensuels à l aide d un tableur. La feuille de calcul est donnée en ANNEXE 1. Choisir parmi les trois formules ci-dessous celle qui, entrée dans la cellule C3, permet par recopie vers la droite d obtenir la plage de cellules C3:G3. Le format utilisé dans la plage considérée est le format «pourcentage à une décimale». Réponse 1 : «=(C$2-B$2)/B$2» Réponse 2 : «=(B$2-C$2)/C$2)» Réponse 3 : «=(C$2-B$2)/$B$2» b. Compléter le tableau de l ANNEXE 1, en calculant les taux d évolution mensuels. c. Calculer le taux d évolution global entre janvier et juin 2008. d. En déduire le taux moyen d évolution sur la même période. 2. Soit (P n ) la suite définie par les prix mensuels du baril de pétrole. P 0 est le prix du baril en juin 2008 et P n le prix du baril n mois plus tard, on a donc P 0 = 132,32 puis P 1 le prix en juillet 2008, etc. a. Des experts ont supposé que le prix du pétrole continuerait à augmenter de 7,5 % par mois à partir de juin 2008, Justifier alors que, selon ce modèle, la suite (P n ) est une suite géométrique de raison 1,075. b. Quel aurait été dans ces conditions le prix du pétrole en novembre 2008? c. En réalité le prix du pétrole en novembre 2008 était d environ 50 dollars. Que peut-on penser du modèle étudié dans les questions précédentes? 3. Le tableau ci-dessous donne le prix, en dollars, du baril de pétrole au cours des mois de mai des années 1992, 1996, 2000, 2004 et 2008. année 1992 1996 2000 2004 2008 prix en dollars 19,94 19,08 27,74 37,73 123,15 Les résultats seront arrondis à l entier le plus proche. Source : Direction des ressources énergétiques et minérales (DIREM) a. On choisit pour base 100 l année 1992. À l aide d un tableur, on calcule les indices du prix du baril de pétrole pour les années 1996, 2000, 2004 et 2008. La feuille de calcul est donnée en ANNEXE 2. Donner une formule qui, entrée daus la cellule C3, permet par recopie vers la droite d obtenir la plage de cellules C3:F3, ainsi que le format utilisé. b. Compléter le tableau donné en ANNEXE 2, en calculant les indices. c. Que signifie l indice obtenu en 2008 par rapport au prix du pétrole en 1992? EXERCICE 4 Un organisme de jeu va récompenser un heureux gagnant. Celui-ci doit faire le choix entre les deux propositions suivantes pour lesquelles il s agit à chaque fois d une somme d argent versée annuellement, et ceci à partir de l année 2008 et pendant 20 ans. Le bénéfice du jeu s achèvera donc en 2027, et le gagnant touchera alors son dernier versement. S il choisit la proposition A, il touchera 20 000 en 2008, puis chaque année, la somme versée augmentera de 4 % par rapport à l année précédente. En choisissant la proposition B, 20 000 lui seront versés en 2008, puis chaque année, la somme versée sera augmentée de 1 025 par rapport à l année précédente. Pour l aider à choisir la solution la plus avantageuse, on note : a n la somme (en euros) versée pendant l année 2008+n s il choisit la proposition A. b n la somme (en euros) versée pendant l année 2008+n s il choisit la proposillon B. Ainsi a 0 = 20000,b 0 = 20000. a 19 et b 19 correspondent aux sommes versées en 2027. 1. Montrer que la suite (a n ) est géométrique et donner l arrondi à l euro du versement reçu en 2020 s il choisit la formule A. 2. Montrer que la suite (b n ) est arithmétique et donner l arrondi à l euro de la somme reçue en 2020 s il choisit la formule B. 3. À l aide de la calculatrice, déterminer l année à partir de laquelle on a : b n < a n. EXERCICE 5 Dans cet exercice, on s intéresse au nombre de personnes, enfants et adultes, vivant avec le VIH/SIDA (Virus de l Immunodéficience Humaine/Syndrome Immuno-Déficitaire Acquis) au Sénégal. 3
Partie A : étude d un premier modèle Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006 : Année 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Rang de l année x i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Estimation du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal (en milliers) y i 9 11 13 16 20 24 29 35 41 49 57 (Source : UNAIDS (Joint United Nations program on HIV/A1DS)) Le nuage de points de coordonnées ( x i ; y i ), pour i variant de 0 à 10, est donné en annexe 2 à rendre avec la copie. 1. À l aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d ajustement de y en x (arrondir les coefficients au millième). 2. On décide d ajuster le nuage avec la droite D d équation y = 4, 8x + 3, 9. a. Tracer la droite D sur le graphique figurant sur l annexe 2. b. En utilisant cet ajustement affine, estimer le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal en 2007. Partie B : Étude d un deuxième modèle Le taux d évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal entre les années 1996 et 2006 est d environ 20 %. On décide alors de modéliser la situation à l aide d une suite géométrique de raison 1,2. Pour tout entier naturel n, u n désigne une estimation du nombre de personnes, en milliers, vivant avec le VIH au Sénégal pendant l année 1996+n. Ainsi (u n ) est la suite géométrique de premier terme u 0 = 9 et de raison 1,2. 1. Exprimer u n en fonction de n. 2. Déterminer, d après ce modèle, le nombre prévisible de personnes atteintes en 2007. Partie C : Exploitation des modèles Des experts ont estimé qu en 2007 il y avait 67 000 personnes vivant avec le VIH au Sénégal. 1. Lequel des deux modèles étudiés dans les parties A et B donne la meilleure prévision pour 2007? 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation En choisissant le modèle qui vous paraît le mieux adapté, déterminer l année à partir de laquelle le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal dépassera 100 milliers. EXERCICE 6 Florent a besoin d économiser au moins 1 250 pour acheter un scooter. Pour cela, il décide d effectuer un dépôt chaque mois. Avec un tableur, il effectue une simulation de deux formules d économies possibles : Formule A : le 1 er mois, il fait un dépôt de 150 ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20. Formule B ; le 1 er mois, il fait un dépôt de 130 ; il augmente ensuite chaque dépôt mensuel de 20 %. On appelle A n et B n Ies montants respectifs du n-ième dépôt mensuel de Florent avec la formule A et la formule B. A B C 1 Mois (n) A n B n 2 1 150 130 3 2 170 156 4 3 5 4 6 5 7 6 4
1. Quelles formules destinées à être recopiées vers le bas Florent a-t-il écrites dans les cellules B3 et C3 pour compléter les colonnes B et C? 2. a. Déterminer la nature de la suite (A n ) et préciser son terme initial et sa raison. b. Déterminer la nature de la suite (B n ) et préciser son terme initial et sa raison. 3. Exprimer A n et B n en fonction de n. 4. Florent souhaite acheter son scooter dans 6 mois. a. Quel sera le montant du 6 e dépôt, arrondi à l euro, pour chaque formule? b. Quelle somme Florent aura-t-il économisée au bout de six mois, arrondie à l euro, avec chaque formule? c. Quelle formule va-t-il retenir pour acheter son scooter? Dans cette question, on pourra utiliser le formulaire suivant : La somme S des n premiers tennes d une suite arithmétique (u n ) est donnée par : S = u 1 + +u n = n u 1+ u n 2 La somme S des n premiers termes d une suite géométrique (u n ) de raison q (q 1) est donnée par : 1 qn S = u 1 + +u n = u 1 1 q EXERCICE 7 L entreprise Iron SA exploite un filon de minerai de fer depuis 1950. La première année d extraction l entreprise a récupéré 20 000 tonnes de fer. Cependant depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d extraction, de l appauvrissement du filon, les quantités extraites diminuent de 1 % par an. On appelle T n le nombre de tonnes extraites l année (1950+n). On a donc T 0 = 20000. Les résultats seront arrondis à la tonne. 1. Justifier que T 1 = 19800 puis calculer T 2 et T 3. 2. Exprimer T n+1 en fonction de T n. 3. Quelle est la nature de la suite (T n )? En déduire l expression de T n en fonction de n. 4. Quelle est la quantité extraite en 2008? 5. Montrer que la quantité totale extraite entre 1950 et l année (1950+n) est : S n = 2000000 ( 1 0,99 n+1). 6. En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait 1 000 000 de tonnes de métal, En quelle année théoriquement le filon sera-t-il épuisé? 5