PREVIEW OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE. EMTO - La physique enseignée. 50 exercices et problèmes corrigés. par

F EMTO - La physique enseignée http://femto-physique.fr OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE F 50 exercices et problèmes corrigés par Jimmy Roussel Professeur agrégé de physique Ω k P k i k 0 O FEMTO sept. 2017

AVANT-PROPOS Ce recueil d exercices et problèmes corrigés est destiné aux étudiants du 1er cycle universitaire et à ceux des Classes Préparatoires des Grandes Écoles (CPGE). Les notions d optique géométrique sont abordées, allant des lois de Snell-Descartes aux différents instruments d optique. Chaque thème commence par quelques rappels de cours. Pour plus de détail, on renvoie le lecteur au site de l auteur : http://femto-physique.fr/optique Les énoncés sont assortis d un niveau de difficulté allant d un astérisque à quatre. Bien que subjective, cette classification tente de suivre la règle suivante : * Exercice ou QCM évaluant l acquisition des connaissances. ** Exercice simple demandant un minimum de calcul et de formalisation. *** Exercice plus technique. **** Problème souvent inspiré des Concours aux Grandes Écoles demandant un esprit de synthèse et de recherche. Enfin, les solutions des exercices sont regroupés en fin d ouvrage. Un soin tout particulier a été fourni pour proposer des solutions entièrement rédigées. Précisons tout de même que chaque correction propose un exemple de traitement d un exercice lequel peut parfois se résoudre d une autre manière. En vous souhaitant bonne lecture. JIMMY ROUSSEL

Table des matières ÉNONCÉS 4 1 FONDEMENTS DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 6 RÉSUMÉ DE COURS................................................. 6 Ex. 1 QCM *... 7 Ex. 2 QCM *... 7 Ex. 3 Déviation par un hémicylindre **... 7 Ex. 4 Valider une loi **... 7 Ex. 5 Aiguille invisible ***... 9 Ex. 6 Lame à faces parallèles ***... 9 Ex. 7 Principe de Fermat ***... 9 Ex. 8 Étude d un prisme ***... 10 Ex. 9 Déviation par un prisme de petit angle ***... 10 Ex. 10 Pouvoir dispersif d un prisme **... 11 2 LES MIROIRS 12 RÉSUMÉ DE COURS................................................. 12 Ex. 11 Réflexion sur deux miroirs *... 13 Ex. 12 Dimensions d un miroir ***... 13 Ex. 13 Déviation par un miroir **... 13 Ex. 14 Réflexion sur un miroir plan **... 13 Ex. 15 QCM *... 13 Ex. 16 Réflexion sur un miroir sphérique ***... 13 Ex. 17 Propriétés des miroirs sphériques ***... 14 Ex. 18 Réflexion autour d une cuillère ***... 14 Ex. 19 Mesure de la cornée ***... 14 Ex. 20 Miroir de dentiste ***... 14 Ex. 21 Projection à l aide d un miroir ***... 14 Ex. 22 Cavité confocale d un laser ***... 14 3 LES LENTILLES MINCES 16 RÉSUMÉ DE COURS................................................. 16 Ex. 23 QCM *... 17 Ex. 24 QCM *... 17 Ex. 25 QCM *... 17 Ex. 26 Lentille biconvexe *... 17 Ex. 27 Construction *... 17 Ex. 28 Projection **... 18 Ex. 29 Projection **... 18 Ex. 30 Focalisation **... 18 Ex. 31 Grandissements transversal et longitudinal d une lentille mince ***... 18 Ex. 32 Doublet de lentilles convergentes ***... 19 Ex. 33 Système double **... 19 Ex. 34 Aberrations chromatiques d une lentille ***... 20 4 INSTRUMENTS OPTIQUES 21 RÉSUMÉ DE COURS................................................. 21 Ex. 35 QCM *... 22 Page 3/66

Ex. 36 Punctum proximum **... 22 Ex. 37 Œil hypermétrope ***... 22 Ex. 38 Correction d une myopie ***... 22 Ex. 39 Elargisseur de faisceau **... 22 Ex. 40 Profondeur de champ d un appareil photographique ***... 23 Ex. 41 La macrophotographie ***... 23 Ex. 42 Étude d une paire de jumelles ****... 23 Ex. 43 La lunette de Galilée ***... 24 5 PROBLÈMES INSPIRÉS DES CONCOURS 25 Ex. 44 Le halo solaire ****... 25 Ex. 45 Le phénomène d arc-en-ciel ****... 25 Ex. 46 Focométrie ****... 27 Ex. 47 Objectif photographique ****... 28 Ex. 48 Principe et utilisation du microscope ****... 29 Ex. 49 La lentille de Fresnel ****... 30 Ex. 50 Fibres optiques à saut d indice ****... 32 SOLUTIONS DES EXERCICES 33 Page 4/66

ÉNONCÉS DES EXERCICES

1 FONDEMENTS DE L OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE RÉSUMÉ DE COURS Réflexion Un milieu réfléchissant renvoie une partie de la lumière. Réfraction La réfraction est la courbure des rayons lumineux lorsqu ils changent de milieu. Dispersion La dépendance de l angle de réfraction avec la longueur d onde implique la dispersion de la lumière Diffraction Phénomène de déviation des ondes (lumineuses, acoustiques...) lorsqu elles passent au voisinage d un obstacle. Absorption L absorption de la lumière se traduit par la diminution de l intensité lumineuse au fur et à mesure du trajet de la lumière dans un milieu matériel absorbant. Indice de réfraction : Dans un milieux transparent, homogène et isotrope, la lumière se propage en ligne droite mais à une vitesse v = c n < c Lois de Snell-Descartes Les rayons réfractés et réfléchis sont dans le plan d incidence. L angle de réfraction i 2 et l angle de réflexion i 0 1 sont reliés à l angle d incidence i 1 via i 1 = i 0 1 n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 Loi de Dispersion Dans le domaine visible, l indice de réfraction de la plupart des milieux transparents obéit à la loi de Cauchy : n( ) = A + B 2 où les constante A et B sont caractéristiques du milieu transparent. Page 6/66

Ex. 1 QCM * Si un rayon lumineux pénètre dans un milieu moins réfringent en formant un angle i avec la normale à la surface de séparation, on peut dire que : le rayon réfracté n existe plus au dessus d une valeur limite de i. le rayon réfracté existe toujours, variant de 0 à 90. le rayon réfléchi existe toujours. le rayon réfracté existe toujours mais atteint une valeur limite. Ex. 2 QCM * Un périscope est constitué de deux prismes à réflexion totale servant de miroir. Un jour de pluie, l eau s accumule au fond du tube et noie le prisme inférieur. L utilisateur est incapable de voir quoi que ce soit, car : la lumière ne subit plus de réflexion totale dans le prisme inférieur. les rayons lumineux sont réfléchis sur la surface libre de l eau. l eau absorbe trop de lumière. l image sort du champ de vision de l observateur. Ex. 3 Déviation par un hémicylindre ** Objet On considère un bloc de verre (indice n = 1,5), de centre C et de rayon a, placé dans le vide. R 1 1. Déterminer, en justifiant, le trajet du rayon R 1 jusqu à sa sortie du bloc. 30 2. Répondre à la même question à propos du rayon R 2. Ex. 4 Valider une loi ** R 2 C On réalise une expérience consistant à envoyer un faisceau laser avec une incidence i sur un bloc transparent hémicylindrique plongé dans le vide (voir figure ci-dessous). Page 7/66

120 90 60 150 30 180 210 240 i 270 FIGURE 1 Expérience 1. Expliquer pourquoi le rayon passe du milieu transparent au vide sans subir de déviation. 2. Déterminer sur le schéma, la valeur de l angle d incidence et de l angle de réfraction ainsi que leur incertitude. 3. On définit y = sin i et x = sin r. Calculer y et x et leur incertitude respective. r 300 Indication : si y = sin x alors y = cos x x où x est exprimé en radian. 4. On procède à différentes mesures et l on porte sin i en fonction de sin r. On obtient le graphe suivant : 0.8 0.6 0.4 0.2 sin i 330 Ajouter sur le graphe le point correspondant au schéma 1. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 5. Compte tenu des incertitudes de mesures, la loi de la réfraction est-elle en accord avec les données expérimentales? Justifier. 0 sin r 6. Si oui, en déduire l indice de réfraction. Si non proposer l origine du désaccord théorie-expérience. Page 8/66

Ex. 5 Aiguille invisible *** On fait flotter sur l eau un disque circulaire et opaque, de rayon R = 5 cm, portant en son centre O une aiguille plongeant verticalement dans l eau. L aiguille est invisible pour toute position de l œil au-dessus du plan de la surface du liquide ; quelle est au maximum la longueur ` de l aiguille? Indication : l indice de l eau vaut n = 1,33. Ex. 6 Lame à faces parallèles *** On considère une lame de verre, d indice n et de largeur e. A est une source ponctuelle. A air e verre 1. Montrer que le support d un rayon lumineux qui frappe sous une incidence i la lame à faces parallèles subit, en sortie, une translation horizontale de µ d = e 1 tan r (1) tan i où r est l angle de réfraction. Calculer cette translation pour i = 60, e = 5,0 cm et n = 1,7. 2. Représenter sur la figure l image virtuelle A de A. La lame à faces parallèles est-elle un système stigmatique? 3. Exprimez AA pour des rayons paraxiaux (peu inclinés par rapport à l axe optique). Ex. 7 Principe de Fermat *** Soit une interface plane séparant deux milieux homogènes d indice n 1 et n 2. Un point A de coordonnées (x A, y A ) émet un rayon lumineux en direction de l interface : le rayon coupe l interface en I de coordonnées (0, y) et arrive en B de coordonnées (x B, y B ). A et B étant fixés, on se propose de trouver la position de I à partir du principe de Fermat. n 1 y n 2 A(x A, y A ) I x B(x B, y B ) air 1. Calculer la durée ø(y) du trajet AIB en fonction de la variable y, A et B étant fixés. 2. Le principe de Fermat postule que la lumière emprunte le chemin le plus rapide. Calculer la fonction dérivée ø 0 (y) et déduire la relation entre y, n 1, n 2, x A, y A, x B et y B. Page 9/66

3. Exprimer les sinus des angles d incidence et de réfraction i 1 et i 2 en fonction de y, x A, y A, x B et y B. Exprimer la relation précédente en fonction de sin i 1 et sin i 2. Conclure. Ex. 8 Étude d un prisme *** Considérons un prisme droit de base triangulaire et d angle au sommet A = 55 ± 45 0. Ce prisme est transparent et présente un indice de réfraction n. On envoie un rayon lumineux dans un plan perpendiculaire au prisme. Son trajet est représenté ci-dessous. i I r A FIGURE 2 Trajet d un rayon lumineux à travers un prisme et définition des angles. 1. Ecrire les relations de Snell-Descartes relatives aux deux réfractions. 2. Relier l angle A aux deux angles de réfraction r et r 0. 3. La notice technique indique n = 1,50. A quelle condition le rayon sort-il par la face opposée? 4. La déviation angulaire D est l angle (défini positif) entre le rayon incident et le rayon émergent du prisme. Exprimer la déviation D du rayon incident en fonction de i, i 0 et A. Montrer que D ne dépend que de i si A et n sont fixés. 5. Tracer, à l aide d un logiciel ou d une calculatrice, l allure de la courbe représentative de D(i) et vérifier l existence d un minimum. Utiliser le principe du retour inverse de la lumière pour montrer que le minimum est obtenu quand i = i 0. 6. Déduire une relation entre la déviation minimale D m, n et A. 7. Calculer D m. Ex. 9 Déviation par un prisme de petit angle *** Considérons un prisme droit de base triangulaire dont l angle au sommet A est petit (quelques degrés au maximum). Ce prisme transparent présente un indice de réfraction n. On envoie un rayon lumineux dans un plan perpendiculaire au prisme. Montrer que si l incidence du rayon est faible, alors la déviation que subit le rayon au sortir du prisme ne dépend que de n et A. Donner son expression. r 0 J i 0 Page 10/66