TNS. Logiciel de simulation en Traitement Numérique du Signal G.Blanchet P.Devriendt J.Prado D.Liebenguth

TNS Logiciel de simulation en Traitement Numérique du Signal G.Blanchet P.Devriendt J.Prado D.Liebenguth

TABLE DES MATIèRES Introduction I. Présentation... 9 II. Configuration matérielle et logicielle... 9 III. La disquette d'installation... 10 Mise en œuvre I. L'installation... 11 II. La désinstallation... 12 Le mode opératoire par l'exemple I. Les définitions et traitements... 13 II. Les menus... 13 III. Exemple... 16 Guide d'utilisation I. Les Options... 21 I-1. Graduation des amplitudes pour les spectres... 21 I-2. Les recopies d'écrans graphiques... 21 I-3. La fin du travail... 23 II. Lectures et sauvegardes... 23 II-1. Chemin d'accès... 23 II-2. Les fichiers de filtre... 23 II-3. Chargement de fichiers de signal... 24 II-4. Les sauvegardes et visualisations diverses... 25 III. Définition des filtres... 26 III-1. Cas général... 26 III-2. Cas particuliers : filtres du deuxième ordre récursif et R.I.F... 29 III-3. Divers... 30 IV. Affichage des caractéristiques du filtre... 31 IV-1. Les représentations... 31 IV-2. Les réponses... 33 IV-3. Représentations multiples... 34 V. Définition de signaux particuliers... 35 VI. Transformation du signal original... 36 VI-1. Choix d'une fenêtre de pondération... 36 VI-2. Transformation du signal original... 36 VII. Affichage des caractéristiques du signal... 39 VII-1. Paramètres... 39 VII-2. Signal original... 39 VII-3. Signal courant... 39 VII-4. Visualisations multiples... 39 VIII. Affichage des caractéristiques de la réponse... 40 VIII-1. Paramètres d'affichage... 40 VIII-2. Affichage du signal en sortie du filtre... 40 VIII-3. Affichages multiples... 40 Exercices d'application... 41 I. Analyse de signal... 41 I-1. Sinusoïde... 41 I-2. Créneau... 42

I-3. Signal carré... 42 I-4. Somme de sinusoïdes... 42 II. Analyse de système... 42 II-1. Résonateur... 43 II-2. Filtre particulier... 43 II-3. Modulation... 43 II-4. Démodulation... 43 III. Transformée de Fourier discrète... 44 IV. Synthèse de filtres... 44 IV-1. Synthèse de filtres RII... 44 IV-2. Synthèse de filtres RIF... 45 V. Synthèse de filtre et analyse spectrale... 45 V-1. Synthèse de filtres demi-bande... 45 V-2. Pondération... 46 V-3. Analyse spectrale... 46 Indications et corrigés... 49 I. Analyse de signal... 49 I-1. Sinusoïde... 49 I-2. Créneau... 51 I-3. Signal carré... 51 I-4. Somme de sinusoïdes... 52 II. Analyse de système... 54 II-1. Résonateur... 54 II-2. Filtre particulier... 55 II-3. Modulation... 55 II-4. Démodulation... 57 III. Transformée de Fourier discrète... 59 IV. Synthèse de filtres... 62 IV-1. Synthèse de filtres RII... 62 IV-2. Synthèse de filtres RIF... 65 V. Synthèse de filtre et analyse spectrale... 65 V-1. Synthèse de filtres demi-bande... 65 V-2. Pondération... 66 V-3. Analyse spectrale... 67 Annexes... 69 I. Fichiers de filtres... 69 II. Fichiers de signal... 69 Index... 71 Bibliographie... 73

CHAPITRE I Introduction I. Présentation TNS est un logiciel de simulation de traitement numérique du signal. Ses principales fonctionnalités sont les suivantes : sauvegarde et chargement sur disque d'un signal ou d'un filtre, définition d'un filtre par ses coefficients ou ses pôles et zéros, définition directe d'un signal (somme de sinusoïdes, bruit blanc, créneau, signal carré, dent de scie), pré-traitement du signal par modulation, addition de bruit blanc, fenêtrage ou codage en virgule fixe, visualisations des signaux (temporelles et fréquentielles), des filtres (réponses impulsionnelles, indicielles et spectres divers), sorties graphiques sur imprimante matricielle standard 9 aiguilles ou création de fichiers au format PICT ou Postscript. I. Configuration matérielle et logicielle La configuration matérielle minima pour exploiter TNS est la suivante : PC/AT ou compatible, 512 Ko de mémoire, écran EGA, disque dur. Un coprocesseur mathématique est particulièrement recommandé. L'espace mémoire occupé par l'application TNS est de l'ordre de 400 Koctets. Il faut vérifier que l'installation des applications résidentes laisse une place suffisante pour qu'elle puisse s'exécuter. La version du DOS doit au moins être 3.0. Il est souhaitable, si l'on dispose de suffisamment de mémoire, de configurer un disque virtuel de 100 K minimum. Cette configuration se fait en utilisant un driver VDISK.SYS ou RAMDISK.SYS et en rajoutant dans le fichier CONFIG.SYS la définition du disque virtuel. Exemple de définition pour un disque virtuel de 128 Ko : device = vdisk.sys 256 128 128 /E

10 Chap. I - Introduction si vous disposez du driver VDISK.SYS. Une imprimante compatible EPSON 9 aiguilles est nécessaire pour les impressions graphiques sur imprimante matricielle. Si la souris n'est pas indispensable, un driver de souris est cependant obligatoire pour le fonctionnement du logiciel (MOUSE.COM ou MOUSE.SYS par exemple). Cel driver doit donc être déclaré dans les fichier CONFIG.SYS (DEVICE=MOUSE.SYS) ou AUTOEXEC.BAT (MOUSE.COM). II. La disquette d'installation TNS est livré sur une disquette au format 3"1/2 1,44M ou 5"1/4 / 1,2M. Elle contient : dans le répertoire principal : INSTAL EXE programme d'installation DESINST EXE programme de désinstallation GLSCARDB EGA GLSLOGB EGA BTCHAR41 EGA BTCHAR42 EGA BTCLAIR1 EGA BTCLAIR2 EGA TNS EXE application *** FIL exemples de filtres *** FIL CONFIG DAT fichier de configuration RES <DIR> répertoire contenant les ressources de l'application dans le répertoire \RES : ERREUR ERR fichier des messages FENETRE FEN descriptif des fenêtres de FENETRE RSC l'application KEYS FEN KEYS RSC MEN001 DAT Les menus de MEN002 DAT l'application MEN007 DAT MEN008 DAT MENRES MEN LOGTNS EGA Logo

CHAPITRE II Mise en œuvre I. L'installation Après avoir démarré votre machine, introduisez la disquette d'installation dans le lecteur de disquette. Tapez : a: (ou b: si c'est le cas) instal Une fenêtre de saisie est affichée sur l'écran. Cette fenêtre permet d'indiquer : sur quel disque sera installé l'application (zone 1, première ligne), si l'on utilise un disque virtuel (zone 2, deuxième ligne) pendant l'exécution de TNS. Les ressources (menus, fenêtres, etc.) y sont recopiées lors du lancement du programme, ce qui accélère leur chargement pendant l'exécution du logiciel. Si l'on ne veut pas utiliser de disque virtuel, il suffit de lui donner le même nom que le disque d'installation. Installation de V/X.XX Disque principal :C Disque virtuel :C Sauve(1) Quitte(2) :0 Si vous désirez modifier une unité de disque tapez son nom dans la zone de saisie correspondante. Chaque fois que vous tapez sur <enter>, vous passez à la zone de saisie suivante. Lorsque vous avez terminé vos modifications, validez en tapant 1 (Sauve). Exemple 1 de configuration : machine avec disque dur comportant une seule partition (disque C) et un disque virtuel D : tapez C en zone 1, D en zone 2 et validez (1 en zone 3).

12 Chap. II - Mise en œuvre Disque principal :C Disque virtuel :D Sauve(1) Quitte(2) :1 Exemple 2 de configuration : machine avec disque dur comportant deux partitions (disques C et D), et disque virtuel E : tapez E en zone 2. Si vous désirez que l'application soit sur le disque D, tapez D en zone 1. Disque principal :D Disque virtuel :E Sauve(1) Quitte(2) :1 Exemple 3 de configuration : machine avec disque dur comportant deux partitions (disques C et D) sans disque virtuel : tapez C ou D dans les zones 1 et 2. Disque principal :C Disque virtuel :C Sauve(1) Quitte(2) :1 Le fichier de configuration CONFIG.DAT contient les informations d'installation et ne doit pas être modifié directement sous éditeur ou par toute autre manipulation. L'installation crée : un répertoire TNS dans la racine du disque principal désigné, ainsi qu'un fichier TNS.BAT. Le lancement de l'application se fera alors simplement en tapant TNS à partir de la racine du disque principal désigné. un sous-répertoire \TNS\RES qui contient les ressources de l'application. II. La désinstallation Si vous désirez changer de machine, il vous faut désinstaller l'application. Insérez la disquette d'installation dans le lecteur A, puis : Tapez : a: (ou b: si c'est le cas) desinst Toute modification des fichiers installés sur le disque dur ou de la disquette originale peut altérer les processus d'installation et désinstallation, ainsi que le fonctionnement de l'application.

CHAPITRE III Le mode opératoire par l'exemple L'accès à toutes les fonctions de TNS se fait à l'aide de menus déroulants. Ceux-ci sont gérés par la souris ou les touches de fonctions F1 à F8. Une fois un menu ouvert, l'option choisie est sélectionnée : en cliquant sur celle-ci, ou à l'aide des touches flèche vers le haut ou flèche vers le bas et en tapant <enter> lorsque l'option désirée est sélectionnée. I. Les définitions et traitements Le schéma global des définitions et traitements est le suivant : Signal original Signal courant Filtre Réponse Fig.1 Schématisation des traitements Le filtrage porte sur le signal désigné par signal courant. Celui-ci est le résultat d'un traitement préalable d'un signal dit signal original qui peut être défini directement ou chargé à partir d'un fichier disque. II. Les menus Les menus 3, 5 et 6 permettent de définir signaux et filtres tandis que 4, 7 et 8 sont des menus d'affichage. Les menus 1 et 2 fournissent des options utilitaires.

14 Chap. III - Le mode opératoire par l'exemple Le menu 1 permet d'indiquer si les spectres sont traçés en linéaire ou en décibels (option "logarithmique"). Il permet, en outre, de définir la sortie écran et les paramètres de création des fichiers associés pour le format Postscript. Une carte d'extension peut être pilotée à partir du logiciel pour faire de l'acquisition, restitution et filtrage de signal en temps réel. Si la carte est installée, le menu 1 permet de l'activer ou la désactiver. Fig.2 Les menus utilitaires Le signal original peut être défini à partir du menu 2 par chargement de signaux stockés sur disque. Ce menu permet aussi de charger les caractéristiques d'un filtre. Les différents tableaux de données obtenus en cours de traitement peuvent être sauvegardés sur disque, visualisés sur écran ou imprimés. Le menu 3 permet de définir un filtre à partir de ses coefficients, de ses pôles et zéros (graphiquement ou par valeurs). Il est en outre possible de spécifier un deuxième ordre récursif (dans le plan de ses coefficients) ou un filtre à réponse impulsionnelle finie. Les filtres ont pour fonction de transfert : H(z) = gain 1 + a 1 z 1 +L 1 + b 1 z 1 +L

Chap. III - Le mode opératoire par l'exemple 15 Le menu 4 permet de visualiser les différentes caractéristiques du filtre défini. Les menus 5 et 6 permettent de définir les signaux que l'on applique à l'entrée du filtre : Fig.3 Les menus de définition des signaux Le menu 5 permet de définir le signal original. Le signal original peut être modifié par addition de bruit, troncature, modulation ou fenêtrage à partir du menu 6. Le signal obtenu est désigné par signal courant. C'est ce signal qui sert d'entrée au filtre. L'affichage des signaux, original ou courant, et de leurs spectres est fait à partir du menu 7. Il est possible de définir l'ordre de la transformée de Fourier rapide utilisée pour calculer les spectres des signaux.

16 Chap. III - Le mode opératoire par l'exemple Le dernier menu est le pendant du menu 7 pour l'affichage du signal en sortie du filtre. Il est en outre possible de visualiser simultanément entrée et sortie. III. Exemple Nous allons décrire une session de travail pour illustrer l'utilisation du logiciel TNS. La première action entreprise concerne le chargement d'un filtre. On sélectionne l'option "charger " du menu 2 et on choisit dans la liste qui apparaît le filtre dénommé LPRII4T, filtre récursif passe-bas. La fenêtre dans laquelle on choisit le filtre sera désignée par "fenêtre scrollée". Cette sélection se fait soit avec la souris en cliquant sur le nom du filtre choisi, soit à l'aide des touches < > et < >. 1 BPRII8T 2 HPRII4T 3 BCRII8T 4 LPRII4T sauve quitte Fig.4 La fenêtre de chargement des filtres On clique ensuite sur l'option "sauve" en bas de la fenêtre ou on tape sur la touche <ESC>, sur < > puis sur <enter>. L'option par défaut est l'option "quitte". La deuxième phase consiste à visualiser les caractéristiques du filtre. La visualisation des coefficients d'un filtre se fait à l'aide l'option "coefficients " du menu 3. La fenêtre qui apparaît est une "fenêtre de saisie". DEFINITION DES POLYNOMES EN 1/Z Degré Numérateur Dénominateur

Chap. III - Le mode opératoire par l'exemple 17 0-1 -2-3 -4-5 -6-7 -8-9 -14-15 -16 1 2.45774 3.300088 2.457728.9999967 sauve quitte 1 -.8308001 1.028737 -.4084337.1210331 Les coefficients peuvent éventuellement être modifiés. Il suffit de se positionner sur la zone choisie : soit à l'aide de la souris, soit à l'aide de la touche < > pour passer de zone en zone, et de taper la nouvelle valeur. La sortie de la "fenêtre de saisie" se fait comme pour la fenêtre "scrollée" par la case de fermeture, ou à l'aide de la touche <ESC>. Dans le cas présent, on sélectionne l'option quitte. la troisième phase traite de la définition du signal d'entrée du filtre. Nous allons définir un signal comme somme de deux sinusoïdes de fréquences 0.0625 F e et 0.375 F e et d'amplitude 1. On sélectionne l'option "signaux sinusoïdaux " du menu 5. On entre les valeurs ci-après : GENERATION DE SIGNAUX SINUSOIDAUX (Fréquence d'échantillonnage = 1.) Nombre de sinusoïdes ( 1 n 5 ) = 2 Fréquence Amplitude Phase 1.0625 1 0 2.375 1 0 3 4 5 sauve quitte Nous choisissons ensuite d'afficher tous les spectres en "linéaire". Par défaut les spectres sont affichés en décibels. On sélectionne l'option "linéaire" du menu 1. Le spectre du filtre est obtenu à l'aide de l'option "calcul du spectre" du menu 4.

18 Chap. III - Le mode opératoire par l'exemple Fig.5 Spectre du filtre LPRII4T Cette option permet d'obtenir sur le même graphique les spectres des numérateur, 1/dénominateur et filtre : N( e jωt ), 1 D e jωt ( ) ( ) ( ) et HejωT ( )= gain NejωT De jωt Le curseur graphique permet de visualiser, au bas de l'écran, les valeurs correspondantes de la fréquence et de l'amplitude. Pour sortir de l'écran graphique, on clique sur le logo, ou on utilise la touche <ESC>. Le signal en entrée du filtre et son spectre sont visualisés à partir du menu 7 avec l'option "signal et spectre". Le nombre de points de signal à visualiser peut être modifié par l'option "signal " de modification des paramètres. De même, on peut modifier l'ordre du calcul de la FFT par l'option "spectre " de ce menu. Les deux raies en 0,0625 et 0,375 F e apparaissent sur le spectre du signal. Fig.6 Signal courant et son spectre

Chap. III - Le mode opératoire par l'exemple 19 Les caractéristiques du signal de sortie peuvent être obtenues à l'aide du menu 8. Après avoir visualisé le signal filtré et son spectre, on peut afficher ces deux caractéristiques avec l'option "signal et spectre". Fig.7 Signal et spectre après filtrage

CHAPITRE IV Guide d'utilisation Les choix des traitements et visualisations se font à partir de menus déroulants que l'on peut activer à partir de la souris ou de touches de fonctions. Les données introduites le sont à partir de fenêtres désignées par "fenêtres de saisie" ou "fenêtres de dialogue". L'utilisation de ces fenêtres est décrite en annexe. La sortie des affichages graphiques se fait en cliquant sur le logo TNS, ou à l'aide des touches <ESC>, <q> ou <Q>. I. Les Options I-1. Graduation des amplitudes pour les spectres Les deux premières options permettent de définir les graduations utilisées pour les spectres : respectivement en décibels et en linéaire. Fig.1 Options d'affichage des spectres d'amplitude I-2. Les recopies d'écrans graphiques Le logiciel offre trois possibilités pour les recopies d'écrans graphiques. Celles-ci sont activées à l'aide de la touche "i" lorsqu'on se trouve en mode graphique. Le type de recopie n'est pas initialisé. Il est donc nécessaire de choisir, à partir du menu 1, une de ces trois options si l'on désire réaliser des sauvegardes d'écrans graphiques.

22 Chap. IV - Guide d'utilisation Fig.2 Options de copies d'écran L'option "sur imprimante" sélectionne l'imprimante à aiguille pour les recopies d'écrans graphiques. L'option "fichier PICT" permet d'engendrer des fichiers au format PICT 1 lors de recopies d'écrans graphiques. Les facteurs d'échelle, en abscisse et en ordonnée, permettent de modifier l'image obtenue. Les valeurs introduites sont comprises entre 20% et 200% : Echelle en X (en %) : 100 Echelle en Y (en %) : 100 Les fichiers créés ont pour nom PICXXX.PIC dans le répertoire défini par l'option "chemin d'accès " du menu 2. Le numéro d'ordre XXX est affecté automatiquement par le logiciel. La zone de recopie est sélectionnée à l'aide d'une croix de poursuite (voir annexe). L'option "postscript " permet d'engendrer des fichiers au format postscript lors de recopies d'écrans graphiques. Les paramètres suivants affectent la création de ces fichiers : DEFINITION DES PARAMETRES DE SORTIE POSTSCRIPT Fichier Word (MacIntosh) (O/N) : N Facteur d'échelle ( en % )... : 50 Colonne gauche... : 30 Ligne haute... : 205 Rotation (en degrés(s))... : 0 Les fichiers créés ont pour nom PSCXXX.PS dans le répertoire défini par l'option "chemin d'accès " du menu 2. Le numéro d'ordre est affecté automatiquement par le logiciel. La méthode de sélection de la zone d'écran est la même que précédemment. La signification des paramètres est la suivante : fichier Word (MacIntosh) (O/N) : si cette option est validée (O), les autres paramètres ne sont pas pris en compte. Un en-tête (.para. etc ) est créé de telle sorte que ce fichier puisse être inclus dans un document Word MacIntosh (après mise dans le style prédéfini postscript).

Chap. IV - Guide d'utilisation 23 dans le cas contraire, les options "échelle", "colonne gauche", sont traitées. Le fichier obtenu peut aussi être utilisé dans Word Mac, mais le positionnement est alors absolu et le verbe showpage, apparaissant dans la dernière ligne du fichier, doit être supprimé. Ce document peut être envoyé tel quel vers une imprimante à laser Postscript ou utilisé tel quel dans un traitement de texte acceptant ce format. Une fois les informations introduites, on sort en "cliquant" sur l'option "sauve" : sauve quitte Il faut noter que la taille d'un fichier Postscript est au maximum de 56 kilo-octets pour un écran complet. I-3. La fin du travail La dernière option de ce menu permet de revenir sous DOS. Une fenêtre de dialogue permet de confirmer ou non l'abandon du travail en cours : confirme annule II. Lectures et sauvegardes Le menu 2 permet : d'accéder à des fichiers de signaux ou de filtres, et/ou de les sauvegarder dans un format propre à l'application. II-1. Chemin d'accès L'option 1 permet de définir le chemin d'accès utilisé pour toutes les lectures, sauvegardes et effacements qui pourront avoir lieu par la suite : fichiers de filtres, fichiers de signal, fichiers "écrans graphiques" PICT ou postscript, etc. La syntaxe pour le chemin d'accès est celle du DOS. Par défaut, le chemin d'accès est celui du répertoire d'installation de l'application. Chemin d'accès aux fichiers : II-2. Les fichiers de filtre Les options 2, 3 et 4 permettent d'accéder aux fichiers de filtre.

24 Chap. IV - Guide d'utilisation Fig.3 Options d'accès aux fichiers de filtres La première autorise le chargement d'un filtre. On sélectionne un filtre, soit à l'aide de la souris, soit en utilisant les touches de déplacement < > et < >. On valide le choix par l'option "sauve" de la fenêtre de dialogue activée en sortant. 1 BPRII8T 2 HPRII4T 3 BCRII8T 4 LPRII4T sauve quitte La sauvegarde d'un filtre est réalisée à partir de l'option suivante en indiquant le nom du fichier sans extension. Le chemin d'accès est celui qui est défini dans l'option 1 de ce même menu. Nom du fichier (sans extension) : L'option 4 permet d'effacer des fichiers de filtre dans le répertoire défini par la première option. On sélectionne un filtre, soit à l'aide de la souris, soit en utilisant les touches de déplacement < > et < >. On valide le choix par l'option "sauve" de la fenêtre de dialogue activée en sortant. II-3. Chargement de fichiers de signal Les options 5 et 6 permettent d'accéder aux fichiers de signaux du répertoire défini par la première option. L'option 5 permet de charger des fichiers de signal du répertoire défini par la première option. Ces fichiers doivent être au format décrit en annexe. La sélection du fichier s'effectue comme pour les filtres, soit à l'aide de la souris, soit en utilisant

Chap. IV - Guide d'utilisation 25 les touches de déplacement. On valide le choix par l'option "sauve" de la fenêtre de dialogue activée en sortant. Fig.4 Options d'accès aux fichiers de signaux L'option 6 permet, quant à elle, d'effacer des fichiers de signaux du répertoire défini par l'option 1. Remarque : les fichiers de signal sont constitués soit à partir de l'option "sauver tableaux", ou à l'extérieur de l'application en respectant les spécifications de format décrites en annexe. I-4. Les sauvegardes et visualisations diverses Les options 6, 7 et 8 permettent de sauvegarder ou visualiser des tableaux de données. Fig. 5 L'accès aux tableaux de données

26 Chap. IV - Guide d'utilisation Les tableaux de données sont en particulier utilisés lorsqu'on désire effectuer plusieurs pré-traitements du fichier original (voir exemple de signal tronqué, puis modulé, dans le paragraphe IV-6). 1 Coefficients du filtre 2 Réponse impulsionnelle 3 Réponse indicielle 4 Spectre du filtre 5 Signal d'entrée 6 Signal de sortie 7 Spectre de l'entrée 8 Spectre de la sortie Les tableaux : réponse impulsionnelle, réponse indicielle, signal courant, et signal filtré, peuvent être rechargés, pour traitement, à l'aide de l'option 5 "charger signal" de ce menu. Les formats d'enregistrement sont décrits en annexe. Les options "afficher" et "imprimer" permettent de visualiser sur écran ou imprimante les valeurs des tableaux indiqués précédemment. Le signal d'entrée correspond au signal courant (entrée du filtre) et le signal de sortie au signal filtré (sortie du filtre). III. Définition des filtres III-1. Cas général On peut définir un filtre de trois façons différentes : par ses coefficients ou ses pôles et zéros : Fig. 6 Les définitions de filtres

Chap. IV - Guide d'utilisation 27 Par les coefficients La première façon de définir un filtre est de fixer les coefficients des polynômes numérateur et dénominateur en z 1. Une "grille de saisie" permet de fournir ces coefficients. La valeur du gain est recalculée en fonction des coefficients de degré 0 et du gain courant. Ainsi pour une fonction de transfert : H(z) = b 0 + b 1 z 1 +L a 0 + a 1 z 1 +L Le gain prend pour nouvelle valeur gain b 0 a 0 dénominateur sont recalculés : et les coefficients du numérateur et du H(z) = ±1 + c 1 z 1 +L ±1 + d 1 z 1 +L avec c i = b i b 0 et d i = a i a 0 DEFINITION DES POLYNOMES EN 1/Z Degré Numérateur Dénominateur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2.45774 3.300088 2.457728.9999967 sauve 1 -.8308001 1.028737 -.4084337.1210331 quitte On ne peut valider la saisie (option "sauve") que si le filtre défini est causal. Ainsi pour une fonction de transfert de la forme : H(z) = b k z k + b k+1 z k 1 +L a p z p + a p+1 z p 1 +L on doit avoir k p.

28 Chap. IV - Guide d'utilisation Un effacement total de la fenêtre peut être obtenu en tapant <CTRL E>. Graphiquement La seconde façon de définir un filtre est d'en donner les pôles et zéros graphiquement. La définition d'une racine en a introduit un terme de la forme 1 az 1. Le déplacement du curseur sur l'écran peut être fait à l'aide de la souris ou à l'aide des touches de déplacement. Les options disponibles pour la saisie sont les suivantes : pôles lorsqu'on "clique" sur cette option, on passe en mode de définition de pôle. Chaque fois que l'on "clique", un nouveau pôle (ou un pôle et son conjugué) est défini. Il n'est pas obligatoire de passer par cette sélection. On peut directement taper sur la touche <p> pour introduire un pôle. zéros l'utilisation de cette option est similaire à la précédente (utilisation de la souris ou de la touche <z>). Del. pôle on peut positionner le curseur sur un pôle et taper <CTRL P>, ou sélectionner cette option puis, à l'aide de la souris, "cliquer" sur le pôle à supprimer. Del. zéros on efface les zéros de la même façon que les pôles. A partir du clavier on utilise <CTRL Z>. Rafraich. provoque un simple réaffichage de l'écran. Efface supprime tous les pôles et zéros. Impression provoque une impression ou une sauvegarde de l'image écran, suivant l'option choisie dans le menu 1. Sauve interrompt la définition du transfert en la validant. Quitte interrompt la définition du transfert sans la valider. Fig. 7 Ecran de saisie graphique des pôles et zéros

Chap. IV - Guide d'utilisation 29 Le déplacement du curseur peut être fait à l'aide de la souris ou à l'aide des touches de déplacement < >, < >, < >, < >. Les touches <TAB avant>, <TAB arrière>, <PgUp> et <PgDn> permettent d'avoir un déplacement plus rapide du curseur. <home> envoie le curseur au point d'origine. Au bas de l'écran sont indiqués les coordonnées x et y du curseur graphique, les module et phase associés ainsi que la valeur de la fréquence correspondant au point du cercle unité ayant même phase que celle du curseur. Si le module des racines est trop grand, celles-ci ne sont pas visibles sur l'écran. La validation ne peut être effectuée que si le filtre défini est causal. Le gain n'est pas modifié. Le nombre de pôles et de zéros est limité à 16. Par les pôles et zéros Pour définir les pôles et zéros, on peut aussi en donner : la partie réelle, la partie imaginaire > 0 (le conjugué est rajouté automatiquement), et l'ordre de multiplicité 1. Si la multiplicité est égale à 0, la racine n'est pas prise en compte. La valeur 0 est affectée aux zones dont le contenu n'est pas défini. Zéros Pôles Réelle Imaginaire Mt Réelle Imaginaire Mt Comme pour la saisie graphique, le gain n'est pas modifié. Le nombre de pôles et de zéros est limité à 16. III-2. Cas particuliers Filtres du deuxième ordre récursif 1 Le deuxième ordre purement récursif est de la forme : H(z) = 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 On définit directement a 1 et a 2 dans le plan (a 1, a 2 ). Sont représentés :

30 Chap. IV - Guide d'utilisation le triangle de stabilité, la parabole de séparation racines réelles/racines complexes, les hyperboles de résonance. Le principe de la saisie est identique à celui qui a été vu pour les pôles et zéros. Fig.8 Second ordre récursif par ses coefficients Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie Les filtres RIF peuvent être définis directement par leurs coefficients. Les coefficients sont fournis dans l'ordre des puissances décroissantes de z : h(z) = a 0 + a 1 z 1 + Les racines ne sont calculées que si le degré est inférieur ou égal à 16. Les quatre premières options sont invalidées. Pour les revalider, il faut passer par l'option "nouveau filtre " de ce même menu. III-3. Divers La première option permet de définir le gain. Celui-ci est remis à 1 avec l'option "nouveau filtre ". Dans le cas d'un chargement de fichier filtre, le gain est lu dans le fichier. Facteur de gain (en linéaire) : ( 1.E-3 GAIN 1.E3 ) L'option "nouveau filtre" supprime tous pôles et zéros et réinitialise le gain à 1. Cette option est notamment indispensable si l'on a défini un filtre RIF et que l'on veut passer à un filtre d'un type différent. Dans les autres cas, elle n'est pas obligatoire.

Chap. IV - Guide d'utilisation 31 IV. Affichage des caractéristiques du filtre IV-1. Les représentations La première option permet de visualiser les pôles et zéros dans le plan complexe. Il n'est pas possible de les modifier (voir menu 3). Les racines des filtres RIF sont affichées dans la mesure où l'ordre du filtre est inférieur ou égal à 16. Fig.9 Pôles et zéros du filtre La décomposition du spectre donne les spectres correspondant au numérateur N(z), 1 N(z) à l'inverse du dénominateur et au transfert gain H(z) = gain D(z) D(z). La seconde option provoque le calcul des spectres et active les autres options de ce menu ("zoom", ). L'échelle des amplitudes (linéaire ou logarithmique) est définie par les options 1 et 2 du menu 1. Fig.10 Réponse en fréquence du filtre (spectre linéaire)

32 Chap. IV - Guide d'utilisation Les valeurs affichées au bas de l'écran correspondent à la position du curseur. Ce dernier peut être déplacé par la souris ou à l'aide de touches du clavier. L'option suivante permet d'afficher simultanément les spectres d'amplitude et de phase si le calcul (option précédente) a été effectué. La phase est affichée entre -180 et +180 (calcul modulo 360). L'affichage au bas de l'écran donne les valeurs de la phase, même si le curseur est positionné sur la fenêtre d'affichage de l'amplitude. Fig. 11 Spectres d'amplitude et de phase Les options suivantes permettent de faire un "zoom" les spectres d'amplitude et de phase du filtre. Les fréquences minima et maxima doivent être comprises entre 0 et 0.5. Les figures suivantes correspondent aux valeurs : DEFINITION DE LA ZONE DE ZOOM Fréquence minimum :.15 Fréquence maximum :.3 Fig.12 Zoom sur le spectre d'amplitude

Chap. IV - Guide d'utilisation 33 Fig.13 Zoom sur le spectre de phase IV-2. Les réponses Les réponses indicielle et impulsionnelle sont affichées en fonction du nombre de points spécifié. Fig.14 Réponses temporelles Fig.15 Réponse impulsionnelle

34 Chap. IV - Guide d'utilisation Fig.16 Réponse indicielle IV-3. Représentations multiples Sur le même écran sont affichés pôles et zéros, les réponses impulsionnelle et indicielle et le spectre du filtre, à la condition qu'ils aient été préalablement calculés (option "calcul du spectre"). Fig.17 Représentations multiples Les valeurs ne sont pas affichés lorsqu'on déplace le curseur.

Chap. IV - Guide d'utilisation 39 VII. Affichage des caractéristiques du signal VII-1. Paramètres On a deux cas possibles : le signal est un bruit blanc et le spectre est calculé par moyenne sur un certain nombre de FFT : Nombre de F.F.T à calculer( 2 n 10 ) : 1 dans tous les autres cas, on peut définir l'ordre de la FFT (le nombre de points calculé est 2 i ). Ordre de la transformée ( 2 i 10 ) : 10 Le paramètre "signal " définit le nombre d'échantillons qui seront affichés dans ce menu pour le signal original ou le signal courant. Nombre d'échantillons à visualiser : 256_ VII-2. Signal original Les caractéristiques du signal original sont affichées à partir des trois options suivantes. signal : le nombre de points de signal qui est affiché est celui qui a été défini dans la deuxième option. spectre : l'ordre de la FFT a été défini dans la première option du menu. signal et spectre : on affiche simultanément le signal et le spectre. VII-3. Signal courant Le signal courant est celui qui sera effectivement filtré. Ses caractéristiques sont visualisables comme celles du signal original, sauf en ce qui concerne un "bruit". VII-4. Visualisations multiples Les options de visualisations multiples permettent d'avoir une vue simultanée des caractéristiques du signal original et du signal pré-traité.

40 Chap. IV - Guide d'utilisation VIII. Affichage des caractéristiques de la réponse VIII-1. Paramètres d'affichage Fig.23 Paramètres pour le signal de sortie L'échantillon initial et le nombre d'échantillons ont une influence sur : l'affichage, la sauvegarde des tableaux (menu 2), le calcul du spectre. Celui-ci est calculé sur 2 i points à partir de l'échantillon initial spécifié. Numéro de l'échantillon initial : 1 ( 1 n 512 ) Nombre d'échantillons à visualiser : 256_ ( 1 n 512 ) La modification du numéro d'échantillon initial peut par exemple permettre de ne pas conserver dans le tableau le régime transitoire dans la réponse du filtre. VIII-2. Affichage du signal en sortie du filtre Ces trois options permettent de visualiser les caractéristiques du signal filtré. L'option "signal" provoque le calcul effectif des échantillons en sortie du filtre. Cette option doit obligatoirement être activée pour que les options qui suivent puissent être appelées. VIII-3. Affichages multiples Les options "diverses" permettent de visualiser simultanément les entrée et sortie du filtre dans le domaine temporel et fréquentiel.

CHAPITRE V Exercices d'application I- Analyse de signal I-1- Sinusoïde Définir un signal sinusoïdal de fréquence normalisée 0.125, d'amplitude 1 et de phase 0. Afficher le spectre du signal précédent (menu 7) après avoir défini un affichage linéaire (menu 1). Expliquer la représentation spectrale obtenue. Repasser en affichage logarithmique (menu 1). Expliquer la présence d'une seconde raie dans le spectre d'amplitude. Définir un signal sinusoïdal de fréquence normalisée 0.140, d'amplitude 1 et de phase 0. Afficher son spectre en représentation linéaire. La représentation spectrale estelle correcte? Afficher 128 points du signal. Est-il périodique? Si oui, quelle est sa période en nombre d'échantillons? Autrement dit quelle est la valeur de l'entier k tel que: sin 2π(n + k)f 0 = sin 2πnf 0 Quel est l'entier k obtenu pour la période en nombre d'échantillons? En déduire la relation qui doit exister entre la fréquence d'échantillonnage et la fréquence du signal échantillonné pour que la période soit conservée après échantillonnage. Pour interpréter le spectre obtenu on pourra effectuer l'analyse d'une sinusoïde complexe définie sur N points d'observation par : X(z) = N 1 n=0 e 2πjnf 0 T z n Le spectre s'obtient en remplaçant z par e 2πjfT, f variant de 0 à 1/T. Sur le calculateur la variation continue n'étant pas possible on choisit pour f un incrément f tel que:

42 Chap. V Exercices d'application f = 1 NT et on calcule N composantes X k, k variant de 0 à N 1. Donner les conditions pour que le spectre ainsi calculé ne comporte qu'une composante non-nulle correspondant à la fréquence f 0 (dans le programme N=1024). I-2- Créneau Définir un signal de type créneau de largeur 32 points. Le spectre de ce signal est calculé pour une observation portant sur 1024 points. Afficher le spectre en échelle linéaire et justifier sa forme par le calcul. I-3- Signal carré Définir successivement trois signaux carrés de fréquences respectives 0.01, 0.25 et 0.40. Afficher les spectres de chacun de ces signaux et justifier (sans calcul) les représentations obtenues. I-4- Somme de sinusoïdes I-4-1. Somme de sinusoïdes sans repliement Définir un signal comme somme de trois sinusoïdes d'amplitude 1 de phase 0 et de fréquence 0.125, 0.25 et 0.375. Le spectre obtenu est-il correct? Pourquoi? I-4-2. Somme de sinusoïdes avec repliement Définir un signal comme somme de trois sinusoïdes d'amplitude 1 de phase 0 et de fréquence 0.125, 0.40 et 0.60. Commenter le spectre obtenu. I-4-3. Influence de la phase Définir un signal comme somme de trois sinusoïdes d'amplitude 1 de phase 0 et de fréquence 0.125, 0.40 et 0.60 respectivement. On affectera à la sinusoïde de fréquence 0.60 une phase de 90. Commenter le spectre obtenu. II- Analyse de systèmes Dans tout ce qui suit la fréquence d'échantillonnage est supposée égale à 1Hz. II-1- Résonateur On définit la fonction de transfert du résonateur par :

Chap. V Exercices d'application 43 H(z) = b 0 ( 1 z 2 ) 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 Définissez un résonateur avec b 0 =1 et les pôles p 1,2 = 0.4 ± j 0.8 Visualisez la réponse en fréquence et déterminez b 0 pour que le gain à la résonance soit de 1. Vérifiez la valeur de la fréquence de résonance par le calcul. Reprendre les deux questions précédentes en changeant le signe de la partie réelle des pôles. Définissez par ses pôles et zéros un filtre dont la fonction de transfert soit le produit des deux précédentes. Donnez le nombre d'opérations par échantillon qui réalise la fonction de filtrage ainsi définie. II-2- Filtre Particulier Définissez par ses coefficients un filtre dont la fonction de transfert est : H(z) = 1 az 1 1 a 1 avec a > 1 1 z Visualisez la réponse en fréquence pour plusieurs valeurs de a. Justifiez les courbes obtenues. II-3- Modulation Définir le filtre RIF de fonction de transfert : H(z) = 2 3.9z 1 5.3z 2 4.4z 3 z 4 + 3.9z 5 + 8.3z 6 +10z 7 + 8.3z 8 + 3.9z 9 z 10 4.4z 11 5.3z 12 3.9z 13 2z 14 Affichez sa réponse impulsionnelle et sauvegardez celle-ci dans un fichier de nom REP15 (sauvegarde de tableau). Rechargez ce fichier en tant que signal {x n }. Quelle est l'occupation spectrale de x n? Créez le signal modulé y n = x n c n, où c n est un cosinus à 0.25 Hz. Commentez le spectre de y n. Quelle peut être l'occupation spectrale maximum de x n pour que le spectre de y n soit non distordu? Que se passe t il si la modulation s'effectue à 0.15 Hz? II-4- Démodulation On veut retrouver le signal x n. Pour cela on va démoduler y n et filtrer le signal z n ainsi obtenu par le filtre défini par la fonction de transfert :

44 Chap. V Exercices d'application H(z) = 0.076923 0.09091z 2 + 0.111111z 4 + 0.14286z 6 + 0.2z 8 0.33333z 10 + z 12 + 1. 570796z 13 + z 14 0.33333z 16 + 0.2z 18 0.14286z 20 + 0.111111z 22 0.09091z 24 + 0.076923z 26 Retrouve t on x n si z n est obtenu avec une démodulation à 0.25 Hz? Reprendre tout ce qui précède avec successivement des modulation et démodulation à 0.21 Hz et 0.15 Hz. III- Transformée de Fourier Discrète Créez un signal x n comme réponse impulsionnelle du filtre : H(z) = z 1 + 2z 2 + 3z 3 Visualisez successivement les transformées de Fourier calculées sur 4, 8, 16, 32 et 64 points. Commentez. Vérifiez par le calcul quelques-unes des valuers obtenues. Créez un signal sinusoïdal x n à 0.125 Hz. Effectuez une pondération sur 128 points avec une fenêtre rectangulaire et visualisez le spectre calculé par une FFT sur 128 points. Quel est l'effet de la pondération sur l'allure des spectres d'amplitude. Déterminez la largeur du lobe principal et l'amplitude du premier lobe secondaire de la transformée de Fourier de la fenêtre rectangulaire. Reprenez l'expérience avec une sinusoïde à 0.123 Hz. Quelles différences met on en évidence par rapport à l'analyse de la sinusoïde à 0.125 Hz? On estime maintenant successivement les spectres des deux sinusoïdes précédentes en effectuant une transformée de Fourier sur 512 points. La pondération est toujours effectuée sur 128 points. Reprendre la même expérience avec différentes fenêtres de pondération. IV- Synthèse de filtres IV-1- Synthèse de filtre RII (Réponse Impulsionnelle Infinie) Ces filtres sont encore désignés par Filtres Récursifs. IV-1-1. Invariant impulsionnel Utiliser la méthode de l'invariant impulsionnel pour calculer les coefficients de la fonction de transfert d'un filtre numérique passe bas de fréquence de coupure 0.1 Hz. On prendra comme référence un filtre de Butterworth du second ordre défini par :

Chap. V Exercices d'application 45 H(p) = ω c 2 p 2 + 2ω c p + ω c 2 où ω c est la pulsation de coupure ( 3 db) du filtre. Quelle atténuation obtient on à 0.1 Hz pour le filtre numérique? Pourquoi n'a t on pas 3 db? Qu'obtient on si l'on veut une fréquence de coupure de 0.25 Hz, puis de 0.4 Hz? Commentez les résultats. IV-1-2. Transformée bilinéaire Ayant apprécié les limites de l'invariant impulsionnel, on essaie la transformation bilinéaire. Qu'obtient on pour les trois fréquences de coupure précédentes? Essayez la synthèse d'un filtre passe haut dans le cas de l'invariant impulsionnel puis de la transformation bilinéaire. Commentez les résultats. IV-2- Synthèse de filtre RIF (Réponse Impulsionnelle Finie) Utilisez la méthode de la fenêtre pour calculer les coefficients d'un filtre RIF à phase linéaire dont la réponse en fréquence est définie par : H( e jω ) = 1 si 0< f <0.125 40f 4 si 0.125 < f <0.25 40f + 16 si 0.25 < f <0.375 1 si 0.375 < f <0.5 On définira l'approximation du filtre causal à 31 coefficients. Visualisez la réponse en fréquence et estimez les différences avec la fonction idéale. Pondérez les coefficients par différentes fenêtres et commentez les spectres obtenus. V- Synthèse de filtre et analyse spectrale V-1- Synthèse de filtre demi-bande On désire effectuer la synthèse d'un filtre passe-bas demi-bande :

46 Chap. V Exercices d'application H(f) 1 f 0,25 0,5 donner la réponse impulsionnelle {h n } d'un tel filtre : on approxime ce filtre par un filtre RIF d'ordre 6 puis d'ordre 10 (polynômes en z 1 de degrés 6 et 10 respectivement). Calculer les coefficients correspondant et visualiser les gains de ces filtres. On vérifiera la valeur prise par le gain pour f e /4. comment se traduit le phénomène de Gibbs? V-2- Pondération On considère le filtre d'ordre 10. Sauvegarder sa réponse impulsionnelle (menu 2 sauvegarde tableaux) puis la recharger en tant que signal (menu 2 charger signal) pour pouvoir visualiser les effets d'un fenêtrage par une fenêtre de Hamming sur le filtre en question. La pondération est donnée par les coefficients : w(n) = 0.54 0.46cos 2πn N avec N=10 et n=0,,n Combien de points doit-on choisir pour conserver une phase linéaire? visualiser l'allure de la réponse impulsionnelle et du gain d'une telle fenêtre. après pondération (pondération symétrique), visualiser la réponse impulsionnelle et le gain du filtre (menu 7 signal courant et spectre du signal courant). que constate-t-on quant au niveau d'ondulation et à la raideur du filtre? V-3- Analyse spectrale On considère la suite x n = A cos(2πf 0 n+ϕ) + b n pour n=0,,n 1 où b n est une suite aléatoire centrée blanche de variance σ 2 et où ϕ est une variable aléatoire uniforme sur [0,2π] décorrélée de b n. On prend pour expression du périodogramme :

Chap. V Exercices d'application 47 X N (f ) = N 1 n=0 x n e 2 2π j fn pour 1/2 f 1/2 Calculer E{ X N (f )}. En déduire la valeur approchée de E{ X N (f )} au point f 0 et justifier cette approximation : Charger le signal (menu2, charger signal ) COS256 correspondant au signal x n pour N=256. Pour obtenir un segment de 64 points, effectuer une pondération (menu6, pondérer ) de ce signal. Visualiser les spectres (signal original et signal courant) puis les deux (original+courant) dans le menu 7. Expliquer : les écarts de niveaux entre les deux spectres obtenus en fonction de N (64 et 256) sachant que ce qui est tracé est X N (f ) 1 2. les fluctuations importantes obtenues sur les tracés.

CHAPITRE VI Indications et corrigés Notations utilisées : TFTD : transformée de Fourier à Temps Discret TFD : transformée de Fourier Discrète FFT (ou TFR) : Fast Fourier Transform (Transformée de Fourier Rapide) f e = fréquence d'échantillonnage {x n } = suite numérique {X k } = suite TFD I- Analyse de signal I-1- Sinusoïde Sinusoïde de fréquence f s = 0.125. La suite obtenue {X k } de termes de la TFD est nulle partout sauf en 0,125 : Ordre de la FFT = 7 (2 7 points de calcul) La suite sera périodique si sin2π(n+k)f 0 = sin2πnf 0. La valeur de k est donnée par : sin2π(n+k)f 0 = sin2πnf 0 cos2πkf 0 + cos2πnf 0 sin2πkf 0 cos2πkf 0 = 1 kf 0 =m (ℵ)

50 Chapitre VI Indications et corrigés Pour f 0 =0.125, on obtient : (k,m)=(8,1), ce qui correspond à la période du signal continu. La suite numérique prend la même valeur tous les 8 points donc toutes les périodes. Pour f 0 =0.140, on obtient : (k,m)=(50,7). La suite numérique ne prend la même valeur que tous les 50 points donc toutes les 7 périodes. Pour conserver la période, il faut que le rapport f e /f 0 soit entier. Pour que la suite numérique soit périodique il faut que ce même rapport soit rationnel. Considérons maintenant la TFD {X k } de la suite {x n } exponentielle complexe : Deux cas se présentent : X k = N 1 n=0 e 2πjnf 0 T e 2πjn k N soit il existe k 0 tel que f 0 = k 0. On obtient alors : NT X k0 = N et X k = 1 e2πjnt f 0 1 e 2πjT f 0 k les autres composantes X k seront nulles. k NT NT = 1 e2πj ( k 0 k) 1 e 2πj N ( k 0 k) soit il n'existe pas k 0 tel que f 0 = k 0. Alors pour tout k on a : NT X k = e πjn 1 ( )T f 0 k sin πnt f 0 k NT NT sin πt f 0 k NT Dans le cas d'une fréquence de 0.14 f e on n'obtient pas une raie : Spectre d'amplitude pour f 0 =0.14f e

Chapitre VI Indications et corrigés 51 I-2- Créneau La transformée en z du signal et la TFTD s'écrivent : 31 X(z) = z n TFTD(f ) = e 31jπf n=0 sin 32πf sin πf et la TFD : x n = 1 pour 0 n 31 X k = e 31jπ k sin 32 k N N π sin k N π Spectre d'amplitude du créneau de 32 points (FFT d'ordre 10) On peut vérifier que sur cet intervalle le module s'annule 16 fois. I-3- Signal carré Soit f 0 la fréquence fondamentale du signal carré. Les composantes de la série de 4 Fourier ont une amplitude de la forme. On a un spectre de raies dans (2n 1)π lequel les harmoniques de fréquence nf 0 >0.5f e se replient dans la bande 0.5 f e à 0.5 f e. Pour f 0 =0.01 f e les composantes repliées sont négligeables. Pour f 0 =0.25 f e seule la fréquence fondamentale est dans la bande 0 à 0.5 f e. Les harmoniques d'ordre (2n 1) sont toutes au-delà de 0.5 f e. En raison du repliement leur localisation se fait aux fréquences : f r =0.25 (2n 1)+kf e. Cette fréquence est égale à 0.25 pour tout n et tout k. Le spectre ne présente qu'une seule raie. Pour f 0 =0.4 f e on a un repliement tel qu'on retrouve trois raies en 0, en 0.2f e et en 0.4f e :

52 Chapitre VI Indications et corrigés Repliement pour un signal carré à 0.4f e I-4- Somme de sinusoïdes I-4-1. Somme de sinusoïdes sans repliement On obtient trois raies et il n'y a pas de repliement. De plus chaque composante vérifie les conditions, vues précédemment, permettant d'obtenir une seule valeur non nulle : Somme de trois sinusoïdes sans repliement I-4-2. Somme de sinusoïdes avec repliement 0.125 0.4 0.6 repliement de f= 0.4 vers f=+0.6

Chapitre VI Indications et corrigés 53 Le repliement des composantes en ±0.6 entraîne la disparition des raies en ±0.4 et inversement. Ainsi la raie en 0.6 se replie en 0.6+1=+0.4. Comme elle est déphasée de 180, elle s'annule avec la raie qui se trouve en 0.4 : Somme de sinusoïdes non déphasées avec repliement I-4-3. Influence de la phase La phase étant modifiée le repliement n'annule plus les composantes en 0.4 et 0.6. La représentation schématique des spectres des différentes composantes ne peuvent plus être faites dans le même plan en raison du déphasage. 0.125 0.4 0.6 0.6 0.4 repliement de f= 0.6 en f=0.4 Cela explique que l'on retrouve une raie en 0.4 qui est amplifiée par un rapport de 2. Influence de la phase sur le phénomène de repliement

54 Chapitre VI Indications et corrigés II- Analyse de systèmes II-1- Résonateur On définit H(z) : H(z) = b 0 ( 1 z 2 ) 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 zéros pôles Cas des pôles en 0.4±0.8j avec b 0 =1 : Cas des pôles en 0.4±0.8j : Cas des pôles en ±0.4 ± 0.8j :

Chapitre VI Indications et corrigés 55 II-2- Filtre Particulier H(z) = 1 az 1 1 a 1 z 1 Le filtre est dit passe-tout. Les pôles et zéros sont inverses les uns des autres. pôle zéro 1 On pourra vérifier que H(z) z=e jωt = e jωt a e jωt 1/a = a On se donne a = 1.2. 1 1 a 1 z 1 1 az 1 H(z) = 1 az 1 1 a 1z 1 = a II-3- Modulation On construit la suite échantillonnée h(t)cos 2πf m t provoque une translation en fréquence sur le spectre de h(t) : { ( )} *. L'opération de modulation

56 Chapitre VI Indications et corrigés f m +f m L'échantillonnage provoque ensuite une périodisation du spectre : f m +f m 0.5 On considère le signal original suivant : Spectres d'amplitude du signal original et du signal modulé à f m = 0.25 : Cas de la modulation à f m =.15. On a un recouvrement à l'origine en raison d'une fréquence de modulation un peu faible.

Chapitre VI Indications et corrigés 57 II-4- La démodulation Elle consiste à moduler le signal modulé avec la même fréquence f m. Si on reprend le schéma vu précédemment : f m +f m f m +f m Lorsque f m = 0.25, et que l'occupation spectrale est celle du signal choisi, la démodulation accompagnée d'un filtrage permet de reconstituer le signal original :

58 Chapitre VI Indications et corrigés Spectre d'amplitude du filtre RIF27 : Modulation et démodulation à f m =0.15 et reconstitution par filtrage : dans ce cas, la démodulation provoque une modification du spectre : Modulation : Démodulation : 0.5 f m +f m 0.5 La modulation du signal donné, puis sa démodulation donnent : et, après filtrage :

Chapitre VI Indications et corrigés 59 III- Transformée de Fourier Discrète On considère une suite { h k } de transformée en z : H(z) = z 1 + 2z 2 + 3z 3 La TFD fournit les coefficients a p : 2 n 1 2 n a p = h k e k=0 2π jpk 2 n TFD d'ordre n=2 : on ne visualise que 2 n 1 + 1 = 3 points. p = 0, on obtient, pour 2 n a p, la somme des h k, soit h 1 +h 2 +h 3 =6 2 n 1 p = 2 (point médian) : h k e jπk = 2 p = 1 : h k e jk π 2 donc 2 2. 2 n 1 k=0 k=0 = h 1 ( j) + h 2 ( 1) + h 3 (j) = 2 + 2j. Le module obtenu est 2 2 TFD d'ordre 3

60 Chapitre VI Indications et corrigés p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 TFD d'ordre 4 p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 p=6 p=7 p=8 Effet d'un fenêtrage rectangulaire sur 128 points avec un ordre de FFT égal à 9. Sinusoïde à f s = 0.123, ordre de la FFT = 7 Ordre de la FFT = 7

Chapitre VI Indications et corrigés 61 Ordre de la FFT = 9 Effet d'un fenêtrage rectangulaire sur 128 points. Ordre de la FFT = 9. Fenêtre rectangulaire : Signal pondéré

62 Chapitre VI Indications et corrigés IV- Synthèse de filtres IV-1- Synthèse de filtre RII IV-1-1. Invariant impulsionnel Etant donné une fonction de transfert H a (p), l'invariant impulsionnel revient à écrire : ( ) 1 T H jω a T pour ω π T He jωt Ainsi, à la décomposition en éléments simple : a k on fait correspondre la p p k décomposition a k 1 e p k T z 1 Dans notre cas : H(p) = p 2 + ω c 2 2ω c p + ω c 2 H(z) = j ω c 2 1 e r z 1 + j ω c 2 N(z) = 1 e r* 1 z D(z) avec r = (1 + j) ω c 2 et r* = (1 j) ω c 2 N(z) = 2 ω ω c c 2 e 2 sin ω c 2 z 1 = bz 1 D(z) = 1 2e ω c 2 cos ω c 2 z 1 + e ω c 2 z 2 = 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 Pour f c = 0.1 : a 1 = 1.158046, a 2 =.4112407, b =.24492

Chapitre VI Indications et corrigés 63 Pour f c = 0.25 : a 1 = 0.2924479, a 2 = 0.1084527, b = 0.655499 Pour f c = 0.4 : a 1 = 0.06930339, a 2 = 0.0286012, b = 0.588347 L'invariant impulsionnel donne de bons résultats pour un filtre passe-bas. IV-1-2. Transformée bilinéaire On applique la transformation : p 2 1 z 1 en effectuant une correction sur les 1 T 1 + z fréquences caractéristiques : ω c = 2 T tg ω n T 2 où ω c et ω n sont respectivement les pulsation en continu et en numérique. H(p) = ω c 2 p 2 + 2ω c p + ω c 2 ( ) 2 ω 2 c 1 + z 1 H(z) = z 2 ( ω 2 c 2 2ω c + 4)+ 2z 1 ( ω 2 c 4)+ ω 2 c + 2 2ω c + 4 ( ) 2 ω H(z) = c ( ω 2 c + 2 2ω c + 4) 1 + 2z 1 + z 2 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 = gain 1 + 2z 1 + z 2 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 Pour f c = 0.10, Gain = 0.06745528, a 1 = 1.14298 et a 2 = 0.4128016 :