Commande H prédictive pour l asservissement par vision d un stabilisateur cardiaque actif W. Bachta, E. Laroche, P. Renaud, J. Gangloff LSIIT, CNRS, Université de Strasbourg, INSA de Strasbourg, France Journée MOSAR, 23 janv. 2009, Besançon
Contenu 1 Le contexte 2 Problème de commande 3 Synthèse des lois de commande 4 Analyse de la robustesse 5 Conclusion
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La chirurgie à cœur battant Contexte de la chirurgie à cœur battant Contexte Procédure antérieure : arrêt du cœur et mise en place d une circulation extracorporelle Opération sur cœur battant afin de limiter les complications Nécessité de réduire les mouvements de la zône à opérer par la mise en place d un stabilisateur mécanique Limitation des stabilisateur Mouvement résiduel de l ordre du mm [Cattin04] Précision requise : 0.1 mm Précision insuffisante en vue d une utilisation endoscopique [Loisance05] Figure: Stabilisateur invasif Octopus 4.3 (Medtronic) Solution proposée Développement d un stabilisateur actionné Figure: Stabilisateur endoscopique Octopus TE (Medtronic)
Cardiolock : un stabilisateur cardiaque actif Cardiolock 1 Description Tige Diamètre compatible avec la chirurgie mini-invasive (diamètre de 10 mm) Stérilisable par autoclave Système de fixation par succion Système d actionnement
Cardiolock : un stabilisateur cardiaque actif Cardiolock 1 Description Tige Système d actionnement Mécanisme parallèle Articulations par afaiblissement (sans jeu) Actioneur linéaire piézo-électrique Protégeable par un sac stérile
Cardiolock : un stabilisateur cardiaque actif Cardiolock 2 Système complet Détail d un DDL 2 DDL Chaque DDL est réalisé par un mécanisme parallèle en quasi-singularité
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Cardialock en situation Cardialock en situation Perturbation d 1 Caméra 0 01 01 01 01 Ampli ECG Commande u Calculateur Position y Rejet de perturbation (cœur et respiration) Possibilité de prendre en compte les mesures physilogiques (ECG + fréquence respiratoire) pour construire un modèle de la perturbation
Modèle dynamique Modèle dynamique q1 l2 F Modélisation Sous l hypothèse de mouvements rigides équivalents l1 q2 Figure: Schéma simplifié sous l hypothèse de mouvements rigides équivalents Commande : u = q 1 Mesure par caméra : y = position de l extrémité de la tige
Modèle dynamique F c y(t) y(k) G(s) caméra z 1 v(k) u(k) ZOH u(t) = q1(t) Figure: Schéma bloc du système M 21 q 1 + M 22 q 2 = l 2 F c K 2 q 2 f 2 q 2 (1) q 1 = u (2) y = (l 1 + l 2 )q 1 + l 2 q 2 (3) Système flexible à non-minimum de phase
Problème de commande u(k) H(z) - + p(k) v(k) Figure: Schéma simplifié pour la synthèse Caméra + BOZ équivalent à un BOU [IFAC 2008] «H(z) = z 1 1 z 1 2 «ZL 1 G2 (s) T s 2 Problème de commande On se ramène à un rejet de perturbation de sortie Reconstruction par un simple estimateur ˆp = H(z) u v
Modèle de la perturbation Prédiction de la perturbation Deux origines : cardiaque (dφ c/dt = 2πf c où f c est évaluée entre deux périodes de l ECG) respiratoire (dφ r/dt = 2πf r où f r est donnée par le respirateur) Composante respiratoire + composante cardiaque p(t) = M r(t) + M c(t) Composante respiratoire dépendant uniquement de la phase respiratoire : M r(t) = P n r l=1 a l sin `lφ r(t) + b l cos `lφ r(t) Composante cardiaque dépendant des phases cardiaque et respiratoire : M c(t) = C c(t)(1 + C r(t)) où C c(t) = P n c l=1 e l sin `lφ c(t) + f l cos `lφ c(t) C r(t) = P n r l=1 g l sin `lφ r(t) + h l cos `lφ r(t) Changement de variable pour obtenir une formulation linéaire et estimation par moindre carrés récursifs avec facteur d oubli
Modèle de la perturbation Évaluation sur données expérimentales 180 160 pixels 140 120 100 80 0 2 4 6 8 10 12 temps (s) Figure: Déplacement résiduel mesuré (trait continu) et prédit sur un horizon de trois périodes (trait pointillé, T e = 3 ms)
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Correcteur 1 DDL Correcteur 1 DDL simple W 1 (s) z 1 W 2 (s) z 2 p K(s) u H(s) + - v Figure: Schéma de synthèse 2 blocs à temps continu (marge de module, précision, bande passante, roll-off) Transfert de p vers y The Transfer from p to u 10 10 gain (db) 0 10 20 30 40 gain (db) 0 10 20 30 40 50 50 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 pulsation (rad/sec) 60 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 pulsation (rad/sec) Figure: Analyse fréquentielle (gabarits : trait pointillé ; transferts obtenus : trait continu)
Correcteur 1 DDL Correcteur 1 DDL résonant W 1 (s) modifié avec un filtre résonant adapté sur le fondamental du mouvement cardiaque 20 The Transfer from p to e 20 The Transfer from p to u 10 10 0 0 gain (db) 10 20 30 40 50 gain (db) 10 20 30 40 60 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 frequency (rad/sec) 50 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 frequency (rad/sec)
Correcteur prédictif Correcteur à 2 DDL p(t) K(z) u H(z) v Figure: Schema de commande avec mesure de la perturbation K(z) = [K 1 (z) K 2 (z)], H(z) = [H 1 (z) H 2 (z)] T vp(z) = (I H 2 (z) K 2 (z)) 1 (H 1 (z) + H 2 (z)k 2 (z)) Feedback K 2 (z) pour le rejet robuste en basse fréquence Feedforward K 1 (z) pour aider en haute fréquence (K 1 (z) = H 1 2 (z) H 1 (z)) avec une sensibilité aux erreurs de modélisation élevée Limitations : H 1 (z) d inverse non propre ou instable (les deux dans notre cas) Anternative : synthèse de K(s) en une seule étape ( mesure supplémentaire [Duc et Font])
Correcteur prédictif Correcteur prédictif p(t) p(t + n p T) avance K(z) u H(z) + - Figure: Principe de la commande prédictive de type preview v Avance réalisée par un modèle de prédiction Synthèse du correcteur en une seule étape Rapport avec la commande prédictive GPC : nécessité de connaître les valeurs futures des signaux exogènes Transposable au suivi de consigne
Correcteur prédictif Schéma de commande complet ˆp(t + n p T) avance ˆp(t) Ĥ(z) p(t) + - K(z) u H(z) + - v Figure: Schéma de commande avec estimation de la perturbation
Correcteur prédictif Schéma de synthèse v 2 W 3 (s) p retard w 1 + - e K(s) u H(s) - + v W 2 (s) z 2 W 1 (s) z 1 Figure: Schéma de synthèse pour retour de sortie et compensation de la perturbation permettant de régler fréquentiellement les effets de feedback et de feedforward
Correcteur prédictif Transfer de r vers e Transfert de p vers e 10 20 gain (db) 0 10 20 30 40 gain (db) 0 20 40 60 50 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 pulsation (rad/sec) 10 0 10 Transfert de r vers u 80 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 pulsation (rad/sec) 20 10 0 Transfert de p vers u gain (db) 20 30 gain (db) 10 20 40 30 50 40 60 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 pulsation (rad/sec) 50 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 pulsation (rad/sec) Figure: Correction par retour de sortie et compensation de la perturbation (gabarits : trait pointillé ; transferts obtenus : trait continu)
Evaluation nominale Expérimentation au laboratoire Correcteur sans connaissance a priori Correcteur avec prise en compte de la fréquence cardiaque Correcteur avec modèle de mouvement cardiaque 1.4 1.4 0.2 1.3 1.3 0.1 1.2 1.2 0 1.1 1.1 0.1 mm 1 mm 1 mm 0.2 0.9 0.9 0.8 0.8 0.3 0.7 0.7 0.4 0 5 10 15 20 25 30 temps (sec) 0 5 10 15 20 25 30 temps (sec) 0.5 0 5 10 15 20 25 30 temps (sec) Feedback simple Feedback résonant 2 DDL prédictif Mouvement du cœur émulé par un robot pan-tilt Des expérimentations in-vivo ont également été faites qui confortent ces résultats
Evaluation nominale Évaluation en simulation sur données expérimentales Méthode de correction RMS mvt. résiduel (pixel) Sans correction 22,3 Retour de sortie simple 2,57 Retour de sortie résonant 1,69 Avec prédiction parfaite 0,064 Avec modèle de prédiction 1,21 Table: Mouvement résiduel, obtenu avec le modèle nominal et en simulation, pour les différentes lois de commande (la prédiction est faite avec n c = 10 et n r = n r = 4)
Evaluation nominale Analyse fréquentielle du mouvement résiduel 10 0 Position (pixels) 10 1 10 2 10 3 10 4 0 2 4 6 8 10 Frequency (Hz) bleu : 1 DDL simple ; rouge : 1 DDL résonant ; violet : 2 DDL avec perturbation exacte ; vert : 2 DDL avec modèle de prédiction
Outline 1 Le contexte 2 Problème de commande 3 Synthèse des lois de commande 4 Analyse de la robustesse 5 Conclusion
Modèle incertain Problème de robustesse Modification du comportement lors du contact avec le cœur Modèle de l interaction avec le cœur F = F c k c y f c kẏ m c ÿ (4) F c : perturbation extérieure (signal exogène) Valeurs nominales m c = 2 g, K c = 250 N/m et f c = 0.1 N.s/m Variations de 0 à 200 %
Modèle incertain Contexte de la µ-analyse Paramètres constants incertains Modèle LFR Introduction d un critère de performance Robuste si µ < 1
Commande 1 DDL Modèle LFR (stabilité + performances) z 1 w 1 c w 2 r z 2 W 1 (s) K(s) u H u (s) p + - v Figure: Structure du modèle LFR incertain c diagonal réel ; r complex plein
Indice de répétition des paramètres incertains Paramètre Directe Réduction Robust toolbox m c 9 3 1 K c 3 2 1 f c 3 1 1 Table: Indice de répétition des paramètres du modèle LFR pour les différentes méthodes (Directe et Réduction : avec la LFR toolbox
Tracé du µ 0.9 0.8 bornes sup. et inf. de µ 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 10 1 10 2 10 3 10 4 pulsation (rad/sec) Figure: Valeur singulière structurée µ < 1: système robuste pour les incertitudes prévues
Commande 2 DDL prédictive Système simplifié non causal µ-analyse non utilisable Évaluation en simulation avec p k = ρ p k0 où p k0 est la valeur nominale et ρ [0 ; 2] valeur efficace du mouvement résiduel (pixel) 3 2.5 2 1.5 1 0 0.5 1 1.5 2 ρ Figure: Variation du mouvement résiduel en fonction de l incertitude ρ (trait continu : retour de sortie ; trait haché : avec prédiction)
Outline 1 Le contexte 2 Problème de commande 3 Synthèse des lois de commande 4 Analyse de la robustesse 5 Conclusion
Conclusion Développement d une loi de commande prédictive de type H Amélioration des résultats par prédiction de la perturbation Résultats satisfaisants pour la chirurgie à cœur battant Perspectives Évaluation du Cardiolock 2 Analyse de la robustesse en tenant compte de l estimation de la prédiction Comparaison avec le GPC