9. Proportionnalité 2 ) Proportionnalité et caractérisation graphique Propriété : Une situation de proportionnalité est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine du repère. Réciproquement, si une situation est représentée graphiquement dans un repère par des points alignés avec l'origine, alors, c'est une situation de proportionnalité. Exemple :
2) Proportionnalité et vitesse moyenne Définition : La vitesse moyenne v d'un mobile est le quotient de la distance parcourue d par la durée t de ce parcours : v= d t. Remarques : Le terme mobile désigne toute personne, animal ou objet en mouvement. La vitesse moyenne est la vitesse constante du mobile permettant de parcourir la distance d pendant une durée t. Lors du déplacement d un mobile à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours. Attention : lorsque l'on utilise cette formule, si d est en km et t en heures alors v est en km/h. Si d est en mètres et t en secondes alors v est en m/s. Notation : km/h se note aussi km.h m/s se note m. s. et Exemple : Un automobiliste effectue un trajet de 246 km en 2h30. Quelle est sa vitesse moyenne sur ce trajet? Avant de commencer les calculs, il faut exprimer le temps en heures : 2h30 = 2,5h. On a donc v= d t v= 246 2,5 v=98,4 km/h. Cet automobiliste roule donc en moyenne à 98,4 km/h.
3) Conversion de vitesses Rappels sur les conversions de durées et de distances : km = 000 m 3,5 km = 3 500 m 54m = 0,054 km 5 m = 0,05 km heure = 60 minutes minutes = 60 secondes heure = 3600 secondes 2h45 = (2x60 + 45) minutes = 65 minutes seconde = minute = seconde = 60 minute 60 heure 3600 heure 5 min 36 s = (5x60+36) s = 336 secondes 27 27 secondes = 60 minute = 0,45 minute 83 83 minutes = 60 heures = 3,05 heures 36 2h36 min = (2 + 60 ) heures = 2,6 heures Remarque : on peut utiliser la calculatrice pour effectuer les conversions de durées. a) Convertir des km/h en m/s La vitesse du son est de 224 km/h. Exprimez-la en m/s. Méthode : Le son parcourt 224 km en heure. Il parcourt 224 x 000 mètres en heure Il parcourt 224 000 mètres en heure Il parcourt 224 000 mètres en 3600 secondes En une seconde, il parcourt donc 3600 fois moins.
224 000 =340 3 600 la vitesse du son est donc de 340 m/s. Méthode 2 : On complète le tableau de proportionnalité suivant : Temps de parcours (en secondes) Distance parcourue (en m) On trouve : x = 3600 (c est à dire h) 224 000 (c est à dire 224 km) 224 000 3600 x = 340. x La vitesse du son est donc de 340 m/s. Méthode 3 : On utilise la formule v= d t 224 km v= h 224 000m v= 3600s 224 000m v= 3600s v=340 m/s. la vitesse du son est donc de 340 m/s.
b) Convertir des m/s en km/h Un élève dit être capable de courir à 5m/s, est-ce possible? Convertissons cette vitesse en km/h pour lui donner plus de «sens». Méthode : L'élève parcourt 5 mètres en seconde. En une heure, il parcourt une distance 3600 fois plus grande 5 x 3600 = 54000 Il parcourt 54 000 m en heure. Il parcourt 54 km en heure. L'élève court donc à 54 km/h. C'est impossible, un humain ne peut pas atteindre cette vitesse en courant. (le record du monde de vitesse à pied, détenu par Usain Bolt, est de 45 km/h). Méthode 2 : On complète le tableau de proportionnalité suivant : Temps de parcours (en secondes) Distance parcourue (en m) 3600 (c est à dire h) 5 x On trouve : x = 5 3600 x = 54 000 m x = 54 km on a donc 5m/s = 54 km/h.
Méthode 3 : On utilise la formule v= d t v= 5 m s 0,05 km v= ( 3600 )h v=54 km/h.
4) Calcul de distances et de durées a) Calcul de distances Cyril a roulé 3h45min à la vitesse moyenne de 75 km/h. Quelle distance a-t-il parcourue? Méthode : On complète le tableau de proportionnalité suivant : Temps de parcours (en minutes) Distance parcourue (en km) 60 (c est à dire h) 225 (c'est-à-dire 3h45min) 75 x 75 225 On trouve : x = 75 x = 28,25 km. Méthode 2 : On utilise l'égalité v= d. Souvenons-nous que dans cette égalité, si la t vitesse est en km/h, la distance doit être exprimée en kilomètres et la distance en heures. 3h45min = (3+ 45 60 )h=3,75 h En remplaçant dans l'égalité, on obtient : 75= d 3,75 On trouve alors d=75 3,75 d=28,25 km.
b) Calcul de durées Simon a couru 400 mètres à la vitesse moyenne de 32 km/h. Combien de temps a-t-il couru? Méthode : On complète le tableau de proportionnalité suivant : Temps de parcours (en minutes) Distance parcourue (en km) 60 (c est à dire h) 32 0,4 (c'est-à-dire 400 m) x 60 0,4 On trouve : x = 32 x = 0,75 minutes. x = 0,75 x 60 secondes. x = 45 secondes. Simon a donc couru pendant 45 secondes. Méthode 2 : On utilise l'égalité v= d. Souvenons-nous que dans cette égalité, si la t vitesse est en km/h, la distance doit être exprimée en kilomètres et la distance en heures. 400 m = 0,4 km. En remplaçant dans l'égalité, on obtient : 32= 0,4 t On trouve alors t= 0,4 32 t=0,025 h. t=0,025 x 3600 s. t=45 s.