CSMA 0 e Colloque National en Calcul des Structures -7 Mai 0 Simulation numérique par éléments finis de l écoulement dans un mélangeur bi-vis et l interaction mélange-mélangeur Hamza DJOUDI *, Jean-claude GELIN, Thierry BARRIERE Femto-st, Mec Appli, hamzadjoudi@femto-stfr Femto-st, Mec Appli, jean-claudegelin@ensmfr Femto-st, Mec Appli, thierrybarriere@univ-fcomtefr * Auteur correspondant Résumé Dans l'industrie de plasturgie, les mélangeurs bi-vis sont largement utilisés pour la fusion, la dispersion et l'homogénéisation des polymères et des polymères chargés Le mélange est généralement obtenu par une combinaison de mouvement mécanique des vis de mélangeage La description quantitative des modèles d'écoulement est désormais possible, même pour des géométries assez complees, à travers le développement de la simulation de la dynamique des fluides (CFD) L objectif de cet article est de comprendre les mécanismes d'écoulement dans la chambre de mélangeage d un mélangeur bi-vis co-rotatif Ceci est fait au moyen de la simulation numérique D par la méthode des éléments finis, traitant notamment l interaction fluide-structure [6] (mélange-mélangeur) et faisant intervenir la méthode ALE [5] D abord une caractérisation rhéologique a été effectuée sur un polymère chargé en poudre Acier Inoydable 6L à différents tau de charges [] Les viscosités de cisaillement ont été évaluées à différentes températures Ensuite, une modélisation par éléments finis a été développée en supposant que le fluide est non-newtonien, régit par la loi de Carreau-Yasuda construite à partir des propriétés rhéologiques obtenues epérimentalement [4] Les résultats du modèle D en termes de champ de vitesse, champ de température et couple de mélangeage sont présentées Les résultats ont confirmé la capacité du modèle à prédire le comportement du mélange dans le mélangeur Mots clés Méthode ALE, Interaction fluide-structure, polymères chargés, Ino 6L, Viscosité de cisaillement, Couple mécanique, loi de comportement Introduction La vision du processus de mélange dans le procédé de moulage par injection de poudres (PIM) permettant la fabrication en série rentable de composants précis [,8] et supportant de fortes charges en métal (MIM) ou en céramique (CIM) a subi de profonds changements Durant des années, le mélange était vu comme une opération unitaire facile de conception et d eploitation Cependant, les récents progrès en mécanique des fluides, avec l apparition des simulations numériques des écoulements tridimensionnels et la prise en compte des propriétés rhéologiques ont permis une nette amélioration de la conception des mélangeurs Le mélange est donc devenu un domaine d étude à part entière La première partie concerne l élaboration et la caractérisation rhéologique des mélanges à base d'acier inoydable 6L à différents tau de charge (64, 66, 68 et 70%) [] Le liant est composé de polypropylène (PP), cire de paraffine (PW) et acide stéarique (SA) Les conditions d élaboration des mélanges et de caractérisations rhéologiques sont étudiées par différentes méthodes afin de ressortir les propriétés physiques des différents mélanges Ces propriétés sont utilisées pour identifier les
paramètres de la loi de viscosité Il est bien connu que la viscosité d'un polymère fondu change de manière significative avec le tau de cisaillement, la température et le tau de charge du polymère Par conséquent, le modèle newtonien, n'est pas un choi raisonnable pour la modélisation de l'écoulement de polymère Le plus simple pour surmonter cette difficulté est d'utiliser un modèle non newtonien [- ], c'est à dire modifier le modèle de Newton en utilisant une viscosité variable qui dépend du tau de cisaillement et de la température selon certaines lois empiriques [8] Dans cet article, afin de décrire l'écoulement du polymère, la viscosité de cisaillement obéit à la loi de Carreau-Yasuda La deuième partie porte sur l'analyse par éléments finis des écoulements de polymères chargés dans le mélangeur bi-vis pendant le processus de malaage Le couplage fluide-structure (mélangemélangeur) est utilisé, car, l'écoulement du fluide compris entre les deu vis et la chambre de mélangeage est conditionné par le mouvement de la structure solide (la rotation des vis), et réciproquement, la déformation de la structure est influencée par les efforts du fluide sur sa paroi Cette approche permet de déterminer les champs de vitesse et de tau de cisaillement, ainsi que des champs de température du polymère chargé au cours de l'étape de mélange Le logiciel Comsol multiphysique a été choisi pour cette étude, pour son efficacité à résoudre des problèmes multiphysiques couplés non linéaires Présentation du modèle rhéologique La loi viscosité Carreau-Yasuda [4,7] est utilisée dans ces travau pour décrire le comportement rhéologique des mélanges élaborés à base d'acier inoydable 6L à différents tau de charge (64, 66, 68 et 70%) : n a a T () 0 où n est l indice de pseudo plasticité, a est le paramètre de Yasuda, est le temps caractéristique 0( T ) est la viscosité dynamique à tau de cisaillement nul, elle est fonction de la température et s eprime selon la loi d Arrhenius [4,7] comme suit : T bt 0 0 e () Ces quatre paramètres sont ajustés pour que la courbe donnée par l'équation () passe au mieu par l'ensemble des points epérimentau Ces paramètres sont identifiés avec le logiciel Matlab Une comparaison entre les données mesurées et la loi de Carreau identifiée pour chaque mélange PP+PW+SA+6L est présentée dans la fig On constate une bonne corrélation entre les données mesurées et continues Fig Evolution de la viscosité de cisaillement en fonction du tau de cisaillement des mélanges Ino 6L : Comparaison entre l évolution epérimentale et les courbes tracés après les essais d identification des paramètres du modèle de Carreau-Yasuda
Modélisation et simulation numérique de l étape de mélangeage Ce travail porte entre autres sur la modélisation et simulation numérique de l écoulement dans le mélangeur bi-vis (Brabender ) durant la phase de malaage [] Plusieurs approimations ont été considérées : un écoulement laminaire incompressible est considéré, la loi de viscosité des matériau mélangés obéit à la loi de Carreau () Fig Définitions des sous domaines et des conditions au limites du domaine fluide et solide Les notations dans la fig désignent : : Chambre de mélange défini dans le repère fie R :, y, z : Vis de gauche, tournant dans le sens horaire R :, y, z : Vis de droite, tournant dans le sens trigonométrique R :, y, z : Domaine fluide 4 : Entrée mélangeur : Base encastrée de la chambre de mélange 4 4 4 : Interfaces mélange-mélangeur Une formulation ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian) pour le maillage mobile est appliquée pour les sous domaines et afin de formuler le problème considérer Description du maillage mobile Pour compléter le problème couplé il est nécessaire de tenir compte des équations décrivant le mouvement du maillage en repères mobiles La formulation Lagrangian-Eulerian Arbitraire [5,6] (ALE) est une solution qui permet de gérer des maillages mobiles avec des déplacements d amplitude modérée Elle permet de résoudre les équations du problème fluide dans un domaine mobile Soit X les coordonnées Lagrangiennes d un point dans le repère matériel, ses coordonnées Eulériennes dans le repère spatial et ses coordonnées dans un repère ALE L ALE traite le maillage comme repère qui se déplace avec une vitesse arbitraire w, t f t f, () La dérivée mite f est donnée par la relation : f f w f t t t pour la quantité f entre le repère matériel et le repère ALE, soit : La relation de passage
df dt f t f u f u w f (4) t t où u, t est la vitesse matérielle et w t, est la vitesse arbitraire t Cette propriété est très utile dans le développement d une description cinématique dans le repère ALE Description du problème fluide La loi de conservation de la quantité de mouvement s eprime en ALE: u t (5) u u p u f La relation (4) appliquée à u donne l epression suivante : u u t u, t u u t u w u (6) La relation qui permet de passer d une loi eprimée en variable Eulérienne à une loi équivalente eprimée en variables mites (ALE) s eprime par : u, t t u w u p u f Enfin, On obtient l écriture des équations de Navier-Stokes dans la description ALE en incompressible dans le domaine : 4 u, t t u w u p u f Cette formulation assigne à chaque point de l espace une vitesse de grille w, qui décrit un mouvement arbitraire du maillage et une vitesse matérielle u où f est le vecteur des forces volumiques dues au fluide On suppose que la force gravitationnelle ainsi que les autres forces volumiques relatives au fluide sont nulles Le tenseur des contraintes intégrant la pression (p) et le tenseur des contraintes du au cisaillement (K), est défini comme suit : (7) (8) pi K (9) Le tenseur des contraintes du au cisaillement pour un fluide non-newtonian généralisé est défini comme suit : K,T D (0) où D est le tenseur de tau de déformation et est la viscosité de cisaillement fonction locale du tau de cisaillement et de la température () Quand l influence de la température est prise en considération, elle est décrite par l équation de convection et diffusion suivante: C p T C t p u T kt K () où C p est la capacité thermique du mélange, k la conductivité thermique, et T la température dans la chambre de mélangeage 4
Description du problème de mécanique des structures Les déformations structurales sont résolues pour l utilisation d une formulation élastique et une formulation de géométrie non linéaire pour permettre des grandes déformations Les frontières subissent des efforts de la part du fluide donnés par : F T n pi u où n est le vecteur normal à la frontière Cette force représente la somme des forces de pression et de viscosités u Les conditions au limites associées à notre problème sont définies comme suit : -D bord on a une condition d adhésion fluide-paroi u / Ri 0 au niveau des frontières 4 44 -Condition de frontière ouverte, définie par 0 à l entrée du mélangeur -Encastrement au niveau de la frontière -Température imposée T 47 5K au niveau des frontières 4 44 La température etérieure est fiée à T et 9 5K -Transfert thermique avec l etérieur, définie par K grad T ht T n T et () à travers la frontière -Le problème couplé dépend du temps, les conditions initiales sont définies comme suit : u s, u 0, p 0, T 400C 0 0 0 0 4 Rotation des vis Considérons deu points M et M appartenant au sous domaines, respectivement, les équations de mouvement en repères mobiles s écrivent par les relations suivantes : O M O M N r cos t 60 N r cos t 60 N r sin t y 60 N r sin t y 60 () (4) où r est la distance entre rapport au repère fie O i et M i et N est la vitesse de rotation en [tr/min] du repère mobile par 5 Processus numérique et implémentation dans le logiciel Comsol Le modèle couplé fluide-structure-thermique a été implémenté et assimilé à un problème multiphysiques couplé entre les modules «écoulement de fluides», «Mécanique des structure», «Transfert de chaleur», et «maillage mobile par la formation ALE» Les sous domaines, et sont discrétisés en 67606 éléments, soit 8407 éléments dans le domaine fluide 4 (986 éléments tétraédriques, 6 éléments heaédriques, 88985 éléments prismatiques, 97 éléments pyramidales), et 8407 éléments dans sous domaines solides, et (9899 éléments tétraédriques) fig, un schéma eplicite est utilisé pour le solveur temporel Avec un ajustement automatique du pas de temps L algorithme ci-dessous montre l interaction entre les trois modules cités La solution est donné à chaque pas de temps jusqu à t t t désigne ici le temps final de la simulation, f f 5
Fig Maillage élément finis du mélange-mélangeur avec maillage de couche limite au niveau des interfaces mélange-mélangeur (58676 éléments tétraédriques, 6 éléments heaédriques, 88985 éléments prismatiques, 97 éléments pyramidales) 4 Résultats et discussions 4 Profil des vecteurs vitesses Une visualisation des vecteurs de vitesse est présentée dans la figure pour le mélange en 6L chargé à 68% La distribution D des vecteurs de vitesse indique que le flu de la matière suit généralement la surface de la vis avec un flu aial supplémentaire se produisant dans l'espace entre les deu vis en raison de la configuration type roller La magnitude des vecteurs de vitesse du sousdomaine de droite est plus grande que celle du sous-domaine de gauche, en particulier à la surface des vis où une condition de paroi mobile est imposée, contrairement sur les parois de la chambre de mélangeage où une condition d'adhérence est imposée, produisant un tau cisaillement important On peut également noter que l'ampleur est réduite dans l'écart entre les vis causées par la rencontre des deu flu, ce qui a été validé epérimentalement par l'observation d'un matériau coloré à travers une plaque frontale vitrée Fig 4 Champ de vecteurs de vitesse du mélange en Ino 6L chargé à 68% Produit parles visco-rotatives du mélangeurbi-vis 4 Mélangeage dispersif Le mélangeage dispersif peut être analysé par l évaluation de l indice du mélange et le tau de cisaillement correspondant La fig 4 et fig 5 montrent respectivement le contour de l indice de mélange ( MI ) et du tau de cisaillement du mélange après 0 tours de la vis et à 0 rpm L écoulement élongationel indiqué par la couleur rouge est très important dans l espace entre les deu vis du mélangeur, et un important tau de cisaillement au niveau des etrémités des vis La viscosité de cisaillement est représentée dans la figure 5b qui révèle que la viscosité de cisaillement est plus ou moins constante dans la cavité du mélangeur ecepté au niveau des etrémités des vis où la viscosité de cisaillement est inférieure à celle de la cavité et qui est due vraisemblablement au fait que le tau de cisaillement dans cette zone est très important A partir de ces résultats on peut confirmer que le mélangeage est plus efficace au niveau des etrémités des vis de mélangeage 6
Figure 5 Cartographie D de : a) l indice de mélange ( MI ) ; b) Viscosité de cisaillement pour le mélange en Ino 6L chargé à 68% dans le mélangeur bi-vis après 0 révolutions 4 Evolution de la température L évolution de la température durant le processus de mélangeage est illustrée dans la Fig 6, au début de la simulation le mélange est à 50 C ecepté au niveau de la paroi etérieure de la chambre de mélangeage où la température imposée est égale à 00 C Les vis quant à elles sont chauffées par conduction et par convection, après un certain temps la température du mélange atteint une valeur limite qui correspond à la température imposée du mélangeage La simulation montre clairement que la température imposée est rapidement atteinte ce qui garantit des conditions optimales pour le mélangeage Le transfert de chaleur à l entrée du mélangeur est montré dans ces figures Fig 6 Champ de température D (en C) à deu instants différents pour le mélange Ino6Lchargé à 68% a) Champ de température à t=0 b) Champ de température à t=5s 44 Couple de mélangeage calculé par la simulation numérique Les couples de mélangeage prédit numériquement pour les tau de charges en Acier 6L allant de 6% à 70% sont présentés dans la Fig 7 on remarque que le couple de mélangeage augmente avec l augmentation de tau de charge de l Acier 6L dans la matrice polymérique A partir des résultats mesurée et calculés présentés on remarque une bonne corrélation entre les valeurs du couple epérimental et numérique Fig 7 Couple de mélangeage calculé pour les mélanges en Ino 6L : a) Couple de mélangeage calculé ; b) Couple de mélangeage epérimental 7
5 Conclusions La modélisation physique et la simulation numérique de l écoulement du mélange PP+PW+SA+6L dans le mélangeur bi-vis à tau de cisaillement élevé a été étudiée dans ce papier, d abord une caractérisation rhéologique a été réalisée afin de prédire un modèle de viscosité approprié Les viscosités de cisaillement de PP+PW+ SA chargé en Ino 6L ont été mesurées pour différentes teneurs en 6L et à différentes températures en utilisant le rhéomètre capillaire La simulation numérique D du processus de mélangeage repose sur une approche d'interaction fluide-structure La formulation ALE (Arbitrary Lagrange-Eulérienne) est utilisée, et permet de résoudre les équations du problème fluide dans un domaine mobile s adaptant au déformations de la structure Les résultats numériques en termes de vitesse, tau de cisaillement, viscosité de cisaillement et champ de température ont été présentés et attestent la validité du modèle d'écoulement rhéologique Références [] Q Wang, H Yin, X Qu, J L, Johnson Effects of Mold Dimensions on Rheological of Feedstock in Micro Powder Injection Molding, Powder Technology, 6-75, 009 [] P Balaji, Metal injection molding, 005 [] F Thiébaud, J-C Gelin Characterization of rheological behaviours of polypropylene/ carbon nanotubes composites and modeling their flow in a twin-screw mier, Composites science and technology, 647-656, 00 [4] MM Cross Rheology of non-newtonian fluids: a new flow equation for pseudoplastic systems, J Colloid Sci, 47-47, 965 [5] J Hron and S Turek, A monolithic FEM/multigrid solver for ALE formulation of fluid structure interaction with application in biomechanics In H-J Bungartz and M Schäfer, editors, 46-70, 006 [6] M Razzaq, J Hron, and S Turek, Numerical simulation of laminar incompressible fluid-structure interaction for elastic material with point constraintst, Advances in Mathematical Fluid Mechancis, 009 [7] P Carreau, DDe Kee, OChhara, Rheology of polymeric systems: principles and applications, Munich Hanser, 997 [8] RM German and A Bose, Injection Molding of Metals and Ceramics, Metal Powder Industries Federation, Princeton, New Jersey, USA, 997 8