Chapitre 3 Fonctions ( point de vue graphique ) I) Vocabulaire : 1) Qu est ce qu une fonction? Définition : Soit D une partie de l ensemble des réels. On définit une fonction f sur D en associant à chaque réel de D un unique réel noté ( ). On note : : ( ) ( se lit «fonction qui, à, associe de») Vocabulaire : 1) On dit que D est l ensemble de définition de la fonction f. On le notera D f. 2) On dit que le réel ( ) est l image de par la fonction f. 3) On dit que est la variable. On dit également que est un antécédent de ( ) par la fonction f. Remarques : 1) Un nombre a au plus une seule image par f ( soit aucune, soit une seule ). 2) Un nombre ( ) peut avoir plusieurs antécédents par f ( soit aucun, soit un, soit plusieurs ). 3) D f est l ensemble des réels qui ont une image par f : a) Si x D f, alors a une image par f. b) Si x D f, alors n a pas d image par f. 2) Fonction définie par un tableau de données : Exemple 1 : A température constante, le volume d un gaz est fonction de la pression qui s exerce sur lui. Le tableau suivant indique les valeurs de ( en cm 3 ) selon certaines valeurs de ( en cm de mercure ) : 76 100 120 150 160 180 200 30 23 19 15 14 12 11 1) a) Quel est le volume occupé par le gaz lorsque la pression est de 100 cm de mercure? b) Quel est le volume occupé par le gaz lorsque la pression est de 30 cm de mercure? c) Quelle est la pression exercée lorsque le gaz occupe un volume de 12 cm 3? d) Quelle est la pression exercée lorsque le gaz occupe un volume de 100 cm 3? 2) Cette situation correspond elle bien à une fonction? On note x la pression exercée sur le gaz et f la fonction qui, à x, associe le volume occupé par le gaz. a) Quelle est la variable? b) Quel est l ensemble de définition? c) Lire, si elle existe, l image de 150 par f. d) Lire, si elle existe, l image de 23 par f. e) Quels sont les antécédents éventuels de 15 par f? f) Quels sont les antécédents éventuels de 10 par f? 1
3) Fonction définie par une courbe : Exemple 2 : Le graphique ci dessous représente la durée moyenne d attente ( en minutes ) des clients devant les caisses d un supermarché un samedi, en fonction de l heure : 1) a) Cette situation correspond elle bien à une fonction? b) Quelle est la durée d attente en caisse à 16h? c) Quelle est la durée d attente en caisse à 8h? d) A quelle(s) heure(s), la durée d attente en caisse est elle de 2 min? e) A quelle(s) heure(s), la durée d attente en caisse est elle de 15 min? f) A quelle(s) heure(s), la durée d attente en caisse est elle supérieure à 5 minutes? 2) Cette situation correspond elle bien à une fonction? On note x l heure de la journée et f la fonction qui, à x, associe la durée d attente. a) Quelle est la variable? b) Quel est l ensemble de définition? c) Lire, si elle existe, l image de 12 par f. d) Lire, si elle existe, l image de 9 par f. e) Quels sont les antécédents éventuels de 6 par f? f) Quels sont les antécédents éventuels de 10 par f? Contre - exemple : La taille est dépendante de l âge mais elle n est pas fonction de l âge : à un âge donné ne correspond pas une unique taille. Remarque : L égalité (3) = 4 signifie : a) 4 est l image de 3 par. b) 3 est un antécédent de 4 par. 2
Exercice 1 Les correspondances entre les grandeurs décrites par les phrases suivantes permettent elles de définir des fonctions? 1) est le code postal d une commune et est le numéro de son département. 2) est la longueur du côté d un losange et est son aire. 3) est la longueur du côté d un losange et est son périmètre. 4) est le poids d une lettre et est le montant de l affranchissement postal ( en France et au tarif normal ) Exercice 2 Le tableau ci dessous donne la distance de freinage ( en ) d une voiture en fonction de sa vitesse ( en.h ) sur une route sèche : 0 40 50 70 90 100 110 130 0 11 16 32 52 64 80 109 1) Cette situation correspond elle bien à une fonction? 2) Quelle est la variable? 3) Quel est l ensemble de définition? 4) a) Lire, si elle existe, l image de 80. b) Lire, si elle existe, l image de 70. 5) a) Quels sont les antécédents éventuels de 16? b) Quels sont les antécédents éventuels de 10? 6) Marie dit : «Si je roule deux fois plus vite, la distance de freinage est deux fois plus grande». A t elle raison? Exercice 3 1) Traduire l égalité ( 2) = 5 par : a) une phrase contenant le mot «image». b) une phrase contenant le mot «antécédent». 2) Traduire par une égalité les phrases suivantes : a) 7 a pour image 3 par la fonction. b) 6 est l image de 2 par la fonction. c) 1 est un antécédent de 5 par la fonction. d) 8 a deux antécédents par la fonction : 3 et 3. 3
II) Représentation graphique d une fonction : Exercice 4 : (Exercice 13 du livre) Les courbes suivantes sont-elles des courbes représentatives de fonctions? 1) Conventions graphiques : Lorsqu un point A est connu avec précision : il est noté avec une croix. Lorsqu un point A, situé à l extrémité de la courbe, appartient à cette courbe : A est noté par un gros point. Lorsqu un point A, situé à l extrémité de la courbe, n appartient pas à la courbe : A est noté avec une «encoche». S il n y a rien aux extrémités de la courbe alors elle garde la même allure quand on la prolonge. A C f C f C f C f A A 2) Lectures et résolutions graphiques : On considère la fonction dont voici la courbe représentative C f dans un repère orthonormé. Déterminer graphiquement : 1) l ensemble de définition de. 2) a) si c est possible, l image de 2 par. b) si c est possible, l image de 5 par. 3) a) les antécédents éventuels de 0 par. b) les antécédents éventuels de 4 par. 4) Résoudre l équation ( )= 1. 5) a) Résoudre l inéquation ( ) 0. b) Résoudre l inéquation ( ) <3. Remarques : 1) D f se lit sur l axe des abscisses. 2) Les images se lisent sur l axe des ordonnées. 3) Les antécédents se lisent sur l axe des abscisses. 4) Toutes les courbes ne représentent pas une fonction : exemple du cercle. 4
Exercice 5 : (Exercice 28 du livre) Dans un repère, on donne la courbe représentative d une fonction f. 1) Quel est son ensemble de définition? 2) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant : f x ( x) 3 2 1 2 1 2 3) En expliquent la méthode, résoudre graphiquement les équations f ( x ) = 1 et ( ) 4) En expliquant la méthode, résoudre graphiquement l inéquation f ( x ) < 1. 5) Déterminer le signe de f. f x =. 3 2 3) Signe d une fonction : On considère la fonction dont voici la représentation graphique dans un repère donné : α Déterminer le signe de la fonction f. a 2,3 x 5 a 1 2 4 2 Signe de f(x) 0 + 0-0 + 0 + Exercice 6 On considère la fonction dont voici la courbe représentative C f dans un repère orthonormé : Graphiquement : 1) Lire l ensemble de définition de. 2) a) Lire, si c est possible, l image de 0 par. b) Lire, si c est possible, l image de 6 par. c) Lire, si c est possible, l image de 7 par. 3) a) Lire les antécédents éventuels de 2 par. b) Lire les antécédents éventuels de 3 par. 4) Résoudre l équation ( )= 3. a) Résoudre l inéquation ( ) 0. b) Résoudre l inéquation ( ) <6. 5) Déterminer le signe de la fonction. 5
Exercice 7 On considère la fonction dont voici la courbe représentative C f dans un repère orthonormé : Graphiquement : 1) Lire l ensemble de définition de. 2) a) Lire, si c est possible, l image de 0 par. b) Lire, si c est possible, l image de 5 par. c) Lire, si c est possible, l image de 6 par. 3) a) Lire les antécédents éventuels de 2 par. b) Lire les antécédents éventuels de 3 par. 4) Résoudre l équation ( )= 2. 5) Déterminer le signe de la fonction. Exercice 8 On considère la fonction dont voici la courbe représentative C f sur une calculatrice graphique : ( 1 graduation correspond à 1 unité sur chaque axe ) Graphiquement : 1) Lire l ensemble de définition de. 2) Lire, si c est possible, l image de 1 par. 3) Lire les antécédents éventuels de 0 par. 4) Déterminer le signe de la fonction. 4) Résolution d équations de la forme ( )= ( ) : Résoudre graphiquement l équation ( )= ( ). Justifier. Les solutions de l équation ( )= ( ) sont les abscisses des points S = 2;2. d intersection des courbes C f et C g. Donc { } 5) Résolution d inéquations de la forme ( )< ( ) : Résoudre graphiquement l inéquation ( ) ( ). Justifier. Les solutions de l inéquation ( ) ( ) sont les abscisses des points de la courbe C f situés en dessous ou sur la courbe C g. S = ; 2 2; +. Donc ] ] [ [ 6
Exercice 9 : (Exercice 30 du livre) Soient C et C les courbes représentatives de deux fonctions f et g f définies sur [ 4;4] g 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de ces deux f x = g x courbes. En déduire les solutions de l équation ( ) ( ) 2) En expliquant la méthode, résoudre graphiquement les inéquations : f x > 0 et g x > 0. ( ) ( ) a) Déterminer le signe de f ( x) sur [ 4; 4] b) Déterminer le signe de g ( x) sur [ 4; 4] 3) Sur quel(s) intervalle(s) la courbe C est elle au dessus de la courbe C? En déduire les solutions de l inéquation f ( x) g ( x). Exercice 10 : (Exercice 31 du livre) Soient C et C les courbes représentatives de deux fonctions f et g. f g 1) Déterminer les ensembles de définition des fonctions f et g. f 2) En expliquant la méthode, résoudre graphiquement l équation f ( x) = g ( x). 3) En expliquant la méthode, résoudre graphiquement l inéquation f ( x) > g ( x). 4) Compléter les inégalités suivantes : 5) a) Si 3 x 0 alors... f x... b) Si 3 x 0 alors... g x... Exercice 10bis : (Exercice 29 du livre) A partir de la représentation graphique de la fonction f ci-contre, compléter les phrases mathématiques suivantes avec les symboles :..., : "Pour tout... on a" "quelquesoit... on a"... / : "Il existe... tel que" ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x c) Si 1 x 4 alors... f x... d) Si 1 x 4 alors... g x... e) Si 2 f x 0 alors x... f) Si f x g x 1 alors... a) x f ( x) b) x f ( x) c) x f ( x) d) x [ ] f ( x) e) x f ( x)...... > 0...... 3...... = 1... 1;2... 0...... 0 g 6) Positions relatives de deux courbes : Etudier graphiquement la position relative de C f et C g représentations graphiques des fonctions et : Cela revient à comparer ( ) et ( ). Si ;0 0 ; 1, alors ( )> ( ). Donc C f est strictement au dessus de C g. Si 1 ;+, alors ( )< ( ). Donc C f est strictement en dessous de C g Si 0 ;1, alors ( )= ( ). Donc C f et C g sont sécantes. 7
Exercice 11 : Etudier graphiquement les positions relatives de C f et C g, représentations graphiques des fonctions et ( C g est la droite ). V) Etude qualitative d une fonction : 1) Sens de variation d une fonction : Définitions : Soient une fonction définie sur D f et un intervalle inclus dans D f. 1) On dit que la fonction est strictement croissante sur lorsque : pour tous les réels et de I tels que <, on a : ( )< ( ). 2) On dit que la fonction est strictement décroissante sur lorsque : pour tous les réels et de I tels que <, on a : ( )> ( ). 3) On dit que la fonction est constante sur lorsque : pour tous les réels et de I tels que <, on a : ( )= ( ). 4) Etudier le sens de variation d une fonction, c est préciser les intervalles sur lesquels est strictement croissante, ceux où elle est strictement décroissante, ceux où elle est constante. Etudier le sens de variations de la fonction dont voici la représentation graphique dans un repère donné : est strictement croissante sur [ 1 ; 0 ] et sur [2 ; 4] et strictement décroissante sur [ 5 ; 1 ] et sur [ 0 ; 2 ]. Attention : Ne pas écrire «f est strictement décroissante sur [ 5 ; 1] [0 ; 2]». Remarques : 1) On dit qu une fonction strictement croissante conserve l ordre : les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents. 2) On dit qu une fonction strictement décroissante change l ordre. 8
Exercice 12 : Etudier le sens de variations des fonctions dont la courbe représentative se trouve ci dessous : a) b) Exercice 13 : Faire 4 figures 1) Dans un repère orthonormé ( O, I, J ) ( unité graphique : 1 grand carreau ), Tracer une courbe représentant une fonction croissante et positive sur [ 3;2]. 2) Même consigne avec une fonction décroissante et positive. 3) Même consigne avec une fonction croissante et négative. 4) Même consigne avec une fonction décroissante et négative. 2) Maximum et minimum d une fonction sur un intervalle : Définition : On considère une fonction définie sur D f. Soit I un intervalle inclus dans D f. Soit I. 1) On dit que la fonction f admet un maximum en a sur l intervalle I, si on a : pour tout réel de I, ( ) ( ). 2) On dit que la fonction f admet un minimum en a sur l intervalle I, si on a : pour tout réel de I, ( ) ( ). Déterminer graphiquement : a) le maximum de sur [ 1;2 ] b) le maximum de sur [ 3;4] c) le minimum de sur [ 5;4] d) le minimum de sur [ 1;3 ] a) Pour tout de [ 1;2 ], on a : f ( x) 2. Donc 2 est la maximum de la fonction sur [ 1;2 ]. On voit que f ( 0) = 2. Donc on dit qu il est atteint pour x = 0. b) Pour tout de [ 3;4], on a : f ( x) 3. Donc 3 est la maximum de la fonction sur [ 3;4]. Il est atteint pour x = 3 ou x = 4. 9
Remarques : 1) Le maximum d une fonction sur un intervalle I est l image la plus grande sur I. C est aussi l ordonnée du point le plus haut de la courbe. C est un nombre qui se lit sur l axe des ordonnées. 2) Le minimum d une fonction sur un intervalle I est l image la plus petite sur I. C est aussi l ordonnée du point le plus bas de la courbe. C est un nombre qui se lit sur l axe des ordonnées. Exercice 14 : En reprenant les fonctions de l exercice 3, déterminer graphiquement : 5;5 a) le maximum et le minimum de sur [ ] b) le maximum et le minimum de sur [ 0;4 ] 3) Tableau de variation d une fonction : Définition : On résume les propriétés d une fonction ( ensemble de définition, sens de variations ) dans un tableau appelé tableau de variations de la fonction. On considère la courbe utilisée dans le chapitre. 5 1 0 2 4 variations de 4 2 3 2 0 Exercice 15 : (Exercice 63 du livre) Dans un repère, on donne la courbe représentative d une fonction f. 1) Quel est son ensemble de définition? 2) Déterminer le sens de variation de la fonction. 20, 40? 3) Quel est le maximum de la fonction sur [ 0,40 ]? sur [ ] 4) Quel est le minimum de la fonction sur [ 0,40 ]? sur [ 20, 40]? 10
Exercice 16 : (Exercice 56 du livre) On donne le tableau de variation d une fonction f. x f ( x) 4 2 0 4 6 4 3 1 3 1 1) Déterminer l ensemble de définition de f. 2) Décrire par des phrases, les variations de f. 3) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie, fausse ou si le tableau ne permet pas de conclure. ( ) < ( ) ( ) = ( ) > ( ) ( ) > ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] a) f 1 f 3 b) f 1 0 c) f 2 f 1 d) f 2 3 e) f 3 < 4 f) f 3.5 = f 2 g) f 0.1 < 0 h) Le minimum de f sur 4,6 est 3 Exercice 17 : (Exercice 57 du livre) On donne le tableau de variation d une fonction f. 1) Traduire par des phrases la situation décrite par le tableau. 2) Construire différentes courbes pouvant représenter la fonction f dans un repère. Exercice 18 : (Exercice 67 du livre) On considère C la courbe représentative d une fonction f dans un repère. Partie A 1) Déterminer son ensemble de définition D. 2) Déterminer le maximum et le minimum sur D. 3) Quelle est l image de 0? Quels sont les antécédents de 2? f x = 1 et f x = 0. 4) Résoudre graphiquement les équations ( ) ( ) 5) Résoudre graphiquement l inéquation f ( x) 3. 6) Dresser la tableau de variation sur D. Partie B 2 On sait maintenant, en plus, que f est définie par f ( x) x 1) Déterminer les images de 1 ; 0 et 2. 2) Déterminer les éventuels antécédents de 0 ; 5 et 5. = 4 3) Résoudre algébriquement (par le calcul) l équation f ( x ) = 1. Exercice 19 : (Exercice 61 du livre) On considère une fonction f dont on connait le tableau de variations et le tableau de signes. x f ( x) 10 6 1 4 5 3 1 5 x 10 7 3 1 4 f ( x) + 0 0 + 0 1) Traduire ces deux tableaux par des phrases. 2) Proposer différentes représentations graphiques possibles pour cette fonction. 11
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