Mathématiques Ce classeur de mathématiques a été prévu pour y mettre des résumés du programme de la 6ème à la ème.. A1 p1 Les nombres A2 p2 Opérations Aa p Les fractions (1) Ab p4 Les fractions (2) A4 p Calculs avec des relatifs A p6 Puissances A6 p7 Equations A7 p8 Pourcentages A8a p9 Proportions (1) A8b p10 Proportions (2) A8c p11 Proportions () A9 p12 Calcul algébrique (1) A10 p1 Calcul algébrique (2) A11 p14 Racines carrées A12 p1 Statistiques A1 p16 Diviseurs A14 p17 Fonctions linéaires et affines A1 p18 Inéquations A16 p19 Systèmes d'équations G1a p20 Parallèles et perpendiculaires (1) G1b p21 Parallèles et perpendiculaires (2) G2a p22 Angles (1) G2b p2 Angles (2) Ga p24 Figures (1) Gb p2 Figures (2) G4a p26 Triangles (1) G4b p27 Triangles (2) G4c p28 Triangle rectangle (1) G4d p29 Triangle rectangle (2) G p0 Longueurs et périmètres G6 p1 Aires G7 p2 Volumes G8a p Solides (1) G8b p4 Solides (2) G8c p Solides () G9a p6 Transformations (1) G9b p7 Transformations (2) G10 p8 Théorème des milieux et Thalès(1) G11 p9 Coordonnées G12 p40 Thalès (2) G1 p41 Cercles et angles G14 p42 Distance, tangentes, vecteurs 6 4 n
LES NOMBRES Tableau de la numération décimale. partie entière, partie décimale Milliards Millions Mille Unités simples c d u c d u c d u c d u Encadrement de 10 : 7 = 1,4287... virgule dixièmes centièmes millièmes 7 8 2 1 9, 4 0 u = unité, d = dizaine, c = centaine Valeur approchée Valeur approchée par défaut par excès. 1 < 10 : 7 < 2 encadrement à l unité près 1,4 < 10 : 7 < 1, encadrement au dixième près 1,42 < 10 : 7 < 1,4 encadrement au centième près 1,428 < 10 : 7 < 1,429 encadrement au millième près Arrondi du nombre 1,4287 : c est la valeur approchée la plus proche du nombre. arrondi à l unité près : 1 arrondi au dixième près : 1,4 arrondi au centième près : 1,4 arrondi au millième près : 1,429 Les nombres relatifs. Nombres relatifs négatifs Nombres relatifs positifs -2 et +2 sont des nombres relatifs opposés. -1, et +1, sont des nombres relatifs opposés. 0 est l opposé de 0 Addition et soustraction OPERATIONS Somme = résultat d'une addition. Différence = résultat d'une soustraction. Terme = nombre ajouté ou soustrait. Multiplication Produit = résultat d'une multiplication Facteur = nombre multiplié Pour multiplier par 10, on décale la virgule d'un rang vers la droite. Pour multiplier par 100, on décale la virgule de 2 rangs vers la droite... Ex :, 100 = 0 ; 2,16 10 = 21,6 ; 2 1000 = 2000 Pour multiplier par 0,1, on décale la virgule d'un rang vers la gauche. Pour multiplier par 0,01, on décale la virgule de 2 rangs vers la gauche... Ex : 1,8 0,1 = 1,8 ;,1 0,01 = 0,01 ; 2 0,001 = 0,02 Division Quotient = résultat d'une division Vérification : (2 7) + 4 = 64 + 4 = 68 (reste < diviseur) Pour diviser par 10, on décale la virgule d'un rang vers la gauche Pour diviser par 100, on décale la virgule de 2 rangs vers la gauche Ex : 2 : 10 =,2 ; 4,8 : 100 = 0,048 Divisibilité par 2,,, 9 et 10 Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8. Un nombre est divisible par s'il se termine par 0 ou. Un nombre est divisible par 10 s'il se termine par 0. Un nombre est divisible par si la somme de ses chiffres est divisible par. Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Partage LES FRACTIONS (I) 1) Les du rectangle sont grisés. 8 2) Chercher les 4 de 600, s'écrit 4 est le numérateur et 8 le dénominateur. 600 = 600 4 = 10 = 40 Fractions et nombres décimaux Tout nombre décimal (ou entier) peut s'écrire sous forme d'une fraction. 0,1 = 1 10 ; 2,7 = 27 10 ;,08 = 08 100 ; 12 = 12 1 = 0,7 (reste de la division nul) : c'est un nombre décimal. 8 707 9 7,141414 (la division ne s'arrête pas) ce n'est pas un décimal. Sur la droite graduée LES FRACTIONS (II) Application à la division : comment supprimer la virgule d'un diviseur,4,4 10 = 0,7 0,7 10 = 4 7 Comparer des fractions Si deux fractions ont le même dénominateur positif, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur. 8 < 8 ; 1 et 4 20 : 4 = 4 = 1 1 donc 20 20 > 1 20 ou 4 > 1 20 Multiplication de fractions 4 12 = 1 = 9 ; 2 = 1 2 = 2 1 = 10 Multiplier les numérateurs entre eux, multiplier les dénominateurs entre eux, simplifier si possible. Addition (soustraction) de fractions 11 14 + 7 = 11 14 + 2 7 2 = 11 14 + 10 14 = 11 + 10 14 = 21 14 = 21 : 7 14 : 7 = 2 Réduire au même dénominateur, ajouter (ou soustraire) les numérateurs, conserver le dénominateur commun, simplifier s'il y a lieu. Multiplication d'un nombre par une fraction 200 4 : on peut effectuer 2004 ou encore 200 4 = 200 0,8 = 160 = 800 = 160 ou 200 Fractions égales 6 6 du segment [AB], c'est aussi la moitié de [AB] : 12 12 = 1 2 4 = 40 4= 160 On ne change pas un quotient quand on multiplie (ou quand on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre. 1 2 = 16 26 = 6 12 ; 4 = 4 = 9 12 ; 8 12 = 8 : 4 12 : 4 = 2 (on a simplifié par 4) Addition (soustraction) de fractions (suite) 11 6-7 8 = 114 64-7 8 = 44 24-21 44-21 = = 2 24 24 24 Inverse d'une fraction L'inverse de a b est b a ; l'inverse de 2 est 2 ; l'inverse de -7 est - 1 7 Division par une fraction Pour diviser on multiplie par l'inverse. = 7 4 4 = ; = 4 4 7 4 = 21 20 7 7
Addition Exemples et signification - + = -2-2 +(-4)= -6 CALCULS AVEC DES RELATIFS Une perte de points +un gain de points = une perte de 2 points Une perte de 2 points + une perte de 4 points = une perte de 6 points Soustraction : Pour soustraire un relatif, on ajoute son opposé : - (-) = + = 8 ; - = + (-) = -2 Notation simplifiée : -2 +(-4) = -2-4 ; -2-(-4) = -2 + 4 Règle de l'addition Signe Valeur absolue Exemples positif + positif + On ajoute les valeurs absolues + = 8 négatif + négatif _ On ajoute les valeurs absolues -- = -8 positif + négatif Signe du nombre qui a la On soustrait les -+ = 2 plus grande valeur absolue valeurs absolues -+ = -2 Distance sur une droite graduée Si x A < x B, alors AB = x B - x A (distance de A à B = abscisse la plus grande - abscisse la plus petite) Exemples : AB = x B - x A = - 1 = 4 ; CD = x D - x C = -2 - (-) = -2 + = Multiplication et division Signe d'un produit : positif positif = positif négatif négatif = positif négatif positif = négatif positif négatif = négatif Signe d'un quotient : même règle Exemples : (-2) = -6 ; (-) (-7) = ; 6 (-) = -18 ; (-) 2 = (-) (-) = 9 (-) = (-) (-) (-) = -27 ; 4 = = = 1 4 1 ; ; 62 PUISSANCES a n = a a... a (n facteurs) ; a 1 = a ; a 0 = 1 (si a0) (Dans cette fiche, m et n sont des nombres entiers positifs) Exemples et signes Ex : 2 = 2 2 2 = 8 ; (-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (-2) = - 2 Signe : (négatif) exposant pair = positif ; Ex : (-) 2 = (-) (-) = 9 (négatif) exposant impair = négatif ; Ex : (-) = (-) (-) (-) = -27 Puissances de 10 10 n = 1 suivi de n zéros Exemples : 10 = 1000 ; 10 = 100 000 Pour multiplier un nombre par 10 n, on décale la virgule de n rangs vers la droite. Exemples :, 10 = 00 ; 17 10 = 1 700 000 10 -n 1 = = 0,0...01 (n chiffres après la virgule) n 10 Exemples : 10-1 = 10 = 0,001 ; 10-1 = = 0,000 01 10 Pour multiplier un nombre par 10 -n, on décale la virgule de n rangs vers la gauche. Exemples : 1, 10 - = 0,01 ; 17 10 - = 0,00017 Notation scientifique : notation a 10 n où a est compris entre 1 et 10. Exemples : 60 000 = 6, 10 ; 0,0000281 = 2,81 10 - Propriétés (m et n sont ici des entiers relatifs) a m a n = a m+n Ex : 10 4 10 = 10 9 ; a 2 a = a ; 10 4 10-7 = 10 - (ab) n = a n b n Ex : (a b)² = a² b² (a m ) n = a mn Ex : (10 ) 2 = 10 2 = 10 6 a m a n = a m-n Ex 108 10 = 10 8- = 10 Calculatrice 2 9 se calcule avec la touche x y : 2 x y 9 = 12 2 10 9 se calcule avec la touche 10 x ou EE ou EXP : 2 10 x 9 = 2 000 000 000
EQUATIONS Vocabulaire Une équation est une égalité dans laquelle un nombre a été remplacé par une lettre. Cette lettre s appelle l inconnue de l équation. Résoudre une équation c est trouver tous les nombres par lesquels on peut remplacer cette lettre afin d obtenir une égalité vraie, ces nombres sont alors appelés les solutions de l équation. Exemples a + 4 = 10 est une équation d inconnue a. Pour a = 1 : a + 4 = x1 + 4 = 7 donc 1 n est pas solution de cette équation. Pour a = 2 : a + 4 = x2 + 4 = 10 donc 2 est solution de cette équation. y -2 = y +6 est une équation d inconnue y. Pour y = : y - 2 = x - 2 = 1 et y + 6 = x + 6 = 1 y - 2 = y + 6 donc n est pas solution de cette équation. Pour y = 4 : y - 2 = x4-2 = 18 et y + 6 = x4 + 6 = 18 y - 2 = y + 6 donc 4 est solution de cette équation. Résolutions d équations x + = 7 x = 4 On soustrait à 4 est solution de l équation Vérification : x + = 4 + = 7 2x = 12 x = 6 6 est solution de l équation Vérification : 2 x = 2x6 = 12 9 x + 1 = 6 9 x = x = 9 membre par 2 On soustrait 1 à membre par 9 est solution de l équation 9 Vérification : 9 x+1 = 9x +1 = +1 = 6 9 x - 6 = 8 x = 14 14 est solution de l équation Vérification : x - 6 = 14-6 = 8-4 x = 20 x = - - est solution de l équation Vérification : -4 x = -4x(-) = 20 x - 8 = 12x + 48-7x - 8 = 48-7x = 6 x = -8 On ajoute 6 à membre par -4 On soustrait 12x à On ajoute 8 à membre par -7-8 est solution de l équation Vérification : x - 8 = x(-8) - 8 = -40-8 = -48 12 x + 48 = 12x(-8)+48 = -96 + 48 = 48 Appliquer un pourcentage. POURCENTAGES 1) Un jus de fruit contient 40% de sucre, cela signifie qu'il contient 40 grammes de sucre pour 100 grammes de jus de fruit. 2) Calculer % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par 100. exemple : % de 97 c' est 97 = 97 0,0 = 4,8 100 ) Un père donne 20 d'argent de poche à son enfant. Il décide de l'augmenter de 1 %. Quel sera le nouveau montant d'argent de poche? L'augmentation est de 20 1 100 = Donc le nouveau montant d'argent de poche est : 20 + = 2 Calculer un pourcentage. Dans une salle il y a 1 femmes sur un total de 8 personnes. Quel est le pourcentage de femmes dans cette salle? Calculer le pourcentage de femmes c'est chercher combien il y aurait de femmes s'il y avait 100 personnes en tout. nombre de personnes 8 100 nombre de femmes 1 x 1 Donc x = 100 = 60 8 Il y a 60% de femmes dans cette salle. Vérifions : 60% de 8 c'est : 1 8 60 8 = 8 = 17 = 1 100 Pour augmenter un nombre de %, on le multiplie par 100 + 100 Pour diminuer un nombre de %, on le multiplie par 100-100 (ou 1 + x ) 100 (ou 1 x ) 100 Ex : Un article coûte 200 ; son prix diminue de %. Quel est son nouveau prix? 200 100 - = 200 0,97 = 194. Son nouveau prix est 194. 100 n
Avec un exemple PROPORTIONS (1) 4 kg de cerises coûtent 0 F. On demande le prix de 7 kg. Présentation en ligne 4 kg 0 F 1 kg 7 kg 7,0 F 2,0F Présentation en tableau Masse en kg 4 1 7 Prix en F 0 7,0 2,0 (L'opérateur x7, représente ici le prix d'un kg) Méthode raccourcie Au lieu de diviser par 4 puis de multiplier par 7, on peut directement multiplier par la fraction 7 4 : 4 kg 0 F 7 kg 2,0F Remarques Dans ces problèmes de proportions, on utilise des opérateurs ou Il est souvent pratique de passer par l'unité (chercher pour 1 kg ) Pour que 2 quantités soient proportionnelles, il faut que si l'une double, l'autre double aussi. On ne peut pas utiliser la proportionnalité dans tous les problèmes ; par exemple, si un enfant mesure 1,40 m à 10 ans, il ne mesurera pas le double (2,80 m) à 20 ans. Francs et Euros 1 Euro vaut 6,6 F : l'opérateur pour passer des Euros aux F est x 6,6 l'opérateur pour passer des F aux Euros est 6,6 En Euros 1 10 1,2 En Francs 6,6 6,60 10 PROPORTIONS (2) Définition Deux suites de nombres sont proportionnelles si on peut passer de l'une à l'autre par un même opérateur multiplicatif ( k). Exemples 6 7 0,8 6 9 4 4 6 7,2 4 6 0 Détermination d'une "quatrième proportionnelle" Pour trouver un nombre manquant dans un tableau de proportion, on peut déjà chercher un opérateur. L'opérateur pour passer de x à y est y x x z y? Exemples 7 8 210? 1 22? Echelle d'une carte y z y? = z = x x De 7 à 210, l'opérateur est 0? = 8 0 = 240 De 1 à 22, l'opérateur est 22 1? = 22 1 = 770 1 9,2 La distance réelle et la distance sur une carte sont proportionnelles. L'échelle indique le coefficient de proportionnalité. Exemple : sur une carte à l'échelle 1/0 000, 1 cm sur la carte représente 0 000 cm en réalité (soit 00 m). Mesure du temps Distance sur la carte en cm Distance réelle en cm Temps en h 2h 0, h 0,2 h 2,4h Temps en min 120 min 0 min 1 min 144 min