Epreuve de MATHEMATIQUES série STG BAC BLANC Lycée du golfe de Saint-Tropez Option Mercatique ou Comptabilité et finance des entreprises Le 24 janvier 2012 EXERCICE 1 7 points En France, l augmentation des prix de l immobilier résidentiel n a pas empêché la progression du nombre de nouveaux accédants à la propriété depuis 10 ans, comme l atteste le tableau ci-dessous : Accession à la propriété en France de 1996 à 2005 : Année 1996 2001 2002 2003 2004 2005 Rang de l année (x i ) 1 6 7 8 9 10 Nombre d accédants en milliers ( ) y i 521 664 673 683 714 763 (source : OFL - 4 e trimestre 2001) 1. Représenter le nuage des points M i ( xi ; y i ) associé au tableau statistique ci-dessus dans le repère orthogonal de l annexe. 2. On recherche un ajustement affine de la série ( x i ; y i ). a. Donner sans justification une équation de la droite d ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les valeurs cherchées seront arrondies au dixième. b. Tracer cette droite dans le repère orthogonal de l annexe. c. On suppose que l évolution du nombre de nouveaux accédants à la propriété se poursuit selon le modèle donné par la droite d ajustement obtenue à la question précédente. Déterminer une estimation, en milliers, du nombre de nouveaux accédants à la propriété en 2010. 3. a. Vérifier que le taux d augmentation global de 1996 à 2005 du nombre d accédants à la propriété est environ égal à 46,45 %. b. Calculer, en pourcentage, le taux d augmentation annuel moyen sur la période 1996 à 2005. EXERCICE 2 8 points Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 à 30 kg du produit par semaine. A) Étude du prix de revient unitaire moyen : 1. Le prix de revient d un produit dépend de la quantité produite. Pour x kg de produit fabriqué, le prix de revient moyen d un kg de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la fonction U dont l expression est U(x) = 1 3 x2 11x + 100 + 72 x, Quel est le prix de revient moyen d un kg de produit lorsqu on en fabrique 5 kg par semaine? On arrondira le résultat à 10 1 près. 2. À l aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné en annexe 1, On arrondira les résultats à 10 1 près. B) Étude graphique du bénéfice : Le laboratoire s intéresse maintenant au coût total de production, exprimé en euros et modélisé par la fonction C dont l expression est C(x) = 1 3 x3 11x 2 + 100x + 72, La courbe représentative de la fonction C sur l intervalle [5 ; 30] est donnée en annexe 2. 1
1. Par lecture graphique, estimer la quantité dont le coût total de production est de 600. On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique. 2. a. Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60 le kg. Donner, en fonction de x, l expression R(x) de la fonction R modélisant la recette. b. Représenter graphiquement, sur la feuille annexe 2, la fonction R sur l intervalle [5 ; 30]. c. Le laboratoire souhaite connaitre l intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle? On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique. C) Étude algébrique du bénéfice : Le bénéfice réalisé par l entreprise, c est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, est exprimé en euros et modélisé par la fonction B dont l expression est 1. Montrer que B (x) = (x 2)(x 20). B(x) = 1 3 x3 + 11x 2 40x 72, 2. En déduire les variations de B sur l intervalle [5 ; 30]. 3. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. a. On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximum. b. Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15 kg et 24 kg pour la semaine à venir. Quel est le bénéfice minimum envisageable? EXERCICE 3 5 points Un propriétaire de camping désire aménager son terrain avec des bungalows et des mobil-homes. La taille de son terrain lui impose un maximum de 50 installations. Il peut loger 6 personnes par bungalow et 4 personnes par mobil-home. L infrastructure du camping ne l autorise pas à dépasser le nombre de 240 clients par semaine. On notera x le nombre de bungalows et y le nombre de mobil-homes que le propriétaire désire installer. 1. Décrire par un système d inéquations les contraintes du problème en justifiant vos affirmations. 2. Justifier que le système demandé est équivalent au système (S) suivant : x 0 y 0 (S) où x et y sont des nombres entiers. y x + 50 y 1,5x + 60 Sur le graphique donné en annexe 3, on a tracé dans un repère orthogonal, les droites (d 1 ) et (d 2 ) d équations respectives y = x + 50 et y = 1,5x + 60. Déterminer graphiquement, en hachurant la partie du plan qui ne convient pas, l ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) vérifient le système (S). 3. Préciser en justifiant si le propriétaire peut installer sur son terrain et louer : a. 10 bungalows et 35 mobil-homes? b. 30 bungalows et 20 mobil-homes? 4. Un bungalow se loue 500 la semaine et un mobil home 400 la semaine. Soit R le revenu hebdomadaire que recevra le propriétaire. a. Exprimer R en fonction de x et y. b. Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un revenu hebdomadaire de 12 000, puis tracer cette droite sur le graphique. c. En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple (x ; y) qui permet d obtenir un revenu hebdomadaire maximum. d. Préciser combien d installations de chaque type doit acquérir le propriétaire pour obtenir le revenu maximum. Calculer alors ce revenu. 2
Annexe 1 Exercice 1 900 Nombre d accédants (en milliers) 880 860 840 820 800 780 760 740 720 700 680 660 640 620 600 580 560 540 520 500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Rang de l année 3
Annexe 2 Exercice 2 x 5 10 15 16,5 17 18,5 20 25 30 U(x) 2000 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 5 10 15 20 25 30 4
Annexe 3 65 y Nombre de mobil-homes Exercice 3 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 5 5 Nombre de bungalows 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 x 5