Description par mobilités énergétiques des échanges vibratoires dans les systèmes couplés

Description par mobilités énergétiques des échanges vibratoires dans les systèmes couplés Giovanni Orefice To cite this version: Giovanni Orefice. Description par mobilités énergétiques des échanges vibratoires dans les systèmes couplés. Acoustics. INSA de Lyon, 1997. French. <tel-00778515> HAL Id: tel-00778515 https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00778515 Submitted on 21 Jan 2013 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Nod'ordre97ISAL0109 THESE presentee Annee1997 DEVANTL'INSTITUTNATIONALDESSCIENCESAPPLIQUEESDELYON Mecanique,Energetique,GenieCivil,Acoustique(MEGA) EcoleDoctoraledesSciencespourl'IngenieurdeLyon: Formationdoctorale:Acoustique LEGRADEDEDOCTEUR pourobtenir Ingenieurdipl^omedel'INSAdeLyon GiovanniOREFICE ECL-INSA-UCBL par DescriptionparMobilitesEnergetiques Soutenuele28novembre1997devantlaCommissiond'Examen desechangesvibratoiresdansles systemescouples Jury:M.T.LOYAU M.J.-L.GUYADER M.M.FAYET M.A.CARCATERRA M.C.CACCIOLATI M.N.LALOR M.L.JEZEQUEL Rapporteur PresidentduJury CettetheseaeteprepareeauLaboratoireVibrationsAcoustiquedel'INSAdeLYON

INSA-ECL-UCBL-U.Chambery-ENS Septembre1997 ECOLESDOCTORALES EcoleDoctoraleMateriauxdeLyon; 4 -Matierecondensee,surfacesetinterfaces(Pr.BARRAT) Responsable:Pr.A.HOAREAU -Geniedesmateriaux(Pr.FOUGERES) Formationsdoctorales: EcoleDoctoraledesSciencespourl'IngenieurdeLyon: ECL-INSA-UCBL Mecanique,Energetique,Geniecivil,Acoustique(MEGA); -Materiauxpolymeresetcomposites(Pr.SAUTEREAU) Formationsdoctorales: -Mecanique(Pr.BATAILLE) -Acoustique(Pr.GUYADER) -Geniecivil:Sols,Materiaux,Structures,Physiquedub^atiment(Pr.LAREAL) -ThermiqueetEnergetique(Pr.LANCE) Responsable:Pr.J.BATAILLE EcoleDoctoraledesSciencespourl'IngenieurdeLyon: Electronique,Electrotechnique,Automatique(EEA); INSA-ECL-UCBL-U.Chambery-U.StEtienne Responsable:Pr.G.GIMENEZ -GenieElectrique(Pr.AURIOL) -Signal,image,parole(Pr.LACOUME) -Acoustique(Pr.GUYADER) -Automatiqueindustrielle(Pr.BOLON) -Dispositifdel'electroniqueintegree(Pr.PINARD) -Geniebiologiqueetmedical(Pr.COLLOMBEL) Formationsdoctorales:

Septembre1997 Directeur:J.ROCHAT Professeurs: S.AUDISIOINSTITUTNATIONALDESSCIENCESAPPLIQUEESDELYON M.BOIVIN C.BOISSON J.M.BLANCHARD M.BETEMPS C.BERGER(Melle) G.BAYADA D.BARBIER B.BALLAND J.BAHAUD J.C.BABOUX VIBRATIONS-ACOUSTIQUE LAEPSI*** AUTOMATIQUEINDUSTRIELLE PHYSIQUEDELAMATIERE EQUIPEMOD.MATH.CALC.SC. GEMPPM* PHYSIOCHIMIEINDUSTRIELLE J.P.CHANTE J.Y.CAVAILLE M.COUSIN J.C.BUREAU B.CLAUDEL M.BRUNET B.CHOCAT M.BRISSAUD J.BRAU G.BOULAYE H.BOTTA GEMPPM* UNITEDERECHERCHEENGENIECIVIL LAEPSI*** MECANIQUEDESSOLIDES GENIEELECTRIQUEETFERROELECTRICITE COMPOSANTSDEPUISSANCEETAPPLICATIONS CENTREDETHERMIQUE INFORMATIQUE EQUIPEDEVELOPPEMENTURBAIN L.EYRAUD C.ESNOUF H.EMPTOZ G.FERRARIS-BESSO J.FAVREL M.FAYET G.FANTOZZI J.C.DUPUY R.DUFOUR A.DOUTHEAU M.DIOT REC.DESFORMESETVISION MECANIQUEDESSTRUCTURES GRPISM*.* MECANIQUEDESSOLIDES PHYSIQUEDELAMATIERE MECANIQUEDESCONTACTS CHIMIEORGANIQUE THERMODYNAMIQUEAPPLIQUEE Y.FETIVEAU L.FLAMAND GENIEELECTRIQUEETFERROELECTRICITE P.GONNARD P.GOBIN G.GIMENEZ M.GERY R.GAUTHIER L.FRECON F.FOUQUET R.FOUGERES A.FLORY P.FLEISCHMAN CENTREDETHERMIQUE PHYSIQUEDELAMATIERE INFORMATIQUE INGENIERIEDESSYSTEMESD'INFORMATION MECANIQUEDESCONTACTS J.P.GUYOMAR G.GRANGE R.GOUTTE M.GONTRAND M.GUICHARDANT G.GUENIN CREATIS** COMPOSANTSDEPUISSANCE R.KASTNER A.JUTARD J.F.JULLIEN J.JOUBERT J.M.JOLION J.L.GUYADER A.GUINET G.GUILLOT GEOTECHNIQUE AUTOMATIQUEINDUSTRIELLE BETONSETSTRUCTURES GENIEMECANIQUE RECONNAISSANCEDESFORMESETVISION VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GRPISM*.* PHYSIQUEDELAMATIERE BIOCHIMIEETPHARMACOLOGIE GEMPPM* H.KLEIMANN M.LALLEMAND(Mme) A.LALLEMAND M.LALANNE M.LAGARDE J.KOULOUMDJIAN GENIEELECTRIQUEETFERROELECTRICITE CENTREDETHERMIQUE MECANIQUEDESSTRUCTURES BIOCHIMIEETPHARMACOLOGIE INGENIERIEDESSYSTEMESD'INFORMATION

Y.MARTINEZ A.LUBRECHT C.LESUEUR P.LEJEUNE CH.LAUGIER A.LAUGIER 6P.LAREAL J.P.MILLET J.MERLIN P.MERLE H.MAZILLE INGENIERIEINFORMATIQUEINDUSTRIELLE MECANIQUEDESCONTACTS VIBRATIONS-ACOUSTIQUE G.M.M.O. PHYSIOLOGIEETPHARMACOLOGIE PHYSIQUEDELAMATIERE UNITEDERECGERCHEENGENIECIVIL GEMPPM* G.PAVIC J.P.PASCAULT M.OTTERBEIN A.NOURI(Mme) A.NAVARRO P.NARDON P.MOSZKOWICZ R.MOREL N.MONGEREAU M.MIRAMOND VIBRATIONS-ACOUSTIQUE MATERIAUXMACROMOLECULAIRES LAEPSI*** MOD.MATH.CAL.SCIENT. BIOLOGIEAPPLIQUEE MECANIQUEDESFLUIDES UNITEDERECHERCHEENGENIECIVIL PHYSICOCHIMIEINDUSTRIELLE J.PERA G.PERACHON MATERIAUXMINERAUX J.ROBERT-BADOUY(Mme) J.M.REYNOUARD M.REYNAUD R.PROST P.PREVOT J.POUSIN D.PLAY J.M.PINON P.PINARD J.PEREZ G.M.M.O. UN.RECH.GENIECIVIL CREATIS** G.R.A.C.I.M. EQUIPEMOD.MATH.ETCALCULSCIEN. C.A.S.M. IINGENIERIESYSTEMESD'INFORMATION PHYSIQUEDELAMATIERE GEMPPM* THERMOCHIMIEMINERALE P.RUBEL D.ROUBY M.TROCCAZ D.THOMASSET C.RUMELHART H.SAUTEREAU J.F.SACADURA ING.SYST.D'INFORMATION GEMPPM* P.VUILLERMOZ S.SCAVARDA G.VIGIER A.VINCENT J.VERON R.UNTERREINER GENIEELECTRIQUEETFERROELECTRICITE AUTOMATIQUEINDUSTRIELLE CHIMIEPHYSIQUEAPPLIQUEEETENVIRONNEMENT TRAITEMENTDUSIGNALETULTRASONS MATERIAUXMACROMOLECULAIRES CENTREDETHERMIQUE MECANIQUEDESSOLIDES D.ANKER DirecteursderechercheC.N.R.S.: DirecteursderechercheI.N.R.A.: H.ROCHE J.F.QUINSON M.A.MANDRAND(Mme) A.NOUAILHAT M.MURAT M.FRANCIOSI P.CLAUDY Y.BERTHIER MATERIAUXMACROMOLECULAIRES GEMPPM* GENET.MOLEC.DESMICROORGANISMES PHYSIQUEDELAMATIERE THERMOCHIMIEMINERALE MECANIQUEDESCONTACTS CHIMIEORGANIQUE *GROUPED'ETUDEMETALLURGIEPHYSIQUEETPHYSIQUEDESMATERIAUX N.MAGNIN(Mme) A-F.PRIGENT(Mme) DirecteursderechercheI.N.S.E.R.M.: Y.MENEZO S.GRENIER G.FEBVAY G.BONNOT CREATIS** BIOLOCHIMIEETPHARMACOLOGIE BIOLOGIEAPPLIQUEE.*GROUPEMENTDERECHERCHEENPRODUCTIQUEETINFORMATIQUEDESSYSTEMESMANUFACTURIERS *CENTREDERECHERCHEETD'APPLICATIONSENTRAITEMENTDEL'IMAGEETDUSIGNAL **LABORATOIRED'ANALYSEENVIRONNEMENTALEDESPROCEDESETSYSTEMESINDUSTRIELS

Cetextecomportedeuxgrandesparties:lecorpsprincipaldelatheseetlesannexes. AVANT-PROPOS 7 Lapremierepartieestindependanteetdoitsureapresenterl'approcheparmobilites pourceuxquivoudrontapprofondirlesujetetentreprendredesdeveloppementsulterieurs. moyennesenergetiquesetlesapplicationstraiteesjusqu'apresent(chapitres3a6). Lechapitre3,coeurdusujet,estleminimumconseilleaulecteurpresse. mulationsnumeriquesetauxapplicationsexperimentales,quiauraientalourdilaredaction etentravelalecturedelapremierepartie.cesannexesn'ensontpasmoinsimportantes Ladeuxiemepartie(lesannexes)n'estpasindispensablealacomprehensionglobalede l'approche;elleregroupetouslesdeveloppementsanalytiquesetlescomplementsauxsi-

8 JetiensaussiaremercierChristianCacciolatipourl'inter^etqu'ilaportesurcesujet. bonsuividutravailetlesoutienqu'ilm'aapportedurantlestroisdernieresannees. Jetiensaremercier,enpremierlieu,mondirecteurdetheseJean-LouisGuyaderpourle REMERCIEMENTS remercieaussiandreadobesd'avoirparticipealadenitiondusujetetm'avoirpermis EDF,pourlesuiviexemplaireduprojetetpoursessuggestionslorsdesreunions.Je demefamiliariseraveclesoutilsdecalculsea. JetiensaremercierMonsieurLovatpouravoirmisamadispositionlesinfrastructures etlematerieldemesuredel'inrs,thierryloyaupourl'accueuil,lesuiviscientiqueet JeremercievivementEmileLuzzatodelaDirectionEtudesetRecherchedeClamartde technique,ainsiquejean-louisbarbrypoursonsoutieninformatiqueetmoral,michel Cafaxepourl'aidetechniqueauxmesures,ettouslesmembresduserviceMAVpourleur bonnehumeur,pendantlestroismoisquej'aipassesal'inrsdevandoeuvre. JeremercieaussiRobertAquilina,ConseillertechniqueduCentreTechniquedesSystemes NavalsaToulon,pourlasupervisionscientiquenale. D'autrepart,jesuisreconnaissantaElectricitedeFranceetal'InstitutNationaldeRechercheetSecurite(INRS)pourleursoutienlogistiqueetnancier. JeremercieMM.NickLalordel'ISVRdeSouthampton(UK)etAntonioCarcaterrade l'inseanderome,d'avoiracceptederapportercememoireetpourleurssuggestions interessantes. MesremerciementsvontegalementauxProfesseursLouisJezequel,del'EcoleCentralede LyonetMichelFayetdel'INSA,pouravoiracceptedefairepartiedujury. Ungrandmerciauxdoctorants,enparticulierJean-JacquesLaissus,DominiqueTrentin, CharlesPezeratetGeraldPoumerol,sanslequelslescalculsetlaredactiondecetravail auraientetehasardeux,auxsecretairesdulaboratoireetauxpermanentsdulaboratoire, sonnesdepassageetauxpersonnesexterieuresaulaboratoirepourlesnombreusesdiscus- sions,quim'ontpermisdeprendredureculetdepoursuivrecetravailavecdiscernement. quim'ontpermisdemeconcentrersurmontravail. MerciaussiaMyriamDjimadoum,DidierBoiteuxetHuguesNelisse,ainsiqu'auxper-

TABLEDESMATIERES 9 1CONTEXTESCIENTIFIQUEETBUTSDEL'ETUDE Tabledesmatieres 1.2Contextescientique:analysebibliographique::::::::::::::::16 1.1Importancedesquantitesenergetiquesetmoyennes:::::::::::::13 1.1.3Stabilisationparquantitesmoyennees:::::::::::::::::14 1.1.2Stabilisationparquantitesenergetiques::::::::::::::::14 1.2.1Mobilitesclassiques::::::::::::::::::::::::::16 1.1.1Dispersiondesmesuressurseriesdesystemes::::::::::::13 13 1.3Recapitulatifdesbutsdel'etude::::::::::::::::::::::::21 1.2.3LaStatisticalEnergyAnalysis(SEA):::::::::::::::::17 1.2.2Mobilitesmoyennes::::::::::::::::::::::::::16 1.2.4Autresapprochesenergetiquesdesannees"70-"80:::::::::19 1.2.7Ecoulementd'energie::::::::::::::::::::::::::20 1.2.5MobilitesEectivesetCoecientsd'Inuence::::::::::::19 1.2.6LesPFRFetlaMethodedesReceptancesdePuissance:::::::20 2LESMOBILITESCLASSIQUES:UNOUTILPREDICTIF 2.1Lamobiliteclassique:unefonctiondetransfert::::::::::::::::23 1.3.1Uneformulationenergetiquelocale::::::::::::::::::21 1.3.3Utilisationd'unformalismesimpleetgeneral:::::::::::::21 1.3.2Desveritablesmobilitesmoyennespourassemblages:::::::::21 2.2Utilisationpourunestructureisolee::::::::::::::::::::::25 2.1.1Denition::::::::::::::::::::::::::::::::23 2.1.2Proprietes::::::::::::::::::::::::::::::::24 2.2.2Denitiondestypesdesource:::::::::::::::::::::25 2.2.1Additivitedesexcitations:::::::::::::::::::::::25 23 2.3Laconnectiviteparmobilitesclassiques::::::::::::::::::::26 3LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE 2.4Complementalaconnectivite:lesCouplagesInternes::::::::::::29 2.5Conclusions:::::::::::::::::::::::::::::::::::30 2.3.1Calculdequantitesaprescouplagerigideenplusieurspoints::::26 3.1Expositionsuccincte::::::::::::::::::::::::::::::31 2.3.2Denitiondestypesdesource:::::::::::::::::::::27 3.2Mobilitesenergetiquessurunestructureisolee::::::::::::::::34 2.3.3Mobilitesaprescouplageenfonctiondecellesavantcouplage::::28 3.3Connectiviteenergetique::::::::::::::::::::::::::::40 3.2.1Denition::::::::::::::::::::::::::::::::34 3.2.2Nonreciprocite:::::::::::::::::::::::::::::35 3.2.3Additiviteenergetique:::::::::::::::::::::::::36 31

10 3.3.1Tentativesimpliste:::::::::::::::::::::::::::40 3.3.2Lesproblemesd'unraccordementenergetique::::::::::::41 3.3.3Mobilitesenergetiques"deconnexion"::::::::::::::::43 3.3.4Complements::::::::::::::::::::::::::::::44 3.3.5Casnoncouvertsparlamethode:::::::::::::::::::45 TABLEDESMATIERES 4ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHO- 3.5Conclusionsdel'etudeanalytique:::::::::::::::::::::::51 MOGENES 3.4LeconceptdeSourcedePuissanceActiveMoyenne:::::::::::::48 4.1ErreursdemethodesuruneStructureisolee:::::::::::::::::54 3.4.2PointsdecouplageexcitesetTypesdesource::::::::::::49 3.4.1PointsnoncouplesexcitesetTypesdesource::::::::::::48 4.2Erreursdemethodesurlesassemblages::::::::::::::::::::63 4.1.1Erreursdedenition::::::::::::::::::::::::::54 4.1.3Etudedeserreursd'additivite:::::::::::::::::::::59 4.1.2Erreurssurlessourcesdepuissanceenmulti-excitation:::::::58 4.2.1Presentationdesstructures:::::::::::::::::::::::63 53 4.2.2Analysedesresultats::::::::::::::::::::::::::64 5ETUDENUMERIQUEDECASPLUSCOMPLEXES 4.3Etudedequelquesparametres:::::::::::::::::::::::::69 4.4Conclusionspourl'etudenumeriquedeserreurs:::::::::::::::73 4.2.3Conclusionspourlecouplagedestructureshomogenes:::::::67 5.1Assemblagedeplaquesavecdesdiscontinuitesmassiques::::::::::75 4.3.1Etuded'unassemblageplusamorti::::::::::::::::::69 4.3.2Etudedurecouvrementmodaletdeladensitemodale:::::::71 5.2Couplageselastiquesdissipatifs::::::::::::::::::::::::80 5.1.1Eetsdesdiscontinuitesdemassesurlastructure::::::::::76 5.1.3Conclusionspourl'assemblagedestructuresheterogenes::::::78 5.1.2Puissancesechangeeset"Miels"aprescouplage:::::::::::78 5.2.1Etuded'unsystemedecouplagedefaibleraideur::::::::::81 6APPLICATIONADESDONNEESISSUESDEMESURES 5.3Conclusionspourlescomplementsnumeriques::::::::::::::::84 5.2.2Etuded'unsystemedecouplagedeforteraideur:::::::::::82 5.2.3Conclusionspourlescouplageselastiquesetdissipatifs:::::::83 7CONCLUSIONS 6.1Etuded'assemblagesdestructuressimples::::::::::::::::::85 6.3Assemblaged'uncylindreetd'uncouvercledeclimatiseur:::::::::93 6.4Conclusionssurl'applicationexperimentaledelamethode:::::::::96 6.2Assemblagededeuxcylindresfortementamortis:::::::::::::::86 7.1Conclusions:::::::::::::::::::::::::::::::::::97 7.2Autresapplicationsetdeveloppementspossibles:::::::::::::::100 7.1.1Principauxresultatsdel'etude:::::::::::::::::::::98 7.1.2Autresaspectstraites::::::::::::::::::::::::::100 7.2.1Etablissementdecriteresenergetiques:::::::::::::::::101 7.2.2ApportsetcomplementsalaSEA:::::::::::::::::::101

TABLEDESMATIERES ANNEXESETCONNEXES ARappelsconcisdeprobabilites 7.2.3Approfondissementspossibles:::::::::::::::::::::102 105 104 11 BExercicedestyle:couplageendeuxpoints CComplementsanalytiques C.1Expressionsenergetiquesdescouplagesinternes:::::::::::::::111 C.2Etudeenergetiqueducouplageendeuxpoints::::::::::::::::113 107 C.5CalculdesCLFpourdescouplagesponctuels::::::::::::::::119 C.4Expressionstresapprochees,sansinversion::::::::::::::::::118 C.3Etudeducouplageavecunemasseponctuelle::::::::::::::::117 111 DComplementsauxsimulationsdeplaqueshomogenes D.1Calculssurunsystemeisole::::::::::::::::::::::::::121 D.2Assemblagedeplaquesdemobilitestresdierentes:::::::::::::124 D.3Assemblagedeplaquespluspetites::::::::::::::::::::::130 D.3.1Etudedessourcesdepuissance::::::::::::::::::::132 D.2.1Erreursdecouplage:::::::::::::::::::::::::::124 D.2.2Calculdesplaquesamorties::::::::::::::::::::::128 121 EComplementsauxsimulationsdecaspluscomplexes D.4Casparticulier:assemblagededeuxplaquesidentiques:::::::::::134 E.1Assemblagedeplaquesheterogenes::::::::::::::::::::::143 D.3.2Etuded'autresbandesdefrequence::::::::::::::::::132 E.2Couplageselastiquesetdissipatifs:::::::::::::::::::::::146 D.4.1Couplageenunseulpoint:::::::::::::::::::::::134 D.4.2Couplageentroispoints::::::::::::::::::::::::137 E.1.1Variationdessourcespourdeuxsystemesexcites::::::::::145 E.2.3Raideuraugmentee:::::::::::::::::::::::::::147 E.2.1Etuded'unsystemedecouplagedefaibleraideur::::::::::146 E.2.2Faibleraideur,dissipationaugmentee:::::::::::::::::146 143 FComplementsauxapplicationsexperimentales E.3Pistespourunindicateurd'erreur:::::::::::::::::::::::154 F.1Methodologiedemesuredesmobilitesclassiques:::::::::::::::157 E.2.4Etuded'unsystemedecouplagedeforteraideur:::::::::::150 E.2.5Forteraideur,dissipationaugmentee:::::::::::::::::151 E.2.6Excitationdepartetd'autre,variationdessources:::::::::153 F.2Mesuressurunassemblagedestructuressimples:::::::::::::::163 F.1.1PrincipedesMontages:::::::::::::::::::::::::157 F.1.2CapteursetCorrectiondemasse:::::::::::::::::::159 F.1.3Autresproblemes::::::::::::::::::::::::::::160 157 REFERENCESBIBLIOGRAPHIQUES GSurprisenale 165 173

12 TABLEDESMATIERES

13 BUTSDEL'ETUDE CONTEXTESCIENTIFIQUEET Chapitre1 elementsdefrontiere,quiresolventpardiscretisationlesequationsexactes. lespossibilitesetlaconvivialitedesmethodesdecalcul,commeleselementsnisetles Ladernieredecennieaencorevucro^trelapuissanceetlavitesseinformatiques,donc cadrescientiquedanslequels'estdeveloppeelamethodedesmobilitesenergetiques. interpreter. Cesmethodes,quivontêtrebrievementabordeesetreferenceesau1.2,constituentle C'estparadoxalementdanscecontextequ'onaassisteenvibro-acoustiqueaunregain l'informationnecessaireaucalculetproposentdesresultatsplusglobauxetsimplesa d'interêtpourdesmethodesdecalculapproche,plussimplesetrapides,quireduisent animecesrecherchessurdesquantitesmoyennesouenergetiques,desoulignerleursavantagesetleurssignications. 1.1Importancedesquantitesenergetiquesetmoyennes Toutefoisilnoussembleutiledemieuxexpliquertoutd'abordlesmotivationsquiont l'electromenager,etc...onadoncbesoind'appliquerdesmethodesrapides,etsipossible etacoustiquesdansd'autresdomainesindustrielsqueceuxclassiquesdel'aerospatiale derechercheenormes:desormaislebruitestunfacteurconcurrentielpourlestransports, simples,autresquelesabaquesetlestablesempiriques,deslaphasedubureaud'etudes, etdelamarinemilitaire,quipouvaientsepermettredesmoyensdecalculetdestemps pourdesproduitsdeserie. Al'originedecestravauxilyasansdoutelademandecroissanted'etudesvibratoires Onpeutconstateraussilavolontedemieuxprendreencomptedesseriesdestructures reelles,dontlesproprietes,dicilesamodeliser,varientfortementd'unerealisationa l'autreetdoiventdoncêtredecrites,avecdescriteresstatistiques,pardesdonneesissues delamesure. 1.1.1Dispersiondesmesuressurseriesdesystemes turesindustrielles,apparemment"identiques",onobtientunefortedispersiondesresultats, Lorsqu'onmesureunefonctiondetransfert,auxmêmesendroits,suruneseriedestruc-

14 acausedespetitesvariationsdescaracteristiquesdesstructuresutilisees:proprietes references). Desetudesvisentamieuxconna^trelescausespossiblesdecettedispersion(voir[48], desmateriaux,geometrie,conditionsd'assemblagededierentselements(voir[2]etses [116]etlesreferencesde[105]),d'autresontproposedescriterestheoriquespourdenir CHAPITRE1.CONTEXTESCIENTIFIQUEETBUTSDEL'ETUDE desbornespourcesvariationsdecomportement(voir[20],[45],[70]).unetroisiemeapproche,(voir[102])consisteatrouverdesquantitesqui,mesureessurunsysteme,soient caracteristiquespourtouteune"classe"desystemes,ouvarientpeud'unsystemeal'autre. Lapresenteetudepeutêtrereplaceedanscettederniereoptique. 1.1.2Stabilisationparquantitesenergetiques l'amortissement(voir[45]pp.74-76). d'unestructuren'estplusdominepardesmodesisoles,maisparlescontributionsde d'unchampdiusenacoustique,inversementproportionnellealadensitemodaleeta plusieursmodesalafoisettendasymptotiquement(versleshautesfrequences)verscelui d'unestructureinniedemêmescaracteristiques(materiauetepaisseur)(voir[7],[20], [117]).Ceciseproduitaudessusd'unecertainefrequence,analoguealafrequencelimite Lorsquelerecouvrementmodalestfort(superieuraun),lecomportementvibratoire AlorsleniveaudevitessejVjvariepeud'unpointal'autre,s'ilssontdistantsdequelques longueursd'ondedeslimitesetdesdiscontinuitesstructurales(inhomogeneitesdemasse, homogene,avecunfortrecouvrementmodal,estpeusensibleal'endroitd'injection([7], endespointsdistantsdeceluiconsidere. Demêmeilaeteobservequelapuissanceactiveinjecteedansunestructurelocalement ponctuelleenhautefrequence=2jvj2,independantedelaphase,estdoncunparametre rables,mêmeenpresencedevariationsgeometriques,ouderaideur,oudemasselocale, deraideur,d'amortissement)etdesexcitationsexterieures([118]).l'energiecinetique [54]),(saufpresdeslimitesoudesdiscontinuites).Cettepuissancenedependeneetque delapartiereelledelamobilited'entree(aupointd'injection),qui,enhautefrequence, plusstablequelasimplevitesse,pourdesstructuresayantdesamortissementscompa- tendverscelledelastructureinniedemêmeepaisseuretmateriau. hautefrequence. 1.1.3Stabilisationparquantitesmoyennees Onpeutdoncdejaconsidererlerapportentreenergiecinetiquelocaleetpuissanceactive injectee,afrequencepure,commeetantunequantiteinteressante,carassezstableen moinsimportantes.cetteproprieteestlargementexploiteedanslasea,quiappliqueles deuxtypesdemoyennealafois. Parexemple,Bourgine([7])montrequelamoyennefrequentielleetspatialedesadmittancesd'entreed'unestructure,egaleaurapportdesadensitemodaleetdesamasse totale,estegaleaussial'admittancedentreedelastructureinnieassociee.doncils'agit Ilaeteobserve(encalculantlesenergiesglobales,pouruneclassedestructures,voir encore[111],[102]et[45])quel'utilisationdequantitesmoyenneesenfrequence,ouspatialement,oudesdeuxfaconsalafois,permetaussid'obtenirdesvariationsbeaucoup biend'unequantitecommuneadesstructuresindustriellementidentiques.

1.1.IMPORTANCEDESQUANTITESENERGETIQUESETMOYENNES rent:onexciteetonmesurelavitesseatouslespointsd'unmaillage(denienfonction Moyennesspatiales L'eetdemoyennespatialesurunepartieousurlaglobalitedelastructureesttranspa- delafrequencemaximaleaanalyser);lesvariationsdescaracteristiqueslocales(masse surfacique,raideur,amortissement,geometrie...)serepercutentsurlesvaleursglobales 15 (massetotale,surfacetotale),oumoyennes(epaisseur,raideur,amortissement...),etsur Moyennesfrequentielles aucuneinformationsurlecomportementlocal. Onremarqueracependantquelesmesuresquecettemoyenneimpliquesontlourdes,surtoutpourdessystemescomplexes,nonhomogenes,etquepourcesderniersonn'obtient leursecartstype. interpreterlamoyenned'uneenergiecinetiquelocalesurunebandedefrequences,comme lamoyennetemporelledecetteenergieduealapartd'excitation,s'exercantuniquement danscettebandedefrequences: Lasignicationphysiqued'unemoyennefrequentielleestmoinsevidente. Pourdesstructuresacomportementlineaire,parletheoremedeParsevalonpeutaussi mesureetexcite,maisaussidecellesauxautrespointsdelastructure.lavariation detouslesmodesalafois,doncnonseulementdescaracteristiqueslocalesauxpoints descaracteristiques,locales,parexempleal'endroitmesure,changelescontributionsde Cependantlareponseenunpointd'unestructure,aunefrequenced'excitation,depend E=Z+1 1=2jV(t)j2dt=Z+1 certainsmodes,doncellepeutbeaucoupjouersurcertainesbandesdefrequencesmais 1=2V(f)V(f)df (1.1) presquepassurd'autres. Onnepeutdoncpasmettreenrelationunevariationmoyennedescaracteristiquesdela structureetsonecarttype,(quipeuvents'obteniraveclesmêmesvariationsadesendroits dierents),avecunemoyenneetunecarttypedelareponsesurunebandedefrequences donnee(arbitrairementchoisie).(voiraussidanscetteoptique[111],[21]). Moyennesfrequentiellesetmoyennesd'ensemble d'ensemble,avecunevariationaleatoiredesmodesestrepresentatived'unemoyenne KeaneetMace([52],[81])montrent,surdessystemesdepoutrescouplees,quelamoyenne frequentiellepourunestructuredeterminee).sicettetheseseconrme,apartirdesmesuressurunsystemecomplexe,moyenneesenfrequenceonobtiendrauneestimation reponsesenfrequenceetcellesurl'espaceontlamêmevariancenormalisee,cequiindiquequecesstructuressont"ergodiquesdansleurvariationenfrequence"(unemoyenne soutient,aucontraire,quepourdessystemessusammentcomplexesladistributiondes d'ensemble(suruneclassedesystemesdecaracteristiquessemblables).dejong([26]) parbandesfrequentiellesnepeutpasêtreconsidereecommel'equivalentd'unemoyenne correcteducomportementd'uneclassedesystemessemblables(voiraussi[83]). Ilsemblealorsimportantdedevelopperdesmethodesquiutilisentdesquantitesmoyennees enfrequence,mesureessurdessystemesisoles,pourpredirelecomportement(parbandes defrequences)d'assemblagesdecessystemesoulareponseadessollicitationsdierentes.

inuencentcettemoyenne. 16 Commelamethodedesmobilitesenergetiquesqu'onvapresentericiestbaseesurla moyenneenfrequence,onessayeradedenirdesparametres,mesurables,quiapriori CHAPITRE1.CONTEXTESCIENTIFIQUEETBUTSDEL'ETUDE Apresavoirpresentelesmotivationsdecetravail,onvamaintenantrappelerplusprecisement dansquelcontextescientiqueilsesitue. 1.2Contextescientique:analysebibliographique 1.2.1Mobilitesclassiques presenteraparlasuite,sousdesanglesdierents. lismepermettentd'etablirdesanalogiesetd'envisagerlesmobilitesenergetiques,qu'on Onciteraicidesmethodesqui,parleurobjet,parleurdemarche,ouparleurforma- theoriqueetsonc^otesemi-experimentalontfaitensortequ'elleaeteutiliseedansbeau- Lamethodeseradetailleeiciauchapitre2,maisonpeutdejadirequesasimplicite l'impedancemecanique"demai1972al'ecl). blications(voir[109],[94],[20],[84],[10]...)etcolloques(parexemplele"colloquesur etdeseortsdecouplage,datedelapremieremoitiedecesiecle. Leurmiseenoeuvre,compareeacelledesimpedances,afaitl'objetdenombreusespu- L'utilisationdesmobilites(ou"admittances"),pourlecalculdesvitessesdesassemblages techniquesdemesureassociees([34],[44],[97],[68],[128],[90],[71],[124]),l'etudedes tiquevibratoire([75]). Lesdeveloppementslesplusrecentsconcernentl'etudedesmobilitesdemomentetles [108],[124]...)aucalculdesingredientsdelaSEA(voirau1.2.3et[7],[14]),audiagnos- mobiliteslineiquesetsurfaciques([91],[23],[66],[93]),l'etudedeconceptsderives,telsla tures([38],[101],[32]),ouinjectees([17],[69]),al'intensimetriestructurale([21],[22], coupdetravauxderecherche,deladeterminationdespuissancesechangeesentrestruc- Onpeutaussiremonterdessensibilitessurlesmobilitesacellessurlesvaleursetvecteurs propresd'unestructure([70]). desmobilitesdechaquesous-structureassemblee,aveclesautressous-structuresbloquees, pourmieuxdenirlescouplages([84],[4])... "mobiliteeective"(rapportcomplexedelavitesseenunpointetdelasommedetoutes lesforcesexcitatrices:[98],[99],[40]),lacaracterisationdesourcesal'aidedu"descripteur desource"([88],[66],[49],[126]),lacaracterisationdejonctions([107]),oul'utilisation 1.2.2Mobilitesmoyennes CremeretHeckl[20]),desetudessurdesmobilitesmoyennees. Langley([63])aproposelecalculdesenveloppesdesmobilitesmoyenneesspatialement. Skudrzyck([117],[118]...)aelaborelaMethodedelaValeurMoyenne(enfrequence)an d'evaluerlesmobilitesmoyennesd'entree,lemodulemoyendesmobilitesdetransfertet leursenveloppes,pourdesstructuressimples,enmoyennesethautesfrequences.ilaaussi proposed'utiliserlesmoyennesgeometriquesfrequentiellesdesamplitudesdesresonances Pourlesraisonsenonceesau1.1,dansladernieredecennie,onaaussivuresurgir(apres

etdesantiresonnancesdespremiersmodespourdesstructurescomplexes,anderetrouverlescaracteristiquesdela"structureinnieassociee". dierentes.girardetdefosse[43]utilisentuneselectiondecheminsstructurauxdirects Parlasuited'autresetudesontreprisl'ideedeSkudrzykdelissagefrequentieldesmobilitesetl'ontappliqueeaucalculd'assemblagesdepoutres,avecdestechniquesdelissage 1.2.CONTEXTESCIENTIFIQUE:ANALYSEBIBLIOGRAPHIQUE 17 auxlimites).moorhouseetgibbsontaussiproposeuncalculdelamobilitemoyenne etmaximale(enfrequence)dans[89].lecalculdelamobilitedetransfertmoyenneaux lespremierescontributionsdansunsignaltemporel(contributionsquicorrespondentau entredeuxpoints(lespluscourts,sansboucles)quifournissentlacontributionmoyenne hautesfrequences,paruneformulationsenergetiquesimplieeaeteeectuepary.lase proposedanscemêmebutl'utilisationdel'analysecepstrale,quipermetdeselectionner cepstred'energie),eneliminantles"echos"(contributionsindirectesduesauxreections del'eortappliqueenunpointsurleniveaudelavitesseal'autrepoint.delattre[28] etal.([65],[64]).cequisouligneencorelefaitquel'utilisationdelamoyennefrequentielle estlieeacelledequantitesenergetiques. Notreetudepeutêtreluecommeunnouveaudeveloppementdel'ideedemobilitemoyennee 1.2.3LaStatisticalEnergyAnalysis(SEA) tures,sousuneformequasi-identiqueacelledesmobilitesclassiques. oeuvredecesmobilitesmoyennesdansunemethodeenergetiqued'assemblagedestruc- identiablesacellesd'une"structureinnieassociee".ellecomporteaussiunemiseen enfrequence,maisavecdesmoyennesarithmetiques,quipermettentd'opererdessimpli- cationssurdesquantitesenergetiques,mêmesicesdernieresnesontpasdirectement Latheoriedebaseestsimple:ilyaunerelationdeproportionnaliteentreladierencedes Sharton,Newland,Gersch,Pope...([78],[120],[77],[79],[80],[92],[42],[103],...)etfait l'objetencoreactuellementdetresnombreusesetudesetpropositionsderemaniement. Theoriedebase LaSEAestneedanslesannees"60aveclestravauxdeLyon,Smith,Maidanik,Eichler, energiesglobalesetlapuissanceechangeepardeuxoscillateurscouplesendeplacement lastructuredansunebandedefrequencesexciteeestduesurtoutauxmodesresonnants, enconsiderantdeplusquelesmodesd'uneclassedestructuressemblablessontdistribues regulierementenfrequenceetontlamêmeenergie(excitesparuneexcitationlargebande), onetablitlaproportionnaliteentreladierencedesenergiesmodaleseaetebdessousstructuresaetbetlapuissanceechangeepab(deaversb)dansunebandedefrequences: vitesseetacceleration. Enassimilantlesmodesd'unestructureadesoscillateurs,enconsiderantquelareponsede (=ensemblederealisations)d'assemblages,parbandesdefrequences,apartirdelaconnaissancedespuissancesinjectees,desfacteursdepertesinternesdessous-structuresetdes factors). Cettemethodepermetd'analyserlecomportementenergetiquestatistiqued'uneclasse LestermesABsontappeles"facteursdepertesparcouplage"ouCLF(couplingloss PAB=AB!(EA EB) (1.2) facteursdeperteparcouplage,entrelescouplesdesous-structuresdirectementliees,avec unehypothesedecouplagefaible(cf.[74]).

utiliselepremierprincipedelathermodynamique:lapuissanceinjecteedansunsysteme LaSEAs'appliqueadesstructures"lineaires,passivesetbilaterales"(cf.[76]p.69).Elle 18 estegalealapuissancedissipeedanscesysteme("pertesinternes",pluslapuissancequi sorteventuellementdecesysteme):pext+pdiss=0 Autrescaracteristiquesetremarques CHAPITRE1.CONTEXTESCIENTIFIQUEETBUTSDEL'ETUDE CequipermetdecalculerlefacteurdepertesinternesAparlapuissanceinjecteePAet l'energiecinetiquemoyennedelastructureea: PA=A!EA (1.3) echangeeentredeuxsystemesaetbindependammentdel'energiemodaleavantcouplagedesautressystemescouples(c,d...)dalesaprescouplage.danscertainscasonpeutconsidererqu'elleestvalableaussiavec lesenergiesmodalesavantcouplage(parexemplesionn'assemblequedeuxsystemes, parcouplagefaible),maisdanslecasgeneralonnepourrapasexprimerlapuissance Ilnes'agitpasd'unemethodepredictive,carlarelations1.2portesurlesenergiesmo- (1.4) La"relationinverse",c'estadirelareconstitutiondesCLF,estbeaucoupplusproblematique predictivesouavecdesmaillagesgrossiersdesstructures. Larelationdebaseesttoutefoisrobuste:uneerreursurlesCLF,surlesamortissements tenues,c'estpourcetteraisonquedansbeaucoupdecas,onpeutl'utiliserabusivement ousurlesenergiesmodalesdessoussystemesn'estpasamplieedanslespuissancesob- etsonutilisation"abusive",ouavecdesdonneesfortemententacheesd'erreur,donnesouventdesresultatsaberrants. Variantesetapprofondissements pourdescouplagesnonfaibles,avecdesfaiblesdensitesmodales,pourdesdemarches Unevarianteapparuetrestôt([125],[114],[132],[27]...)consisteautiliserlesenergiesdes sous-structures"isoleesbloquees",enconsiderant,aprescouplage,touratour,chaque sous-structureexcitee,relieeauxautrespendantqu'ellessontmaintenuesimmobiles. relationsdugenre: entrelessous-systemesnondirectementcouples,and'ameliorerlesresultats,pardes faibleentreoscillateurs([50]),maisn'apaseudesuites. Unevarianteactuellementrepandue,preconisel'utilisationde"CLFindirects",denis Uneautreproposaitd'utiliseruneformulationdualesurlarelationdebaseducouplage Danscesapprocheslesrelationsinversesrestenttoutautantproblematiquesetl'applicationaucouplagefort,l'applicationpredictiveetlesautresapplications"abusives"ne LaSEAaeteetudieeanalytiquementetnumeriquementpardesapprochesdesuperpositionmodaleoud'ondes,pourdessystemessimples(poutres,plaquesmincessurappuis...), PAB=![AB(EA EB)+XCAC(EA EC)+CB(EC EB)] (1.5) semblenttoujourspasgeneralisables(voir[39],[123],[60],[61],[62],[113],..). ([20],[25],[53],[37],[52],[87],...),lerôleduniveaud'energie([123]),del'excitation([131]) lafacondecalculeretmesurerlesclf([119],[5],[15],[127],[16],[61],[115],[11],[85], Lesdierentstravauxontetudielerôledeladensitemodaleetdurecouvrementmodal oupardessimulationsnumeriquesavecleselementsnis.

[23],[110],[59]...),l'incertitudeetlavariancedesresultats([76]). Unautresoucipermanentaeteceluidemieuxdenirla"force"ducouplage([104],[18], [24],[106],[13],[119],[35],[82],[83],[36]...),d'etendrelavaliditedesformulesSEAau 1.2.CONTEXTESCIENTIFIQUE:ANALYSEBIBLIOGRAPHIQUE casdu"couplagefort"etauxmoyennesfrequences(voirparexemple[130],[53],[29]), avecundeveloppementlieaunenotionde"oustructural"(soizeetal.[122],[121])ou 19 C'estentoutcaslamethodeenhautesfrequenceslaplusutiliseeetcelleautourdelaquelle ilyaeuleplusd'etudesdanslesdernieresannees.dansledernierchapitreonexpliquera commentlaseapeutaussitirerprotdelamethodedesmobilitesenergetiques. l'utilisationdel'energiethermodynamiquedessous-systemesplut^otquel'energiestockee (BernsteinetKishimoto[55]). D'autresauteurs([86],[100]...),ontdeniuneSEAdansledomainetemporel("transient SEA")pourtraiterdesexcitationsparchocsoudessystemesnonlineaires. 1.2.4Autresapprochesenergetiquesdesannees"70-"80 contribueamieuxcomprendrelesbasestheoriquesdesapprochesstatistiquesetglobales endynamiquevibratoire,enreliantcertainesquantitescommeladensitemodaled'une structure,lamassetotaleetlapartiereelledel'admittancedelastructureinnieassociee. unmilieuexcitepardesforcesharmoniquesoualeatoireslargebande,enmontrantque pourcesdernieresl'ecartenenergie(lorsquelesconditionsauxlimitesetlaloidecomportementvarient)estplusfaible. Pourl'analysedesenergiesglobalesdesstructuresauxhautesfrequences,Kubotaet Dowell([33],[58])ontproposeunetechniqued'approximationasymptotique,baseesur plaquesappuyees):l'ama(asymptoticmodalanalysis).leurdemarchealemerite trouvercertainsresultatsdelasea. unedecompositionmodale,limiteeadesstructuresanalytiquementconnues(poutreset J.L.Guyaderdans([45])acalculedesbornespourl'energieetlapuissancedissipeepar Audebutdesannees"70([7])A.Bourgine,L.CremeretM.Heckl([20]pp.293-305)ont 1.2.5MobilitesEectivesetCoecientsd'Inuence d'analyserclairementcertainesapproximationssurdesquantitesmoyennees,etdere- surlapuissancetotale(complexe)injectee.ellepeuts'exprimerenfonctiondesmobilites Lamobiliteeectiverepartie(voir[98],[99])estlerapportdel'energiecinetiqueglobale classiques,aveccertaineshypothesessurlesmodulesdesforcesetleursphasesrelatives. Sonutilisationestcependantpurementformelle:lamobiliteeectivedecritseulementune certaineconguration:elledependdeladistributiondeseortsexterieursetnepeutdonc pascaracteriserunestructureensoi. Ils'agitdedeuxmethodesenergetiquesapparuesaudebutdesannees"80. spectralesdepuissancedesforcesexcitatrices,permettantd'analyserseparementlecouplage"spatial,spectraletparexcitation"(voir[46]). Lescoecientsd'inuencerelientlesenergiesglobalesdessous-systemesauxdensites germedanscesdeuxetudes. L'ideed'unemobiliteentrequantitesenergetiquesmoyennees(spatialement)estdejaen

20 1.2.6LesPFRFetlaMethodedesReceptancesdePuissance sontdesrapportsdel'energiecinetiqueponctuelleetdelapuissanceinjectee([56],[57]). Ellespeuvents'exprimerapartirdesmobilitesdessystemesassemblesouisoles.LesexpressionsdesPFRF,moyenneesenfrequenceetspatialement,enfonctiondesmobilites LesFonctionsdeReponseenFrequencepourlesPuissances(PFRF)proposeesparKoss CHAPITRE1.CONTEXTESCIENTIFIQUEETBUTSDEL'ETUDE echangees. moyennesaprescouplageontaussieteproposees,pourlecalculdesfacteursdepertespar Cesquantitessontal'evidencedependantesdutypedeforceutilise,leurexpressionaete pointeparlerapportdelapuissancepeetdeladensitespectraledepuissancesfefede laforcefe:pe=heesfefepourcalculerlesenergiesdessystemecouplesetlespuissances ecientsd'inuence)onutiliselesreceptancesdepuissance"heedenies,enentree,au couplagedelasea. detailleepourdesforcesponctuellesetdesforcesrepartiesdecorrelees(type"pluiesurle DanslamethodedeKeaneetal.([51],[113],[3]),(asitueralasuitedecelledesCo- toit"). Lundbergaproposedans[72],[73]d'utiliserlesfonctionscomplexesdetransfertparmodulation,deniesparShroeder([112]),pourrelierdesenergiesetdespuissances. Cestroismethodesutilisentdesmobilitesclassiques(quisontdesDSPdefonctionsde supplementairesconcernantletyped'excitation. Ellespresententdoncdesfortesanalogiesavecl'etudeactuelle;cependantlesquantitesde base(lesmobilites)nesontpasdesquantitesmoyenneesparbandes(larges)defrequence permettentlecalculdesfacteursdepertesparcouplagedelasea,avecdeshypotheses Desmoyennesspatialesetfrequentielleseectueessurlesquantitesapresassemblage, transfertenfrequence)pourpredirelespuissancesechangeesetlesenergiesdesassemblages,enfaisantdeshypothesessimplicatricessurletypedesexcitationsexterieures. etlessimplicationsquecettemoyenneintroduitn'ontpasetepercues. entoutpointd'unestructureafrequencepure,apartirdestravauxdebelovetal.([1]) etdesdescriptionsdeladistributiondel'energiedebernhard,bouthieretwohlever([8], [9]),suivantuneanalogieavecl'ecoulementdelachaleur.Uneapprochesimplieeneglige leschampsproches([30],[31]),d'autres,pluselaborees,utilisentlesdensitesd'energie 1.2.7Ecoulementd'energie totaleetlagrangienne([64],[67]),oudesformulationsintegralesapprocheespourobtenir descalculsplusexacts. Ladernieredecennieaaussivulanaissancedeformulationsvisantaconna^trel'energie complexeetoscillante)estcelledecarcaterraetsestieri([12]),quiutilisentlatransformee dehilbertpouranalyserledeplacementpourdesnombresd'ondeeleves,avecunmaillage faible. Cesapprochessonttoutesdependantesdel'operateurcaracteristiquedelastructure consideree,doncleurapplicationsemblelimiteeauxstructuresmincesethomogenes. Derniereapproche,souventclassee(atort)parmicellesenergetiques,carelletravailleaussi surunerepresentationparenveloppeplusquesurlasolutionvibratoireexacte(vitesse

1.3.RECAPITULATIFDESBUTSDEL'ETUDE 1.3Recapitulatifdesbutsdel'etude dancesactuelles:desformulationsdonnantuneinformationenergetiquelocale,lavolonte d'utiliserdesquantitesmoyenneesenfrequenceetlebesoindemethodesapprocheesmais simplesetrapides.danscecontexteonvamaintenantpreciserlesbutsdecetravail,qui Onavuquelamethodedesmobilitesenergetiquessesitueaucarrefourdeplusieursten- 21 ontputranspara^tredanslessectionsprecedentes,etannoncerleschoixmethodologiques eectues. CetteinformationenergetiquelocalefaitdefautalaSEAetad'autresmethodescitees formationenergetiquelocalesurunestructurequipeutpresenterdefortesdiscontinuites, doncdefortesvariationsdel'energiecinetiqued'unpointaunautre. 1.3.1Uneformulationenergetiquelocale (mobiliteseectives,coecientsd'inuence...)quiutilisentdesmoyennesspatiales.on garderatouslesavantagesd'unetechniquedemobilitesclassiquesquinecessitedesdonnees calculeesoudesmesureesseulementauxpointsinteressants,(optimisationspatialedel'information). 1.3.2Desveritablesmobilitesmoyennespourassemblages reduits(optimisationfrequentielledel'information)etsansinformationvenantdela Onvautiliserexclusivementdesquantitesmoyenneesparbandesdefrequence(doncmoins sensiblesauxpetitesvariationsdelastructure),avecdestempsdecalculextrêmement phase:cetteinformationn'estdoncpasnecessairelorsqu'onveutreconstituerdesquantitesenergetiquesparbandesdefrequence.oneectueraaveccesquantitesl'equivalent D'uncertainpointdevue,audeladesonaspectdemethodeenergetiquelocale,laprin- Onaannonceau1.2quenotremethodes'inscritparmicellesquivisentadonneruneincipaleideedecetteetudeestdeproposerdesveritablesmobilitesmoyennes. energetiquedescalculsrealisesaveclesmobilitesclassiques(additiondescontributions manquant,entrelesmethodesdu1.2.2etlesapprochesenergetiques. 1.3.3Utilisationd'unformalismesimpleetgeneral Lanouvelledenitiondemobilitesmoyenneesenfrequencenoussembleêtrelemaillon Ellesvontnouspermettreenndedenirdessourcesparbandesdefrequence. mesureesoucalculees,dessous-structuresisolees...). deplusieursexcitationssimultanees,calculd'assemblagesapartirdescaracteristiques, dicultesd'unedescriptioncompletedel'energiedessystemesvibrantsetveutêtreune formulationindependantedel'operateuretdelacomplexitedelastructure. Onatâchedenepasintroduired'hypothesesquirestreignentl'applicabiliteadesstructuresparticulieres(pourvuqu'ellessoientlineaires),laseulerestriction,al'etatactuelde lamethode,concerneletypedecouplageentrestructures,quidoitêtreponctuel,dufait mêmedel'utilisationdesmobilitesclassiques.cecinenousapasdispensesd'etudierdes Parlechoixdesmobilitesmesurees,commeingredientsdebase,notremethodeeviteles Ennonaconserveleformalismedesmobilitesclassiques(rappeleauchapitre2),ala foissimple(basesurlaregledetrois)etassezfamilieraumondescientiqueetindustriel. limitesd'utilisation,pardessimulationsnumeriques.

22 CHAPITRE1.CONTEXTESCIENTIFIQUEETBUTSDEL'ETUDE

23 LESMOBILITESCLASSIQUES: Chapitre2 UNOUTILPREDICTIF Generalites celledesmobilitesenergetiques,quienemprunteraleformalismeetlesdemarches.cette techniqueetantsimple,onvaladecrireiciinextenso. Ilfautavoirclairemental'espritlatechniquedesmobilitesclassiquesavantd'aborder leseortsetlesvitesses. Lorsqu'onlesmesure,ellesprennentencompteleseventuelscouplagesvibro-acoustiques typedestructureetdelamethodedecalcul(ondes,contributionsmodales,ef...)entre Lesmobilitespermettentd'etablirdesrelationsalgebriquessimples,independantesdu (avecdescavitesinternesalastructure,ouaveclemilieuenvironnant),lesconditions auxlimitesreellesetlesdefautslocauxouglobauxdelastructure,(qu'onauraitdumal acaracteriseretaintroduiredansd'autresmethodesnumeriques):onn'adoncpasles problemesdurecalagedumodele. Latheoriedesmobilitess'appliqueadesstructuresquiontuncomportementlineaire 2.1Lamobiliteclassique:unefonctiondetransfert Lesreferencesbibliographiquesdetailleesontetedonneesau1.2.1. (ledeplacementestproportionnelal'excitation),etsontpassives(sanssourcesd'energie internes)(voir[91]). Cesstructuressontconsidereespourdesmouvementsafrequencepureetdansunecongurationouunmontagedonne. Lanotiondefonctiondetransfertenfrequenceestutiliseeausensclassiquedutraitement lafrequencef),enl'absenced'autresexcitations. menappliquantaupointeuneexcitationharmoniqued'amplitudecomplexeunitaire(a dusignal(voirparexemple[41]). Comptetenudelalinearite,pouruneortFe(f)aupointeonadoncunevitesseVm(f) 2.1.1Denition LamobiliteYme(f),estdeniecommel'amplitudecomplexedelavitesseobtenueaupoint

tellequevm(f)=yme(f)fe(f),ouencore 24 Cettequantitecomplexecaracteriselecheminphysiqueentrelesdeuxpointsdelastructure:ondiradoncqu'elleestintrinseque. Larelation2.1estenfaitecritepourl'unedes6composantesduvecteurvitesseaupoint m~vm(f),quicomporte3rotationset3translations,etpourl'unedes6composantesdu Yme(f)=Vm(f) CHAPITRE2.LESMOBILITESCLASSIQUES:UNOUTILPREDICTIF vecteurdeseortsaupointe,~fe(f),composede3forcesetde3moments. Fe(f) (2.1) unecomposanteduvecteurdesforcesetdesmomentsappliquesaupointe.onauradonc larelationgenerale fertenfrequenceentreunecomposanteduvecteurdesvitessesobtenuesaupointmet qu'unematricede36elementsyme(f).chacundeceselementsestunefonctiondetrans- Ilestdoncclairquecequ'onappelle"mobiliteentrelesdeuxpointsmete",n'estautre 2.1.2Proprietes Deuxproprietesprincipalesderiventdutheoremedel'energiemutuelledeHeaviside([47]). P.1Lamatrice[Yme](f)estsymetrique:lavitesseVmxobtenueenappliquantlemoment ~Vm(f)=Yme(f)~Fe(f) Mezest,parexemple,egalealavitesseVmzobtenueenappliquantlemomentMex. (2.2) cellesdetranslationduesauxmoments. P.2Lamobilite(chaquecomposante)Yme(f)estaussisymetriqueparrapportauxindices onutilisesouventlescomposantesderotationdesvitessesduesadesforcesaulieude despointsdemesuremetd'excitatione:yme(f)=yem(f). C'estcequ'onappellecouramment"reciprociteentreleseortsetlesvitesses"(voir[129], Application:uneexcitationparmomentspursetantdicileaobtenirexperimentalement, [19],[68]...). Application:onpeutlimiterlenombred'experiencesamenerpourconstruirelamatricedesmobilites,enparticulieronaunfortgaindetempssurlemontagedusystemmalealastructureetlaforcenormale,quiexcitelastructureenexion. d'excitation. Ceciestvalablegeneralementenbassefrequence,lorsquel'eetdesexcitationsparmomentestnegligeabledevantceluidesforces([20]),cependant,dansbeaucoupdecasreels, onnepeutpasnegligerlescontributionsdesmoments. Simplicationdesnotations Danscetravailonnevapasconsiderercetyped'excitation:pourdesraisonsdesimplicite Souvent,surlesstructuresminces,onneconsiderequelesmobilitesentrelescomposantes depresentation,lamatrice[yme](f)precedente,reliantlesdeuxpointsmete,sereduit detranslationdesvitessesetlesforces,voirm^emelaseulemobiliteentrelavitessenor- matricedesmobilites[yme](f)c'estacettedernierematricequ'onferareference. matrice(symetriqueenvertudep.2)desmobilitesentrecespoints:quandonparlerade alorsalaseulecomposanteyme(f). Sil'onconsidereplusieurspointsmetedelastructure,onpeutmaintenantformerla

d'entreeyee(ouye)etonauraunematricedesimpedances[zme]telleque[zme] 1=[Yme]. considereesaunem^emefrequencepure. OnnoteraZee(ouZe)l'impedancedelastructureaupointe,inversedelamobilite 2.2.UTILISATIONPOURUNESTRUCTUREISOLEE Deplusonomettrasouventl'argument(f),cartouslestermesdesequationsseront 25 RemarquesPhysiques Auniveauexperimental,danslatechniquedesmobilites,par"pointd'unestructure"on designeundisque,dontlerayonestinferieurouegalaundixiemedelalongueurd'onde (deexionoudetraction-compression)alafrequenceconsideree(voir[20]),al'interieur duquellavitessevarietrespeu. Enplusdesdicultespourlesmesuresdesmomentsetdesrotations,ilfautrappeler changementdephaseimportantetunevariationimportantedelavaleurcomplexedeces mobilites. quelesmobilitesmesureessurunestructurepresententunedynamiqued'autantplus 2.2Utilisationpourunestructureisolee grandequelastructureestpeuamortieetqu'uneincertitudesurlepointdemesure,sur lesconditionsauxlimites,surlesystemedemesureoud'excitation,peutentra^nerun avecunenotationmatricielleonauradoncxe=1ymefe appliquesendierentspointseandecalculerlavitesseobtenueenunpointm,par: OnutiliselesmobilitesclassiquespouradditionnerlescontributionsdeNeeortsFe, 2.2.1Additivitedesexcitations fvmg=[yme]ffeg Vm=Ne (2.4) (2.3) Reconstitutiondesforcesparrelationinverse ensuiteonpourraprevoirlesvitessesauxautrespointsmpar: unerelationinverse: DanslarelationprecedentelesforcesFesontcellesinjecteessimultanement. Enpratiqueilestonereuxdemesurerplusieursforcesenm^emetemps,ilestdoncconseille demesurerlesvitessesobtenues,enaumoinsnepointsietdereconstituerlesforcespar 2.2.2Denitiondestypesdesource fvmg=[yme][yie] 1fVig ffeg=[yie] 1fVig (2.5) Sionneveutpasmesurerlesvitessesduesaplusieursexcitations,onpeututiliserles forcesisoleeenfaisantl'unedeshypothesessuivantes. (2.6)

26 CHAPITRE2.LESMOBILITESCLASSIQUES:UNOUTILPREDICTIF Sourcesdeforce Ensupposantquechaqueforcen'estpasaecteeparlapresencedesautres(cequ'on appelleune"sourcedeforce"),onidentieleproduitymefeaveclavitessequ'onaurait obtenueaupointmsicetteforceavaitagiseule.onecritdonc2.3ou2.4,parsuperposition,enconsiderantquelesforcesfesontcellesmesureeslorsqu'ellessontappliquees seules. Ons'approchedececaspourdessystemesd'excitationquiontunemobilitegrande devantcelledelastructureexcitee(c'estuntypedesystemed'excitationarechercher experimentalement,carilperturbepeulecomportementdelastructureobservee). Sourcesdevitesse Sil'onsupposeaucontrairequechaquesystemeexcitateurimposeunevitesseconstante aupointe,independammentdelapresencedesautresexcitations("sourcesdevitesse"), onreconstituelesforcesinjecteespar2.5,(avecicilesvitessesvimesureespourchaque excitationisolee),etoncalculelavitesseaupointmpar2.6. C'estlecaspourdessystemesexcitateursdemobilited'entreefaibledevantcelledu systemeexcite(parexempleungrosmoteursurunsupportmince),avecenmêmetemps desmobilitesdetransferttresfaiblesentrelespointsdusystemeexcite:ilfautquela vitesseimposee(pourchaqueexcitateur!)restelamêmequelquesoitlenombred'autres systemesexcitateurs. Autressources Onpeutdenirdemêmed'autrestypesdesourcestheoriques,(oulesrealiserpardes techniquesdecontrôleactif),commeunesourcequiannuleraitunevitesseenunpoint donne,etc...laplupartdessourcesvibratoiresreellessesituecependantentrecellesde force(mobilited'entreetresgrande)etcellesdevitesse(mobilitetresfaible). 2.3Laconnectiviteparmobilitesclassiques ConnaissantlesmobilitesrespectivesYI emetyii emdedeuxsous-structuressietsii,les eortsquilesexcitentet/ouleursreponses,onsouhaiteapresentdeterminerlescaracteristiques(mobilites,vitesses,forces)delastructureresultantdeleurassemblage rigideenquelquepoints. 2.3.1Calculdequantitesaprescouplagerigideenplusieurspoints On"coiera"icilesquantitesaprescouplageparuntilde.Onconsiderequelesdeux structuressietsii,sontrigidementcoupleesenncpointsc,cequisigniequ'apres couplagelesvitessesencespointscsontegalessurlesdeuxstructuresetleseortsde couplagequirentrentdansl'unesontopposesaceuxquirentrentdansl'autre: fvi c=gvii cetffic= gfii c (2.7) Lesvitessesauxpointsdecouplagec(ouk),sontobtenuesavec2.3,ensommantles contributionsdeseortsexterieursfeetdeceuxdecouplagefc: fvi k=nie Xe=1YI keffie+nc Xc=1YI kcffic (2.8)

2.3.LACONNECTIVITEPARMOBILITESCLASSIQUES et Onpeutalorsappliquerlesrelationsdecouplage2.7pourobtenirleseortsdecouplage auxdierentspointsc: gvii k=nii exe=1yii kegfii e+nc Xc=1YII kcgfii c (2.9) 27 L'expressionpourlespointsmdeSIIs'obtientenpermutantlesindicesIetII: etobtenirlesvitessesauxpointsm,quelconques,desiaprescouplage: ffficg=hyi fgvii fgvimg=[yime]fffieg+[yimc]ffficg mg=[yii ck+yii cki 1f[YII me]fgfii eg [YII ke]fgfii eg [YI mc]ffficg ke]fffiegg (2.12) (2.11) (2.10) CesdeuxdernieresexpressionssontfonctiondeseortsfFIeetgFII pourraitreconstituer,apartirdesvitessesaprescouplage,pardesexpressionsinverses, analoguesa2.5. 2.3.2Denitiondestypesdesource eaprescouplage,qu'on Pourquelamethodedeviennepredictive,c'estadirepourpouvoircalculerlesquantitesaprescouplage,uniquementenfonctiondecellesavantcouplage,ilfaut,iciencore, formulerdeshypothesessurlessources. commodite): plieessuivantes(usuelles,carcettehypotheseestsouventutiliseeimplicitement,par couplage,sontinchangesaprescouplage,soitfffieg=ffieg,onobtientlesformulessim- EnsupposantqueleseortsexterieursappliquesrespectivementaSIetaSII,avant Sourcesdeforce etfgvii Pourdessourcesqui,auxpointsfexcites,conserventlesvitessesavantetaprescouplage Sourcesdevitesse fgvimg=[yime]ffieg+[yimc]hyi mg=[yii me]ffii eg [YII mc]hyi ck+yii cki 1f[YII ke]ffii eg [YI ke]ffiegg (2.13) ona: ffvi fg=fvi fgetfgvii fg=fvii (2.15) (2.14) etfvii desvitessesimposeesauxpointsf(mesureesavantcouplage): donclesforcesappliqueesaprescouplages'obtiennentenresolvantlesequationssuivantes, aveclespointsfdesignantdespointsexcites(ainsiquee)sursietsursii,enfonction fg=[yii fvi fg=[yi fe]fgfii fe]fffieg+[yi eg [YII fc]hyi ck+yii cki 1f[YII ke]fgfii eg [YI ke]fffiegg (2.16) (2.17)

couplageetleseortsdecouplagesionneconna^tpaslesexcitationsexterieuresapres couplage. Danslecasgeneral(sourcesquelconques)ilseraimpossibledeprevoirlesvitessesapres Autresources Commeprecedemment,lesautrestypesdesourcessesituententrecesdeuxcasextrêmes. 28 CHAPITRE2.LESMOBILITESCLASSIQUES:UNOUTILPREDICTIF Ilesttoutefoispossibledetrouveruneformulationpredictiveparmobilitesclassiquessans faired'hypothesesurletyped'excitation.cettepredictionconcerneraevidemmentdes quantitesquisontindependantesdel'excitation:lesmobilitesquisontintrinseques. 2.3.3Mobilitesaprescouplageenfonctiondecellesavantcou- EnempruntantlademarchesuivieentreautresparKoss([57]),nousallonsexprimerde Entredeuxpointsmetedel'exsous-structureSI,onaura: pointd'excitationalafois,sursiousursiietendivisantletoutparcetteexcitation. facongeneralelesmobilitesdel'assemblage,aprescouplage,enfonctiondecellesdessousstructuresisolees,(avantcouplage). Ellessededuisentsimplementdesexpressions(2.11)et(2.12),enconsiderantunseul Enunpointmdel'exsous-structureSI,lorsquelepointedeSIIestexcite,onaura: Entredeuxpointsmetedel'exsous-structureSII,onaura:ke] [gyii [gyime]=[yime] [YImc]hYI me]=[yii me] [YII mc]hyi ck+yii cki 1[YII (2.19) (2.18) Demême,enunpointmdel'exsous-structureSII,lorsquelepointedeSIestexcite, onaura: [gyme]=[yimc]hyi [gyme]=[yii mc]hyi ck+yii cki 1[YII ke] (2.20) couplage. L'importancerelativedechaquepointdecouplagedoitcependantêtreevalueepour lonnesquantielescontributionsdechaqueeortdecouplagesurlesautrespointsde OnremarqueraquelamatricehYI chaquepointdecalcul,entenantcomptedesmobilitesdetransfertentrecepointde ck+yii cki 1caracteriselecouplage:chacunedesesco- (2.21) Les"sous-structuresisolees"precedentesetaientconsidereesaveclesfuturspointsde calculetlesdierentspointsdecouplage. Sous-structuresisoleesetisoleesbloquees couplagelibres(contraintesnulles).lavariantequiconsisteaconsidererlesmobilitesde chaquesous-structureassemblee,pendantquelesautressous-structuressontmaintenues ou[109]).ellepermetunecaracterisationsimpleetglobaledela"forceducouplage"par lesvaleurspropresdelamatricedecouplageetlalocalisationdescouplagesprincipaux pourchaquefrequence[4].elles'appliquesionpeutbloquerenpratiquelessous-systemes lorsqu'ilssontassembles,oulesliaisonsd'unsous-systemeisole. bloquees,proposeepar[84],derived'uneformulationutilisantlesimpedances(voir[94]

2.4.COMPLEMENTALACONNECTIVITE:LESCOUPLAGESINTERNES29 2.4Complementalaconnectivite:lesCouplagesIn- maisd'ajouterdesliaisonsentrecertainspointscetc'd'unmêmesysteme. Danslecadredecetteetudecettedemarcheaeteredeveloppeepourtraiterlescouplages internesd'uneetudeexperimentalesurunclimatiseur. Dansbeaucoupdecaspratiquesilnes'agitpasd'assemblerdessous-systemedistincts, CasGeneral:Nccouplagesinternes c c= c Lesrelationsducouplagerigiderestentlesmêmespourchaquepaire(c;c')depoints Onvasuivrelamêmedemarchequepourlescouplagesexternes. Fig.2.1-ExempleconnudeCouplageInterne(enunpoint) c IcilesvitessesaprescouplageauxNcpointscouplesc=c'(ouk=k')s'ecrivent: couples: et gvk0=ne fvk=ne ffvcg=ffvc0getfffcg= fgfc0g Xe=1Yk0efFe+Nc Xe=1YkefFe+Nc Xc=1YkcfFc+Nc Xc=1Yk0cfFc+Nc Xc0=1Ykc0fF0c (2.22) Xc0=1Yk0c0fF0c (2.23) etlesvitessesauxpointsm,quelconques,desiaprescouplage: d'ouleseortsdecouplage: fffcg=[ykc+yk0c0 Ykc0 Yk0c] 1[Yk0e Yke]ffFeg (2.25) (2.24) fgvmg=[yme]+[ymc Ymc0][Ykc+Yk0c0 Ykc0 Yk0c] 1[Yk0e Yke]ffFeg (2.26)

pourprevoircellesaprescouplageparlaformulegeneralesuivante: toujoursenfonctiondeseortsexterieursaprescouplage. Ladiscussionsurlestypesdesourcerestelamêmequepourlescouplagesexternes.On 30 peuticiencoreutiliserlesmobilitesmesureesavantd'eectuercescouplagesinternes, fgymeg=[yme]+[ymc Ymc0][Ykc+Yk0c0 Ykc0 Yk0c] 1[Yk0e Yke] CHAPITRE2.LESMOBILITESCLASSIQUES:UNOUTILPREDICTIF Remarques 1)Ilestequivalentdetraiterlescouplagesinternestousalafoiscommeci-dessus(gros systemematriciel)oul'unapresl'autre,defaconrecursive(uneseuleequationatraitera lafois,sansinversions,cequipermetd'eviterlesproblemesdemauvaisconditionnement (2.27) êtreecritanalytiquement,defaconrecursive,commeunpremiercouplage(externe)enun desmatrices). 2)Lecouplage(externe)entredeuxstructuresenNcpoints,traiteprecedemment,peut descouplagesn'estpaspossibleparcettedeuxiemeapproche. ment,sansinversiondematrices. C'estcequ'onpeutvoirdansl'exercicedestyledel'annexeB. Cependantlecalculdesforcesdecouplageoudespuissancesechangeesetl'hierarchisations qu'uneequationalafois,etpermetainsidetraiterdescouplagesmultiplesanalytique- point,entrelesdeuxstructures,suividenc-1couplagesinternessurl'assemblage.cette deuxiemedemarcheevitelaformationdesystemesmalconditionnescaronneresout 2.5Conclusions Lesmobilitesclassiquessontunoutilexceptionnelanalytiqueetdecalcul.Ellespermettentdedenirsimplementdierentstypesdesources,dequantierl'importancedes cheminsvibratoiresdansunassemblageetd'eectuerdesprevisionssurlecomportement d'unassemblageapartirdescaracteristiquesdessousstructuresisolees. Pourprevoirleseortsdecouplageetlesvitessesaprescouplage,ilestnecessaired'effectuerdeshypothesessurletypedesource,alorsqu'onpeutprevoirlesmobilitesapres Lamesuredesmobilitesetsesproblemesspeciquesseronttraitesbrievementdansla Ilnousasembleinteressantdecompleterlesexpressionsclassiquesducouplageponctuelrigideexterneentredeuxstructures,parcellesdescouplagesponctuelsinternesa unemêmestructure,cesdernieres,quisontrecursives,vontnouspermettred'etendre couplagesansfaired'hypotheses. partief.1. Onrappelleennquel'inversiondessystemesmatriciels,pourlescalculsducouplage, externeetinterne,aucouplageennpoints. lesdemonstrationsduchapitresuivant,etabliesdanslecasd'unseulpointdecouplage, introduiredesfrequencessingulieresquin'appartiennentpasalaphysiquedesstructures couplees.danscecasilestconseilled'adopterdesresolutionsavecdestechniquesdutype SVD(decompositionenvaleurssingulieres). tionnement,surtoutpourdesdonneesissuesdemesures,lebruitdemesurepouvant peutpresenterdesdicultesnumeriques(frequencessingulieres)lieesaumauvaiscondi-

31 LECONCEPTDEMOBILITE Chapitre3 ENERGETIQUE 3.1Expositionsuccincte energetiquesurlastructure. unautrepoint("energiecinetiquemassique"),unequantitequiqualiedoncuntransfert activeinjecteedanslastructureenunpointaumodulecarredelavitesseobtenueen structureetlavitesseobtenueenunautrepoint. Notrepremierbutestdevoirs'ilexiste,dem^eme,unequantitequirelieunepuissance Lamobiliteclassiquepermetd'etablirunlienentreuneexcitationenunpointd'une Unefonctiondetransfertenergetique aussilavitesse,doncl'energiecinetiquemassiqueentoutpoint.afrequencepureilest Sil'onconna^tlaforceexcitatrice,vialesmobilitesclassiquesilestclairqu'onconna^t doncevidentquelerapportentrelemodulecarredelavitessevaupointmetlapuissance activeeinjecteeaupointes'ecrit: soit ouencore jvmj2 e=jymefej2 e=jvmj2 jvmj2 e=jymej2 RefFeY RefFeV eefeg eg (3.2) (3.1) l'energieproprealastructure,seulelaconnaissancedesmobilitesd'entreeetdetransfert auneexcitationenunautrepointedecettestructure,onn'apasbesoindesavoirquelle estlavaleurdecetteenergieendespointsintermediaires,oudeconna^trel'equationde quepourdeterminerlenergiecinetiquemassiqueenunpointdonned'unestructuredue Cetteexpression,independantedel'excitation,aeteutiliseeparKoss([57]).Ellemontre RefYeeg (3.3) tionssimultaneesetellen'apporteriendevraimentnouveau,parrapportauxmobilites estnecessaire. Lamobiliteenergetiqueprecedente,denieafrequencepure,n'estcependantpascelle quinousinteresse,carellenepermetpasd'additionnerleseetsdeplusieursexcita- classiques.

bandesdefrequenceauneforcemoyenneeaussi,carcesontdesfonctionscomplexesde Onremarqueratoutd'abordqu'iln'estpassensederelierunevitessemoyenneepar lafrequence,dontlespartiesreellesetimaginairesuctuentautourdezero;leurmoyenne surunebandedefrequences,tendverszerolorsqu'onaugmentelalargeurdelabandeet Unefonctiondetransfertmoyenneeenfrequence 32 CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE n'estpasunevaleurexploitable.passonsdoncadesquantitesenergetiques,quiseulesont [26]).Ellessontdoncaprioribeaucoupplusinteressantesautiliserquelesprecedentes. level"),sontindependantesdelaphaseetnetendentpasverszero.deplus,ellesvarient moinsquecellesdeniesafrequencepure,lorsquelescaracteristiquesdelastructuresont sujettesaincertitude(voirau1.1.3)etced'autantplusquelastructureestcomplexe(voir Lesmoyennessurunebandedefrequencesdelapuissanceactiveponctuelleetdumodule carredelavitesselocale<jvmj2>,qu'onappellera"miel"("mass-independentenergetic unsens,lorsqu'oneectuedesmoyennesfrequentielles("m.f."). CremeretHecklontrelielapuissanceetle"miel"aupointd'injection(c.f.[20]p.295), paruneanalysemodale. Notredemarchedeterminera,independammentdesquantitesmodales,lelienentrela puissanceactiveinjecteeenunpoint,parbandedefrequences,etle"miel"entoutpoint d'unestructure. RemarqueC'estparceques,lamassesurfaciquelocaledelastructure,nedepend energetiques. pasdelafrequenceetparcequ'ilestdicileaevaluerlocalementsurunestructure complexe,qu'onachoisides'interesserau"miel"plut^otqu'aladensited'energiecinetique ponctuelle. Oneviteram^emed'introduiresdanslesexpressions,caronveutformulerunemethode simpledemiseenoeuvreexperimentale.ceciimpliquequ'onnepourrapasutiliserles bilansd'energiecinetiqueoutotale,qu'ontrouvedanslesautrestravauxsurdesquantites NotrequantiteH,pourfonctionnerdefaconanalogueauxmobilitesclassiques,doitpermettred'eectuerdeuxcalculs: -surunestructureisolee,ondoitpouvoiradditionnerlescontributionsdeplusieurs puissancesactivespeinjecteesauxpointsed'unestructure,parbandedefrequences,pour trouverles"miels"entoutpointm,enecrivant: <jvmj2>=ne Xe=1HmePe (3.4) UnoutiladditifpouruneConnectiviteEnergetique echangeesetlesenergiescinetiquesponctuellesaprescouplage(coieesparuntilde)en -surunassemblagededeuxstructures,ondoitpouvoircalculerlespuissances fonctiondesquantitesenergetiques(puissancesinjecteesouenergies)avantcouplage,sur e1 e2 e3 m e4

egalitedes"miels"aprescouplage<jfvi lessous-structuresisolees.onrealisecelaentroisetapes. Premiereetape,onecritlesequationsenergetiquesdecouplage(exactes)suivantes,a 3.1.EXPOSITIONSUCCINCTE chaquepointcrigidementcouple: cj2>=<jgvii cj2> (3.5) 33 Deuxiemeetape,onadditionnelescontributionsdespuissancesexterieures(injecteesapres couplage)etdespuissancesechangees,pourobtenirle"miel"encsursi: etpuissancesactivesmoyennesechangeesopposees <jfvi cj2>nie fpic= gpii Xe=1HIcefPIe+Nc c Xk=1HIckfPIk (3.6) etsursii: <jgvii cj2>nii exe=1hii cegpii e+nc Xk=1HII ckgpii k (3.7) puissancesactivesechangeesenfonctiondecellesexterieures: Troisiemeetape,onresoutlesystemed'equationsci-dessus,etontrouvelesm.f.des ffpicghhick+hii cki 1f[HII ke]fgpii eg [HIke]fPIegg (3.9) (3.8) Commelesm.f.despuissancesexterieuresinjectees,avantcouplage,endespointsnon obtenirlesm.f.des"miels"aprescouplage,entoutpointm,enfonctiondesm.f.des puissancesinjecteesavantcouplage,enecrivant(parexemplesursi): couples,sontquasimentinchangeesaprescouplage(cequ'onverraau3.4),onpeutalors <jgvimj2>nie Xe=1HImefPIe+Nc Xc=1HImcfPIc (3.10) meanmobilityapproach).lelecteurremarqueraqu'onasuiviunformalismeidentiquea celuidesmobilitesclassiques,exposeauchapitre2. Onvadetaillertoutcecidanslesparagraphessuivants. Onappelleracetteapprocheparmobilitesmoyennesenergetiques"EMMA"(energetic P e1 Pe2 S1 c1 c2 c1 c2 S2 m P e1 Pe2 S1 c1 c2 P c1 P c2 m S2 2 < Vm >

energetiqueentrelepointexciteeetceluidereceptionm,parlerapportsuivant: 3.2Mobilitesenergetiquessurunestructureisolee 34 3.2.1Denition Surunestructurelineaire,passive,reciproque(voirau2.1.1),ondenitlamobilite CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE oulescrochetsdesignentlamoyennesurunebandedefrequencesdelargeurf. Cerapportestintrinsequealastructure,carindependantdel'excitation. SignicationphysiquedeHmeHme=<jYmej2> <RefYeeg> (3.11) Onvamontrermaintenantquelamobiliteenergetiquerelielapuissanceactiveinjectee Onfaitalorsladoublehypothesesuivante: Developponsencorelerapport<jVmj2> aupointe,moyenneeenfrequence,au"miel"aupointm. <RefFeV <jvmj2>eg>aveclesmobilitesclassiques: eg>=<jymej2jfej2> et Hyp.1a)<jYmej2jFej2><jYmej2><jFej2> <RefYeegjFej2> (3.12) consideree(c'estlecasdeshautesfrequences,avecdesmobilitesd'entreeetdetransfert Cesdeuxrelationspeuvent^etreverieespourplusieursraisons: -silesfonctionsdelafrequencejymej2etrefyeg,oujfej2,varientpeusurlabande -sijfej2etjymej2,respectivementjfej2etrefyeegsontdesfonctionsstatistiquement assezlissees,oulecasd'uneexcitationparbruitblanc,d'amplitudeconstante) Hyp.1b)<RefYeegjFej2><RefYeeg><jFej2> independantesparrapportalavariablefrequencesurlabandef;onpeutalorsremplacerlamoyennedeleurproduitparleproduitdeleursmoyennes(cf.[6]etexplicationsa l'annexea). Onpeutalorsecrire:<jVmj2> etsimplierlerapportpar<jfej2>pourobtenirlarelationapprocheesuivante <RefFeV <RefFeV eg><jymej2><jfej2> <jvmj2> <RefYeeg><jFej2> eg>hme (3.13) lerespectdeladoublehypothesehyp.1. Cetterelationdonneunsensphysiqueanotremobiliteenergetique.Au4.1.1onlatestera surdescasnumeriques:c'estcequ'onappelleraaussi"erreurdedenition"etquitraduit (3.14)

Discussiondeshypothesesdeladenition Onpeutsedemandersil'expression3.14,estreellementassezindependantedutypede 3.2.MOBILITESENERGETIQUESSURUNESTRUCTUREISOLEE sourceutilise. QuelquesoitlesystemeexcitateurSII,laforceinjecteedansunestructureSIaupoint e,estaussil'eortdecouplage,pourleseulpointdecouplagee(cf.2.10): 35 Lefaitd'ajouterlamobiliteYII transfertjyimej2ethyp.1a)estgeneralementveriee. Pourtoutpointmdistinctdee,jFej2nevadoncpasdependreexplicitementdutermede edel'excitateurayi FIe=PNe f=1yii e+yii effii Enhautefrequenceonacertes(asymptotiquement)Re2fYI laforcefedeyi MêmedanslecasouYI mentproportionnelalasommere2fyi Or,enbassefrequence,Im2fYI jfej2etrefyi egvontêtrestatistiquementindependantesethyp.1b)seraveriee. e,donchyp.1b)estaussiveriee). eyii e,("sourcedeforce")lemodulecarrejfej2vaêtreinverse- egn'estpasnegligeable,engeneral,devantre2fyi eg+im2fyi eg. e,engeneral,decorreleenfrequence estlisseeetsonecarttypeestfaible,donc et3.14estverieemêmesileshypotheseshyp.1nelesontpas. <RefFeVeg><jYmej2> <jvmj2> <Re2fYI eg>1 <RefYeg><jYmej2> egim2fyi eg,maisre2fyi eg,donc Commel'afaitremarquerA.CARCATERRA,l'"erreurdedenition"peuts'etudieren ecrivantque et donc <RefFeV <jvmj2> <RefYeegjFej2>=<RefYeeg><jFej2>+2 <jymej2jfej2>=<jymej2><jfej2>+1 Pouruneforcedonnee,l'erreurdedenitiondependdoncseulementduterme<RefYeeg>. C'estcequ'onconstateradanslessimulationsnumeriquesduchapitresuivant. 3.2.2Nonreciprocite eg>=<jymej2jfej2> <RefYeegjFej2>=Hme+ 1+ <RefYeeg><jFej2> 1 (3.15) êtretresdierentessurdesstructuresquelconques. reciprocite: Contrairementauxmobilitesclassiques,lesmobilitesenergetiquesneverientpasla verieeasymptotiquementenhautefrequence,carletermerefyeegentoutpointetend carlesmobilitesauxdenominateursrespectifs,yeeaupointeetymmaupointm,peuvent Cecisigniequele"miel"<jVmj2>,obtenuaupointmeninjectant<RefFeV pointe,etle"miel"<jvej2>,obtenuaupointeeninjectant<reffmvmg>aupoint m,sontaprioridierents.surdesstructureshomogenescependantlareciprocitesera Hme6=Hem eg>au (3.16) versceluidelastructureinnieassociee(demêmesmateriauetepaisseur).

Positionduproblemeafrequencepure 3.2.3Additiviteenergetique 36 simultanementdanslastructurepourcalculerl'energiecinetiquequienresulteenun Est-ilpossibled'additionnerlescontributionsdeplusieurspuissancesactivesinjectees CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE point? Pourrepondreacettequestiononvad'abordecrirelemodulecarredelavitesseobtenue aupointmenexcitantlastructureparneforcesauxpointse,al'aidedesmobilites classiques: cequ'ondeveloppeencoreen jvmj2=ne Xe=1(jYmej2jFej2+Ne jvmj2=jne Xe=1YmeFej2 f6=e=1refymefeymfffg) X (3.17) Parailleurslespuissancesactivesinjecteessimultanementauxpointses'ecrivent RefFeV eg=reffe(fey ee+ne f6=e=1y XefFf)g (3.18) soit Onremarqueraquelesdeuxiemestermesde3.18et3.20peuvent^etrenegatifs. RefFeV eg=jfej2refyeeg+ne f6=e=1reffeffy X efg (3.19) quecellesinjecteesisolement(unealafois)sonttoujourspositivesetegalesa: Afrequencepure,lespuissancesactivessimultaneespeuventdonc^etrenegatives,alors RefFeV eg=jfej2refyeeg (3.20) LetermejVmj2peuts'annulerenfonctiondudephasageentrelesforcesinjectees,doncil expressions3.18et3.20,iln'estdoncpaspossible,afrequencepure,detrouverunerelation lineaireentrelejvmj2etuniquementlespuissancesactives(simultaneesouisolees). dependaussifortementdespuissancesreactives.malgrelesanalogiesevidentesdesdeux (3.21) desmobilitesenergetiques,le"miel"estegala: Consideronsdesquantitesmoyenneesparbandesdefrequence;commepourladenition Solutionparmoyennesfrequentielles etlapuissanceactivemoyenneest: Pe=<RefFeV <jvmj2>=ne eg>=<jfej2refyeeg>+ne Xe=1(<jYmej2jFej2>+Ne f6=e=1<refymefeymfffg>) Xf6=e=1<RefFeFfY X efg> (3.23) (3.22)

Onsupposeque 3.2.MOBILITESENERGETIQUESSURUNESTRUCTUREISOLEE onpeutnegligerletermepne e=1pne Hyp.2a) f6=e=1<refymefeymfffg>devant 37 et e=1<jymej2jfej2> alorsle"miel"peuts'approcherpar onpeutnegligerletermepne <jvmj2>ne f6=e=1<reffeffy Hyp.2b) Xe=1<jYmej2jFej2> efg>devant<jfej2refyeeg> AvecladoublehypotheseHyp.1onvapouvoirdevelopperlamoyenneduproduiten etlespuissancesactivesmoyennesinjecteespar <RefFeV eg><jfej2refyeeg> (3.25) (3.24) produitdesmoyennes:<jvmj2>ne Ennenecrivant<jVmj2>Ne et <RefFeV eg><jfej2><refyeeg> Xe=1<jYmej2><jFej2> (3.27) (3.26) identiqueacelledesmobilitesclassiques: onvoitappara^treunerelationlineaireentrele"miel"<jvmj2>etlespuissancesactivesisolees,nefaisantintervenirquedesmobilitesenergetiques,defaconformellement Xe=1<jYmej2> <jvmj2>ne <RefYeeg><jFej2><RefYeeg> Xe=1HmePe (3.28) energetique(descontributionsdespuissancesactivesmoyenneesenfrequence). Cetterelation,fondamentalepourtoutelamethode,estcequ'onappellel'additivite ou,sousformematricielle,f<jvmj2>g[hme]fpeg (3.30) (3.29) L'etudenumeriquedu4.1.3illustreraetapprofondiracetterelationpourdierentstypes desource.

38 CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE < Vm > 2 m P1 P3 P4 P2 e3 e4 e1 e2 Fig.3.1-Additivitedesexcitationsauxpointse Remarques 1)Leserreursdedenitionserepercutentsurlestermescarresdel'expression3.18, donc,entheorie,surl'additiviteenergetiqueaussi.cependantlessimulationsnumeriques ontmontreque,lorsqu'onutiliselesrapportsexacts<jvmj2> <RefFeVeg>aulieudesmobilites energetiqueshmedanslarelationd'additiviteenergetique,onobtientdesresultatsde lamêmequalite.demême,lorsqu'onutiliselespuissancesexactesinjecteesaulieude cellesinjecteesseparement,leresultatdel'additivitenes'ameliorepas.doncl'erreurde denitionetcellesurlespuissancescomptentglobalementpeudansl'erreurd'additivite energetique(saufpeut-êtredanslespremieresbandes). 2)LadoublehypotheseHyp.2revientasupposerquelestermesdontonprendles moyennes,refymefeymfffgde3.22etreffeffy efgde3.23,oscillentautourdezero danslabandedefrequences,acausedesmobilitesdetransfertyme,yefetymf.ceci seproduitlorsquepourtoutcoupledepointsdistincts(e;f)ou(e;m),feetymesont desfonctionsdelafrequencestatistiquementindependantes.onpeutalorsnegligerleurs moyennesdevantcellesdespremierstermes(toujourspositifs).onn'adoncpasbesoin desupposerqueleseortsfeetffsontdecorreles(commelefontd'autresmethodes energetiques),l'oscillationdesmobilitesdetransfertyme,yefetymfsutalabesogne. 3)Leslimitesdel'additiviteenergetiquesontlieesal'hypothesefondamentalequeles termesrefymefeymfffgetreffeffy efgoscillentautourdezero.silesdeuxeorts s'appliquent"aumêmepoint"e=fetsontenphase,ceciestmanifestementfaux. Pourdenirque"deuxpointseetfsontdistincts"ausensdel'additiviteenergetique onsupposeradoncque,surchacunedesbandesdefrequences,pourtoutpointm,yme6= Ymf. Engeneralilfautdoncsoulignerquel'erreurd'additivitedependfortementdeladistance entrelesdierentspointsd'excitation(compareebienentendualalongueurd'onde):il s'agitdeveriersiunedistancede=4(apartirdelaquelleonauntransfertpourles mobilitesclassiques,d'apres[91])estsusanteici. Descasparticulierspeuventsepresenter,malgrecela,surdessystemessymetriques,s'il existedespointse,fetm,telsqueyme=ymfetyee6=yef,surcertainesbandesde frequence. 4)Pourlarelation3.26,onanegligelamoyennedecertainstermesdetransfert"oscillants",auprotd'autres,toujourspositifs.Lorsqu'onaugmentelerecouvrementmodal,

devradoncsefaireenfonctiondunombred'oscillationsetduniveaudesoscillations,pour qu'onaitunbonrespectdel'additiviteenergetique.d'autressuggestionsausujetd'un indicateurpourchoisirlesbandesdefrequenceserontdonneesaue.3. (voirremarqueprecedente).lechoixdesbandespourlesmoyennesfrequentielles lesoscillationsdiminuentetcetterelationestdemoinsenmoinsveriee,saufenm=e 3.2.MOBILITESENERGETIQUESSURUNESTRUCTUREISOLEE 39 injecteessimultanementpeuventêtreapprocheesparcellesinjecteesseparement. TouteslessourcesquiverientHyp.1etHyp.2peuventdoncêtreconsidereescommedes Larelation3.25signieque,lorsqu'onlesmoyenneenfrequence,lespuissancesactives asymptotiquement,mêmesil'hypothesehyp.2nel'estpas.eneetonnegligeunecontributiond'untransfertdevantcelledirected'uneentree. pointseetfdistincts,jyefjdevientpetitdevantjyej,donclarelation3.25estveriee 5)Lorsqu'onmonteenfrequence,oulorsqu'onaugmentel'amortissement,pourdeux sourcesdepuissanceactivemoyenneparbandedefrequencesetonpeutlesmesurer 6)Larelation3.30peutêtreinverseeen3.31etdevraitainsipermettredereconstituer separement,sansreferencedephasecommune. lespuissancesactivesmoyennesinjecteesauxdierentspointsconnaissantuniquementles "miels"enaumoinsautantdepoints:les"miels"peuventêtremesuressansreferencede phasecommuneetl'unapresl'autre.cecitraduituneextrêmesimpliciteexperimentale. Commeilaeteremarquelorsdelasoutenance,cette"applicationinverse"delamethode posecependantdesproblemes. Cenesontpasaprioridesproblemesdemauvaisconditionnement,commeceuxrencontres pourlesmobilitesclassiques,correspondantadesresonancesdusystemeoualapresence d'unbruitdanslamesure(incertitudesurlesquantites).ilsviennentplutôtdufaitque fpeg[hme] 1f<jVmj2>g (3.31) leproblemeinverse,posesurdesquantitesmoyenneesparbandesdefrequences,n'apas unesolutionunique.onpeutobtenirunmêmemielaplusieursendroitspardierentes combinaisonsd'injectionsdepuissance. Uneetudespeciquedecesrelationsinversesestnecessaire,andetrouverdessolutions voisineslorsquel'ecarttypedechaquemobilite,surlabandedefrequencesestfaible quiconsententcetteunicite:parexempleilfautbienchoisirlesendroitsdemesuredes (fortrecouvrementmodal).onseraitdonctentedetesterlamethodeavecdesmoyennes mesureetlesdierentspointspotentiellementexcites. 7)LesmobilitesmoyennesdeSkudrzykutilisentdesmoyennesgeometriquesenfrequence; lesquantitesprecedentesutilisentdesmoyennesarithmetiques.cesdeuxmoyennessont "miels",avecdesmobilitesenergetiquesdetransferttresdierentesentrecespointsde geometriques;cependantonverraauchapitresuivantquec'estdanslecasdufortrecouvrementmodalquel'additiviteenergetiquepresenteleserreurslesplusimportantes.

3.3Connectiviteenergetique 40 Onavuauchapitre2quelesmobilitesclassiquespermettent,afrequencepure,deprevoir desquantiteslocalesaprescouplage,enfonctiondequantiteslocalesavantcouplage. Onavuaussiquepourprevoirlesvitessesaprescouplageetleseortsdecouplageilfaut fairedeshypothesessurlessourcesquiexcitentlessous-systemesassembles. CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE Onvavoirapresentquel'onpeutprevoirdesquantitesmoyenneesparbandesdefrequence identiqueauxmobilitesclassiquespouradditionnerlescontributionsdeplusieursexcitationssimultaneessurunestructure,onesttentedel'appliqueraucouplageponctuelde auxpointsc.enchaquepointdecouplagec,lacontinuitedesvitessesimpliquequeles "miels"aprescouplagesontegauxaussi: Ayantdeniunemobiliteenergetiqueetveriequ'elles'appliquedefaconformellement plageetcesansfaired'hypothesessurlessources. 3.3.1Tentativesimpliste aprescouplageenfonctionuniquementdequantitesmoyenneesenfrequenceavantcou- deuxstructures,toujoursencopiantleformalismeclassique,rappeleau2.3,(danslasuite decedocumentonappelleracettedemarche"simpliste"). Soientdeuxstructures(commecellesdeniesau2.1.1),fSIgetfSIIgrigidementcouplees Cesdeuxrelationsderaccordementetantexactesellesnevontintroduireaucuneerreur eortsdecouplage): Lecouplagerigideetantnondissipatif,lespuissancesactivesmoyennesechangeesrentrant respectivementdansfsigetdansfsiig,enchaquepointc,sontopposees(commeles fpic=<reffficgvi <jfvi cj2>=<jgvii cg>= gpii cj2> c (3.33) (3.32) danslecalcul. Ondeveloppealorschacundes<jfVI etdecellesechangeesauxpointsdecouplagecouk,enappliquantl'additiviteenergetique deniepourunestructureisolee(3.30): onfaitdem^emesurlastructurefsiig: f<jfvi cj2>g[hice]ffpieg+[hick]ffpikg cj2>enfonctiondespuissancesinjecteesexterieures etenutilisant3.33,onobtientlespuissancesactivesmoyennesechangeesenfonctionde cellesexterieures:ffpikg[hick+hii f<jgvii cj2>g[hii ce]fgpii eg+[hii ck]fgpii kg (3.34) puisles"miels"entoutpointmnoncouple,aussienfonctiondespuissancesinjectees ck] 1([HII ce]fgpii eg [HIce]ffPIeg) (3.35) exterieuresuniquement: Sil'onneveutpasformulerd'hypothesesurletyped'excitationexterieureutilisee,on f<jgvimj2>g[hime]ffpieg+[himk][hick+hii ck] 1([HII ce]fgpii eg [HIce]ffPIeg)(3.37) (3.36) peuticiencoreprevoirlesmobilitesenergetiquesaprescouplageghme(couronneesparun

tilde),uniquementenfonctiondecellesdesstructuresisolees,avantcouplage. PardenitionlamobiliteenergetiqueHmeestegaleau"miel"obtenuaupointmquand 3.3.CONNECTIVITEENERGETIQUE doncdirectementlesmobilitesenergetiquesaprescouplage:parexemple,silespointsm oninjecteunepuissanceactivemoyenneunitaireaupointe.del'expression3.37ontire etesontsurlastructurefsig, 41 etsimestsurfsigetesurfsiig, PourdespointsmdefSIIgilsutdepermuterlesexposantsIetII. Cesrelationsontetetesteesnumeriquementdanslecasd'uncouplagerigideentrois [ghime][hime] [HImk][HIck+HII pointsdedeuxplaquesidentiques(cf.[95]);lesresultatsetaienttressatisfaisants(onverra [ghme][himk][hick+hii ck] 1[HII ck] 1[HIce] ce] (3.38) pourquoial'annexed.4). (3.39) plaquestresdierentes([96])deforteserreurssontapparuessurcertainesquantites. Enfaitonaappliquel'additiviteenergetiquesanssavoirsiseshypothesesHyp.2a)et Hyp.2b)sontbienverieessurdesstructuresaprescouplage. Considerationsgenerales Lorsqu'onatestenumeriquementlesrelationsprecedentessurunassemblagededeux 3.3.2Lesproblemesd'unraccordementenergetique quesurunestructureisolee,d'apresl'additiviteenergetique,onnepeutpasexprimer Deplusonveutexprimerlespuissancesechangeesenfonctiondecellesexterieures,alors deseortsdecouplage. couplagecetlespointsexcitesdel'exterieure(voirleurexpressionau2.10),doncla doublehypothesehyp.2del'additiviteenergetiquen'estpasverieepourlescontributions exterieuresfe,sontproportionnellesauxmobilitesdetransfertyceentrelespointsde DanslecasgeneralellesnelesontpascarlesforcesdecouplageFc,duesauxforces activesmoyennesechangees,aveclesmobilitesenergetiquesdeniesjusqu'apresent. Sionveutcontinueraappliquerleformalismesimpleanalogueaceluidesmobilites exterieures(enleurabsenceellesdeviennentnulles). L'additiviteenergetiquenepeutdoncpass'appliquerauxcontributionsdespuissances certainespuissancesinjecteesenfonctiondesautres. classiques,uneredenitiondesmobilitesenergetiquesm^emess'averenecessaire. Lespuissancesechangeesnesontpaslesm^emesenl'absenceouenpresencedespuissances Soientdeuxstructures(commecellesdeniesau2.1.1),fSIgetfSIIg,rigidementcouplees ndefsiigs'obtientapartirdesadenition,par aupointc.onvas'interesserautransfertd'unestructureal'autre,quiaposedes Lamobiliteenergetique("exacte")aprescouplageentreunpointmdefSIgetunpoint problemespourlademarchesimpliste. Etudeanalytiqueducouplagerigideenunpoint ghmn=<jgymnj2> <ReffYng> (3.40)

42 CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE aveclesmobilitesclassiquesaprescouplagedonneesau2.3.3 gymn=yimcyii cn YI c+yii c (3.41) LespartiesreellesdeYI cetdeyii csonttoujourspositives;sionsupposequeleurspartiesimaginairesuctuentsurlabandedefrequences,ouqueleurniveaubaisseenmontantenfrequence,alorsqueleniveaudespartiesreellestendversuneconstante,la moyennefrequentielleduproduitdespartiesimaginairesest(aumoinsasymptotiquement)negligeabledevantcelledespartiesreellesetonpeutecrire: Hyp.3a)<RefYI cyii cg><refyi cgrefyii cg> Deplusonconsidereque,engeneral,lesmobilitesclassiquesd'entreeavantcouplage, au(x)futurspoint(s)couple(s)cdesdeuxstructures,ontdesdistributionsenfrequence statistiquementindependantes: Hyp.3b)<RefYI cgrefyii cg><refyi cg><refyii cg> Ledenominateurcarre<jYI c+yii cj2>de3.41peutalorss'approcherpar: <jyi cj2>+<jyii cj2>+2<refyi cg><refyii cg> endivisantletoutpar<refyii cg>onobtientdonc: <jyi c+yii cj2> <RefYII cg>hic<refyi cg> <RefYII cg>+hii c+2<refyi cg> (3.42) Onconsidere,dem^eme,quelesmobilitesclassiquesdetransfertdesdeuxstructuresavant couplage,entrelepointcoupleettoutautrepointontdesdistributionsenfrequencestatistiquementindependantes: Hyp.3c)<jYImcYII cnj2><jyimcj2><jyii cnj2> Lenumerateurcarre<jYImcYII cnj2>peutaussisedevelopperen HImc<RefYI cg>hii cn<refyii ng> Finalement,ensupposantquepourunpointnnoncoupledefSIIg,ona<RefYII ng> <RefgYII ng>,onpeutapprocherlamobiliteenergetiqueinterstructurepar: ghmn HImcHII cn HIc+HII c<refyii cg> <RefYI cg>+2<refyii cg> (3.43) Tandisquecelleobtenueparlatentativesimplisteserait: ghmnhimchii cn HIc+HII c (3.44) Onrappellequeladierenceentre3.43et3.44reetelefaitqueleseortsdecouplage dependentdeseortsexterieurs.

energetiques"deconnexion"pourdessous-structuresquivontêtrecoupleesau 3.3.3Mobilitesenergetiques"deconnexion" 3.3.CONNECTIVITEENERGETIQUE Denition Enrapprochantlesdeuxexpressionsprecedentes,onproposededenirlesmobilites 43 point(s)ccommeci-suit: -sursi,silepointexciteeestdierentdec -sursii,silepointexciteeestdierentdec: HIce=HIisolee ceic=<jyi HII ce=hiiisolee ceii <RefYI c cej2> eg>ic (3.45) energetiquessontinchangees: danstouslesautrescas,pourtoutpointmete(ycomprispoure=c),lesmobilites HIme=<jYImej2> eg>ethii me=<jyii <RefYII mej2> eg> (3.47) (3.46) Avec,pourchaquepointc,lesfacteursdeconnexionsuivants: Ic= Cesmobilitesenergetiquesvontpermettred'eectuerdescalculsenergetiquessurlessousstructurescouplees,aveclemêmeformalismequepourlesmobilitesclassiques(onutilisera alorslesmêmesformulesquepourla"tentativesimpliste",aveclesnouvellesmobilites et II HIc<RefYI HIc+HII <RefYII c<refyii cg>+hii HIc+HII cg>+2<refyii c+2<refyi c (3.49) (3.48) energetiquesdeconnexion). Commeladeuxiemequantiteutilisee,<RefYcg>,estdejadisponiblequandonforme leshmn,aucuncalculsupplementairedemoyennen'estnecessaire. energetiquefonctionneaussipourlescontributionsdespuissancesechangees. moyennesechangeesetdesmiels"aprescouplagecorrectesouencorequel'additivite Puissanceechangee C'estcequ'onvaverier,toujourspourunseulpointdecouplage. directementlespuissancesetles"miels". Commelesrelationsdecouplage(3.32et3.33)n'introduisentpasd'erreur,ilestequivalent dedireque,aveclesmobilitesenergetiquesdeconnexion,ontrouvedespuissancesactives Ladenitiondesmobilitesenergetiquesdeconnexionaeteproposeesansfaireintervenir permetdetrouverlapuissanceactivemoyenneechangeesuivante: Uncalculexactdesvitessesaprescouplage(2.13)aupointc,etdel'eortdecouplage fpic= <jffiej2refyi egjyi RefYI cej2 egjyi cj2+jyii cj2+2refyi RefYII cgcyii cg> (3.50)

44 CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE Avecl'hypotheseHyp.3a)onpeutd'abordnegligerlesecondtermeduproduitmoyen suivant:<refyi cyii cg>=<refyi cgrefyii cg> <ImfYI cgimfyii cg> Avecl'hypotheseHyp.3b)onpeutensuiteremplacerlamoyenneduproduitrestantpar leproduitdesmoyennes: <RefYI cgrefyii cg><refyi cg><refyii cg> EnutilisantaussileshypothesesHyp.3c),Hyp.2etHyp.1,onobtientlapuissanceactive moyenneechangee: fpic fpe<jyi cej2> <RefYI eg> 1 <jyi cj2><refyi cg> <RefYI cg><refyii cg>+<jyii cj2> <RefYII cg>+2<refyi cg>(3.51) danslaquelleonpeutfaireappara^tredesmobilitesenergetiques: fpic fpe<jyi cej2> <RefYI eg> 1 HIc<RefYI cg> <RefYII cg>+hii c+2<refyi cg> (3.52) onintroduitalorslefacteurdeconnexionicetonecrit fpic fpe<jyi cej2> <RefYI eg>ic HIc+HII c (3.53) soit fpic fpehice HIc+HII c (3.54) Laderniereexpressionestidentiqueacelleobtenueparlamethodedesmobilitesenergetiques (3.36),donclanouvelledenitionestecacepourunpointdecouplage. 3.3.4Complements Remarques 1)Onabienexprimelesquantitesaprescouplageuniquementenfonctiondequantites moyenneesavantcouplage. 2)Lapresentationci-dessusestquelquepeuinsatisfaisante,caronpourraitpenserqu'on denitlesmobilitesenergetiquesd'unesous-structureenfonctiondedonneesappartenant auxautressous-structuresquiluiserontattachees,unpeucommelesfacteursdepertes parcouplage(clf)delasea.cependantilfautremarquerque,contrairementauxclf, lecouplageaunetroisiemestructuren'aecteenrienlescalculsprecedents:leprocede decritci-dessusestrecursifetonnefaitpasd'hypothesesdecouplagefaible. Depluscen'estquelorsducouplagequ'onintroduitlesfacteursdeconnexionquiluicorrespondent:enpratiqueilsutdedisposerpourchaquesous-structure,avantcouplage, deshmepourtouslescouplesdepointsmeteetdes<refymg>entoutpointm susceptibled'^etrecouple. 3)Destestsanalytiquesanaloguesonteteeectuessurlesmobilitesenergetiquesapres couplagepourd'autrespoints(entrepointsdecouplage,entrepointsnoncouplesetc.).

3.3.CONNECTIVITEENERGETIQUE 45 4)Pourdeuxpointsdecouplagelemêmecalculanalytiqueaetemeneetlesmêmesfacteursdeconnexionsemblentconvenir(cf.AnnexeC.2),mêmeenpresencedetransferts entrelespointscouples. 5)Lesvericationsnumeriquesduchap^tresuivantmontrerontquelacorrectionmarche bienaussipourtroispointsdecouplage. 6)Lesmêmescorrectionss'appliquentaussiaucouplageinterneparmobilitesenergetiques. Ceciesttresimportant,carlescouplagesinternessontrecursifs,donc,enutilisantlaremarque2)du2.4,ongeneraliselavaliditedesfacteursdeconnexionpourNpointsde couplage. 7)OnappelleralamethodedenieprecedemmentEMMA(EnergeticMeanMobilityApproach),oumethodedesmobilitesenergetiques. Signicationphysiquedesfacteursdeconnection Lacorrectionapporteeparlesfacteursdeconnectionestproportionnellealadisparitedes sous-structuresassemblees,exprimeeparlerapport<refyi cg> <RefYII cg>.pluscerapports'ecarte de1,plusunestructure(lamoinsmobileaudepart)estsusceptibledebloquerl'autreet decreerunfortchangementdesamobiliteenergetiqueaupointdecouplage. CommeenndecompteseuleslesmobilitesHceentrelespointsdecouplagecetlespoints excitesedelasous-structurelaplusmobileaudepartsubissentunefortecorrection,ceci signiebienque,aprescouplage,l'eetaupointcdel'excitationaupointen'estplusle mêmequeceluisurlepointcnoncoupleetquelechangementestd'autantplusimportant quelastructureaetebloqueeparl'autre. Lessous-structuresassembleesserontcompareesetconsidereesplusoumoins"mobiles energetiquement","semblables"ou"dierentes",enetudiantlesrapportsdesmoyennes despartiesreellesdeleursmobilitesd'entreeauxdierentspointsdecouplage. Lefaitquelacorrectiondesquantitesaprescouplages'exprimeuniquementenfonction descaracteristiquesdessous-structuresauxpointscouples,doncindependammentdela positionetdelanaturedel'excitation,estindicatifdesapertinenceetdesarobustesse. 3.3.5Casnoncouvertsparlamethode Couplagesymetriquedestructuresidentiques II m2 I c m1 Lorsqu'oncoupledeuxstructuresidentiques,defaconsymetrique,onalesrelationsparticulieressuivantes(pourtouslespointsc): YI c=yii c (3.55) donconn'aplusledroitd'ecrirel'hypothesehyp.3a) <RefYI cgrefyii cg><refyi cg><refyii cg>

46 CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE (onfaituneerreurd'autantplusfortequel'ecarttypederefycgestgrand),cequi comprometdejalesexpressionsdespuissancesechangees. Deplus,pourdeuxpointssymetriquesm1etm2ona,parreciprocite, YIm1c=YII cm2 doncpourunpointdecouplagec,lecalculexactdonneun"miel"enm1dûauneforce enm2egala<jgvim1j2>=<jgfm2j2 jyii cm2j2jyim1cj2 jyi cj2+jyii cj2+2refyi cyii cg> (3.56) ouencore <jgvim1j2>=<jgfm2j2refyii m2gjyii cm2j2 RefYII m2g jyim1cj2 jyi cj2+jyii cj2+2refyi cyii cg>(3.57) ce"miel"<jgvim1j2>nepeutpluss'approcherpar <jgfm2j2><refyii m2g><jyii cm2j2> <RefYII m2g> <jyim1cj2> <jyi cj2+jyii cj2+2refyi cyii cg>(3.58) cequiseraitequivalentauresultatenergetique: <jgvim1j2>gpm2hii cm2him1cii HIc+HIIc c (3.59) eneetonnepeutplusecrire <jyii cm2j2jyim1cj2><jyii cm2j2><jyim1cj2> carlesquantitesmoyenneessontegales(etonfaitencoreuneerreurd'autantplusforte quel'ecarttypedejyim1cj2estgrand).lasimulationnumeriquedud.4.1illustrecesdeux erreurs.ellemontreaussiquelatentativesimpliste(sanslefacteurdeconnexionii c) paradoxalement"marchemieux"pourcesdeuxcas. Pourdesplaquesidentiqueslefacteurdeconnexionestsystematiquementinferieura 1ettendvers0.5enhautefrequence:c'estbienl'ecartqu'onretrouveentrelecalcul "approche"del'emmaetcelui"simpliste".pourlecastraite,avecunamortissement =0:01,lerapportentrelecalculexactetceluidel'EMMA,pourlesdeuxraisonsindiqueesci-dessus,setrouveêtreaussiproche0.5.Lecalculsimpliste,pourlecastraite numeriquement,concidetresbien(parhasard)aveclecalculexact.pourdesfaibles amortissementsilvadetoutefacondanslebonsensparrapportaucalcul"approche" del'emma;avecunfortamortissementparexempleilrisquedes'ecarteraussiducalcul exact,quisera"borne"parlesdeuxcalculs"approche"et"simpliste". Touscescassontcependantplustheoriquesquereels,carilestdiciledemesurerdesmobilitesegalessurdeuxstructures,doncd'avoiruncouplageaussiparfaitementsymetrique. Vitessesavantcouplageegalesouopposees Onaditquelesrelationsenergetiquesdecouplagessontexactesetc'estvrai.Cependant ellesnesontpasequivalentesacellesexactessurlesvitessesetsurleseorts. Lecasdedeuxstructuresayantdesvitessesopposeesavantcouplage,auxpointsde couplage,estuncasparticulierpourlequellaprevisionenergetiquepeutêtremiseamal.

Pourdeuxstructures,exciteespardessourcesdeforce,eneetle"miel"aprescouplage, aupointdecouplagec,estexactementegala 3.3.CONNECTIVITEENERGETIQUE c+yi cvii c VI c+yii cj2> c (3.60) 47 avecvii c= VI conadonc<jfvcj2>=<jvi ouencore<jfvcj2><jvi soit <jfvcj2>=<j(yii c 2YI c+yii cvi c cj2><jyii c YI c+yii cj2> 2<RefYI c)vi cj2> c (3.62) (3.61) cj2+jyii cj2>+2<refyi cyii cg> sitive.silesstructuresontlamêmemobiliteaupointdecouplage,alorsle"miel"apres donconretrancheaunumerateuretonajouteaudenominateurunemêmequantitepo- Danstouslescasle"miel"estinferieuraceluiavantcouplage,car <RefYI cyii cg><refyi cg><refyii cg> (3.63) soit couplageestnul. Lamethodeenergetiquequantaelledonne Ce"miel"peutêtresuperieurouinferieuraceluiavantcouplage,suivantlesmobilites <jfvcj2><jvi <jfvcj2><jvi cj2>+hic(<jvii cj2>hic+hii cj2>ii c+hic(ii HIc+HII c <jvi c c c Ic) cj2>ic) moyennesdesstructuresaupointdecouplage.l'erreurendbpeutêtretresimportante (3.64) (voireinnie)pourcecasdegure. Danslecasoulesvitessesavantcouplagesontidentiquessurlesdeuxstructuresaupoint decouplage,l'expressionenergetiquedu"miel"aprescouplageestinchangee(etilpeut (3.65) doncêtresuperieurouinferieuraceluiavantcouplage),alorsquele"miel"exactest toujoursegalaceluiavantcouplage.danscecascependantl'erreurnedepassepas3db.

Onvavoirapresentquel'utilisationdequantitesmoyenneesenfrequencemetenevidence uneproprieteremarquable:lespuissancesactivesmoyennesinjecteesendespointsenon 3.4.1PointsnoncouplesexcitesetTypesdesource 3.4LeconceptdeSourcedePuissanceActiveMoyenne 48 CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE desource,desquelerecouvrementmodalestsuperieura1: couples,peuventêtreconsidereescommeinchangeesaprescouplagequelquesoitletype EneetPe=<RefFeV etlamobilited'entreemoyenneene(noncouple)estapeupresinchangeeparlecouplage enunpointc(dierentdee):analytiquement,d'apres2.18,onaeneet <RefgYI eg>peutaussis'ecrire:pe<refyeeg><jfej2> eeg>=<refyi fpepe ee YI ecyi ce (3.66) soit et,comme<jyi onmoyennedesquantitesquioscillentautourdezero),onabien <RefgYI c+yii cj2><ref(yi eeg><refyi eeg> <Ref(YI ec)2(yi c+yii c)g>(carpourledeuxiemeterme <jyi c+yii ec)2(yi c+yii cg> c+yii cj2> (3.67) <RefgYI eeg><refyi eeg> (3.68) Lecouplageponctuelaectepeulavaleurmoyennedelamobiliteene,mêmepourun generalisableaucouplageennpointscdistincts(d'autantplusquelestermesqu'ona negligesnejouentpastousdanslemêmesens(ilssonttantôtpositifs,tantôtnegatifs). Onpeutecrirelamêmerelationpouruncouplageinterneenunpoint,doncelleest recouvrementmodalinferieura1. (3.69) Sourcesdeforce Larelation3.69impliquequelessourcesdeforcesontaussides"sourcesdepuissanceactivemoyenne";eneetsilamobilitemoyenned'entreenechangepasapres C'estcequ'onveriedanslessimulationsnumeriquesduchapitresuivant. moyenneinjecteeestquasimentinchangee. coupage,onpeutecrire<jfej2>=<jffej2>impliquefpepe Mêmesilavariationdelavitesseaupointexciteestmaximale,lapuissanceactive ecrire Sourcesdevitesse DelamêmemanierePe=<RefFeV En"hautefrequence",pourunrecouvrementmodalsuperieura1,lesmobilitesd'entree ontunecarttypefaibleetdeplusona<re2fyeeg><im2fyeeg>;donconpeut <Ref1 eg>peuts'ecrirepe<refzeeg><jvej2> Yeeg>=<RefYeeg jyeej2>

3.4.LECONCEPTDESOURCEDEPUISSANCEACTIVEMOYENNE soit 1 <ReffYeeg><1 <RefZeeg><RefgZeeg>. RefYeeg>1 ReffYeeg><Ref1fYeeg> <RefYeeg> 49 Donc,l'impedanced'entreemoyenneayantpeuchange, Onpeutarmerque,enhautefrequence,dessourcesdevitessesontaussides "sourcesdepuissanceactivemoyenne". Autressources<jVej2>=<jfVej2>impliqueaussifPePe Lesautrestypesd'excitationsesituantentrelessourcesdeforceetcellesdevitesse,on Predictivite tousdessourcesdepuissanceactivemoyenne!".cecipeutcontribueraexpliquer enhautefrequence. pourquoila"seapredictive",quiutiliseimplicitementlefaitquelapuissancemoyenne totaleinjecteedansunsous-systemeestinchangeeaprescouplage,aledroitdelefaire, declareque,pouruncouplageennpointsdistincts,enhautefrequence"noussommes Lecorollaireleplusimportanticiestlapredictivite:onpeutecrireles"miels"apres couplageuniquementenfonctiondeceuxavantcouplageauxfuturspointsdecouplage etenfonctiondequantitesdessous-structuresisolees,avantcouplage,moyenneesen frequence: f<jgvimj2>gf<jvimj2>g+[himk][hick+hii ck] 1(f<jVII cj2>g f<jvi cj2>g)(3.70) 3.4.2PointsdecouplageexcitesetTypesdesource Entouterigueurilfautmettreunbemolal'enthousiasmeprecedentausujetdessources Fig.3.2-"Miels"avantcouplagepourprevoirles"miels"aprescouplage depuissanceactivemoyenne:commeonl'aprecise,ilfautquelepointexcitenesoitpas unfuturpointdecouplage. Eneet,sil'onexciteunfuturpointdecouplage,leshypothesessurlessourcesdeviennenttresimportantes:sil'onsupposeparexemplequelaforceexterieuren'apaschange P c1 e1 S1 < V 2 c1 > P e2 c2< V 2 > c2 S2 m P e1 Pe2 S1 c1 c2 P c1 P c2 m S2 2 < Vm >

decouplage,pourlesquelleslesforcesinjecteesvarientfortement,ainsiquelapuissance aprescouplage(sourcedeforce),commelavitesseaupointdecouplageseraellefortementchangee,lapuissanceactivemoyenneinjecteeaupointdecouplagenepeutque changerfortement.ilenestdemêmepourdessourcesdevitesseappliqueesauxpoints activemoyenneinjectee. CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE 50 Pourlesdeuxcasextrêmesprecedentsonpeutevidemmenttrouverdesexpressionspour decouplageunique). 1)Pourunesourcedeforceene=csurSIona lespuissancesactivesmoyennesinjecteesaprescouplage,enfonctiondecellesavantcouplage,etutiliserlamethodeenergetiquedefaconpredictive(parexemplepourunpoint (lapuissanceactivemoyenneinjecteeaprescouplageestinferieureacelleavantcouplage). soit fpe=<jfej2refyi fpepehicic HIc+HII cgjyi cj2refyii c+yii c cj2> cg (3.72) (3.71) soit 2)Pourunesourcedevitesseene=csurSIona ouencore fpe<jvcj2>hic+hii fpepehic+hiic ffe=vcyi c+yii cyii HIcHIIc c c (3.73) (lapuissanceactivemoyenneinjecteeaprescouplageestdoncsuperieureacelleavant couplage). HII c c (3.75) (3.74) veritablesprevisions,surlesvitessesoulesforcesaprescouplage,quicaracteriselesmobilitesclassiques.lasourcedepuissanceactivemoyennerepresentecependantlemeilleur 3)Pourunesourcedepuissancesactivemoyenneonabienquelquechosed'intermediaire entrelesdeuxtypesdesourceprecedents,doncelledevraitcorrespondreaumieuxaux compromispredictif,mêmepourdesexcitationsauxpointsdecouplagepardessources autrestypesdesourcereelles. Theoriquementpourtouteautresourceonretombedansl'impossibilited'eectuerde quelconques.

veauxlocauxcarresdevitesse("miels")surtoutestructure. Onamontrequ'ilestpossiblededenirdesquantitesmoyenneesparbandesdefrequence, appeleesmobilitesenergetiques,quirelientlapuissanceactiveinjecteelocalementauxni- 3.5.CONCLUSIONSDEL'ETUDEANALYTIQUE 3.5Conclusionsdel'etudeanalytique 51 simultanees,parunerelationd'"additiviteenergetique"utilisantlespuissancesactivespar bandefrequentielle,injecteesseparement,endespointsdistincts,sansreferencedephase encommun. Onamontrequ'al'aidedecesquantitesonpeuteectuerdespredictionsenergetiques Onavuquecesquantitespermettentdecalculerles"miels"dusaplusieursexcitations energetiquesdeconnexionetdes"miels"dessous-structuresisolees,avantcouplage. localessurlesassemblagesrigidesenncpointssepares,uniquementapartirdesmobilites Onaennobservequepourdessourcesdeforcecommepourdessourcesdevitesse,la puissanceactiveinjecteeparbandedefrequencedansunsous-systemevariepeulorsqu'on couplecelui-cienncpoints,susammentloindupointd'injection;onenaalorsconclu quelessystemesexcitateurspeuventêtreconsiderescommedes"sourcesdepuissance mesuresoudescalculssurlessous-structuresisolees. activemoyenne"etqu'onpeutvraimentprevoirles"miels"aprescouplageapartirde Ceshypothesesvontêtreetudieesnumeriquementetleslimitesdelamethode,lieesa cesdistributionsenfrequence(nombredemodesdanslabandeconsideree,recouvrement ceuxavantcouplage. modal...),vontêtremieuxdeniesdanslechapitresuivant. Onautilisedeshypothesessimplessurlesdistributionsenfrequencedesmobilitesclassiquesetdeseortsexterieursappliques,quipeuventêtretesteesfacilementlorsdes Descomplementsanalytiquesontetereportesal'AnnexeC,ilsconcernent -lecalculdesfacteursdepertesparcouplagepourdescouplagesponctuels. -desexpressionssimplieesquinenecessitentpasd'inversion, -l'etudeenergetiqueducouplageavecunemasseponctuelle, -lescouplagesinternes, -l'etudeenergetiqueducouplageendeuxpoints,

52 CHAPITRE3.LECONCEPTDEMOBILITEENERGETIQUE Re{Yee} Acquisition des mobilites classiques Choix des bandes frequentielles Hee Formation des mobilites energetiques Calcul des "miels" avant couplage 2 < V > = m Σ e H P me e (ou reconstitution des puissances actives injectees par relation inverse) Fig.3.3-SchemaRecapitulatifdel'Applicationdel'EMMA P c = f(< V c >, 2 H ) mc 2 2 < V > = < V > + Σ m m c Calcul des puissances echangees Calcul des "miels" apres couplage H P mc c

53 ANALYSENUMERIQUE Chapitre4 SYSTEMATIQUESURDES Organisationduchapitre Danscechapitreonmetenoeuvrel'approcheparmobilitesmoyennesenergetiques(EMMA) surdescasdeplaquesminceshomogenescouplees. PLAQUESHOMOGENES Nousallonsd'abordtraiterleserreursdemethodesurunestructureisolee.Nousallonsensuitepresenterdierentscasdecouplagerigidedefaconaanalyserdessituationsvariees. bandesdefrequenceutilisees). Onsecompareratoujoursparrapportaucalculexactissudesmobilitesclassiques. Analysedeserreursdemethode Nousallonsaussitesterl'inuencedecertainsparametresglobauxdesstructures(comme l'amortissementetladensitemodale),ouducalcul(commelenombredemodesdansles -cellessurl'hypothesedesourcesdepuissanceactivemoyenne, -cellessurl'additiviteenergetique(hypothese3), -cellessurladenitiondeshmn(duesauxhypotheses1et2), -cellessurlessimplicationsdesrelationsdecouplage(hypotheses4et5). Leshypotheses1a3portentsurlesexcitations,alorsquecellesrelativesaucouplagene portentquesurlesmobilitesclassiquesdessous-systemesisoles. Onpeutclasserleserreursenquatregroupes: energetiquessurl'assemblage,apartirdecellesdesstructuresisolees,avantcouplage,englobentleserreursduesauxhypothesesdeladenition,cellessurlessourcesdepuissance, cellessurl'additiviteenergetiqueetcellessurlesrelationsdecouplage. Choixdesstructuresaetudier Noussoulignonslefaitqueleserreursqu'onfaitquandonveutreconstituerdesmobilites permettentaussid'analyserdesbandesdefrequencequicontiennentbeaucoupdemodes, (cequen'auraientpaspermisdespoutres). Deplusellesontunedensitemodaleasymptotiquementconstanteenfrequence,doncune Lesplaquemincesrectangulairesappuyeesauxquatrebords,permettentdescalculsassez "exacts"(parsommationmodale)etrapidessurunlargespectredefrequencesetelles

54CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES analyseparbandesdelargeurconstante,permetd'avoirapeupreslem^emenombrede modesparbande;seullerecouvrementmodalaugmenteenfrequence.cecisimplieles interpretations. And'etendrelaporteedesanalysesadesstructuresmoins"parfaites",onvaaussi considererdesplaquesavecdesdiscontinuitesmassiquesconcentrees,obtenuesenassemblantenquelquespointslesplaqueshomogenesprecedentesavecdesmassesindeformables ponctuelles,parlamethode(exacte)desmobilitesclassiques.cesplaques"heterogenes" peuventmettreamalcertainesmethodescommel'asymptoticmodalanalysis(quiexploitelesproprietesdesbasesdesinus),surtoutaproximitedesdiscontinuites. Lesapplicationsexperimentalesduchapitresuivant,surdescylindresmulticouche,montrerontquenotremethoden'estpaslieeauchoixd'unebasefonctionnelleparticuliere. Modelechoisipourlesplaques Lesplaquesqu'onvaetudier,vibrentenexionpureetsontminces,homogenes,rectangulairesdedimensions(LxLyh),appuyeesauxquatrebords.Leursmobilitesrespectives sontobtenuesparlesexpressionsmodalesclassiques:(voirlesreferencesde[33]) Yme=j!M1Xn=0n(m)n(e) (!2!2n+j!!n) (4.1) ou,m=lxlyh 4estlamassegeneralisee,et,pourleeniememode,d'indices(p;q), n(m)=sin(pxm Lx)sin(qym Ly)estlafonctionpropredumodeet!n=[(p Lx)2+(q Ly)2]qEh2 12(1 2) lapulsationpropredumode;eestlemoduled'young,estlecoecientdepoisson, estlamassevolumiquedumateriauetestl'amortissementhysteretique. Laplagedefrequencesvade100a5000Hz,lecalculesteectueaveclesmodescontenus dansun"rectangle"modaldec^otesdixfoisplusgrandsqueceuxdurectangledesmodes resonnants;uneerreurinferieurea5%esttolereesurlespartiesreellesouimaginairesdes mobilitesclassiques. 4.1ErreursdemethodesuruneStructureisolee Onconsidereuneplaquemincerectangulaireappuyeeauxquatrebords,ayantenviron 44modesdanschacunedesbandesde200Hzutilisees(sescaracteristiquessontdonnees dansl'annexed.1). 4.1.1Erreursdedenition Commeannonceau3.2.1onvaetudierici,suruneplaque,dansquellemesurelesmobilites energetiques,deniespar<jymej2> <RefYeg>,(3.11),peuventrepresenterlerapport<jVmj2> <RefFeV eg>entre le"miel"etlapuissanceactivemoyenneinjectee(3.14). Choixdel'excitation Pourdesforcesdespectresconstantssurlabandedefrequences,lesdeuxquantites precedentessontegales,l'erreurestnulle. And'illustrerproprementlaproprieteutilisee(cf.A.15)onvaconsidererlecas(purement numerique)d'uneforcealeatoire,demodulecomprisentre0et1[n]etdephasevariant de 2a+2[rad].Cetteforceestdoncstatistiquementindependantedetoutemobilite,

4.1.ERREURSDEMETHODESURUNESTRUCTUREISOLEE 55 d'entreeetdetransfert. Commeonveutmontrerqueladenitionrepresentelerapport"miel"/puissanceindependamment dutyped'excitationutilise,onvaaussiconsidereruneforcedueauncouplageavecun systemeexcitateurbeaucoupmoinsmobilequelastructure,ayantunevitesseunitaire Fig.4.1-Plaquesimplementappuyeeauxquatrebords Voirdansl'AnnexeD.1l'alluredesforcesutiliseesetlescommentairesulterieurs. Cecasparticulieresttresdefavorable:pourm=elaforceestcorreleeenfrequenceala mobilited'entree,voireacertainesmobilitesdetransfertenbassefrequence. surtoutelabande;cetteforceestapprocheepar:fe=1 Yee. PourFe=1=Ye,l'erreurestquasinulleenhautefrequence,maispeutdevenirimportante forcedecorreleedelamobilited'entree(forcealeatoire). Mobilitesenergetiquesd'entree Pouruneexcitationene1oncomparelesexpressions3.11et3.14,pourlesamortissements =0:01et=0:1. couvrementmodalestfortetqu'illisselaforceexcitatrice,quiserapproched'unspectre (facteurquatre)enbassefrequence. Pourdesbandesdelargeurconstante,l'erreurdecro^tglobalementenmontantenfrequence etaussiquandonaugmentel'amortissement;elleestdoncd'autantplusfaiblequelere- SurlesFigures4.2et4.3onconstatequel'erreurdedenitionesttresfaiblepourune constant. Dansl'AnnexeD.1ondonnequelquesexplicationsacesujet. ment).ellesuctuentd'unebandeal'autre,defaconirreguliereetnesontpaslesm^emes Mobilitesenergetiquesdetransfert pourlesdeuxtypesd'excitationtestes. vrementmodalaugmente(enmontantenfrequence,oulorsqu'onaugmentel'amortisse- SurlesFigures4.4et4.5oncomparelesexpressions3.11et3.14entrelepointmetle pointe1,respectivementpourunamortissement=0:01et=0:1. Leserreursdedenitionsontfaiblesentransfert;ellesnediminuentpaslorsquelerecou- m e1 e3 e2

56CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES a)pourfe=1=ye 0.1 Fig.4.2-Mobilitesenergetiquesd'entreeene1pour=0:01 b)pouruneforcealeatoire a)pourfe=1=ye Fig.4.3-Mobilitesenergetiquesd'entreeene1pour=0:1 -Hee---<jVej2> b)pouruneforcealeatoire Pe mentalastructure). Leserreursdedenitionsontlieesautyped'excitationetvarientdoncd'unebandea l'autredefaconirreguliereet"imprevisible"apartirdesseulesmobilites(lieesunique- Conclusionssurleserreursdedenition augmente(iciellessontinferieuresa3dbsilerecouvrementmodalestsuperieura1,a frequence,maisdiminuentasymptotiquementverszerolorsquelerecouvrementmodal partirdelatroisiemebande). Surlestransfertsleserreurssontplusfaiblesqu'enentree,maisnediminuentpaslorsque lerecouvrementmodalaugmente. D'apresd'autressimulationsanalogues,toutesleserreursdiminuentasymptotiquement Surlesmobilitesenergetiquesd'entreeleserreurspeuvent^etreimportantesenbasse tionsdelapartieimaginairedesmobilites)augmente,cequis'obtientenaugmentantla largeurdesbandesd'analyse). Ladependancedel'erreurdedenitionduterme<RefYeeg>setraduitparladependance verszerolorsquelenombredemodesdanslabandeconsideree(oulenombred'oscilla- H [kg/s] H [kg/s] H [kg/s] H [kg/s] 0.1

4.1.ERREURSDEMETHODESURUNESTRUCTUREISOLEE 57 a)pourfe=1=ye 0.1 Fig.4.4-Transfertm-e1pour=0:01 -Hme1---<jVmj2> b)pouruneforcealeatoire Pe1 a)pourfe=1=ye b)pouruneforcealeatoire theoriqueesttresvisibleenentree,maiselleestmoinsnettesurlestransferts. Fig.4.5-Transfertm-e1pour=0:1 -Hme1---<jVmj2> Uneetudeplusapprofondiedel'erreurdedenitionsembleraiticinecessaire,maisonva structureaugmenteavecl'amortissement)etdeladensitemodale.cettedependance del'amortissement(carleniveaumoyendelapartiereelledelamobilited'entreed'une Pe1 voirquecetteerreurn'estpasl'erreurprincipaledanslamethodeproposee. 1e-06 H [kg/s] H [kg/s] 1e-06 H [kg/s] H [kg/s] 0.1

4.1.2Erreurssurlessourcesdepuissanceenmulti-excitation 58CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES desourceetpourdeuxamortissementsdierents(gures4.6et4.7). Troistypesd'excitationsontenvisages,enchaquepointe: -Fe=1 Surunestructureisolee,onconsideretroisexcitationssimultanees,pourdierentstypes Ils'agiticidevoirdansquellemesurelapuissanceactiveinjecteeenunpoint,parbande -Ve=1enpresenced'autresforces("sourcesdevitesse"unitaire) defrequence,nechangepaslorsqu'onexcitesimultanementlastructureend'autrespoints (cf.3.4).ontrouveradescomplementsaue.1.1etaud.3. Yee,inchangeeenpresenced'autresforces("sourcesdeforce") -Fealeatoire,inchangeeenpresenced'autresforces. Globalementonconstatequel'hypothesedesourcedepuissanceactivemoyenneest a)sourcesdeforce Fig.4.6-ComparaisondesPe1pourplusieurstypesd'excitationpour=0:01 -injectionsimultanee---injectionisolee b)sourcesdevitesse c)forcesaleatoires 10 a)sourcesdeforce b)sourcesdevitesse c)forcesaleatoires pard'autressources.sarobustesseaugmenteaveclerecouvrementmodal. robusteparrapportauxvariationsintroduitesparl`excitationsimultaneedelastructure Fig.4.7-ComparaisondesPe1pourplusieurstypesd'excitationpour=0:1 -injectionsimultanee---injectionisolee 10 P [W] P [W] 1000 100 10 1000 100 10 P [W] P [W] 1000 100 1000 100 P [W] P [W]

4.1.3Etudedeserreursd'additivite 4.1.ERREURSDEMETHODESURUNESTRUCTUREISOLEE laplaqueentroispointssimultaneement,avecle"miel"obtenuparadditionenergetique Oncompareicile"miel"<jVmj2>,issud'uncalculexactdelavitesseobtenueenexcitant Onconsiderelesm^emesexcitationsqueprecedemment: descontributionsdespuissancesactivesmoyennes(injectees"unealafois"). 59 -dessourcesdevitesseunitaire -dessourcesdeforceavecfealeatoire. Calculuniquemententransfert SurlesFigures4.9oncomparelesexpressionsaupointm,nonexcitedirectement,pour -dessourcesdeforceavecfe=1 Yee lesdeuxamortissementset0.1etpourtroistypesd'excitation. < V 2>/2 [m2/s2] < V 2>/2 [m2/s2] a)sourcesdeforce 10 Fig.4.8-Comparaisondes<jVmj2>pour=0:01 b)sourcesdevitesse 10 {calculexact---resultatadditivitec)forcesaleatoires 1 1 0.1 0.1 1e-06 a)sourcesdeforce b)sourcesdevitesse 1 1 Fig.4.9-Comparaisondes<jVmj2>pour=0:1 {calculexact---resultatadditivitec)forcesaleatoires 0.1 0.1 1e-06 1e-07 1e-08 < V 2>/2 [m2/s2] < V 2>/2 [m2/s2] < V 2>/2 [m2/s2] < V 2>/2 [m2/s2]

60CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES Fig.4.10-Comparaisondes<jVmj2>pour=0:1Sourcesdeforce 1 Analysedesresultats {calculexact---resultatadditivite. autourdezero)donnentdeserreursbeaucoupplusfaibles.dierentesuivantletyped'excitationemployee,l'erreurestdoncimprevisibleaveclesseulesdonneesdelastructure. Lessourcesdeforceoudevitessedonnentdeserreurssemblables,alorsquelessources aleatoires(pourlesquelleslesforcessontdecorreleesentreellesetoscillentfortement Iciiln'yaquedescontributionsdetransfert. Onconstatequepourlaplaquelaplusamortie,(pourlemêmenombredemodes),les L'erreurestfaibleenbassefrequence,puispeutdevenirgrande(elleestdoncindependante erreurssontplusimportantes,maisellessonttoutaussiirregulieresetcenesontpasles durecouvrementmodal,quiluiaugmenteenfrequence). db(cf.figure4.10). Interpretation Leseulparametrequiexpliquelesresultatsprecedentsestlecomportementduproduit chaquebande). Sil'onconsideredesbandespluslarges(400Hz)l'erreurmaximaledecro^taenviron3 mêmesbandesquisontaectees(l'augmentationdel'erreurn'estpassystematiquepour Ceparametreestassezimprevisiblesionnefaitpaslecalculexact. croisedans3.22,quidoituctuersusammentautourdezeroaveclafrequencepour Eneetlenombred'oscillationsdespartiesreellesouimaginairesdechaquemobilitede quelecumuldecestermesdanslabandesoitfaible.cetteuctuationpeutêtredueaux forces(correleesounon)ouauxmobilitesdetransfert(doncal'eloignementdespoints). bandesdefrequence,etl'erreurglobalementaugmente:ilfautchoisirlalargeurdesbandes d'analyseparrapportaunombred'oscillationsdesmobilitesdanscesbandes(ilfautavoir C'estlecoeurduproblemedel'additiviteenergetique. Surlaplaquelaplusamortieilyamoinsd'oscillationsdesmobilites,pourlesmêmes able,surlenombred'oscillationsduproduitcomplexededeuxmobilitesdierentes. aumoinsuneoscillationparbande). transfert,quel'onareporteenannexe(d.1),nepeutquedonneruneindication,peu Autresremarquesimportantes 1)Leproduitdesforcesintervientaussidanslesproduitscroisesde3.22,donclesforces < V ^2>/2 [m2/s2] 0.1

4.1.ERREURSDEMETHODESURUNESTRUCTUREISOLEE 61 aleatoires,quirendentcesproduitsoscillantsautourdezero,donnentdesresultatsbien meilleurs. 2)Pourlestroistypesdesourcesl'hypotheseHyp.3estassezveriee(voirl'erreurde denitionsurlesmobilitesdetransfert). 3)Leserreursdedenitionsurlesmobilitesenergetiquesdetransfertsontfaibles(cf. gures4.4et4.5)ainsiquelesdierencessurlespuissancesisoleesouinjecteessimultanement(cf.gures4.6et4.7),doncellesnepeuventpasexpliquerlesforteserreurs observeespourl'additiviteenergetique. Pourenêtresûrsonapasselesmêmescalculsd'additivite: <jvmj2>phmepe, -aveclespuissancesexactessimultanees<reffev eg>(aulieudespe,injectees"unea lafois"),ou -aveclesrapports<jvmj2> <RefFeV eg>aulieudesmobilitesenergetiqueshme. C'estadire,qu'onautilisedes"ingredients"plusexacts:lesresultatsobtenusn'etaient pasmeilleursquelesprecedents. Entreeplustransfert SurlesFigures4.11et4.12oncomparelesexpressionsaupointe1,exciteaussidirectement. Lacontributiondel'excitationaupointe1devientpreponderantelorsquelerecouvrement modalaugmente;onvadoncretrouveressentiellementl'erreurdedenitiondelamobilite energetiqueaupointd'entree,quidiminueenaugmentantl'amortissement(c'esttransparentdanslecasdelasourcedevitesse).acetteerreurdedenitionsesuperposent(c'est bienvisiblepourlessourcesdeforce)desuctuationspluspetites("imprevisibles"),qui diminuentsil'amortissementaugmente,maissontindependantesdurecouvrementmodal (ellesnediminuentpasenfrequence). Cesuctuationsontdonclesmêmescaracteristiquesqueleserreursdedenitionsurles mobilitesdetransfert.ellessontdoncduesauxtransferts,quisonticidudeuxiemeordre parrapportalacontributiondel'excitationdirecte(enentree). Conclusionssurleserreursd'additivite Leserreurssurl'additiviteenergetiquepeuventêtreimportantes,surtoutpourlescalculs endespointsnondirectementexcites("transfertpur"). Unamortissementplusfort,pourlesmêmesbandes,augmenteleserreursd'additiviteen transfert(saufpournosexcitationsaleatoires,quisontlesmêmespourtouslesamortissements). Leserreurssurles"miels"auxpointsexcitessontcomparables(etsontdues)auxerreurs dedenitiondesmobilitesenergetiquesetauxerreurssurlapuissanceactivemoyenne injecteeencespoints. Desexcitationspardessourcesdeforce,aleatoires,d'ecorreleesentreellesenfrequence, donnentdeserreursbeaucoupplusfaibles(leserreursquirestentsontcellessurlespuissancesetcellesdedenition). Touscesresultatssontconformesauxremarquestheoriquesdu3.2.3. Engeneralleserreursdiminuentsilenombred'oscillationsduproduitcroisedesmobilites detransfertetdesdierentesforcesdanslabandedefrequenceaugmente.ceparametre estimprevisiblesil'onnefaitpaslecalculexact.onproposedoncd'utiliserlenombre moyend'oscillationsdesmobilitesdetransfert,(icipourunemoyenned'aumoins2oscil-

62CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES a)sourcesdeforce 10 Fig.4.11-Comparaisondes<jVe1j2>pour=0:01 -calculexact---resultatadditivite b)sourcesdevitesse c)forcealeatoire 0.1 lationsparbandeonaobtenudeserreursinferieuresa3db). a)sourcesdeforce b)sourcesdevitesse c)forcealeatoire Remarque Lesforteserreursd'additivitemontreesicipourdesplaquesamortiesneseretrouveront Fig.4.12-Comparaisondes<jVe1j2>pour=0:1 pasdanslesexemplessuivants,caronutiliseraparlasuitedesplaquespeuamorties(avec -calculexact---resultatadditivite =0:01).Unealternativeseraitdeconsidererdesbandesd'analysepluslarges,avecles plaquesamorties,mais,commelenombred'oscillationsestalorstresfaiblesurtoutesles 0.1 1e-06 bandes,ilestplusdicilededegagerdestendancesclaires. < V 2>/2 [m2/s2] < V 2>/2 [m2/s2] 1 0.1 1 0.1 < V 2>/2 [m2/s2] < V 2>/2 [m2/s2] 10 1 1 < V 2>/2 [m2/s2] < V 2>/2 [m2/s2]

4.2.ERREURSDEMETHODESURLESASSEMBLAGES 4.2Erreursdemethodesurlesassemblages Globalementons'attendaretrouverdanslecalculd'assemblageslesm^emeserreursde d'erreursupplementaire. Cependantilestinteressantdevoirsilefaitd'utiliserlescontributionsdespuissances methodequesurunestructureisolee,carlesconditionsdecouplagen'introduisentpas 63 energetique,ousilefaitd'utiliserlesfacteursdeconnexion,sutaprendreencompte echangees(correleesentreelles)introduitdeserreurssupplementairesdansl'additivite 4.2.1Presentationdesstructures lesinteractionsentrelespuissancesechangeesetlespuissancesexterieures. Onsimuled'abordl'assemblagededeuxplaquesdemobiliteestresdierentes:uneplaque mince,denieaud.4,coupleerigidemententroispointsavecuneplaquepluspetiteet quatrefoisplusepaisse. Surlagure4.13onpeutvisualiserladierencesurlespartiesreellesdesmobilites P1 P5 P4 P4 P5 P7 P1 P1 P4 S 1 P2 P6 P3 P6 P3 P2 S 2 P2 P3 0.1 0.1 classiquesetsurlesmobilitesenergetiquesdesdeuxplaques. {plaquemince---plaqueepaisse 100 1000 Re{Y} [s/kg] a)mob.classiquesrefyp1p1g Fig.4.13-Mobilitesclassiquesetenergetiquesdesdeuxplaquesdierentes b)mob.energetiqueshp1p1 H [s/kg]

suivantlesvaleursdedensitemodaleeective,recouvrementmodal,nombredemodes Pourladeuxiemeplaque,pourlesbandesde200Hz,onarapportedansletableau danslabande,longueurd'onde[m],nombred'oscillationsdelapartieimaginairedey12 64CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES (indicatif): Finf.[Hz]FsupFcentrmodes/HzRec.mod.Nb.Modes[m]Nb.Osc. 100.0 11030200.0.040 13050400.0.050 300.0200.0.040 500.0400.0.040 700.0600.0.045 900.0800.0.045 110000.0.045.084.160.266.356.449.447.316.258.223.200 10 8 15070600.0.050 17090800.0.045.472.182 1900.02100.02000.0.055.685.169 9 2100.02300.02200.0.050.795.158 2300.02500.02400.0.040.803.149 5 2500.02700.02600.0.045.141 2700.02900.02800.0.045 1.109 10.135 2900.03100.03000.0.055.977 8.129 3100.03300.03200.0.045 1.162.124 3300.03500.03400.0.045 1.261.119 3500.03700.03600.0.045 1.654.115 3700.03900.03800.0.050 1.442.112 3900.04100.04000.0.055 1.540.108 4100.04300.04200.0.045 1.616.105 4300.04500.04400.0.045 1.893.102 4500.04700.04600.0.045 2.217 11.100 4700.04900.04800.0.050 1.891 1.994 2.071 2.398 910.097.095.093.091 4 1 20 mobilitesenergetiquesdel'assemblage,aprescouplage: Pouretudierl'erreurdecouplage,independammentdel'excitation,oncompareiciles 4.2.2Analysedesresultats Reconstitutiondesmobilitesenergetiquesaprescouplage 3 -celles"exactes",deniespar3.11,obtenuesapartirdesmobilitesclassiques(exactes) -celles"simplistes"(obtenuesparlatentativedu3.3.1,sansfacteursdeconnexion) -celles"approchees",obtenuesparlamethodedesmobilitesenergetiques(emma),avec facteursdeconnexion,cf.3.3.3. Lesdeuxdernierscalculssonteectuesapartirdesmobilitesenergetiquesdesplaques isolees,avantcouplage,obtenuesparladenition3.11. N.B.Pourlesmobilitesenergetiquesd'entreeHmmetdetransfertHmn,entrepointsnon couples,onprendradirectementcellesavantcouplage,sansautrescalculs,caronaverie (cf.d.4.1)qu'elleschangentpeulorsducouplage. Descomplementsauxresultatssetrouventdansl'annexeD.2. SurlaFigure4.14onvisualisequelquestransferts,pourdesbandesdefrequencedelargeur

4.2.ERREURSDEMETHODESURLESASSEMBLAGES 65 200Hz. GlobalementonconstatequeEMMAestinteressantedanstouslestransfertstraites. Fig.4.14-Assemblagedeplaquesdierentes:mobilitesenergetiquesdetransfert a)hc1c2entrepointscouples b)hcm1pt.couplept.noncouple danslesautrestransferts. LatentativeSimplisteestinadapteelorsqu'onveutcalculerlemouvementdusystemele moinsmobile,(oud'unpointdecouplage)alorsqu'onexcitelesystemeleplusmobile (parexemplelesmobiliteshm2m1ethcm1seronttresmalcalculees);ellerestevalable {calculexact{{calculemma---calculsimpliste Reconstitutiondespuissancesechangees 1e-07 Ilestaussiinteressantdesavoirsi,apartirdespuissancesinjecteesavantcouplage,on estenmesuredeprevoircorrectementlespuissancesactivesmoyennesechangees. PourdeuxpointsexcitesP4etP5delaplaquelaplusmobile,oncomparelesresultats ducalculexactetemma,pourlestroispointsccouplessurlafigure4.15(pourplusde detailsvoiraussilafigured.6). Ilnes'ameliorepaslorsquelafrequenceaugmente.Ilnepermetpasicideprevoiravec surquelquesbandesisolees,etqu'ilpermetd'obtenirunevaleurmoyennesurlespectre. precisionlesuctuationsdelapuissanceechangeesurlesdierentesbandesdefrequence etpeutpresenterdetresforteserreurs. Reconstitutiondes"miels"aprescouplage OnconstatequelecalculEMMAdespuissancesechangeesestglobalementcorrect,sauf energetiquesdesdeuxplaquesisolees. noncoupledelaplaqueplusmobile(p4)etpourunpointnoncoupledelaplaquemoins OnvavoirquelaEMMApermetdebienprevoirles"miels"<jVj2>=2aprescouplage enfonctiondespuissancesactivesmoyennesinjecteesavantcouplageetdesmobilites SurlaFigure4.16onvisualiselacomparaisonpourunpointcouple(P1),pourunpoint Apreslesresultatssurlespuissancesechangees,onpourraits'attendreadesforteserreurs mobile(p7). aussipourles"miels"(doncpourlesenergies)...iln'enestrien! H [s/kg] H [s/kg] 1e-06

66CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES Fig.4.15-Puissancesactivesechangees {calculexact---emma c)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-06 b)puissanceaupointp2 Fig.4.16-"Miels"aprescouplage {calculexact---emma c)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-09 a)sommedes"miels"aprescouplage Fig.4.17-Assemblagedeplaquesdierentes,=0:01. {calculexact---calculemma b)puissanceechangeetotale P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-06 1e-07 1e-08 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] Ptot [W] P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08

bandes;l'erreuroscille,maisnediminuepasenmontantenfrequence(cf.aussilafigured.8b).globalementellesuitassezbienlenombremoyend'oscillationsdesparties imaginairesdesmobilites(elleresteinferieurea3dblorsquecenombremoyend'oscillationsestsuperieura2ou3). quechaque"miel"prisseparement,carleurserreursn'interviennentpassurlesmêmes plage(cf.4.2.2). Ennlasomme(donclamoyenne)des"miels"aprescouplage(Figure4.17)estmeilleure 4.2.ERREURSDEMETHODESURLESASSEMBLAGES L'erreursurles"miels"estcomparableacellesurlesmobilitesenergetiquesaprescou- 67 Les"miels"<jVj2>=2,sontbienreconstituesmêmeauxpointsdecouplage,lorsqueles puissancesechangeessontmauvaises. Celasignieque: -lapuissanceechangeetotaleobtenuedoitêtreassezbonne,(lagure4.17b)leconrme) reconstituerdes"miels"toutafaitsatisfaisants. lesystemerecepteur(quideplus,ici,estlemoinsmobile),cesontuniquementlescontributionsdes"mauvaises"puissancesechangeessurcertainesbandesquiontpermisde Surlesystemeexcitececin'ariend'extraordinaire,carlescontributionsdespuissances -lespuissancesechangeesobtenuessontcellescompatiblesaveclesmobilitesenergetiques exterieuressontpreponderantesparrapportacellesdespuissancesechangees,maissur detransfertetd'entreeauxpointsdecouplageetcontiennentdoncl'informationenergetique tanementfournissaientapeupreslamêmepuissanceactiveparbandedefrequence.on Surlastructureisolee,onadejavuau4.1.2,quedessourcesappliqueesseulesousimul- localesouhaitee. lapuissanceactiveinjecteemoyenne(parbande)nechangepassensiblement. vavoirmaintenantque,mêmeapresdescouplagesendespointsdierentsdeceluiexcite, Danslecasdel'assemblagededeuxplaquesdierenteslecouplageintroduitunfort EtudedesPuissancesactivesinjectees changementsurlastructurequietaitlaplusmobileavantcouplage(icilaplaquelaplus mince),c'estdoncuncasdefavorable. frequence,variepeuaprescouplageetquecettevariationrepresentebiencelledelapuissanceactivemoyenneinjecteeparunesourcedeforceunitaire.l'hypothesede"sources Figure4.18b). celleobtenuesurlespuissancesactivesmoyennesinjecteespardessourcesdeforce(cf. parerlespartiesreellesmoyennesdesmobilitesclassiquesd'entreeauxpointsd'injection, Pouranalyserleschangementsdelapuissanceactivemoyenneinjecteeilsutdecom- depuissanceactivemoyenne"estdoncverieeicipourdessourcesdeforce. avantetaprescouplage(cf.figure4.18a);lavariationobtenueseraproportionnellea 4.2.3Conclusionspourlecouplagedestructureshomogenes Onconstatequelapartiereelledelamobilited'entree,moyenneesurunebandede Lecalculenergetique"Simpliste"presentedeforteserreurslorsqu'onexcitedespointsnon lesfacteursdeconnexiondelaemmasontnecessaires. couplesdusystemeleplusmobileetoncalculelestransfertssurdespointsdecouplage (dontlamobiliteabaisseaprescouplage)ousurdespointsdusystemelemoinsmobile. Onaconrmepardessimulationsnumeriquesque,pourdesassemblagesdestructuresquiontdesmobilitesd'entreetresdierentesauxpointsdecouplage,

68CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES a)<refyp4g> b)<reffp4v P4g> 0.1 Lespuissancesechangeessontassezbienreconstitueesglobalement,enaugmentantlalargeurdesbandes(doncenaugmentantlenombredemodesparbande),ellesnes'ameliorent Fig.4.18-VariationdelaPuissanceactivemoyenneinjecteeaupointP4 pasenmontantenfrequence(doncenaugmentantlerecouvrementmodal). {avantcouplage---aprescouplage LesPuissancesActivesMoyennesinjecteespardessourcesdeforcechangenttrespeu tionsdespartiesimaginairesdesmobilitessuperieura5. Dansl'annexeD.2.1onvoitquel'erreurdevientinferieurea3dBlorsqu'ilyaplusde aprescouplage. deuxoutroisoscillationsparbande.sansoscillationsdanslesbandesdefrequence,l'erreurpeutdevenirenorme(erreursdesignesurlespuissancesechangees). Les"miels"<jVj2>=2,donclesdensitesd'energiecinetiquemoyennes,sontbienreconstituessurpresquetouteslesbandes. Ennl'etudedeserreurssurlesmobilitesenergetiquesaprescouplagepermetd'estimer leserreurssurles"miels"aprescouplage,independammentdel'excitation. LecalculEMMAdonnedesresultatstressatisfaisants,pourunnombremoyend'oscilla- Re{Ye} [s/kg] P [W] 0.1

desbandesdefrequences. 4.3.ETUDEDEQUELQUESPARAMETRES Andemieuxcomprendrequelsparametresinuencentlepluslesdierenteserreurs,on afaitvarierl'amortissementdesplaques,leursdimensions(densitemodale)etlalargeur 4.3Etudedequelquesparametres 69 4.3.1Etuded'unassemblageplusamorti Onavuqueenaugmentantl'amortissementhysteretiquedesplaquesprecedemment decrites,coupleesetcalculeesauxmêmespoints,doncenconservantlesmêmesdensites Pourvoircelaonarefaitlesmêmescalculsqueprecedemment,avec=0:1pourlesdeux plaqueshomogenesdierentes,coupleesauxtroismêmespoints,pourdesbandesde200 Hz(etparbandesdetiersd'octave,dansl'annexeD.2.2). Surlagure4.19onpeutvisualiserlesmobilitesdesdeuxplaques. modales,l'erreurdedenitionsurlesmobilitesenergetiquesdiminuait(cf.4.1.1)etl'erreur surl'additiviteaugmentait(cf.4.1.3).qu'enest-ildel'erreursurlespuissancesechangees? Lapuissanceactivetotaleechangee(Figure4.21a)esttoujoursmieuxreconstitueeque a)dierencedesrefyp1p1g 0.1 (Figures4.15et4.17b)etnes'ameliorentpasenmontantenfrequence. Touteslespuissancessontaussibienreconstitueesquecellesdesplaquespeuamorties cellesrelativesachaquepointdecouplage(figure4.20). b)dierencedeshp1p1 L'hypothesedesourcedepuissanceactivemoyenneiciestencoremieuxveriee(Figure4.21b). Les"miels"aprescouplagenesontpasmieuxreconstitues,queceuxdesplaquespeuamor- Fig.4.19-Mobilitesclassiquesetenergetiques: {plaquemince---plaqueepaisse 100 1000 100 1000 exciteetlespointscouples,l'amortissementplusfortfaitbaisserleniveaudesmobilites ties,saufaupointp4quiestdirectementexcite.eneet,adistanceegaleentrelepoint energetiquesdetransfert,doncreduitaussilescontributionsdespuissancesechangeesaux pointscouplessurle"miel"aupointexcite. Surlaplaqueepaisse(lerecepteur),lenombred'oscillationsdesImfYmngs'annulesur certainesbandesetl'erreurpeutdevenirtresgrande(facteursix,aupointp7,figure4.22 c). Re{Y} [s/kg] H [s/kg]

70CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES Fig.4.20-Reconstitutiondelapuissanceactivemoyenneechangee,=0:1 {calculexact---calculemmac)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-06 b)puissanceaupointp21e-06 {calculexact---calculemma a)puissanceechangeetotale Fig.4.21-Assemblagedestructuresdierentes,=0:1 {avantcouplage---aprescouplage b)puissanceinjecteeaupointp4 Fig.4.22-Reconstitutiondes"miels",=0:1 {calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-11 P [W] Ptot [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-06 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] P [W] 0.1 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10

4.3.ETUDEDEQUELQUESPARAMETRES 4.3.2Etudedurecouvrementmodaletdeladensitemodale Rôledurecouvrementmodal Enaugmentantl'amortissement,surlesmêmesbandesdefrequencelerecouvrementmodalaugmenteaussi,l'erreursurlespuissancesechangeesetcellesurles"miels"apres 71 echangeesmoyennesetcellesurles"miels"nedecroissentpas. Demême,pourunamortissementdonne,pourdeslargeursdebandeconstantes,en couplagenediminuentpas,conformementauxresultatsdel'additiviteenergetique. montantenfrequencelerecouvrementmodalaugmente,maisl'erreursurlespuissances Ceciindiquequel'erreursurlespuissancesechangeesainsiquecellesurles"miels"ne dependpasd'unseulparametresimple. Pourdesplaques,ladensitemodaleestconstanteenfrequence,donclenombredemodes Nombredemodesetnombred'oscillations Globalement,pourlesmêmesbandes,lesresultatssontmoinsbons. deuxplaquespluspetites(voirl'annexed.3). modesoud'oscillationsdesmobilitesparbande)onapasselecasd'unassemblagede Pouranalyseruncasavecuneplusfaibledensitemodale,(etunplusfaiblenombrede resteconstantpourdesbandesdelargeurconstante. parbandeestbienunparametrequiaugmentepourdesbandeslogarithmiquesetqui Pourlestiersd'octave,lefaitdemonterenfrequence,ameliorelaqualitedesresultats: seuleslesquatrebandespluslargesque400hzdonnentdeserreursmaximalesautour desoscillationsvade1a7. bandesde800hzl'erreurestinferieurea3db:lenombredemodesvade3a5etcelui de3dbpourles"miels"aprescouplage;ellescontiennentalorsaumoins2modesetla Pourlesbandesconstantesl'erreurnediminuepassensiblementenmontantenfrequence. Danstouteslesbandesde200Hzonamoinsde3modesetde0a2oscillationsdela partieimaginairedesmobilites:onconstatequel'erreurpeutatteindre10db.pourdes partieimaginairedesmobilitesoscilleenviron3foisautourdezero. larges). DepluslefaitquelaEMMAdonnedes"miels"tantôtplusgrands,tantôtpluspetits d'analyse,surlamêmeplagedefrequences,lesresultatsdeviennentmeilleurs.onl'a Largeurdesbandesdefrequence verieenprenantdesbandesde400hz(comparerfigures4.16et4.23):l'erreursurles Pourlesgrandesplaques,danslespremieresbandesde200Hz,l'erreursurles"miels" n'atteintpluslesgrandesvaleursdespremieresbandesdetiersd'octave(quietaientmoins Enresume,sionaugmenteladensitemodale,lesresultatss'ameliorentglobalement.De "miels"diminue(inferieurea2ou3db). queceuxexacts,suivantlabandeconsideree,laissepenserquesil'onelargitlesbandes Cecisembleindiquerquel'erreurmaximalesurlecalculdes"miels"aprescouplagedepend mêmesionaugmentelalargeurdesbandes. globalementdunombredemodesparbande(oudunombred'oscillationsdesmobilites). Troisconstatationsviennentcependantnuancercetteconclusion.

72CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES Pourlesbandesdetiersd'octave(voirannexeD.2)l'erreursurles"miels"nediminue c)<jvj2>=2aupointp7 pasbeaucoupenmontantenfrequence,alorsquelalargeurdesbandesetlenombrede modesparbandeaugmentent. Fig.4.23-Reconstitutiondes"miels",=0:01 Pourdesbandesconstantesl'erreurvaried'unebandeal'autre(ainsiquelenombred'oscillationsdesmobilites),alorsquelenombredemodesestlemême. Enaugmentantl'amortissement,aveclemêmenombredemodesparbande,l'erreurmaxi- {calculexact---calculemma a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-09 maleaugmente. Ceciinduitaconclurequelenombredemodesparbanden'estpassusantpourdecrire l'evolutiondel'erreur. Onavuavecl'additiviteenergetiquequelavaleurdel'erreurdependduchoixdessources etquelessourcesdeforceetcellesdevitesses(toutedeuxdefavorables)donnaientdes erreursmaximalescomparables. C'estpourcetteraisonqu'onpeutconsidererlesetudesprecedentes,eectueesavecdes sourcesdeforce,commerepresentativesd'uneerreurmaximale,pessimistemaispossible. Lefaitquel'erreursurles"miels"etcellesurlesmobilitesenergetiquesaprescouplagesoientcomparables,indiqueparailleursquecetteerreurdependfaiblementdu typedesourceutilise(mêmesiellevafortementdiminuerpourdessourcesaleatoireset cul,lespointscouplesetlespointsexcitesqu'onconsidere:l'erreurestlocaleetlieeaux independantes). Ennonremarqueraquel'erreurn'evoluepasdelamêmefaconsuivantlepointdecal- dierentstransferts. Dansl'annexeE.3ondonnedespistespourunindicateurd'erreur. < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08

eetsdeladensitemodale,durecouvrementmodaletdel'amortissement,onad'abord misenevidencelapartrelativedeserreursintroduitesparlesdierenteshypotheses. 4.4.CONCLUSIONSPOURL'ETUDENUMERIQUEDESERREURS tentd'etudierfacilementdessystemesafaibleoufortedensitemodaleetdeseparerles 4.4Conclusionspourl'etudenumeriquedeserreurs Pardessimulationsnumeriquessurdesassemblagesdeplaqueshomogenes,quipermet- 73 nuentlorsquelerecouvrementmodalaugmente(lorsqu'onaugmentel'amortissementou lorsqu'onmonteenfrequence);pourlestransfertsellesdiminuentlorsquelalargeurdela Leserreursdedenitionsontfaibles;surlesmobilitesenergetiquesd'entreeellesdimi- bandedefrequencesconsidereeaugmente. procheeemmamarchecarlessourcessecondairessontalorsnegligeablesdevantlasource principale. parlessources(deforce)"secondaires"changentconsiderablement,maislamethodeapdalaugmente.toutaulongdessimulationsonabienobserveuncomportementdesource depuissanceactivemoyenne,saufdanslecasoul'unedessourcesesttressuperieureaux autresenniveau(cf.annexee.1):danscecaslespuissancesactivesmoyennesinjectees Leserreurssurlessourcessontfaibles(Hyp.2b)etdiminuentlorsquelerecouvrementmoditiviteenergetiqueinversee,peutêtrecompletementfauxsurcertainesbandes(mauvaitissement(etlorsqu'onrapprochelespointsd'excitation). Surlesassemblages,leserreursprincipalesproviennentdel'additiviteenergetique. Lecalculdespuissancesechangeesenchaquepointdecouplage,quiutiliselarelationd'ad- lorsqu'onaugmentelalargeurdesbandes,maisaugmententlorsqu'onaugmentel'amor- Leserreurspropresal'additiviteenergetiquepeuventêtreimportantes.Ellesdiminuent deux(apeupres).lapuissancetotaleechangeeestbeaucoupmieuxreconstituee.les deuxcalculss'ameliorentlorsquelenombredemodesparbandeoulalargeurdesbandes augmentent. Lecalculdes"miels"aprescouplageestmeilleurqueceluidespuissances,mêmelorsqu'il signeouniveau)silenombred'oscillationsdesmobilitesdanslabandeestinferieura multipointrigides,deplaqueshomogenes. Leserreursdependentglobalementdespointsdecalculetd'excitationetleursuctuations dependentplusendetaildestypesdesourceutilises.ilsemblesouhaitabledeprevoir utilisedespuissancesmalreconstituees;ils'ameliorelorsquelalargeurdesbandesaugmente,maisnes'ameliorepas,voireilsedeteriore,lorsqu'onaugmentel'amortissement. l'erreurmoyennelocaleenutilisantdesindicateurslocaux. Onpreconised'utiliserlenombredepassagesazerodelapartieimaginairedesmobilites detransfertetlerapportdelamobiliteenergetiqued'entreesurlapartiereellemoyenne Globalementlamethodetesteeadonnepleinesatisfaction,danslecasd'assemblages delamobilited'entree,pourfabriquerunindicateurdelaqualiteducalcul(cf.e.3).

74CHAPITRE4.ANALYSENUMERIQUESYSTEMATIQUESURDESPLAQUESHOMOGENES

75 Chapitre5 PLUSCOMPLEXES Danscecourtchapitre,onsondeencoredeuxaspectsimportantspourlamethodedes ETUDENUMERIQUEDECAS liaisonsponctuellesreelles. -lescouplagesponctuelselastiquesetdissipatifs,quipeuventmodeliserbeaucoupde 5.1Assemblagedeplaquesavecdesdiscontinuites mobilitesenergetiques: -l'applicationaucalculdestructuresheterogenes, Onconsiderelesdeuxm^emesplaquesqueau4.2.Surlapremiereplaque,S1,auxpoints P1(0.2;0.5),P4(0.5;0.6)etP6(0.6;0.3),onaattachedesmassesponctuelles,respectivementde0.1kg,0.2kget0.5kgetonl'acoupleetoujoursauxpointsP1(0.2;0.5),P2(0.4;0.2), P3(0.7;0.3),aladeuxiemeplaque,S2. Cecasestassezcompletcarilpresenteunediscontinuitemassiquesurunpointdecouplage,unediscontinuitemassiqueenunpointexciteetunediscontinuitemassiqueenun massiques pointnoncouple,surlaquelleonpourracalculerle"miel"aprescouplage. Fig.5.1-PlaqueS1heterogenecoupleerigidementaS2 P1 P4 P5 P7 P4 P5 P3 P6 P2 P6 S2 P1 P2 P3 S1 S2 P1 P2 P7 P3

Localement,parexempleaupointP6,l'ajoutd'unefortediscontinuitemassiqueentra^ne 5.1.1Eetsdesdiscontinuitesdemassesurlastructure Mobilitesclassiques deschangementssurlesmobilitesd'entree. 76 CHAPITRE5.ETUDENUMERIQUEDECASPLUSCOMPLEXES montantenfrequence,continuentnotammentaoscillerautourdezero(cf.figure5.3)et c'estcequifaitquel'additiviteenergetiqueestveriee. Lesmobilitesdetransfertgardentlesm^emestendancesquecellesdelastructurehomogene (cf.figure5.2):leurspartiesreelleetimaginairem^emesiellesbaissentenniveauen EncomparantlesFigures5.4,et5.5,onvoitquelapartiereelledelamobilited'entree 0.04 Fig.5.2-Oscillationsdelamobilitedetransfert Plaquehomogene: -RefYmeg---ImfYmeg Re{Yp5p6} et Im{Yp5p6} [s/kg] 0.03 0.02 0 - -0.02-0.03-0.04-0.05-0.06 100 1000 0.025 0.02 5 surladiscontinuitemassiquediminuefortementenniveauenmontantenfrequence.la 0.005 niveaugeneralestplusimportantqueceluidelapartiereelle. partieimaginaireestpresquetoujoursnegative(ellen'oscilleplusautourdezero);son Fig.5.3-Oscillationsdelamobilitedetransfert,apresajoutdemasses 0 moyenneethautefrequencepeuts'ecrirehe=<re2fyeg>+<im2fyeg> LefaitqueImfYp6p6gRefYp6p6gexpliquequelamobiliteenergetiqued'entreeen Plaqueheterogene: -RefYmeg---ImfYmeg -0.005 <RefYeg> <Im2fYeg> <RefYeg> - 100 1000 Re{Yp5p6} et Im{Yp5p6} [s/kg]

5.1.ASSEMBLAGEDEPLAQUESAVECDESDISCONTINUITESMASSIQUES77 Fig.5.4-Mobilited'entreedelaPlaquehomogeneS1enP6 -RefYp6p6g---ImfYp6p6g 0.05 masses'imposeenhautefrequence. L'ajoutdemassesentra^neuncertainlissageasymptotiquedescourbes:lamobilitede Partiereelle Fig.5.5-Mobilited'entreedelaPlaqueheterogeneS1enP6 Partieimaginaire Mobilitesenergetiques -0.006 mentdumêmeniveauquecellesdelaplaquehomogene(saufenbassefrequence,oule niveauxde<im2fyeg>et<refyeg>ontapeupreslamêmedecroissanceen Lesmobilitesenergetiquesd'entreesurunediscontinuitemassiquerestentasymptotique- frequence). Lesmobilitesenergetiquesdetransfert,entreunpointexcitequelconqueetunpointde niveaubaisse,cf.figure5.6a),etceniveauestpresqueconstantenfrequence(carles energetiquesd'entreeetdetransfert.c'estunresultatimportant,quipeutsedemontrer Figure5.6b).Ellessontfortementdissymetriques:sionexcitelastructuredirectement masseconcentree,diminuentfortementparrapportacellesdelaplaquehomogene(cf. surlamasseconcentree,lestransfertsavecd'autrespoints(sansmasse)delaplaquerestentcomparablesaceuxd'unestructurehomogene(cf.figure5.7). Lapresenced'unediscontinuitemassiqueaupointd'excitationaectepeulesmobilites pourlespremieresbandeschoisies. (cf.annexec.3).onvisualiseparlamêmeoccasionquesurunsystemehomogene(figure5.7a)onaunetresbonnereciprocitedesmobilitesenergetiquesdetransfertaussi Re{Yp6p6} et Im{Yp6p6} [s/kg] Re{Yp6p6} [s/kg] 1e-06 0.06 0.04 0.03 0.02 0 - -0.02-0.03-0.04 100 1000 1e-07 100 1000 Im{Yp6p6} [s/kg] 0.002 0 - -0.002-0.003-0.004-0.005 100 1000

78 CHAPITRE5.ETUDENUMERIQUEDECASPLUSCOMPLEXES a)changementsenentree Fig.5.6-Changementssurlesmobilitesenergetiques,parajoutdemasse b)changementsentransfert 0.1 {plaquehomogene---plaqueheterogene 1e-08 a)plaquehomogene:quasi-symetrie Fig.5.7-MobilitesenergetiquesdetransfertentreP5etP6 -HP6 P5---HP5 P6 b)plaqueheterogene:dissymetrie danslecalculencepoint(figure5.8.cen'estpaslecas.lapuissanceechangeeence pointestinferieureauxautres,surtoutenhautefrequence,maisl'erreurestcomparable 5.1.2Puissancesechangeeset"Miels"aprescouplage EncomparantlescalculsexactetEMMAdespuissancesactivesmoyennesechangees,aux troispointsdecouplagerigide,onpeutvoirsiladiscontinuiteenp1induitplusd'erreur 1e-08 ettoutafaitadmissible. LespointsdecalcullesplussensiblessontlepointP6(surlaplusgrossediscontinuite massique)lepointp7(noncouple,surlaplaqueepaisse)etlepointp1;c'estpourquoi (auxautrespointsilssontequivalents,voiremeilleurs). Lesresultatssonttressatisfaisants,m^emeencespoints"critiques". oncalculele"miel"aprescouplageencespoints(figure5.9). aprescouplage,doncsurunestructureheterogene. M^emepourdessous-structureshomogenes,unpointdecouplageconstitueunediscontinuitesurleurassemblage.Onavaitdejavuquel'additiviteenergetiquemarchaitbien 5.1.3Conclusionspourl'assemblagedestructuresheterogenes H [s/kg] H [s/kg] 0.1 H [s/kg] H [s/kg] 0.1 1e-06 1e-07 0.1 1e-06 1e-07

5.1.ASSEMBLAGEDEPLAQUESAVECDESDISCONTINUITESMASSIQUES79 Fig.5.8-Puissancesactivesmoyennesechangees c)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-06 b)puissanceaupointp21e-07 Fig.5.9-Reconstitutiondes"miels"auxpoints"critiques": -calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp7 Globalementlesresultatspourl'assemblageheterogenetraitesontpresquemeilleursque faisantessurtoutelagammedesfrequences,enentreeetentransfert. M^emesiladynamiquedes"miels"auxpointsdemasseconcentreeestbeaucoupplus Lasimulationdecettesectionnefaitqueconrmerquelamethodedesmobilitesenergetiques doitfonctionnerindependammentdutypedestructure. grandequepourdespointsquelconques,lesprevisionsducalculemmasonttressatis- a)<jvj2>=2aupointp11e-10 b)<jvj2>=2aupointp61e-09 danslecasdesplaqueshomogenes. Lenombred'oscillationsparbandebaissetrespeumaisdevientplus"irregulier"quepour transfertal'autre). Onpeutdoncsedemandersilacomplexitecroissantedesstructuresnetendpasa ameliorerlesresultats(defaconanaloguealasea). lesplaqueshomogenes(l'ecarttypedecenombreaugmenteetilchangebeaucoupd'un P [W] < V 2> [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 P [W] < V 2> [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 P [W] < V 2> [m2/s2] 1e-06 1e-06 1e-07 1e-08

80 CHAPITRE5.ETUDENUMERIQUEDECASPLUSCOMPLEXES 5.2Couplageselastiquesdissipatifs Danslessimulationsnumeriquesquisuiventonprenddenouveaulesdeuxplaquesdu4.2, coupleesauxm^emespoints,avectroissystemesintermediairesidentiquesetsymetriques, constitues,chacun,dedeuxpetitesmassesm1=m2=m,avecunressortetunamortisseur,dontonfaitvarierlamassem,laraideurkduressortetl'amortissementc(voir Figure5.10). Oncomparealorslespuissancesechangeesetles"miels"aprescouplage,obtenusparle P1 P4 P5 P6 P3 P2 S 1 P2 P3 P1 P7 P7 P6 P5 P4 C K K C K C P1 P2 P3 S 2 Fig.5.10-PlaqueS1coupleeaS2parsystemesintermediaires P6 P5 P4 P2 P3 P1 P7 P6 P5 P4 K K C K C C S2 P2 P3 P1 P7 P6 P5 P4 A2 K K C K C C P2 P3 P1 A1 C1 K K C K C C S1 P2 P3 P1 Fig.5.11-Demarched'assemblagedeS1etS2parlesystemeintermediaireC1 calculexact(parmobilitesclassiques),ceuxobtenusparlecalculemmadel'assemblage dea1(exact)aveclaplaques2(voirfigure5.11).onconsideredonclessystemesintermediairesc1commeetantrattachesaunesous-structure(icias1),lecalculemma estalors"partiel"(seulementsurlecouplagedea1avecs2). Cetteapproche,bienquepluslonguedupointdevued'uneeventuelleoptimisationdes systemesintermediaires(quidoit^etreeectueeenpartieparlamethodedesmobilitesclassiques),estsimpledanssamiseenoeuvreexperimentale:ilestplussimple(etrealiste) decaracteriserlessystemesdecouplagelorsqu'ilssontreliesaunesous-structureque lorsqu'ilssontisoles.

Consideronsd'abordunsystemedecouplagede"faible"raideur(M=0.0005[kg],K=100 [N/m],C=0.1[N.s/m]);safrequencederesonnanceestautourde70Hz,etsamobilite d'entreeestvisualiseesurlafigure5.12. 5.2.COUPLAGESELASTIQUESDISSIPATIFS 5.2.1Etuded'unsystemedecouplagedefaibleraideur Lespuissancesechangeessontglobalementassezbienprevues;(cf.Figure5.13)l'erreur 81 peutcependantatteindre10dbsurcertainesbandes. Les"miels"aprescouplagesontbienreconstitues(Figure5.14),m^emeaupointnon Fig.5.12-Mobilited'entreedusystemeintermediaire Re{Ym1m1} et Im{Ym1m1} [s/kg] 4 2 0-2 -4-6 -8 10 100 1000 10000 1e-08 Fig.5.13-Puissancesactivesmoyennesechangees(recuesparS2) 1e-08 1e-08 -calculexact---calculemmac)puissanceaupointp3 1e-09 1e-09 1e-09 1e-10 1e-10 1e-10 1e-11 1e-11 Lorsqu'onaugmentel'amortissementd'unfacteurdix:C=1,aveclesautresdonneesinchangees,leserreurssurlespuissancesetsurles"miels"aprescouplagesontglobalement despuissancesechangees,paradditiviteenergetique. Couplageplusdissipatif couplep7delastructurereceptrice,c'estadireenutilisantuniquementlescontributions 1e-11 a)puissanceaupointp11e-12 b)puissanceaupointp21e-12 lesm^emes,oubaissentlegerement(voirannexee.2.2). P [W] P [W] P [W]

82 CHAPITRE5.ETUDENUMERIQUEDECASPLUSCOMPLEXES c)<jvj2>=2aupointp7 OnconsideremaintenantunsystemedecouplagederaideurK=100000;danslaplage Fig.5.14-Reconstitutiondes"miels"(P1estsurS2) -calculexact---calculemma systemesintermediaires(environ3100hz)etunezoneaudessus(figure5.15). d'analyse100-5000hzonamaintenantunezoneendessousdelaresonnancedes 5.2.2Etuded'unsystemedecouplagedeforteraideur LecalculEMMAestgeneralementsatisfaisant,avecdeserreursallantjusqu'aunfacteur a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-15 Fig.5.15-Mobilited'entreedusystemeintermediaire Couplageplusdissipatif cinqsurlespuissancesetaunfacteurtroissurles"miels".(cf.figures5.16et5.17) -partiereelle---partieimaginaire Lorsqu'onaugmenteencorel'amortissementd'unfacteurdix:C=10,aveclesautresdonnees plagesontglobalementlesm^emes,(voirannexee.2.5). inchangees,leserreursducalculemmasurlespuissancesetsurles"miels"aprescou- < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12 1e-13 1e-14 Re{Ym1m1} et Im{Ym1m1} [s/kg] 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1.2-1.4-1.6 < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-10 1e-11 1e-12 1e-13 1e-14

5.2.COUPLAGESELASTIQUESDISSIPATIFS 83 Fig.5.16-Puissancesactivesmoyennesechangees(recuesparS2) c)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-09 b)puissanceaupointp21e-08 Fig.5.17-Reconstitutiondes"miels"(P1estsurS2) c)<jvj2>=2aupointp7 5.2.3Conclusionspourlescouplageselastiquesetdissipatifs {calculexact---calculemma a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-12 Pourlescalculsautouretendessousdecettefrequenceonpreconisederattacherles systemesintermediaires,etd'autantpluslentementqueladissipationestforte. Lamethodedesmobilitesenergetiquesfonctionnedefaconsatisfaisantepourlescouplages systemesdeliaisonal'unedessous-structuresetdemesurerlesmobilitesdecetensemble. multipointelastiquesetdissipatifs,ensuivantlademarchesuivante. Sil'onconsiderelesliaisonscommeunsous-systemeapartC1(masses-ressorts-amortisseurs) intermediaire,lescalculapproche("total")del'assemblagedestroissous-systemess1,c1 ets2,neconvergeversuncalculcorrectqu'audessusdelafrequencederesonnancedes Lecalculapproche("partiel")devientalorstoutafaitsatisfaisant,aveclesm^emesniveaux d'erreurquepourlescouplagesrigides. P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11

elastiques,deplaqueshomogenesouheterogenes. Lapresencedediscontinuitesmassiquessurlesplaquesneperturbeaucunementlaqualite 5.3Conclusionspourlescomplementsnumeriques GlobalementlaEMMAestapplicabledanslecasdecouplagesmultipointrigidesou 84 CHAPITRE5.ETUDENUMERIQUEDECASPLUSCOMPLEXES aussisatisfaisantqueceluidescouplagesrigides,maisunefortedissipationauxliaisons desresultatsdel'emma,voirelesameliore,contrairementadesmethodescommel'ama. jouecommeunfortamortissementetdeteriorelaprevisiondes"miels"aprescouplage. preconisedelesintegreral'unedessous-structuresavantcouplage.lecalculestalors Lesliaisonselastiquesetdissipativespeuvent^etreprisesencompteentantquesoussystemesapart(formesdemasses,ressortsetamortisseurs)seulementasymptotiquement, audessusdeleurfrequencederesonnance.autouretendessousdecetteresonnanceon

85 APPLICATIONADESDONNEES Chapitre6 ISSUESDEMESURES Lorsqu'onutilisedesdonneesissuesdemesures,desnouvellesdicultesapparaissentpar rapportauxsimulationsnumeriques,maisaussidenouveauxavantagesdelamethodedes mobilitesenergetiques. mesuresmeneessurdesassemblagesdestructuressimples(cylindresetplaquesuspendus). Lesdicultesconcernentlesmobilitesclassiquesmesureessurdessystemesreels,et, commecesontlesingredientsdebasepourlesmobilitesenergetiques,ellesserepercutent surcesdernieres. 6.1Etuded'assemblagesdestructuressimples Ontrouveraal'AnnexeFunrappeldelamethodologiedemesuredesmobilitesclassiques etdesdicultesrencontreeshabituellement. Danscechapitreonrelatebrievementlamiseenoeuvreetlesprincipauxresultatsdes sitedevandoeuvre,auservicemetrologievibrationsacoustique,danslaperiodeoctobredecembre1996. Ils'agitd'etudiersilecalculd'assemblageparmobilitesenergetiquess'appliquebienaux donneesissuesdemesuressurdesstructuressimples,avecdesamortissementsimportants Choixdessystemessimplesaetudier oufaibles,etdemettreaupointlestechniquesd'excitationetmontagequiserontutilisees pourlesmesuressurleclimatiseur. L'hypothesedecontactponctuelparforcenormale,utiliseedanslelogicielal'etatactuel, Lesexperiencesonteteeectueesal'InstitutNationaldeRechercheetSecurite(INRS), impliquelechoixdesous-systemesaveccetypedeliaison. Onsouhaitaitenoutrequelessystemesetudiessoientpluscomplexesquelessimplesassemblagesdeplaquesetudiesnumeriquement,qu'ilsaientunedensitemodalesusanteet qu'ilssoientmesurablessuruneplagedefrequenceslaplusetenduepossible(peuamortis etsusammentepaisetrigidespourquelescapteursutilisesnedeterminentpas,parleur masse,unefrequencemaximaletropbasse). Ennilfallaitquecesstructuressoientdisponiblesrapidement,avecuntravailsupplementaire minimum. PourcetensemblederaisonsonachoisideuxcylindresenPVC(bienamortis)etle couvercleduclimatiseur(peuamorti,fortedensitemodale).

Mesureseectuees Dansl'annexeF.2ontrouveraledetaildesmesurespreliminaireseectuees,dumateriel 86 utiliseetc... CHAPITRE6.APPLICATIONADESDONNEESISSUESDEMESURES m(oun)quelconque,nonbloque. Mesuressurl'assemblage Surlessous-systemesisoleschoisisprecedemmentonamesurelesmobilitesd'entreeau futurpointdecouplagecetlesmobilitesdetransfertentrecepointcetunautrepoint Mesuredesmobilites"avide" 6.2Assemblagededeuxcylindresfortementamortis Onarealiseunassemblageponctueldesdeuxsystemesprecedentsparunpetitboutde LesystemeS1("groscylindre"),estuntricouchedePVC-Fibresdeverre-PVCde Onamesurelesmobilitesdusystemeassembleentrelestroispointsm,netc. viscolle,aupointc. LesystemeS2("petitcylindre")enPVCaundiametreexterieurde100mm,unelongueur de407mm(environ)etuneepaisseurde3mm;sadensitemodalepeutaprioris'averer diametreexterieur250mm,longueur1367mmetepaisseurs1.5+7+1.5mm. insusante:ilfaudraconsidererdesbandesdefrequenceassezlargespourquelamethode desmobilitesenergetiquesmarche. Descriptiondumontageettests M2 CFig.6.1-Mesuredesmobilitesdesdeuxcylindresisoles M1 C LMS

unlminceennylon(decoupledusupportpardeselastiquesencaoutchouc)etmuni supportpardessandows)passantparunegeneratrice(poureviterdepercerlemateriau Legroscylindreaetesuspenduhorizontalementparunl(enNylontresse,isoledu composite). Lepetitcylindrepercediametralementpresdusommetaetesuspenduverticalementpar 6.2.ASSEMBLAGEDEDEUXCYLINDRESFORTEMENTAMORTIS 87 structures. d'unboutdeviscolleaufuturpointdecouplagec(avecdelacollebiphasique,tresdure, Onaexcitesuccessivementaupointmetaupointcetmesurelalaforceinjecteeetla utiliseepoureviterd'exciterparmoments). excitationtypebruitblanc,etreliealatêted'impedanceparunetigemince("stinger", peuamortissante). vitesseencetenmpardesaccelerometreslegers(kiestler0,4gavecelectroniqueintegree): Lepotvibrantaetesuspenduhorizontalementparsoncerceau,piloteparLMS,avec ceciapermisd'obtenirlesmobilitesd'entreeetdetransfertsurlesdeuxsous-structures isolees. EncomparantlesmobilitesdetransfertYmcetYcm,quidoiventêtreegales,onateste Auboutdelatêted'impedanceonaxeunboutdevis(1.1g)quiaetecolleaux lareciprocitedesmesuresdemobilite(bonmontage,linearite,bruitdefond...)(cf. Figure6.2). 0.008 YAP20203 YAP_0302 Re{Y} [m/s/n] a)ym2m1etym1m2surassemblage -0.004 0.004 0.003 YGR10201 YGR20102 0.006 0.002 0.004 0.002 0 Onaensuitecouplelesdeuxstructuresaupointc,encollantaugroscylindrel'extremite 0 - libredelavisdupetitcylindre(cf.figure6.3).onaverie(cf.figuref.5)pardeux -0.002 accelerometresplacesal'interieurdechaquecylindre,encorrespondanceaveclavis),que -0.002 lecouplageetaitbienrigideetpeudissipatifet,accessoirement,qu'iln'yavaitpasd'eet Fig.6.2-TestsdeReciprocite(permutationexcitation/accelero.) -0.004-0.003 de"pompage"dansl'epaisseurdugroscylindre(mêmevitessededansetdehors).onafait -0.006 demêmeaupointexcite(pourquelaforcemesureeparlatêted'impedancesoitcorrecte, ilfautquelavitessedonneeparlatêted'impedancesoitlamêmequecelleobtenuesur 10 100 1000 10 100 1000 Re{Y} [m/s/n] b)ycm1etym1csurgroscylindre

88 CHAPITRE6.APPLICATIONADESDONNEESISSUESDEMESURES servirontavaliderlesprevisionsdelamethodedesmobilitesclassiquesetdelamethode M2 desmobilitesenergetiques. lastructureaupointd'excitation).onaalorsmesurelesmobilitesaprescouplagesqui Fig.6.3-Couplageaupointcdesdeuxcylindrestresdierents M1 C Onadesassembleetreassemblelessystemes,pourverierlareproductibilitedesmesureseectuees:pourdescouplagessusammentrigides(colledure)elleestbonne. LMS lesmobilitesaprescouplage,suivantlesformulesduchapitre2. ontetebiendenies. choisiesetquelesmobilitesdesdeuxcylindressonttresdierentes(cf.figure6.4).c'est doncuncasdegurequivapermettredevoirsilesmobilitesenergetiquesdeconnexion Resultatsducalculparmobilitesclassiques Lesresultatssontbons(cf.Figures6.5a6.7),carsurdessystemesfortementamortisles Onremarqueraiciquelesmobilitesclassiquesoscillentpeusurlesbandesde200Hz mobilitesdespointsnoncouplesvarientpeusilesconditionsauxlimiteschangentunpeu. Cespetitschangementssontcependantbienprevusparlecalcul:lesfaiblesdierencesde niveauentrecalculetmesureaprescouplageconrmentquelesmontagesetaientsoignes, lescouplagespeudissipatifs,lebruitdefondfaibleetlescontributionsdesforcesnormales Apartirdesmobilitesmesureesavantcouplagesurlessous-structuresisolees,oncalcule nefautpasoublierdecompareraussilespartiesimaginaires(figure6.6),carleserreurs tressuperieuresacellesd'eventuelsmomentstransmisparlecouplage.onabieneectue uneexperiencedelaboratoire. Encomparantlagure6.5etlagure6.8ons'apercoitcependantquelavisualisation desprevisionsapprocheescumulentcellessurlespartiesreellesetcellessurlesparties enbandeneesttrompeuse,carlesdierencessurlespicssontmalappreciablesetil imaginaires,parbandesdefrequences.

6.2.ASSEMBLAGEDEDEUXCYLINDRESFORTEMENTAMORTIS 89 Re{Y} [m/s/n] 0.08 0.007 Ypt_0101 0.006 Ygr_0101 0.06 Ypt_0102 Ygr_0102 0.005 a)petitcylindre 0.04 0.004 Fig.6.4-Mobilitesd'entreeetdetransfertdesdeuxsous-structuresisolees b)groscylindre 0.003 0.02 0.002 0 0-0.02 - -0.002-0.04-0.003-0.06-0.004 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Re{Y} [m/s/n] Re{Y} [m/s/n] 0.045 Yca_0303 0.04 Yap_0303 0.035 Ypt_0202 Fig.6.5-RefYm2m2gaprescouplage:(Yca)calcule;(Yap)mesure 0.03 0.025 et(ypt)mesureavantcouplage,pourl'assemblagededeuxcylindres 0.02 5 0.005 0-0.005 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

90 CHAPITRE6.APPLICATIONADESDONNEESISSUESDEMESURES 0.025 0.02 5 Yca_0303 Yap_0303 Ypt_0202 Im{Y} [m/s/n] Fig.6.6-ImfYm2m2gaprescouplage:(Yca)calcule;(Yap)mesure et(ypt)mesureavantcouplage,pourl'assemblagededeuxcylindres 0.005 0-0.005 - -5-0.02 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 0.005 0 Yca_0203 Yap_0203 etparmesureaprescouplage(yap)transfertentredeuxcylindrescouplesenunpointc Fig.6.7-RefYm1m2gparCalculclassique(Yca) -0.005 - -5-0.02 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 Re{Y} [m/s/n]

leursmobilitesenergetiquesetoncalculelesmobilitesenergetiquesaprescouplage,suivant lesformulesemma(cf.chapitre3)avecdesbandesdelargeurconstante200hz. Resultatsducalculparmobilitesenergetiques 6.2.ASSEMBLAGEDEDEUXCYLINDRESFORTEMENTAMORTIS Onobtientainsilesmobilitesenergetiquesaprescouplageenentreeaupointm2dupetit Apartirdesmobilitesmesureesavantcouplagesurlessous-structuresisolees,onforme 91 cylindre(cf.figure6.8)etentransfert,entrelepointm1dugroscylindreetlepointm2 etaientsouventnuls,commelemontreletableausuivant. saufpourlestroispremieresbandesde200hz. dupetit(cf.figure6.9)etentrelepointm1etlepointccouple(cf.figure6.10). sontaussiprecisqueceuxobtenusparlamethodeclassique(courbes"hex"ou"hex"), Contrairementauxattentes,lesautresbandesde200Hzn'etaientpastropetroites, pourtantlesnombresd'oscillationsdespartiesimaginairesdesmobilitesdesdeuxcylindres OnremarqueraaussiquelesresultatsobtenusparlaEMMA(courbesHNRJouHnrj) Fcentr[Hz]GrosCyl.PetitCyl.Fcentr[Hz]GrosCyl.PetitCyl. 150.0 350.5 550.4 Nombresd'oscillationsdespartiesimaginairesdesmobilitesYmc 1150.0 3 2 2150.0 2350.0 2550.0 2750.0 2950.0 3150.0 2 Onpeutremarquerquelestransfertssurunestructurefortementamortie(groscylindre) 1350.0 1550.0 1 3350.0 3550.0 1 sontnegligeablesparrapportauxcontributionsdirectes,m^emesilesmobilitesn'oscillent 1750.0 1950.0 10 0 3750.0 3950.0 0 pasbeaucoup:onn'apasbesoindel'eetdemoyenne. L'erreurmaximalesurlesautresbandesestautourdes3dBqu'ons'etaitprexescomme 1 "erreuradmissible"pournotremethodeapprochee. 0 Ennonconstatesuruntransfertentrelepointcoupleetlepointexcite(quiserait mauvaissansfacteursdeconnexion),queladenitiondesmobilitesenergetiquesproposee numeriques(cf.figure6.10). pourlessystemescouples,fonctionnebien,conformementauxresultatsdessimulations

92 CHAPITRE6.APPLICATIONADESDONNEESISSUESDEMESURES H [s/kg] H [s/kg] Mobiliteenergetiqued'entreeHm2m2aprescouplage Fig.6.8-EMMA(Hnrj)-Calculclassique(Hex)-Mesure(Hmes) 0.1 Hnrj0303 Hex_0303 Hmes0303 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 MobiliteenergetiquedetransfertHm1m2aprescouplage Fig.6.9-EMMA(Hnrj)-Calculclassique(Hex)-Mesure(Hmes) Hnrj0203 Hex_0203 Hmes0203 1e-06 1e-07 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 MobiliteenergetiquedetransfertHcm1aprescouplage Fig.6.10-EMMA(Hnrj)-Calculclassique(Hex)-Mesure(Hmes) Hnrj0102 Hex_0102 Hmes0102 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 H [s/kg]

6.3.ASSEMBLAGED'UNCYLINDREETD'UNCOUVERCLEDECLIMATISEUR93 replies,de20mm. Suspenduverticalement,ilaetecoupleaupetitcylindre,toujoursencollantleboutde visquidepassedupetitcylindreaunpointquelconquedelaplaque. 6.3Assemblaged'uncylindreetd'uncouverclede Lecouvercleduclimatiseurestunrectangleenacier885*275*1mm,ayantdesbords Onmesuredonclesmobilitesd'entreeetdetransfertducouvercleseuletdel'ensemble climatiseur ducouplage,surlesdeuxstructures. couvercle-cylindre,commeprecedemment. Onaverielaaussiquelavitesseaupointdecouplageestlam^emedepartetd'autre Lesmobilitesclassiquesducouverclesontbeaucoupplus"piquees":onaunedensite a)sous-structuresisolees Fig.6.11-Couplageaupointcducouvercleetdupetitcylindre b)assemblageaupointc M1 C C M1 C zero);onn'acependantpas"nettoye"lespicsanormaux(dontlalargeurn'estpascompatibleavecl'amortissemen)t,cequipeutexpliquerlesdierencesentrecalculetmesurelindres(cf.figure6.12). Avantdefairelescalculsilaetenecessairede"nettoyer"lesdonnees(cf.F.1.2)carles modalebeaucoupplusforteetunamortissementbeaucoupplusfaiblequepourlescy- partiesreellesdesmobilitesd'entreepresentaientdesvaleursnegatives(qu'onamisa LMS LMS M2 Commepourlessimulationsnumeriques,onconstatequelesdierencesentreresultats M2 classiques("exacts")etapproches(emma)sontimprevisiblesetnediminuentpasen montantenfrequence.

94 CHAPITRE6.APPLICATIONADESDONNEESISSUESDEMESURES 0.05 0.04 0.03 Yplt0101 Yplt0102 Re{Y} [m/s/n] 0.02 Fig.6.12-MobilitesYccetYcm2ducouvercleseul,suspendu 0 - -0.02-0.03-0.04 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 0.1 Hnrj0202 Hex_0202 Hmes0202 DanscecasaussilesresultatsdelamethodeEMMAsonttoutaussibonsqueceuxdela methodedesmobilitesclassiques,saufpourlespremieresbandes. EMMA(Hnrj)-Calculclassique(Hex)-Mesure(Hmes).Bandesde200Hz. Fig.6.13-ComparaisondesmobilitesenergetiquesaprescouplageHm1m1 Assemblageducouvercleetdupetitcylindre. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 H [s/kg]

6.3.ASSEMBLAGED'UNCYLINDREETD'UNCOUVERCLEDECLIMATISEUR95 0.1 Hnrj0302 Hex_0302 Hmes0302 Calculenerg.approche(Hnrj)-classique(Hex)-mesure(Hmes).Bandesde200Hz. Fig.6.14-ComparaisondesmobilitesenergetiquesaprescouplageHm1m2 Assemblageducouvercleetdupetitcylindre. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 H [s/kg] H [s/kg] 0.1 Hnrj0102 Hex_0102 Hmes0102 EMMA(Hnrj)-Calculclassique(Hex)-Mesure(Hmes).Bandesde200Hz. Fig.6.15-ComparaisondesmobilitesenergetiquesaprescouplageHcm1 Assemblageducouvercleetdupetitcylindre. 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

6.4Conclusionssurl'applicationexperimentaledela 96 Lesdeuxexperienceseectuees,avecdescouplagesrigidescontrôlesetdesmontages propres(bonnereciprocite)validentlamethodedesmobilitesenergetiques,lorsqu'elleest CHAPITRE6.APPLICATIONADESDONNEESISSUESDEMESURES Sesresultatssontaussibonsqueceuxobtenusparlesmobilitesclassiquessionchoisit convenablementlesbandesdefrequence(avecquelquesoscillationsdesmobilitesclassiques(partiesreellesoupartiesimaginaires)desdeuxsous-structuresisolees,danschaque bande,ou,pourunfortrecouvrementmodal,aveclapartiereelledesmobilitesd'entree appliqueedansdesbonnesconditionsexperimentales(prochesdecellestheoriques). bienplusgrandequecelledesmobilitesdetransfert). Lesavantagesdelamethodeapprocheeparrapportauxmobilitesclassiquessontlessuivants: -meilleurelisibilitedesresultats -insensibiliteauxbruitsdefondaleatoires(nontraiteedansl'exemplepresenteici). -utilisationdequantitesmoyenneesenfrequence,plusstables -insensibiliteauxerreursdesigne(gaindetempsconsiderablesurlaconceptionetl'exploitationdesmesures,securitesupplementaire,robustesse) -tempsdecalculetbasesdedonneesextrêmementreduites Unetentatived'applicationaunestructurecomplexe(unclimatiseur)n'apaseteconcluante carlamiseenoeuvredelamethodedesmobilitesclassiquesetaitellemêmetropapproximativeetlesresultatsdes"calculsexacts"etaienteuxmêmestresdierentsdeceuxdes mesures. OnacependantobtenudesresultatsEMMAdelamêmequalitequeceux"exacts"des unpeuplusrobustequecelledesmobilitesclassiques,tantdupointdevueexperimental mesuressenseesdemobilitesclassiques. mobilitesclassiques.lamethodedesmobilitesenergetiquessupposedoncqu'onfassedes (lapositionexactedespicsdansunebandecomptepeu,unbruitaleatoireelectrique, signenecessaires),quedupointdevuecalculatoire(moinsdeproblemesdebonconditionnementetd'inversiondesmatrices). Desproblemestypiquesdelamethodedesmobilitesclassiquesdemeurent:problemesde (entransfert),erreursdemesureenentree(accessibilite,voisinagedediscontinuites,po- mesurepourlescouplageselastiquesdissipatifs,bruitelectroniqueetniveaud'excitation sitionnementdusystemeexcitateur,necessitedepartiesreelleseectivementpositives), couplagesmaldenis,ouvariables(nonrigides,pointsdecontactmallocalises),couplages donneunecontributionpetiteenmoyennedevantcelledusignal,pasdecorrectionsde Lefaitdeconsidererdesquantitesmoyenneesparbandedefrequence,rendlamethode outilprometteur,pourdonneruneinformationenergetiquelocale. Auxvuesdecespremieresexperiences,lamethodedesmobilitesenergetiquessembleun nonlinearite,presencedesourcesinternesvariables(chocs,frottements),dicultesde surfaciquesadiscretiser,contributiondesmoments...

97 CONCLUSIONS Chapitre7 Danscechapitreonvarappelerlesprincipauxresultatsdel'etudeetfairequelquessuggestionssurlesapplicationspossiblesetsurlesvoiesderechercheouvertes. energetiquesetunrappelduformalismedesmobilitesclassiques,cetteetudes'eststructureeentroisparties: -lamiseenformeanalytiquedel'approcheparmobilitesmoyennesenergetiques("emma"), -l'applicationnumeriqueaquelquesassemblagesdeplaqueshomogenesetheterogenes parcouplagesponctuelsrigidesouelastiques, Demarchesuivie Notrebutetantd'elaborerunemethodeapprocheedeprevisiondequantitesenergetiques -l'etudeexperimentalededeuxassemblagesdestructuressimples. 7.1Conclusions Recapitulatif Apresuneanalysebibliographiquedesprincipalestendancesconcernantlesmethodes energetiquesapprocheesentrepuissancesinjecteesetniveauxvibratoiresparbandesde Onautilisel'eetsimplicateurdesmoyennesfrequentiellespourobtenirdesexpressions mesurablesetexactes:lesmobilitesclassiques. Cechoixalimitel'applicationdenotredemarcheadesstructuresdontlecomportement estlineaire,passifetreciproque. localessurlesassemblages,apartirdesquantitesenergetiqueslocalesdessous-structures separees,ilnousasemblejudicieuxd'utilisercommeingredientsdesquantiteslocales, frequence. Pardessimulationsnumeriquesd'assemblagesdeplaquesonaetudielesdierenteserreursdemethodeetdegagel'inuencequalitativedecertainsparametres. auxmesureseectueesaprescouplage. Pardesapplicationsexperimentalesadesassemblagesdeplaquesetcylindres,onacomparelesprevisionsdelaEMMAacellesdesmobilitesclassiques(methode"exacte")et

energetiqueslocales,applicableadesstructuresheterogenes,complementairesalasea. Analysebibliographique L'analysebibliographiqueapermisdeconstaterl'inter^etcroissantpourdesmethodes 98 7.1.1Principauxresultatsdel'etudeCHAPITRE7.CONCLUSIONS Desmethodesbaseessurlesmobilites,commecelledesReceptancesdepuissanceou despfrf,travaillentafrequencepureetutilisentdeshypothesescontraignantessurles plaques,coques). Lesmethodesavecdesmobilitesmoyenneesparbandesdefrequences(Valeurmoyenne, excitations("rainontheroof",sourcesdeforce). LissageparCepstre...)utilisentdesmoyennesgeometriquesetnepeuventpasserattacher adesveritablesquantitesenergetiques;deplusellesontdesproblemesaveclesstructures heterogenes. maisnecessitentunpartagedesstructuresensous-systemessimplescouples(poutres, Lesmethodesutilisantlesdensitesd'energieLagrangienneettotalesontprometteuses, Choixd'unformalismesimple Lerappeldelamethodedesmobilitesclassiquesapermisdemettreenplaceunformalismecoherent,pourl'analyseexactedesassemblagesparcouplagesponctuelsexternes leshypotheses,habituellementimplicites,eectueessurlessourcesexcitatrices. DenitionetAdditiviteenergetique dedeuxsous-structuresouparcouplagesinternessuruneseulestructure,endetaillant frequences,lerapportdelamoyennefrequentielledumodulecarredelavitesseenun Onadenilamobiliteenergetique,enfonctionuniquementdesmobilitesclassiques, unautrepoint,defaconassezindependantedutypedesourceutilise(surtoutenhaute frequence). Onaensuitemontreque,surunestructureexciteeenplusieurspoints,s'ilssontsusammenteloigneslesunsdesautres,onpeutapprocherle"miel"obtenuentoutpoint, moyenneesparbandesdefrequences.onamontrequ'elleapproche,surunebandede point(appelee"miel")etdelamoyennefrequentielledelapuissanceactiveinjecteeen Connectiviteenergetique parbande,considereesseparement,sansutiliserunereferencedephasecommune. ApresuncouplagerigideenNpoints,onaobtenudesexpressionsapprocheesdespuissancesactivesechangeesparbandeetdes"miels"del'assemblageenutilisantlesmobilites decouplage: enadditionnantlesproduitsdesmobilitesenergetiquesetdespuissancesactivesinjectees energetiquesetles"miels"avantcouplagedessous-structuressepareesauxfuturspoints -onaecritlacontinuitedes"miels"etlebilandespuissancesechangees, -onaappliquel'additiviteenergetiquedespuissancesechangeesetexterieuresaprescouplage. -onadenidesmobilitesenergetiquesdeconnexion,

Laprevision(approchees)desmobilitesenergetiquesetdes"miels"aprescouplageenfonctiondes"miels"avantcouplage,surlessous-structuresseparees,peutsefaire,independamment dutypedessourcesexterieures,envertudelaproprietesuivante:onpeutnegligerleschangementsdespuissancesactivesinjecteesparbandedefrequenceendespointsnoncouples 7.1.CONCLUSIONS 99 InvariantsetPrevisionenergetique (i.e.susammenteloignesdespointsdecouplage). Contrairementauxmobilitesclassiques,quisontaecteespartoutchangementdelastructure(couplage,conditionsauxlimites,ajoutdemasse),lesmobilitesenergetiquessont induitssurlesmobilitesenergetiquesd'entreeetdetransfert,pourunpointexcitequi unestructure,enmontantenfrequenceonpeutnegligerdeplusenplusleschangements changementsinduitssurlamobiliteenergetiquedetransfertentredeuxpointsnoncouples. Uneautreproprieteremarquableestlasuivante:sionajouteunemasseconcentreesur moinssensiblesdanscertainscas.unepremiereproprieteimportanteaetedecouverteet utiliseetoutaulongdel'etude:lorsducouplaged'unesous-structure,onpeutnegligerles Simulationsnumeriques Lesetudesnumeriquesontmontrequelamethodepeuts'employerdefaconsatisfaisante, concideaveclepointmassique. d'oscillateurs. Lespuissancesechangeesauxdierentspointsdecouplagesontprevuesdemieuxen surdesassemblagesdeplaquesminceshomogenesetheterogenesetsurdesassemblages mieuxlorsquelerecouvrementmodalaugmente;lapuissanceechangeetotaleesttoujours plusable. Les"miels"etlesmobilitesenergetiquesaprescouplagesontsatisfaisantssilesmobilites classiquesoscillentaumoinsdeuxoutroisfoisdanschaquebande;ilsnes'ameliorentpas enaugmentantlerecouvrementmodal. Touteslesprevisionss'ameliorentenaugmentantlalargeurdesbandesd'analyse. systemeintermediaireapart(solutionvalableseulementaudessusdesafrequencede resonanceinterne),soitenrattachantcesystemedeliaisonal'unedessous-structures, Lescouplageselastiquesetdissipatifspeuvent^etreprisencomptesoitenutilisantun avantd'eectuerlecouplage(solutionvalablesurtoutlespectre). L'erreurexacteducalculEMMAnepeutpas^etreprevueapartirdesseulescaracteristiques delastructure,carelledependdeseortsappliques.elleestlieedeplusadesquantites locales. Commepistederechercheonproposed'utiliserdeuxquantites(disponibles),pourformer Premieresetudesexperimentales transfertentrelepointdecalculetlespointsexcites(etentrelesdierentspointsexcites), -lerapportdelamobiliteenergetiqued'entreeetdelapartiereellemoyennedelamobilite classiqued'entreeauxpointsexcites. -lenombremoyendepassagesazerodespartiesimaginairesdesmobilitesclassiquesde unindicateurdel'erreurdemethode,enchaquepoint,danschaquebandedefrequences: mesuresaprescouplage,laqualitedesprevisionsparmobilitesenergetiquesestcomparable acelledesmobilitesclassiques.deplusl'utilisationdequantitespositives,moyennees parbandedefrequence,permetdes'aranchirdeserreursdesignesurlesmobilitesde Pardesexperiencessurdesstructuressimples(deuxcylindres,etuneplaque)coupleesen unpoint,avecdesmobilitesclassiquesbienmesurees,onaconstateque,parrapportaux

100 transfertetelimineleseetsd'uneventuelbruitaleatoire. 7.1.2Autresaspectstraites Couplagesinternes CHAPITRE7.CONCLUSIONS Lescouplagesinternesaunemêmestructureontetetraites,enutilisantlamêmedemarche quepourlescouplagesexternes.desexpressionsenergetiquespourlescouplagesinternes ontalorseteproposees. traiterrecursivement(analytiquementounumeriquement)lecouplageennpoints,sans eectuerd'inversionmatricielle,quiposeparfoisproblemepourlesmobilitesclassiques. Ilaetemontre,suruncassimple,qu'ilestequivalentd'eectuerdeuxcouplagesexternes ouuncouplageexternesuivid'uncouplageinterne.ladeuxiemeapprochepermetde Couplageendeuxpoints L'insensibiliteenhautefrequencedelamobiliteenergetiqued'entreelorsqu'onajouteune masseponctuelleaetemontreeanalytiquement(etconstateenumeriquementdanslecas desplaquesavecdiscontinuitesmassiques). ExpressiondesCLF,predictivite Couplageaunemasseponctuelle appliquerunemethodecommelaseadefaconpredictive,alorsqueseshypothesessur injecteesendespointsnoncouples,peutexpliquer,danscertainscas,pourquoionpeut Deplus,laproprietedequasi-invariancedespuissancesactivesmoyenneesenfrequence, OnadonneauC.5uneexpressionintrinsequedesfacteursdeperteparcouplage(CLF) Assemblagesd'oscillateurs lessources(considereesdessourcesdeforce)sontviolees. delasea,danslecasducouplagerigideparpointsdestructuresheterogenes. onauraitpupenserquelaemmanepeutpass'appliquerdanscesconditions(troppeu demodesetd'oscillationsdesmobilitesdetransfertdanslesbandeschoisies). L'etudedesassemblagesd'oscillateursamortisdel'annexeG,apermisdemieuxcomprendrelesassemblagesparliaisonselastiques,maisconstitueunelementetonnant,car 7.2Autresapplicationsetdeveloppementspossibles Desapplicationsnumeriquesetexperimentalesad'autrestypesdestructuresontnecessaires andemieuxevaluerlaporteepratiquedelamethodeproposee. methodepredictivessurdesquantitesenergetiqueslocalesdesassemblagesmultipoint. Chacunedesesetapespeutêtreapprofondie,pard'autresetudesanalytiques(parla Cetravailestuneexplorationrapide,avecdesoutilsformelssimples,d'unenouvelle methodemodaleouladecompositionenondes). Desextensionsad'autrestypesdecouplage(lineiqueetsurfacique)etal'excitationpar momentsserontlesbienvenues,ainsiqu'uneextensionaucouplagevibro-acoustique.

ledimensionnementdesstructures,parrapportadescriteresenergetiqueslocaux. 7.2.1Etablissementdecriteresenergetiques 7.2.AUTRESAPPLICATIONSETDEVELOPPEMENTSPOSSIBLES L'analyseparmobilitesenergetiquesdessous-structurespermetd'eectuerdeschoixsur 101 lesvariationsduniveauvibratoire,carleniveauglobalnesutplusadimensionnerla Variationduniveauvibratoirelocal structureauxendroitssensibles. Laprevisiondes"miels"aprescouplageseulementauxpointsvoulus,estl'undesresultats principauxdel'emma,avecunegrandeeconomiesurl'informationnecessaireetsurle tempsdecalcul. Surdessystemescomplexesetheterogenes,ilestimportantdepouvoirprevoirlocalement chaquepointdecouplageetsurlapuissanceinjecteeetdissipeeenchaquepoint,par Diminutiondespuissancesinjecteesouechangees Lesmobilitesenergetiquesdonnentlaaussiplusdedetailssurlapuissanceechangeeen bandesdefrequence,apartirdes"miels"avantcouplage. Ladiminutiondelapuissanceactivetotaleechangeeouinjecteeestaussiuncritereutile audimensionnementdesstructuresetdesliaisons([69]). Augmentationd'unedissipationintermediaire AuE.2onavuqu'onnepeutoptimiserunsystemedeliaisonelastiqueamortissant,exclusivementparmobilitesenergetiques,quesisaresonanceinterneestinferieureacelles Eneet,dansledomained'applicationdelaSEA(hautesfrequences,recouvrementmodal superieura1)lescalculsdespuissanceslocalesdelaemmasontsatisfaisants. Cettelimiteetantxee,onpeutfairevarierl'amortissementoulesautrescaracteristiques d'unsystemeintermediaireetetudierrapidementecacitedel'isolationvibratoireobtenue,entermesdepuissancesechangeesoudissipeedanscesous-systeme,ouentermesde niveauvibratoiredesautressous-systemes. Onpeutdoncanalyseretoptimiserchacunedesliaisonsponctuellesseparement. delabandedefrequencesanalysee.sinonilfaututiliserlesmobilitesclassiques. paspredictiveetdevraitsebornerauxmoyennesethautesfrequences. LaEMMAnecessiteaucontrairedesinformationslocalesprecises,surleselementsde LaStatisticalEnergyAnalysisfaitdesanalysesglobales,sansdevoirsesoucierdes 7.2.2ApportsetcomplementsalaSEA sous-systemeaprescouplage,sansmaillerlessous-systemes:seulelaconnaissancedes couplageetsurlesniveauxvibratoires.ellenes'appliqueactuellementqu'auxcouplages ponctuels,maispermetdeprevoirlespuissancesechangeesetl'energiecinetiqued'un realisationsducouplageoudesendroitscouplesouexcites.lesmesuresdesenergies "miels"auxpointsdecouplage,avantcouplage,(etdespointsd'injectionexterieure)est cinetiquesmoyennesimpliquentunmaillagedessous-systemes.sademarchen'estgeneralement endroitsdonnes(sansavoirdesrelationsdephaseentreelles), -lespointsdecouplageoud'injectionexterieurelesplusimportantspourlesvibrations necessaire.onpeutainsiconna^tre -lespointsquivibrentlepluslorsqu'oninjectedespuissancesdanslastructureades

rayonnementacoustique,aideraetablirdesmodelespourlescouplagesnonponctuelset 102 d'autrespoints(analysedescheminsvibratoires). Lesdeuxapprochessontcomplementairesetpeuventapporterdeselementsprecieuxl'une al'autre.laseapeutetendrelesprevisionsdesmobilitesenergetiquesaudomainedu CHAPITRE7.CONCLUSIONS apporterlarobustesselieealaconservationdel'energietotale. Ellesapportentaussileurcotepredictif,aveclespuissancestotalesechangees,etla aidepossiblepourlacaracterisationdescouplages"forts". LesmobilitesenergetiquesapportentalaSEAunedeterminationsemi-experimentaledes CLF(cf.C.5)pourdesstructurescomplexesoupourdesassemblagessuccessifs,d'ouune 7.2.3Approfondissementspossibles connaissancedesniveauxvibratoireslocauxpourdesstructuresheterogenes. "chemins"detransmissionvibratoire. Danscetravailnousavonsutiliselesmobilitesdesstructuresisolees(libres)poureectuer descouplagesinternesetexternes. Nousn'avonspassoulignelefaitquelavaleurdesdierentstermesdelamatricede Lesmobilitesclassiquesonteteutiliseesparplusieursauteursandemieuxdenirles Etudeenergetiquedescheminsdetransmission Onpourraitaussiconsidererlesmobilitesenergetiquesdesstructuresisoleesbloquees, decontactcorrespondantspourlestransfertsvibratoiresd'unestructureal'autre. d'unefaconanalogueacellepresenteeparbessac,gagliardinietguyader([4]),pour couplage(surtoutcelledestermesdiagonaux)estindicativedel'importancedespoints Lesmobilitesdemomentconstituentunproblemeensoicarlamesuredesmoments montrerl'importanceoula"force"relativedecertainscouplages.cecasd'analyseserait appliques(etlarealisationd'uneexcitationparmomentpur)estdicileacejourpour complementaireaceuxexposesici,car,pourcertainsassemblages,ilestplussimplede bloquerdessous-systemesquedelesdecoupler. Applicationauxmobilitesdemoment desstructuresminces. demomentetauxmobilitesmixtesvitesse/momentetrotation/force. contributionsdesmoments,moyenneesparbandedefrequence,semblenecessaire,ande voirsilesm^emesrelationsquecellesetabliess'appliquentbienadesmobilitesenergetiques Cependantlescontributionsdesmomentsdeviennentimportantesauxhautesfrequences, laoulestheoriesenergetiquessontlesplusindispensables.c'estpourquoiuneetudedes Depluslapriseencomptedesrotationsetdesmomentsalourditlescalculsmatriciels,la gestiondesdonneesetcompliquel'analysedesresultats. experimentale,ilsembleaussinecessaired'etudierdesexpressionsapprocheespourdes transfertentrelespointsdesasurface. Anderendrelamethodedesmobilitesenergetiquesunoutilperformantd'analyse structures,desquecelle-ciadesdimensionstellesqu'onpeutdenirdesmobilitesde Lecouplageponctuelsouventnesutpasamodeliserunejonctionreelleentresous- Extensionauxcouplageslineiquesetsurfaciques

nombreuses"recettes"(bibliothequedecouplages)delaseanepeutêtrequ'utile. Applicational'etudedesystemesvibro-acoustiques Lesmobilitesclassiquesmesurees"insitu"prennentencomptelescouplagesuidestructure,donclesmobilitesenergetiquesaussi. Cependantlorsqu'onappliquelamethodedesmobilitesauxassemblages,onneglige systematiquementlescontributionsacoustiques,caronsupposequelesmesuressurles mobiliteslineiquesetsurfaciques,parbandedefrequences.unecomparaisonavecles 7.2.AUTRESAPPLICATIONSETDEVELOPPEMENTSPOSSIBLES 103 systemes,onpeutensuiteappliquerdesrelationsglobalescommecellesdelaseapour aveclesmobilitesenergetiqueslespuissancestotalesechangeesparlesdierentssous- d'estimerlesrepercussionssurlebruitrayonneaprescouplage.eneet,ayantcalcule LaEMMApermetdeprevoirquelspointsdessous-structuresserontlesplusaectesparle couplageetparleschangementsdesautressous-structures.apartirdela,ilfautessayer piecessepareesetsurl'assemblagesefontaveclemêmechampacoustiqueetquelesfacteursderayonnementrespectifsontpeuchangeaprescouplage. prevoirlapuissanceacoustiqueemiseparlatotaliteouparunepartiedel'assemblage. unediminutiondubruitrayonne,carleschangementsdeniveaupeuventaectersurtout lespartieslesplusmassiquesoulesmoinsrayonnantesdelastructure. Ilseraitdoncinteressantd'avoirdesrelationsentredesquantiteslocalesvibratoireset desquantiteslocalesacoustiques,moyenneesenfrequence,surtoutlorsquelesstructures Cependantunediminutionglobaleduniveauvibratoirenecorrespondpasforcementa unsignalbaupointm,dutypesuivant: relationsvibro-acoustiquesparbandesdefrequence.onsuggered'appliquerlademarche exposeedanscetravailad'autresfonctionsdetransfertentreunsignalaaupointeet deschampslibres. Autrementdit,ilfautetudiersilamoyennespatialeestindispensablepouravoirdes sontfortementheterogenesetlesmilieuxacoustiquesnesontpasdeschampsdiusou Onavuquelesliaisonselastiquesetdissipativesdemandentuneapplicationparticuliere del'emma.l'etudenumeriqued'autrestypesdeliaisonspermettrad'enrichirlesavoir EtudesnumeriquesetexperimentalesAutospectreAeAeg> Hme=<jInterspectreBmAe <RefInterspectreBeAe AutospectreAeAej2> fairespeciquepourcettenouvellemethode. Desetudesparametriquessurdesstructurespluscomplexessontaussisouhaitables.Un indicateurdeabilitedelamethodepeutnotammentêtrerecaleetperfectionne,pardes simulationssurdierentssystemes. Desetudesexperimentales,surdesstructurescomplexes,ouenmilieubruite,sontenn necessairespourmettreaupointdesdemarchessimplieesdemiseenoeuvre,dierentes decellesdesmobilitesclassiques.

104 CHAPITRE7.CONCLUSIONS

105 Rappelsconcisdeprobabilites AnnexeA Onrappelleiciquelquesnotionsdelatheoriedesprobabilites,andedenirplusproprementlanotiond'"independance",utiliseeaplusieursreprisesdansletexte. Un"evenement"E,observen(E)foisaucoursdeN"epreuves"(ou"realisations")a uneprobabilitep(e)(reelpositif)deniepar: P(E)=lim N!1n(E) N=n(E) Xk=1P(k) sietseulementsip(e1=e2)=p(e1)etp(e2=e1)=p(e2) Deuxevenementssontdits"independants" realisere1alorsquee2estrealise. SoientdeuxevenementsE1etE2,onnoteP(E1/E2)la"probabiliteconditionnelle"de oup(k)estlaprobabiliteelementairedelak-iemeepreuvequirealisee. (A.1) L'applicationquiauneepreuveassocieunreelX(),estappeleevariablescalaire ouencoresietseulementsip(e1ete2)=p(e1)p(e2) aleatoire("v.a.").aureelx()onfaitcorrespondre,unpointa()del'espaceimaged deceluidesepreuves.lepointa()adoncuneprobabilitep()derepresenterlav.a. retrouverlepointa()dansunsous-espaceded: LafonctionderepartitionF(deterministe,positive)d'uneV.A.estlaprobabilitede si!d,alorsf()!1ladensitedeprobabilited'unev.a.estladeriveedesa fonctionderepartitionparrapportasesargumentsx1,...xn: telleque,pourdeuxreelsaetb, f(x1;x2;:::xn)=@f(x1;x2;:::xn) F()=PfA()2g @x1::@xn (A.2) PfaX()bg=Zb af(x)dx (A.3) Pourunedistributiongaussienne(ou"normale"),ona: etnormeepar Pf 1X()1g=Z1 f(x)=exp x2 1f(x)dx=1 (A.4) p2 22 (A.6) (A.5)

ladensitedeprobabilitef(x): ouestl'ecarttype.onappellemomentd'ordreqlavaleurmoyennedexqponderepar 106 pourq=1onal'"esperancemathematique"oumoyenne E[Xq()]=mq=Z1 ANNEXEA.RAPPELSCONCISDEPROBABILITES pourq=2onalamoyennequadratique. Dem^emeondenitdesmomentscentressurlamoyenne: E[(X() m1)q]=q=z1 1(x m1)qf(x)dx 1xqf(x)dx (A.7) Onappelle"moyennesmixtes"pouruncouplealeatoire(dedeuxV.A.) pourq=1c'estnul,pourq=2onala"variance". E[Xq1()Yq2()]=mq=Z1 1Z1 1xq1yq2f(x;y)dxdy (A.8) pourq1=q2=1onala"covariance"dexety. et"momentscentres" E[(X() mx)q1(y() my)q2]=xyq1q2=z1 1Z1 1(x mx)q1(y my)q2f(x;y)dxdy (A.10) (A.9) DeuxV.A.X()etY()sontindependantessilesevenementsassociesacesV.A.sont independantspfx()xety()yg=pfx()xgpfy()yg ou cequ'onecritencore F(x;y)=F(x)F(y) f(x;y)=f(x)f(y) (A.13) (A.12) (A.11) fonctionsquelconques,respectivementdexetdey,alorsf(x)etg(y)sontindependantes etl'ona(voir[6],page59):e[f(x)g(y)]=e[f(x)]e[g(y)] SideuxvariablesaleatoiresreellesXetYsontindependantes,etsifetgsontdeux Lacovarianceestalorsnulle(lacovariancenullen'impliquepasl'independance). mxy=mxmy (A.14) PourunecombinaisonlineairedeV.A.independantesZ()=aX()+bY(),onades etdesvariancestellesque: moyennestellesque: mz=amx+bmy z=ax+by (A.17) (A.16) (A.15) Soitunereponsetemporelley(t;)auneentreex(t;)surunsystemedereponseimpusionnelleh(t),onalarelationsuivanteentrelesmoyennes(ou*designeleproduitde convolution): my(t)=h(t)mx(t) (A.18)

107 Exercicedestyle:couplageendeux AnnexeB -lecouplageexterneenunpoint,suividucouplageinterneenunpoint. pointsc1etc2,dedeuxfaconsequivalentes: -lecouplageexterneendeuxpoints(classique) OnvatraitericianalytiquementlecouplagerigidededeuxstructuresSIetSIIendeux e S I Fig.B.1-Couplageendeuxpoints,ouenunpointalafois c1 c2 c2 c1 c2 c 1 c 2 c 1 c 2= c2 f f f (coieesd'und Commenconsparlescouplageexterneclassiqueenunpointc1: conformementa2.3,onappliquedvi Couplageexterneenunpoint+Couplageinterneenunpoint c1=dvii c1etdfic1= dfii c1auxvitessesaprescouplage II S circonflexe),sursidvi c1=yi c1ecfie+yi c1dfic1 (B.1) e e

etsursii 108 ANNEXEB.EXERCICEDESTYLE:COUPLAGEENDEUXPOINTS etlavitesseentoutpointmaprescouplage: onobtientdirectementl'eortdecouplage: dfic1=(yii dvii c1=yii c1fdfii c1+yii f+yii f YI c1) c1dfii c1ecfie) (B.3) (B.2) dvim=yimecfie+yimc1(yii c1fdfii (YI c1+yii f YI c1) c1ecfie) sursi,dem^emepourlespointsdesiietpourlescroisements. ainsiquelesmobilitesaprescepremiercouplage: dyime=yime YImc1YI (YI c1+yii c1e c1) (B.5) (B.4) Auxpointsc2etc'2onobtientparexemple dyc02=yii dyc2=yi c2 YII (YI c1+yii c2c1yii c1c2 c1) (B.6) lesvitessesencespoints(coieesd'ung Couplonsensuiterigidementlespointsc2etc'2dupremierassemblage;aprescouplage et Yc2c02=YI dtilde)sontegalesetdonneespar: (YI c2c1yii c1+yii c1c02 c1) (B.8) (B.7) AvecgFc02= gfc2onobtientdonc et gfc2=(d gvc02=d gvc2=dyc2effe+dyc2ffff+dyc2gfc2+dyc02gfc02 Yc02efFe+d dyc02+dyc02 2d Yc02ffFf+d Yc02ffFf) (dyc2effe+dyc2ffff) Yc02c2gFc2+dYc02gFc02 (B.10) (B.9) cequi,apresdeveloppementdestermescx,donne: etdesvitessesaprescouplageentoutpointmsontdonneespar gvm=dymeffe+dymffff+(d Ymc2 d Ymc02)(d Yc02efFe+d dyc02+dyc02 2d Yc02ffFf) (dyc2effe+dyc2ffff) Yc02c2 (B.12) (B.11) gvim=yimeffie+ +YImc1(YII +YImc2(YII c2+yi c1+yi c2)(yii c1)(yii c1fgfii c2fgfii c1+yii f YI c1)(yi c1effie) (YI c2effie) (YI c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2+yii c1c2)(yii c1c2)2 c2fgfii c1fgfii f YI c2effie) c1effie) (B.13)

109 Couplageexterneendeuxpoints Lesvitessesaprescouplageauxdeuxpointscouplessontdonneespar: gvc1=yi c1effie+yi c1c2gfic2+yi c1gfic1 (B.14) et gvc2=yi c2effie+yi c2c1gfic1+yi c2gfic2 (B.15) sursi,etellessontegalesacellessursii,donneespar: gvc01=yii c1fgfii f+yii c1c2gfii c2+yii c1gfii c1 (B.16) et gvc02=yii c2fgfii f+yii c2c1gfii c1+yii c2gfii c2 (B.17) Aveclesrelationsdecouplagerigide gfic2= gfii c2etgfic1= gfii c1ontire gfic1=(yii c2+yi c2)(yii c1fgfii f YI c1effie) (YI c1c2+yii c1c2)(yii c2fgfii f YI c2effie) (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 (B.18) etgfic2=(yii c1+yi c1)(yii c2fgfii f YI c2effie) (YI c1c2+yii c1c2)(yii c1fgfii f YI c1effie) (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 (B.19) d'oulesvitessesentoutpointmaprescouplage: gvim=yimeffie+ (B.20) +YImc1(YII c2+yi c2)(yii c1fgfii f YI c1effie) (YI c1c2+yii c1c2)(yii c2fgfii f YI c2effie) (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 +YImc2(YII c1+yi c1)(yii c2fgfii f YI c2effie) (YI c1c2+yii c1c2)(yii c1fgfii f YI c1effie) (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 Onretrouvedoncbienlam^emeexpressionqu'auparagrapheprecedent. Onporraitaussicomparerlesmobilitesaprescouplageobtenuesparlesdeuxvoies,en fonctiondesmobilitesdessous-systemesisoles,avantcouplage;elless'obtiennentsimplementenconsiderantuneseuleexcitationalafoisetendivisantlesdeuxmembres del'equationb.20parcetteexcitation;parexemplepourdeuxpointsmete(m^eme confondus)noncouplesdesionobtient: gyime=yime+ (B.21) +YImc1 (YII c2+yi c2)yi c1e+(yi c1c2+yii c1c2)yi c2e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 +YImc2 (YII c1+yi c1)yi c2e+(yi c1c2+yii c1c2)yi c1e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 Cetteexpressionestpredictivepuisqu'ellenedependpasdessourcesutilisees.

110 ANNEXEB.EXERCICEDESTYLE:COUPLAGEENDEUXPOINTS

111 Complementsanalytiques AnnexeC Onareporteicienannexedesdeveloppementsanalytiquesquiauraienttropalourdi l'expositionetembrouillesoncours.ilsn'ensontpasmoinsimportantsetd'uninter^et -desexpressionsdesfacteursdeperteparcouplagedelaseaenfonctiondequantites -desexpressionssimplieesquinenecessitentpasd'inversion, pratiquepourlamiseenoeuvredesmobilitesenergetiques. intrinseques,moyenneesparbandesdefrequences. Ilsconcernent -lescouplagesinternesparmobilitesenergetiques, -l'etudeducouplaged'unestructureavecunemasseponctuelle -l'etudeenergetiqueducouplageendeuxpoints egauxetquelespuissancesrentrantdepartetd'autresontopposees: C.1Expressionsenergetiquesdescouplagesinternes Lesrelationsdecouplagesontlesm^emesquepourdescouplagesexternes:pourchaque pairedepointscouplesrigidement(c;c'),onecritqueles"miels"aprescouplagesont enutilisantl'additiviteenergetiqueonexprimeles"miels"auxpointscetc': et <jfvcj2>ne fpc=<refffcfv <jfvcj2>=<jfvc0j2> Xe=1HcefPe+Nc cg>= gpc0 Xk=1(HckfPk+Hck0gPk0) (C.3) (C.2) (C.1) etles"miels"aprescouplage: et d'oulespuissancesactivesmoyennesechangees(sousleurformematricielle): ffpkg[hck+hc0k0 Hc0k Hck0] 1f[Hc0e Hce]ffPegg <jfvc0j2>ne Xe=1Hc0efPe+Nc Xk=1(Hc0kfPk+Hc0k0gPk0) <jgvmj2>ne Xe=1HmefPe+Nc Xk=1(Hmk Hmk0)fPk) (C.5) (C.4) (C.6)

Iciencore,onvasecomparerauxpuissancesactivesmoyennesechangeescalculeesexactement,pouruneseulepairedepointscouples(c,c')etunseulpointd'excitatione: fpc=<refjyc0e Yce Yc+Yc0 2Yc0cfFej2(Yc Ycc0)+Y ANNEXEC.COMPLEMENTSANALYTIQUES 112 ennegligeantlesmoyennesdestermesoscillantsdevantcellesdestermestoujourspositifs onobtient(pouredierentdecoudec') fpc<jyc0ej2>+<jycej2> <jyc+yc0 2Yc0cj2><jfFej2><RefYcg> <jycej2><refyc+yc0g> ceyc0e Yce Yc+Yc0 2Yc0cjfFej2g> <jyc+yc0 2Yc0cj2><jfFej2> (C.7) energetiquesetlapuissanceactivemoyennepeinjecteeaupointe, soitencore,enmettant<refyeg>enfacteur,defaconafaireappara^trelesmobilites fpc<jyc0ej2><refycg> <jycej2><refyc0g> <jffej2> (C.9) (C.8) lesapproximationsannoncees)donne: enn,comme4<jyc0cj2><<<jyc0j2>et4<jyc0cj2><<<jycj2>lecalculexact(apres fpc<jycj2>+<jyc0j2>+2<refycg><refyc0g>+4<jyc0cj2>fpe(c.10) fpc Hc0e<RefYcg> Hce<RefYc0g> Hc0e<RefYcg> ouplussimplementa cequ'ilfautidentiera:fpkhc0ec0 Hcec Hc<RefYcg> <RefYc0g>+Hc0+2<RefYcg>fPe Hc+Hc0 Hc0c Hcc0fPe <RefYc0g> Hce fpkhc0ec0 Hcec (C.12) (C.11) onretrouvedoncdesfacteursdeconnexionidentiquesaceuxderivespourlescouplages externes: c= Hc<RefYcg> <RefYc0g>+Hc0+2<RefYcg> Hc+Hc0fPe (C.14) (C.13) c0=<refycg> <RefYc0g> Hc<RefYcg> <RefYc0g>+Hc0+2<RefYcg> Hc+Hc0 Cequi,pourlamobilited'entreeaupointcouple(m=e=c)donne Dem^eme,ontrouveraitdesmobilitesenergetiquesaprescouplagesouslaformeapprochee suivante: ghmehme+(hmc Hmc0)(Hc0ec0 Hcec) Hc+Hc0 (C.16) (C.15) fhchc+(hc Hcc0)(Hc0cc0 Hc) HcHc0 Hc+Hc0 Hc+Hc0 (C.17)

C.2.ETUDEENERGETIQUEDUCOUPLAGEENDEUXPOINTS 113 (donc,energetiquement,lecouplageinterneestequivalentaucouplageexterneencequi concerneseseetsaupointcouple). Les"facteursdeconnexion"etantvalablespourlecouplageinterneetpourlecouplage externe,leurusagedoitêtregeneralisableauxcouplagesennpoints(puisqueceux-ci peuventsemettretoujourssouslaformed'unpremiercouplageexterneenunpointsuivi den-1couplagesinternessuccessifs,enunpoint). Onvatestercettedemarchedansleparagraphesuivant. C.2Etudeenergetiqueducouplageendeuxpoints Consideronsdeuxsous-structuresqu'onvacouplerrigidementendeuxpoints,appelesb etcsursietb'etc'sursii. OnavuauBqu'ilestequivalentd'ecrirelecouplageexternesimultaneauxdeuxpoints betcdedeuxsous-structures,oud'ecrired'abordlecouplageexterneenunpoint,disons enb1=b2,puislecouplage,interneacepremierassemblage,auxpointsc1etc2. Lesdeuxtypesdecouplage(interneetexterne)doiventdonnerdestermessymetriques pourlesdeuxpointsdecouplage,puisqu'onpeutcouplerindieremmentd'abordunpoint oul'autre(c'estbienlecaspourlesmobilitesclassiques). Anderesoudreleproblemedefaconindependantedel'excitation,onvatoujoursexprimerlesmobilitesenergetiquesaprescouplage,enfonctiondesmobilitesdessous-structures avantcouplage. Pourlescouplageexterneendeuxpoints,ecritexactemententermesdemobilitesclassiques,onvaessayerd'approcherleresultatuniquementenfonctiondequantitesmoyennees enfrequence(mobilitesenergetiquesetpartiesreellesdesmobilites). Pourladeuxiemefacondeprocederonvautiliserlesformulesenergetiquesapprochees ducouplageexterne,puiscelleetablieauc.1pourunpointdecouplageinterne,cequi revientareprendrelesexpressionsclassiques,ensubstituantdeshauxy. Siparlesdeuxvoiesonobtientlamêmeexpressionenergetique,onpourrapenserqueles mêmes"facteursdeconnexion"sontutilisablespourlescouplagesennpoints. Expressionsexactes Onvareprendrel'expressiondesmobilitesclassiquesentreunpointmetunpointede SI,apresuncouplagerigideendeuxpointsc1etc2. EntreunpointmetunpointesurSI,onalamobiliteaprescouplagesuivante: gyime=yime+ (C.18) +YImc1 (YII c2+yi c2)yi c1e+(yi c1c2+yii c1c2)yi c2e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 +YImc2 (YII c1+yi c1)yi c2e+(yi c1c2+yii c1c2)yi c1e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 EntreunpointmsurSIetunpointesurSII,ona: gyme= (C.19) YImc1(YII c2+yi c2)yii c1e (YI c1c2+yii c1c2)yii c2e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 +YImc2(YII c1+yi c1)yii c2e (YI c1c2+yii c1c2)yii c1e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2

114 ANNEXEC.COMPLEMENTSANALYTIQUES Onpeutalorsformerpourcedeuxiemecas,parexemple,l'expressionexactedelamobilite energetiquecorrespondante ghme=<jgymej2> <ReffYeg> ghme= 1 <ReffYeg><jYImc1(YII c2+yi c2)yii c1e (YI c1c2+yii c1c2)yii c2e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2 +YImc2(YII c1+yi c1)yii c2e (YI c1c2+yii c1c2)yii c1e (YI c1+yii c1)(yi c2+yii c2) (YI c1c2+yii c1c2)2j2> (C.20) etonvaessayerdelasimplier. Approximationdesexpressionsexactes Onconsiderequelepointen'estpaslepointdecouplage,etonremplace<ReffYeg> par<refyeg>. Ondeveloppealorslemodulecarredunumerateurensommedemodulescarresetde termescroises.onremplacelamoyennefrequentielledelasommederapportsparla sommedesmoyennesdecesrapportsetonnegligelesmoyennesdesrapportsdontle numerateurcomportedestermesoscillantscommerefyc2ey c1egdevantlesmoyennesdes rapportsdetermescarrescommejyc1ej2.onnegligeaussiaudenominateur<jyi c1c2+ YII c1c2j4>devant <jyi c1+yii c1j2><jyi c2+yii c2j2>. Cessimplicationssupposentquelespointsdecouplagesontassezeloignesentreeuxet qu'iln'yapasdesymetriedanslesystemetellequeyc2e=yc1e. Ilrestealorsl'expression: ghme (C.21) 1 <ReffYeg><jYImc1j2[jYII c2+yi c2j2jyii c1ej2+jyi c1c2+yii c1c2j2jyii c2ej2] jyi c1+yii c1j2jyi c2+yii c2j2 > +1 <ReffYeg><jYImc2j2[jYII c1+yi c1j2jyii c2ej2+jyi c1c2+yii c1c2j2jyii c1ej2 jyi c1+yii c1j2jyi c2+yii c2j2 > Ensupposantquelesnumerateursetlesdenominateurssontstatistiquementindependants, onfaitlesremplacementssuivants: <ab><a><1b>. Ilfautalorssupposerqu'onestenhautefrequences,avecdesmobilitesd'entreelissees, onremplacealorslamoyennedesinversesparl'inversedelamoyenneetonobtient: <ab><a> <b>. EntreunpointmsurSIetunpointesurSII,onobtientalorsdesmobilitesenergetiques delaformesuivante:ghmehimc1kc1[denc2hii c1e+(hic1c2kc2+hii c1c2)hii c2e] DENc1DENc2 +HImc2kc2[DENc1HII c2e+(hic2c1kc1+hii c2c1)hii c1e] DENc1DENc2 (C.22)

C.2.ETUDEENERGETIQUEDUCOUPLAGEENDEUXPOINTS 115 ouencoreghmehimc1hii c1ekc1 DENc1+HImc2HII c2ekc2 DENc2 +(HIc1c2kc2+HII c1c2)himc1hii c2ekc1 DENc1DENc2 +(HIc2c1kc1+HII c2c1)himc2hii c1ekc2 DENc1DENc2 (C.23) oudenc=hickc+hii c+2<refyi cg>etkc=<refyi cg> <RefYII cg> enutilisantlesfacteursdeconnexion Ic=HIc+HII c DENcetII c=kc(hic+hii DENcc) onpeutennecrirelesmobilitesenergetiquesaprescouplagesouslaforme: ghmehimc1hii c1eii c1 HIc1+HII c1+himc2hii c2eii c2 HIc2+HII c2 +HIc1c2Ic1HImc1HII c2eii c2 (HIc1+HII c1)(hic2+hii c2)+hii c1c2ii c1himc1hii c2eii c2 (HIc1+HII c1)kc2(hic2+hii c2) +HIc2c1Ic2HImc2HII c1eii c1 (HIc1+HII c1)(hic2+hii c2)+hii c2c1ii c2himc2hii c1eii c1 kc1(hic1+hii c1)(hic2+hii c2) (C.24) avecdeuxpremierstermesd'autantplusgrandsdevantlesautresquelesdierentspoints consideressonteloignes. Cesmobilitesenergetiquesontaussidestermessymetriquesenc1etc2. Deuxcouplagesexternesparmobilitesenergetiques Sionappliquelamethodedesmobilitesenergetiquesaucouplageexterneendeuxpoints, ontrouveuneexpressionformellementidentiqueacelledesmobilitesclassiques(c.19): ghme HImc1(HII c2+hic2)hii c1eii c1 (HIc1c2Ic1+HII c1c2ii c1)hii c2eii c2 (HIc1+HII c1)(hic2+hii c2) (HIc1c2Ic1+HII c1c2)2ii c1)2 +HImc2(HII c1+hic1)hii c2eii c2 (HIc2c1+HII c2c1kc2)ic2hii c1eii c1 (HIc1+HII c1)(hic2+hii c2) (HIc2c1Ic2+HII c2c1ii c2)2 (C.25) cequipeutencoresemettresouslaforme ghmehimc1hii c1eii c1 HIc1+HII c1+himc2hii c2eii c2 HIc2+HII c2 HImc1HImc1(HIc1c2Ic1+HII c1c2ii c1)hii c2eii c2 (HIc1+HII c1)(hic2+hii c2) HImc2(HIc2c1+HII c2c1kc2)ic2hii c1eii c1 (HIc1+HII c1)(hic2+hii c2)(c.26) oulesdeuxpremierstermessontd'autantplusgrandsdevantlesautres,quelespoints consideressonteloignesentreeux.

116 ANNEXEC.COMPLEMENTSANALYTIQUES Uncouplagesexternesuivid'uncouplageinterne Sionappliquelamethodedesmobilitesenergetiquesd'abordaucouplageexterneau pointc1desietc1'desii,ontrouve(cf.3.43): ghmehimc1hii c1eii c1 HIc1+HII c1 (C.27) Sionl'appliqueensuiteaucouplageinterneenc2=c2',ontrouve(cfC.16): ghmeghme+(g HImc2 g Hmc20)(g HII c20ec20 ghc2ec2) ghc2+ghc20 (C.28) Danscettederniereexpressiononvanegligerlestermesdetransfertinterstructuredevant ceuxsurunem^emesous-structureg Hmc20devantg HImc2et ghc2ec2devantg HII c20ec20 ilrestedonc: ghmeghme+g HImc2g Hc20ec20 ghc2+ghc20 (C.29) ensupposantquelecouplageinterneapeuaectelesmobilitesd'entreesdespointsnon couples,onaghc2hic2etghc20hii c2,onpeutalorsecrire(sansles'): ghmehimc1hii c1eii c1 HIc1+HII c1 +(HImc2 HIc2+HII c2 HImc1HIc1c2Ic1 (HIc2+HII c2)(hic1+hii c1))(hii c2e HII c2c1hii c1eii HIc1+HIIc1 c1)ii c2(c.30) ouencore ghmehimc1hii c1eii c1 HIc1+HII c1+himc2hii c2eii c2 HIc2+HII c2 (C.31) HII c2eii c2himc1hic1c2ic1 (HIc2+HII c2)(hic1+hii c1)2+himc1hic1c2ic1hii c2c1ii c2hii c1eii c1 (HIc2+HII c2)(hic1+hii c1)2 HImc2HII c2c1ii c2hc1eii c1 (HIc2+HII c2)(hic1+hii c1) danscettederniereexpressionlesdeuxpremierstermessontaussid'autantplusgrands devantlesautresquelesdierentspointssonteloigneslesunsdesautres. PourquelestroisexpressionsC.24,C.26etC.31donnentdesresultatsvoisinsilsutde lesconsidererreduitesaleursdeuxpremierstermes: ghmehimc1hii c1eii c1 HIc1+HII c1+himc2hii c2eii c2 HIc2+HII c2 (C.32) outouslestermesenc1sontdansunquotientetlestermesenc2dansl'autre. Remarqueimportante Chacundecesdeuxquotientsrepresenteleresultatd'uncouplageexterneaupointc correspondant. Contrairementauxmobiliteclassiques,pourcalculerlesmobilitesenergetiquesaprescouplage,onpeutdoncconsidererlespointsdecouplageunparunetsommersimplement leurseets.cecirevientanegligerlescontributionscroiseesdespuissancesechangeesaux autrespointsdecouplage.

C.3.ETUDEDUCOUPLAGEAVECUNEMASSEPONCTUELLE C.3Etudeducouplageavecunemasseponctuelle Ons'interesseiciaucouplagerigidenondissipatifaupointcd'unestructurequelconque, demobiliteyc,avecunemasseponctuelledemobiliteym. Lamobiliteaprescouplages'ecrit:fYc=YcYm 117 Pourunestructuremince,apartird'unecertainefrequenceonpourraecrire Lamobiliteenergetiqued'entreeaupointcaprescouplageest Yc+Ym=Ym fhc=<re2feycg>+<im2feycg> fycym(1 Ym 1+Ym Yc) SachantqueRefYmg=0onpeutecrire ouencorefhc<re2fy2mycgfhc<re2fy2m Ycg>+<Im2fYm Y2m <RefeYcg> avec jycj4>+<im2fymg>+<im2fy2mycg jycj4> 2<ImfYmgImfY2mY Ycg> et RefY2mY cg= Im2fYmgRefYcg <RefY2mY jycj2> jycj2> cg etencore onobtientfhc<im4fymgre2fycg jycj4>+<im2fymg>+<im4fymgim2fycg ImfY2mY cg=im2fymgimfycg fhc<im4fymg jycj2>+<im2fymg> 2<Im3fYmgImfYcg <Im2fYmgRefYcg jycj4> 2<Im3fYmgImfYcg jycj2> Onfaitalorsdeshypothesesd'independancestatistiquedesdierentesquantitesdans lesbandesdefrequenceetonremplacelesmoyennesdesproduitsparlesproduitsdes moyennes: Pouruneplaque,enhautefrequence,onaasymptotiquement soit fhc<im4fymg> <Im2fYmg><RefYcg>+<jYcj2> <jycj2>+<im2fymg> 2<Im3fYmg><ImfYcg> <Im2fYmg><RefYcg><jYcj2> Re2fYcgIm2fYcg <RefYcg> 2<Im3fYmg> <Im2fYmg><ImfYcg> <RefYcg>

alorsquepourunemasseleniveaudeimfymgbaisseenmontantenfrequence,doncon 118 peuteectivementecrire fhc<jycj2> ANNEXEC.COMPLEMENTSANALYTIQUES d'entree(asymptotiquement,enhautefrequence). Onpeutderiverdem^emeunerelationd'invariancepourlamobiliteenergetiquedetransfert cequitraduitbienlefaitquel'ajoutd'unemassenechangepaslamobiliteenergetique ghpc<jypcj2> <RefYcg> nuespourlecouplageexterneendeuxpointsetpourlecouplageexterneenunpoint,suivi ducouplageinterneal'autrepoint,onobtientdesexpressions"tresapprochees",qu'on Enegalisantlesexpressionsapprocheesdesmobilitesenergetiquesaprescouplage,obte- C.4Expressionstresapprochees,sansinversion <RefYcg> d'aucuneinversionmatricielle. Lamobiliteenergetiqued'entreeenunpointcouplecdel'assemblages'ecrit: peutappliquerauxcouplagesennpointsetquipresententl'avantagedenenecessiter Entredeuxpointscouplescetgona: ghcghii chii (HIg+HII fhchichii ghicg+hichighii HIc+HII g)(hic+hii cc cgii c) c (C.33) (ilssontainsi"independantsdesautrespointsdecouplage).entreunpointcouplecet unpointnoncouplemona: ghicmhicmhii cic Xg6=cHIgmIg HIg+HII ghicghii cic HII HIc+HII cghicii c (C.34) (pourlespointsdesiiinverserlesindicesietii)et ghimchicmhii HIc+HII cc Nc Xg6=cHImg HIc+HII chigchii cig HII HIg+HII g gchicii c g (C.35) EntreunpointmnoncoupledefIgetunpointnnoncoupledefIIgona: ghmehimc1hii HIc1+HII c1eii c1+himc2hii HIc2+HII c2eii (C.37) (C.36) energetiqueestconsidereeinchangee:ghmnhmn Entredeuxpointsnoncouplesdelam^emesous-structureaprescouplagelamobilite (C.38)

Lesfacteursdeperteparcouplage(CLF:CouplingLossFactors)delaSEA,pourdes assemblagesparcouplagesponctuelsrigidesontetecalculesenfonctiondesmobilitesdes sous-systemesisoles,parcacciolatietguyaderetparmanning([11],[85]). Onvavoirapresentqu'onpeutetablirdesrelationssemblablesaveclesmobilitesenergetiques, C.5CalculdesCLFpourdescouplagesponctuels C.5.CALCULDESCLFPOURDESCOUPLAGESPONCTUELS 119 tureshomogenescoupleesrigidement("loindesbords")auxpointsc: Reprenonssimplementl'expressiondesCLFdonneepar[11],pourlecasdedeuxstruc- c'estadireavecuniquementdesquantitesmoyenneesenfrequence,sansutiliserdesrelationsdephase. et II:I=1 I:II=1 mii!1 mi!1!nc Xc=1<RefYII jyi c+yii cg cj2> (C.39) etlisseesenhautefrequence,onsupposeque: frequencerefyii ou<>designeunemoyennefrequentielle.enutilisantlefaitquelesfonctionsdela cgetjyi c+yii Hyp.4<RefYI cj2sontstatistiquementindependantesenbassefrequence jyi c+yii cj2><refyi cg <jyi c+yii cj2> (C.40) onexprimealorslesclfenfonctionuniquementdestermesmoyennesenfrequencede chaquesous-structure:ii:i=1 mii!1!nc Xc=1<RefYI Danslecasdesstructuresnonhomogenes,contrairementa([11]),ilsembleimportant et I:II=1 mi!1!nc <RefYII Xc=1Ic HIc+HII cg>ic HIc+HII c c (C.42) (C.41) d'introduiredesfacteursd'heterogeneitegcindependantsdesexcitationsexternes: ou(())indiqueunemoyennespatialeetlesnmpointsmdesisontequirepartis(gii expression"intrinseque"identique,avecdesexposantsii).alorslesclfs'ecrivent: II:I=1 mii!1 gic=hic!nc <<HIm>>HIcNm Xc=1gII c<refyi <RefYII PNm cg>ic m=1him HIc+HII c caune (C.44) (C.43) Remarque:onutilisetoujoursseulementdesquantitesmoyenneesenfrequence,mesurees surlessous-systemesavantcouplage,doncdansunedemarchepredictive(quinedoitpas dependredesexcitationsaprescouplage). et I:II=1 mi!1!nc Xc=1gIcIc HIc+HII c (C.45)

120 ANNEXEC.COMPLEMENTSANALYTIQUES

121 AnnexeD Complementsauxsimulationsde plaqueshomogenes D.1Calculssurunsystemeisole Onconsidereuneplaqueminceappuyee(cf.Figure4.1).Dimensions:Lx=1:0[m],Ly= 0:7[m],h=0:001[m].Materiau:=7800[kg=m3],E=2:11011[Pa],=0:33,=0:01, puis=0:1. Ladensitemodaletheoriqueestd'environ0.2modesparHz.Recouvrementmodal:0.4a 10.8;nombredemodes:40a47;longueurd'ondemoyenne=0.22a0.046[m],pourdes bandesde200hz. Pointsexcites:e1(0.4;0.2),e2(0.7;0.3),e3(0.5;0.6).Pointdemesurem(0.2;0.5). Troistypesd'excitation:sourcedeforce(unitaireoualeatoire),Fe=1=Ye(pourdeux amortissements). Explicationdel'erreurdedenitionenentree PourFe=1=Yeelerapport<jVej2> <RefFeVeg>vautexactement<jFej2jYej2> <jfej2refyeg>ouencore1 <RefYeg jyej2>. Pourrecouvrementmodalsuperieura1,enhautefrequence,Im2fYegestnegligeable devantre2fyeg,onajyej2re2fyeg,donclerapportsereduita1 <1 RefYeg>.Orsurune bandedefrequencesladierenceentre1 <x>et<1x>estd'autantplusfaiblequela variancedexestfaible.doncasymptotiquement,enmontantenfrequence,ona <jvej2> <RefFeV eg><refyeg> Dem^emelamobiliteenergetiques'approchepar<Re2fYeg> <RefYeg>ouencorepar<RefYeg><RefYeg> <RefYeg>=< RefYeg>. Donclesdeuxquantitesconvergentenhautefrequence. Aucontraire,enbassefrequence,<Im2fYeg><Re2fYeg>, donc<jyej2>2<re2fyeg>,maisl'ecarttypederefyeg(enfrequence)estfort, donclamobiliteenergetiqueesttressousestimeeenecrivant He2<RefYeg><RefYeg> <RefYeg>2<RefYeg> alorsque <jvej2> <RefFeV eg>= 1 <RefYeg Im2fYeg+Re2fYeg>= 1 < 1 Im2fYeg RefYeg+RefYeg>

energetiquesd'entree. mentmodalestdoncleparametreimportantpourl'erreurdedenitiondesmobilites comprisentre<refyeg>et,apeupres,2<refyeg>. 122ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES L'ecarttypedeRefYegdiminuelorsquelerecouvrementmodalaugmente.Lerecouvre- Or<1x>>1 Etudedel'erreurdedenitionentransfert <x>,donclerapportestinferieura<im2fyeg RefYeg>+<RefYeg>cequiest transfertdanschaquebande: OnconsiderelenombredepassagesazerodelapartieImaginairedechaquemobilitede Pour=0:01 Fcentr 1000.0 302315 Hme1Hme2Hme3Fcentr Pour=0:1 1200.0 131510 Hme1Hme2Hme3 1400.0 10167 106 74 8 3 1600.0 126 7 1000.0 3 1800.0 6 1200.0 2 4 2000.0 5 1400.0 2 2200.0 5 0 1600.0 2400.0 6 4 1800.0 2 2600.0 6 2000.0 2800.0 7 2200.0 3000.0 2400.0 3200.0 2600.0 3400.0 5 2800.0 3600.0 3 3000.0 3800.0 3200.0 4000.0 4 3400.0 4200.0 3600.0 4400.0 4 1 1 3800.0 1 4600.0 3 4000.0 4800.0 2 1 3 2 4200.0 4400.0 4600.0 4800.0 1 0 0 1 egalea2ou3passagesazeroparbandel'erreurestinferieurea3db. (voirepasdutout,pour=0:1).icionconstatequepourunemoyennesuperieureou Cesvariationsirregulieres,propresachaquecoupledepointsconsidere,correspondent vite,d'abordfaible,surlestoutespremieresbandesde200hz,oulesmobilitesoscillent beaucoup,puisirregulieresurlesautresbandes,pourlesquellesilyapeud'oscillations bienacellesdel'erreurqu'onaremarqueesurlesmobilitesdetransfertetsurl'additi- 0 db(cf.figure4.10). Sionrepasselecasdelaplaqueamortie,avecdesbandesde400Hz,onaanouveauau moinsuneoscillationparbandeetc'estsusantpoureviterleserreurssuperieuresa3

D.1.CALCULSSURUNSYSTEMEISOLE 123 Re{F} [N] Re{F} [N] Re{F} [N] a)fe=1=ye;=0:01 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 b)fe=1=ye;=0:1 0 1000 100 c)forcealeatoirefig.d.1-modelesdeforceutilises 10 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1

124ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES plaquesdud.4,calculeeauxpointsp1(0.2;0.5),p2(0.4;0.2),p3(0.7;0.3),p4(0.5;0.6), D.2Assemblagedeplaquesdemobilitestresdierentes P5(0.4;0.4),P6(0.6;0.3),coupleeauxpointsP1,P2,P3,aveclestroispointsP1(0.2;0.5), =7800[kg=m3],E=2:11011[Pa],=0:33,=0:01. P2(0.4;0.2),P3(0.7;0.3),d'uneplaquepluspetiteetquatrefoisplusepaisse,calculeeaussi enp7(0.5;0.6)etayantlesdimensionssuivantes:lx=0:9[m],ly=0:7[m],h=0:004[m], Uneanalyseparbandesdetiersd'octave,permetdevoirsiilyaunnombredemodes Onsimulemaintenantlecouplagerigided'uneplaquedecaracteristiquesidentiquesaux bornesfinfetfsup,onalesvaleurssuivantesdedensitemodaleeective,recouvrement modal,nombredemodesdanslabande,longueurd'onde,nombred'oscillationsdela partieimaginairedey12(indicatif): appliquable. Pourladeuxiemeplaque,ladensitemodaletheoriqueestd'environ0.05modesparHzet, pourlesbandesdetiersd'octave,specieesparleursfrequencescentralesfcentr.etleurs parbande(ouunelargeurdebande)endessousduquellamethodeemman'estplus FinfFsupFcentrDens.mod.Rec.mod.Nb.Modes[m]Nb.Osc. 111.4140.3125.0.069 140.3176.8157.5.000 176.8222.7198.4.065 222.7280.6250.0.035 280.6353.6315.0.041 353.6445.4396.9.044 445.4561.2500.0.052.090.000.088 0 2.563.502.447.398 0 561.2707.1630.0.041.132 3.355 707.1890.9793.7.044.172 4.316 890.91122.51000.0.052.266.281 1122.51414.21259.9.045.267 6.251 1414.21781.81587.4.044.349 8.223 1781.82244.92000.0.048 12.199 2244.92828.42519.8.048.578.702.958 1.223 13 16 22 28.177.158.141.125 1 523 deslargeursdesbandespassantesa-3dbdesmodesdanslabande,diviseeparlalargeur delabande:rm(!)=pnb:modes(!) ouconfondus(distanceinferieurea/4).lerecouvrementmodalrmestegalalasomme Lalongueurd'ondesertaevaluersilespointsdoivent^etreconsiderescommedierents 2828.43563.63174.8.048 3563.64489.84000.0.046 1.531 1.874 35 43.112.100 6 n=1!sup!inf!n 7 Commeannoncedanslapartieanalytique,c'estlorsquelesmobilitesd'entree(classiquesouenergetiques)respectivesdesdeuxstructuresauxpointsdecouplagesonttres leursens:lecalculsimplistedevientcompletementerronepourcertainstransferts. D.2.1Erreursdecouplage InadaptationduCalculSimpliste dierentes,quelesfacteursdeconnexionintroduitsdanslecalulemmaprennenttout

D.2.ASSEMBLAGEDEPLAQUESDEMOBILITESTRESDIFFERENTES125 couplageetunpointnoncoupledechaqueplaqueetentredeuxpointsnoncouplesde chaqueplaque.(voirfigured.2etfigured.3). C'estcequ'onpeutobserversurlesmobilitesenergetiquesdetransfertentreunpointde mauvaiscalculsimplistepourletransferthcm,entreunpointcoupleetunpointnon a)transfertp2-p5 Fig.D.2-Assemblagerigideentroispointsdedeuxplaquesdierentes -calculexact{{calculemma---calculsimpliste coupleb)transfertp2-p7 1e-06 a)transfertp4-p7 Fig.D.3-Assemblagerigideentroispointsdedeuxplaquesdierentes b)transfertp7-p4 LeCalculEMMA,misaupointanalytiquementpourlecasd'unoudeuxpointsdecouplage,marcheici(avectroispointsdecouplage),danstouslestransferts(voirFigureD.4, FigureD.2etFigureD.3),m^emepourletransfertentredeuxpointsdecouplage(voir BonneprevisionparlaEMMA mauvaiscalculsimplistepourletransfertinterplaquehm1n2 -calculexact{{calculemma---calculsimpliste 1e-07 silabandeanalyseeesttropetroite:pourlessixpremieresbandesdetiersd'octavele FigureD.5).Lesdeuxcalculs,SimplisteetEMMA,peuventpresenterdeforteserreurs, nombredemodesdanslabandeestinferieura5etlenombremoyend'oscillationsdes partiesimaginairesdesmobilitesclassiquesinferieura2. Cesdeuxcriterespeuventservird'indicateursgrossiers. H [s/kg] H [s/kg] 1e-06 100 1000 100 1000 H [s/kg] H [s/kg] 1e-06 100 1000 100 1000

126ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES a)transfertsp4-p2 0.1 Fig.D.4-Assemblagerigideentroispointsdedeuxplaquesdierentes -calculexact---calculemma b)transfertsp7-p2 -calculexact---calculemmabonneprevisiondutansfertentrepointsdecouplage a)transfertsp1-p1 Fig.D.5-Assemblagerigideentroispointsdedeuxplaquesdierentes b)transfertsp1-p2 Lapuissanceactivetotaleechangee(FigureD.8a)esttoujoursmieuxreconstitueeque plage(figured.7),parbandesdetiersd'octave. cellerelativeachaquepointdecouplage. CalculdesPuissancesetdes"miels" Onpresenteicilecalculdespuissancesechangees(FigureD.6)etdes"miels"aprescou- couples,estmeilleurequechaque"miel"prisseparement,carleserreursn'interviennent Lasomme(donclamoyenne)des"miels"aprescouplage(FigureD.8b)auxpointsnon passurlesm^emesbandes;elleauneerreurquioscille,maisdiminueglobalementen montantenfrequence:lesbandess'elargissentetlenombred'oscillationsparbandedes partiesreellesdesmobilitesaugmente.(cf.aussifigure4.17). H [s/kg] H [s/kg] 100 1000 0.1 100 1000 H [s/kg] H [s/kg] 0.1 100 1000 100 1000

D.2.ASSEMBLAGEDEPLAQUESDEMOBILITESTRESDIFFERENTES127 Fig.D.6-Assemblagedeplaquesdierentes:Puissancesactivesmoyennesechangees -calculexact---calculemmac)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-06 b)puissanceaupointp2 Fig.D.7-Assemblagedeplaquesdierentes:"miels"aprescouplage -calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-08 a)puissanceactivetotaleechangee Fig.D.8-Assemblagedeplaquesdierentes.=0:01 -calculexact---calculemma b)sommedes"miels"aprescouplage P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] Ptot [W] 100 1000 1e-06 1e-07 1e-08 100 1000 100 1000 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 100 1000 100 1000 < V ^2>tot/2 [m2/s2] P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 100 1000 100 1000 100 1000

valeurssuivantesdedensitemodaleeective,recouvrementmodal,nombredemodes danslabande,longueurd'onde,nombred'oscillationsdelapartieimaginairedey12 0:1,oneectuelesm^emescalculsqu'en4.3.1.Pourdesbandesdetiersd'octaveonales 128ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES (indicatif): D.2.2Calculdesplaquesamorties Onconsiderelesm^emesgeometriesqueprecedemment,maisavecunamortissement= FinfFsupFcentrDens.mod.Rec.mod.Nb.Modes[m]Nb.Osc. 111.4140.3125.0.069 140.3176.8157.5.000 176.8222.7198.4.065 222.7280.6250.0.035 280.6353.6315.0.041 353.6445.4396.9.044 445.4561.2500.0.052.904.000.882 0 2.563.502.447.398 561.2707.1630.0.041 1.316 3.355 707.1890.9793.7.044 1.720 4.316 890.91122.51000.0.052 2.660.281 1122.51414.21259.9.045 2.668 6.251 1414.21781.81587.4.044 3.492 5.314 5.781 7.023 8 13 16.223.199.177.158 0 Analysedesresultats 1781.82244.92000.0.048 2244.92828.42519.8.048 2828.43563.63174.8.048 9.579 12.23428 15.31135 22.141.125.112 Lespuissancesechangeesnegativesnesontpasrepresentees.Parrapportau4.3.1,on 3563.64489.84000.0.046 18.74343.100 2 constatel'apparitiondegrandeserreurssurlespuissancesechangees,surlessixpremieres 1 bandesdetiersd'octave:tropetroites. 3 l'additiviteenergetique,quifonctionnemoinsbienpourunamortissementplusimportant. Pourlesbandesdetiersd'octavelenombred'oscillationsdeImfYmngn'apasdiminue (comparerfigured.10etfigured.8). Les"miels"aprescouplagenesontpasmieuxreconstitues,queceuxdesplaquespeu amorties,(saufaupointp4quiestdirectementexcite):celacorrespondauxresultatsde Lespuissancesechangeesnesontpasmieuxreconstitueesquecellesdesplaquespeuamorties(comparerFigureD.9etFigureD.6),maislapuissancetotaleesttressatisfaisante debeaucoup,maisils'annulemaintenantsurcertainesbandes;l'erreurpeutainsidevenir tresgrande(facteursixsurlacinquiemebande,aupointp7,figured.11c). Onpeutconstaterquelecalculparbandesconstantesestpreferablepourlesplaques,car lenombred'oscillationsdesimfygestplusstable. L'hypothesedesourcedepuissanceactivemoyenneiciesttresbienveriee(FigureD.10b).

D.2.ASSEMBLAGEDEPLAQUESDEMOBILITESTRESDIFFERENTES129 Fig.D.9-Reconstitutiondelapuissanceactivemoyenneechangee=0:1 -calculexact---calculemmac)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-06 b)puissanceaupointp21e-06 a)puissanceechangeetotale -calculexact---calculemma Fig.D.10-Assemblagedeplaquesdierentesamorties,=0:1 -avantcouplage---aprescouplage b)puissanceinjecteeenp4 Fig.D.11-Reconstitutiondes"miels"=0:1 -calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-11 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 100 1000 1e-06 1e-07 1e-08 Ptot [W] P [W] 100 1000 1e-09 100 1000 < V ^2>/2 [m2/s2] 100 1000 100 1000 P [W] 0.1 P [W] 100 1000 100 1000 < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 100 1000

130ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES D.3Assemblagedeplaquespluspetites =0:01.Lapremiereplaque,dedimensionsLx=0:43[m],Ly=0:37[m]eth=1[mm], Andeveriersic'estbienlenombredemodesparbandequideterminel'erreursurles previsionsaprescouplageoncalculeunassemblagededeuxplaquedierentesentreelles, pluspetitesquelesprecedentes. Lesdonneesdumateriausontlessuivantes:=7800[kg=m3],E=2:11011[Pa],=0:33, estcalculeeauxpointsp1(0.1;0.15),p2(0.2;0.3),p3(0.15;0.2),p4(0.3;0.1),p5(0.25;0.25), d'oscillationsdeyc1c3(indicatif): tive,recouvrementmodal,nombredemodesdanslabande,longueurd'onde,nombre P6(0.06;0.1),coupleeauxpointsP1,P2,P3,aveclestroispointsP1(0.1;0.05),P2(0.2;0.2), P3(0.15;0.1),deladeuxiemeplaque(Lx=0:32[m],Ly=0:23[m],h=4[mm],m^eme materiau),calculeeaussienp7(0.05;0.15). Pourladeuxiemeplaque,ladensitemodaletheoriqueestd'environ0.006modesparHz etpourlesbandesdetiersd'octave,onalesvaleurssuivantesdedensitemodaleeec- Finf[Hz]Fsup[Hz]Fc[Hz]Dens.mod.Rec.mod.Nb.Modes[m]Nb.Osc. 111.4140.3 140.3176.8 176.8222.7 222.7280.6 280.6353.6 353.6445.4 445.4561.2 125.0.000 157.5.000 198.4.000 250.0.000.563.502.447.398 561.2707.1 315.4.039.355 707.1890.9 396.9.000.316 890.91122.51000.0.004 500.0.000.000 0.281 1122.51414.21259.9.003 630.0.007.040.251 1414.21781.81587.4.005 793.7.005.223 1781.82244.92000.0.004.046.039.092.084 1 2.199.177.158.141 0 superieura=4n'estpasrespecte. 2244.92828.42519.8.005 2828.43563.63174.8.005.129.176 3.125.112 Lespuissancesechangeessontsouventtresmalreconstituees(FigureD.12). Pourlesquatrespremieresbandeslecritered'eloignementminimumentredeuxpoints 3563.64489.84000.0.004.172 4.100 23 achaquepoint(figured.13). Iciencorelapuissanceactivetotaleechangeeestmieuxreconstitueequecellesrelatives 1 Lecalculdes"miels"etceluidelapuissancetotaleechangeen'estacceptablequesur lesquatredernieresbandesdetiersd'octave:lenombred'oscillationsestalorssuperieur a1ou2etlenombredemodesestsuperieura2ou3.lespremieresbandesd'analyse utiliseesicisontdonctropetroites.

D.3.ASSEMBLAGEDEPLAQUESPLUSPETITES 131 5 Fig.D.12-Reconstitutiondespuissancesactivesechangees,petitesplaques -calculexact---calculemmac)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp1-0.0008 b)puissanceaupointp2-0.004 P [W] 0.0005 0-0.0005 - -5-0.002-0.0025-0.003-0.0035-0.004 100 1000 P [W] 4 2 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0-0.0002-0.0004-0.0006 100 1000 P [W] 0.002 0 - -0.002-0.003 100 1000 Fig.D.13-ReconstitutiondelaPuissanceechangeetotale,petitesplaques -calculexact---calculemma 1e-06 1e-07 100 1000 Fig.D.14-Reconstitutiondes"miels",petitesplaques -calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp7 1e-06 1e-06 1e-07 1e-07 1e-08 1e-08 1e-09 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp61e-09 100 1000 100 1000 100 1000 Ptot [W] < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2]

132ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES L'hypothesedesourcedepuissanceactivemoyenneiciesttoujoursassezbienverieepar rapportauxsourcesdeforce(cf.figured.15a). D.3.1Etudedessourcesdepuissance correct,l'hypothesedesourcedepuissanceactivemoyenneesttresbienveriee,ainsique etnecorrespondpasadessourcesreelles). Oncomparelespuissancesactivesmoyennes(exactes)injecteesavantetaprescouplage, Onconsidereaussideuxexcitations,toujoursauxpointsP4etP5,tellesquelavitesseen surlapluspartdesbandes,apartird'unrecouvrementmodalde0.17pourlapremiere Onconstateque,danslesquatredernieresbandespourlesquelleslecalculaetejuge cespointsestinchangeeetegaleaun,avantetaprescouplage(cecasesttrespenalisant plaque(ouapartirde4modesdanslabande). D.3.2Etuded'autresbandesdefrequence andevoirsil'hypothesedesourcedepuissanceestvalabledanscecas(figured.15b). bandesde200hzetde800hz,pourlaplaquelapluspetiteetepaisse,onaeneetles Globalementonconstateunedeteriorationdesresultats,parrapportaucasdesgrandes d'oscillationsdespartiesimaginairesdesmobilitesdanslesm^emesbandes).pourdes nombresdemodesetd'oscillationsdeimfym4c3g(indicatifs)dutableauci-dessous. plaques(avecdesstructuresquiavaientapeupresdixfoisplusdemodesetaussiplus LescalculsdesFiguresD.16etD.17montrentquelechoixdebandesadapteespeutse faireapartirdunombred'oscillationsdesmobilites. Bandesde FcentrModesOsc.FcentrModesOsc.FcentrModesOsc. 80 100 200HzBandesde 2600.02 2800.00 3000.00 200HzBandesde 500.03 1300.03 2100.04 120 1400.00 3200.03 2 2900.05 5.0 160 340 3700.03 2.0 1800.02 360 4500.04 200 380 4000.00 4.0 2200.00 1 4200.02 4400.00 0 1.0 240 02 460 480 1 3.0

D.3.ASSEMBLAGEDEPLAQUESPLUSPETITES 133 a)sourcedeforce,puissanceenp5 0.1 Fig.D.15-VariationdesPuissancesactivesmoyennesinjectees Casdespetitesplaques; {avantcouplage---aprescouplage b)sourcedevitesse,puissanceenp4 1 Fig.D.16-Reconstitutiondes"miels",petitesplaquesf=200Hz -calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp11e-06 b)<jvj2>=2aupointp61e-08 Fig.D.17-Reconstitutiondes"miels",petitesplaquesf=800Hz -calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp61e-07 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-06 1e-07 100 1000 < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2] Pinj [W] 1000 100 10 100 1000 < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-06

Lesdeuxplaquesidentiquessontlesm^emesquecellesutiliseesauD.1.Pourlesbandesde tiersd'octave,onalesvaleurssuivantesdedensitemodaleeective(nombredemodessur 134ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES lalargeurdelabande),recouvrementmodal,nombredemodesdanslabande,longueur D.4Casparticulier:assemblagededeuxplaquesiden- d'onde: Finf[Hz]Fsup[Hz]Fc[Hz]Dens.mod.Rec.mod.Nb.Modes[m] 111.4140.3 140.3176.8 176.8222.7 222.7280.6 280.6353.6 353.6445.4 445.4561.2 125.0.173 157.5.192 198.4.218 250.0.190.225.303.437.481 5710 11.281 561.2707.1 315.0.219.699 16.251 707.1890.9 396.9.207.836 19.223 890.91122.51000.0.207 500.0.199 1.002 23.199 1122.51414.21259.9.213 630.0.206 793.7.218 1.298 1.738 2.084 2.686 30 40 48 62.177.158.141.125.112.100 Sideuxstructuressontcoupleesendespointsdemobilitesd'entree(classiques)identiques,onavuqu'onadeserreurssupplementaires(cf3.3.5)ils'agiticidelesevaluer 2244.92828.42519.8.218 2828.43563.63174.8.219 5.509 7.007 127 161.079 1414.21781.81587.4.215 1781.82244.92000.0.212 3.426 4.250 79.089 parrapportauxautreserreursdemethode,analyseesprecedemment. 3563.64489.84000.0.214 8.614 198.070 Lecasdedeuxplaquesidentiquespermetentreautredeverierparsymetrielescalculs.063 exactetapprochedesquantitesdetransfert.onremarqueraquececasdegure"particulier"peutseretrouversurdesassemblagesreels,maissemblepeuprobable,acause.050.056 desvariationsdescaracteristiques(etdesmobilites)d'unestructureal'autre,rappelees aupremierchapitre. litesenergetiquesaprescouplage,enentreeetentransfert,pourlespointsp1(0:2;0:5), ConsideronslecouplagedesdeuxplaquesenunpointP1(0:2;0:4).Oncalculelesmobi- P2(0:4;0:2),P3(0:7;0:3)etP4(0:5;0:6)[m]. D.4.1Couplageenunseulpoint entreunpointquelconquemetlepointcsontcalculeesquasiexactementparlamethode approchheeetm^emeparcellesimpliste(voirfigured.19). Mobilitesenergetiquestresbienreconstituees Lesmobilitesenergetiquesd'entreeHccaupointdecouplagecetcellesdetransfertHmc

D.4.CASPARTICULIER:ASSEMBLAGEDEDEUXPLAQUESIDENTIQUES135 P4 P1 P1 P1 Mobilitesenergetiquespeumodieesparlecouplage P3 P3 Lesmobilitesenergetiquesd'entreeHmmetdetransfertHmn,pourlespointsmetnnon couples(surchacunedesdeuxplaques),sontquasimentinchangeesaprescouplage,par Fig.D.18-Couplageenunpointetentroispointsdedeuxplaquesidentiques P2 P2 rapportacellesavantcouplage(figured.20). Mobilitesenergetiquesbiencorrigees noncouplesonprendradirectementcellesavantcouplage,sansautrescalculs. peuventseproduiredanslesdeuxcalculsenergetiques(cf.figured.21).c'estpourquoi, enpratique,pourlesmobilitesenergetiquesd'entreeetdetransfertentrepoints Cesm^emesmobilitessontbienreconstituees,saufenbassefrequence,oudeforteserreurs Simpliste:surlaFigureD.22a)onconstateundecalageconstantd'unfacteurdeux. fs1getunpointquelconquen2(dierentdec)surfs2g,sontmalcalculeesparlecalcul LesmobilitesenergetiquesdetransfertexactesHm1n2,entreunpointquelconquem1sur Cetteconvergences'expliquecarenhautefrequence Hc=<Re2fYcg>+<Im2fYcg> obtenuessonttresvoisinesdecellesexactes)etlecalculemma(happm1n2)converge asymptotiquementverslebonresultatenhautefrequece. plage)lapriseencomptedelasymetriepermetderattrapercedecalage(leshcorm1n2 doncledenominateurapproche (lepointp6correspond,surl'assemblage,aupointp3deladeuxiemeplaqueavantcou- HIcckc+HII OnpourraitdoncenconclurequelecalculEMMAconstituebienuneameliorationpar LaFigureD.22b)comparelesdierentscalculs. rapportaucalculsimpliste,etquelacorrectiondudenominateursutaprendreen comptelasymetrie.cependantunderniercasresteaanalyseretilreservebiendesurprises... cc+<refyi 2<Re2fYcg>tendvers<RefYcg> ccg>=2hc+<refycg>tendversceluiexact(ici=4hc). 2,

136ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES Fig.D.19-Assemblagededeuxplaquesidentiquescoupleesenunpointuniquec a)mob.senerg.d'entreeenp1 -calculexact{{calculemma---calculsimpliste b)mob.senerg.detransfertp2 P1 0.1 EntreeHccettransfertsHmcavecuneerreurnulle Fig.D.20-Assemblagededeuxplaquesidentiquescoupleesenunpointuniquec a)mob.senerg.d'entreeenp2 -avantcouplage---aprescouplage b)mob.senerg.detransfertp2 P3 etlepointsymetriquem2surfs2g,lecalculemmaestmauvaisetconvergeverscelui PourlesmobilitesenergetiquesdetransfertHm1m2,entreunpointquelconquem1defS1g Casparticulierdutransfertsymetrique Mobilitesenergetiquespeumodieesparlecouplage (mauvaisaussi)obtenuaveclasimplecorrectiondudenominateur,quin'estpassusante ici. Plussurprenantencore:lecalculsimpliste,pourdesraisonsquirestentaeclaircir,donne unresultattrescorrect.lesguresd.23illustrentcecasparticulier. Explicationdu"mystere"L'erreurestdueessentiellementaufaitqu'onconsiderela car(envertudelareciprociteetdelasymetrie)ym1c=ycm2,et<x2>6=<x><x>, moyenned'unproduitdedeuxquantitescommeegaleauproduitdesmoyennesalorsque lesquantitesnesontpasstatistiquementindependantes. surtoutsilesdonneesdanslabandeanalyseepresententunfortecarttype(cequiest Eneetonn'aplusledroitd'ecrireque <jym1cycm2j2><jym1cj2><jycm2j2> H [s/kg] H [s/kg] 100 1000 0.1 100 1000 H [s/kg] H [s/kg] 0.1 100 1000 100 1000

D.4.CASPARTICULIER:ASSEMBLAGEDEDEUXPLAQUESIDENTIQUES137 a)mob.senerg.d'entreeenp2 b)mob.senerg.detransfertp2 P3 0.1 realiseici,surtouteslesbandesanalysees):voirlafigured.24. L'erreurintroduite,danslecasanalyse(toutdependdelamobilitedetransfert),estaussi Fig.D.21-Assemblagededeuxplaquesidentiquescoupleesenunpointuniquec voisined'unfacteurdeux;ellerattrapeainsi(acausedel'amortissement,choisiauhasard) -calculexact{{calculemma---calculsimpliste l'erreur(constante)ducalculsimplisteetrendlamethodeemmainadaptee,ainsique Mobilitesenergetiquesanepascalculer LeCalculEMMAetceluiSimpliste(comparesauCalculExact)donnentglobalementdes laseulecorrectiondudenominateur. ConclusionspourleCouplageenunseulpoint bonsresultats(erreurinferieurea3db)surlesmobilitesenergetiquesaprescouplage. LeserreursdelatentativeSimplistes'expliquentparl'applicationabusivedel'additiviteenergetique;cellesdelaEMMAs'expliquentparl'applicationabusivedeshypotheses LeCalculSimplisteestmeilleurpourlestransfertsinterplaqueentredeuxpointssymetriques Hm1m2.Danstouslesautrescas,leCalculEMMAestplusperformant. inferieurea1db). entreunpointquelconquemetlepointcsontcalculeesquasiexactement(erreurtres Lesmobilitesenergetiquesd'entreeHccaupointdecouplagecetcellesdetransfertHmc Onconsidereapresentuncouplagerigide(sansdissipation)desm^emesplaquesauxtrois pointsp1(0:2;0:4),p2(0:5;0:1),p3(0:8;0:6)etoncalculeaussiaupointp4(0:5;0:4)[m]. L'inter^etdececalculestdepouvoiranalyserlesinterferencesentrelesdierentspoints Hyp.3a),b)etc). D.4.2Couplageentroispoints decouplage. Mobilitesenergetiquesquasiexactes Commepourlecouplageenunseulpoint,lesmobilitesenergetiquesd'entreeHccaux pointsdecouplagecetcellesdetransferthmc,entredespointsnoncouplesmetles pointsdecouplagec,sonttresbiencalculeesparlecalculemmaetparceluisimpliste: H [s/kg] 100 1000 H [s/kg] 100 1000

138ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES a)calculsimplisteinadapte b)calculsexact,corrigeetapproche(emma) pointsdemobilitesd'entree(classiques)identiques,onavu(cf3.3.5)qu'onpeutfairedes Fig.D.22-MobilitesenergetiquesdetransfertinterplaqueP2 P6 correctionsapriori,lesmobilitesainsiobtenuesserontappelees"corrigees". l'erreuresttresinferieureaundb(figured.25).sideuxstructuressontcoupleesendes -calculexact{{calculemma---calculsimpliste BonnecorrectionparleCalculApproche(EMMA) 1e-06 Mobilitesenergetiquesbiencorrigees LesmobilitesdetransfertHcm,entrelespointsdecouplagecetceuxnoncouplesm,et cellesdetransfertinterplaquehm1n2,entredeuxpointsnoncouplesetnonsymetriques m1etm2,sontmalcalculeesparlecalculsimpliste(facteurdeux).lacorrectiondu denominateursutaexpliquercedecalage(puisquelecalcul"corrige"esttresvoisinde celuiexact),etlecalculemmaconvergeasymptotiquementverslecalculexact. LagureD.26synthetisecesresultats(lepointP5correspond,surladeuxiemeplaque l'assemblage,aupointp4delapremiere). Casparticulier Commepourlecouplageenunseulpoint,onretrouvele"casparticulier"dutransfert interplaquehm1m2,entredeuxpointssymetriquesnoncouples,etonconstatequ'ily nouveauteici).l'explicationestlam^emequedanslecasd'unseulpointdecouplage.la FigureD.27illustreces"disfonctionnements". alesm^emeserreurssurletransferthc1c2entredeuxpointsdecouplage(c'estlaseule H [s/kg] 1e-06 100 1000 H [s/kg] 100 1000

D.4.CASPARTICULIER:ASSEMBLAGEDEDEUXPLAQUESIDENTIQUES139 Fig.D.23-Mob.senerg.detransfertinterplaqueentredeuxpointssymetriques. Casparticulierdemauvaisecorrection. b){exact--simpliste a){exact,{{corrige--approche(emma) 1e-06 100 1000 100 1000 1e-06 1e-07 Visualisationdumodulecarredelamobilitedetransfert. Fig.D.24-Analysedel'erreurducasparticulier -produitdesmoyennes---moyenneduproduit b)donneedebase:jycmj2 1e-08 1e-09 1e-06 1e-10 1e-07 1e-11 a)<jycmj2><jycmj2>et<jycmj4>1e-08 100 1000 100 1000 H [s/kg] [s/kg]^4 H [s/kg] [s/kg]^2

140ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES Fig.D.25-Assemblagededeuxplaquesidentiquescoupleesenunpointuniquec a)mob.senerg.d'entreeenp1 -calculexact{{calculemma---calculsimpliste EntreeHccettransfertsHmcavecuneerreurnulle b)mob.senerg.detransfertp2 P1 a)hcm: exact--simpliste Fig.D.26-MobilitesenergetiquesdetransfertP2 P5 MauvaisCalculSimpliste,bonCalculEMMA b) exact{{corrige--emma Fig.D.27-Casparticuliers,avecmauvaisCalculEMMAetbonCalculSimpliste a)transfertsymetriqueinterplaque -calculexact{{calculemma---calculsimpliste b)transfertentrepointscouples H [s/kg] H [s/kg] H [s/kg] 0.1 100 1000 0.1 100 1000 0.1 100 1000 H [s/kg] H [s/kg] H [s/kg] 0.1 0.1 100 1000 100 1000 100 1000

D.4.CASPARTICULIER:ASSEMBLAGEDEDEUXPLAQUESIDENTIQUES141 Calculparbandesde200Hz Lesplaquesidentiquesontmaintenantunequarantainedemodesparbande. Fig.D.28-Mobilitesenergetiquesdetransfert;plaquesidentiquescoupleesen3points a)transferthc1c2 -calculexact{{calculemma---calculsimpliste -lecalculsimplisteestmeilleursurletransferthc1c2entredeuxpointsdecouplageet ConclusionspourleCouplageentroispoints Globalementonretrouvelesm^emesresultatsquedanslecasducouplageenunseulpoint: -l'erreurmaximaleestd'environ3db, -l'erreurestquasinullepourlesquantiteshccethmc, b)transferthcm Onavuparlesdeuxcasprecedents,dedeuxplaquesidentiques,coupleesenunouentrois points,quelamethodedesmobilitesenergetiquesemmas'applique,defaconsatisfaisante Conclusionspourlesassemblagessymetriques surletransfertinterplaquehm1m2,entredeuxpointssymetriquesnoncouples, etquedeserreurs(inferieuresa3db)subsistentpourlestransfertsinterplaque,entredeux -lecalculemmaestmeilleurdanslesautrescas. Simpliste")avecuneerreurd'environ3dB.Cetteerreurpeutaugmenter,entheorie,siles structurescoupleessonttrespeuamorties. Deplus,surlestransferts,lorsqueuncalculpresentel'erreurmaximale,l'autreesttres performant(etviceversa). pointssymetriquesetpourlestransfertsentredeuxpointsdecouplage. Donccen'estpassurcecasqu'onpeutmontrerlebienfondedelaMethodeEMMA. Danscecasparticulierd'unassemblagesymetrique(dedeuxstructuresidentiques),le Onpreconisecependantd'appliquerlaEMMAiciaussi,entenantcomptedufaitqueles formalismedesmobilitesclassiquess'appliqueaussiauxquantitesenergetiques("calcul etsiondiminuaitl'amortissementdesstructures,cedecalagepourraitencores'accro^tre. transfertsentrepointsdecouplageetceuxinterplaqueentrepointssymetriques,seront sousestimes:ceuxexactssonticijusqu'adeuxfoisplusfortsqueceuxprevusparleshapp, H [s/kg] H [s/kg]

142ANNEXED.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDEPLAQUESHOMOGENES

143 pluscomplexes Complementsauxsimulationsdecas AnnexeE Surlapremiereplaque,S1,auxpointsP1(0.2;0.5),P4(0.5;0.6)etP6(0.6;0.3),onaattache desmassesponctuelles,respectivementde0.1kg,0.2kget0.5kgetonl'acoupleetoujours Denitiondesstructuresetcomplements auxpointsp1(0.2;0.5),p2(0.4;0.2),p3(0.7;0.3),aladeuxiemeplaque,s2. E.1Assemblagedeplaquesheterogenes Icioncompletel'illustrationdececasparlacomparaisonducalculexactetapproche des"miels"aprescouplageendespointsmoins"critiques"queceuxmontresauchapitre4(figuree.3)etparlavericationdel'hypothesedessourcesdepuissanceactive minceavantetaprescouplage(figuree.2). Fig.E.1-PlaqueS1heterogenecoupleerigidementaS2 moyenne,encomparantlespuissancesactivesmoyennesexactesinjecteesdanslaplaque nementssatisfaisants. LesdierencesdeniveausurlespuissancesinjecteesaupointP4etaupointP5,traduisent exactetparlecalculapproche(figuree.4).onconstatequetouscescalculssontplei- Ennontraceencorelapuissanceactivemoyennetotaleechangeobtenueparlecalcul bienlapresencedelamasseconcentree(aupointp4). P1 P5 P2 P4 P7 P3 P6 S2 S1

144ANNEXEE.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDECASPLUSCOMPLEXES a)variationpuissanceenp4 Fig.E.2-Puissancesactivesmoyennesexterieuresinjectees -avantcouplage---aprescouplage b)variationpuissanceenp5 Fig.E.3-Reconstitutiondes"miels"aprescouplage: -calculexact---calculemmac)<jvj2>=2aupointp5 a)<jvj2>=2aupointp21e-08 b)<jvj2>=2aupointp4 P [W] < V 2> [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-06 < V 2> [m2/s2] 1e-06 1e-07 P [W] 0.1 < V 2> [m2/s2] P [W] Fig.E.4-Reconstitutiondelapuissanceactivetotaleechangee: -calculexact---calculemma

Onaaussiconsiderelecasd'unesourcedeforce(jFj=100[N]),quiexciteladeuxieme E.1.ASSEMBLAGEDEPLAQUESHETEROGENES E.1.1Variationdessourcespourdeuxsystemesexcites injecteespeuventm^emedevenirnegatives.l'hypothesedesourcesdepuissanceactive plaqueetetudielavariationdelapuissanceactivemoyenneinjecteeparlesdeuxpremieres sources(jfj=1[n]):elleesttresforte(figuree.5),lespuissancesactivesmoyennes 145 moyenneestalorscompletementfausse.cependantdanscecaslacontributiondespuissancesquiontchangeestnegligeabledevantcelledespuissances"principales"quilesont faiteschanger:m^emeauxdeuxpointsd'injectiondirectedeces"faussespuissances"on arriveabienreconstituerles"miels"aprescouplageparlamethodeemma,quiutilise l'hypothesedesourcesdepuissance(voirfiguree.6). a)puissanceaupointp4 {avantcouplage---aprescouplage,avecforteexcitationsurs2 Fig.E.5-PuissancesactivesmoyennesinjecteesdansS1 b)puissanceaupointp5 a)mielaupointp4 Fig.E.6-MielsauxpointsexcitesdeS1,avecforteexcitationsurS2 {calculexact---calculemma b)mielaupointp5 P [W] P [W] 0.0025 0.002 5 0.0005 0-0.0005 - -5-0.002 1e-06 1e-07 1e-08 P [W] P [W] 0.1 0.1

calculexact(parmobilitesclassiques),ceuxobtenusparlecalculapproche"total"(qui Oncompareicilespuissancesechangeesetles"miels"aprescouplage,obtenusparle 146ANNEXEE.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDECASPLUSCOMPLEXES E.2Couplageselastiquesetdissipatifs considerelessystemesintermediairescommeunsystemeenergetiquec1etopered'abord l'assemblage"a1approche"des1avecc1,puisceluide"a1approche"avecs2)etceux obtenusparlecalculapproche"partiel"del'assemblagedea1(exact)aveclaplaques2 (voirfigure5.11). sous-structureoual'autre,lecalculdesquantitesenergetiques"partiel"aprescouplage rapportsentrelapuissanceinjecteeetlemielobtenu("faibleerreurdedenition"). Sil'onconsiderecependantlessystemesintermediairesC1commeetantrattachesaune mobilitesenergetiquesdeniespourcessystemesintermediairesrepresententbiendes recouvrementmodal,donclecalculenergetique"total"nesejustiepas,mêmesiles intermediairescn'ontpasdemodesdanslapluspartdesbandes,mêmepourunfaible Lecouplageelastiqueetdissipatifposeeneetunproblemedeprincipe:lessystemes Consideronsd'abordunsystemedecouplagede"faible"raideur(M=0.0005[kg],K=100 [N/m],C=0.1[N.s/m]);safrequencederesonnanceestautourde70Hz,etsamobilite devientsense. E.2.1Etuded'unsystemedecouplagedefaibleraideur d'entreeestvisualiseesurlafiguree.7. Lespuissancesechangeessontglobalementassezbienprevues,tantparlecalculapprochetotalqueparceluipartiel.L'erreurpeutatteindre10dBsurcertainesbandementlescontributionsdespuissancesechangees,paradditiviteenergetique. (cf.figuree.8).les"miels"aprescouplagesontcependantbienreconstitues(figuree.9), mêmeaupointnoncouplep7delastructurereceptrice,c'estadireenutilisantunique- Fig.E.7-Mobilited'entreedusystemeintermediaire E.2.2Faibleraideur,dissipationaugmentee Parrapportaucalculpresenteen5.2.1,onaugmentemaitenantl'amortissementd'un facteurdix:(m=0.0005[kg],k=100[n/m],c=1[n.s/m]);lesautresdonneessont inchangees. Re{Ym1m1} et Im{Ym1m1} [s/kg] 4 2 0-2 -4-6 -8 10 100 1000 10000

E.2.COUPLAGESELASTIQUESETDISSIPATIFS 147 1e-07 Fig.E.8-Puissancesactivesmoyennesechangees(recuesparS2) -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel c)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-12 b)puissanceaupointp21e-12 c)<jvj2>=2aupointp7 deforteserreurs. Fig.E.9-Reconstitutiondes"miels"(P1estsurS2) Les"miels"aprescouplagesontcependantbienreconstitues(FigureE.12),m^emeaupoint Lespuissancesechangeessontencoreassezbienprevues(cf.FigureE.11),parle"calcul approchetotal",commeparle"calculapprochepartiel",saufsurquelquesbandes,avec -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel noncouplep7delaplaquereceptrice(obtenuaveclesseulespuissancesechangees). a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-15 Hz,(voirFigureE.13)doncdanslaplaged'analyse(de100a5000Hz). menceavoirundecalageentrelecalculapproche"total"etcelui"partiel",surtouten dessousdelaresonnancedessystemesintermediaires,pourlesdeuxpremieresbandes. 1000[N/m],C=1[N.s/m])Laresonnancedessystemesintermediairesestaenviron318 OnaugmentemaintenantlaraideurKdesressortsd'unfacteur10:(M=0.0005[kg],K= E.2.3Raideuraugmentee Danslespuissancesechangees(cf.FigureE.14)etdansles"miels"(FigureE.15)oncom- P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12 1e-13 1e-14 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-10 1e-11 1e-12 1e-13 1e-14

148ANNEXEE.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDECASPLUSCOMPLEXES Fig.E.10-Mobilited'entreedusystemeintermediaire Fig.E.11-Puissancesactivesmoyennesechangees(recuesparS2) -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel c)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-10 b)puissanceaupointp21e-10 -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel Fig.E.12-Reconstitutiondes"miels"(P1estsurS2) c)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-13 Re{Ym1m1} et Im{Ym1m1} [s/kg] P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12 2 0-2 -4-6 -8-10 -12-14 -16 10 100 1000 10000 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12

E.2.COUPLAGESELASTIQUESETDISSIPATIFS 149 Fig.E.13-Mobilited'entreedusystemeintermediaire Fig.E.14-Puissancesactivesmoyennesechangees(recuesparS2) -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel c)puissanceaupointp3 a)puissanceaupointp11e-10 b)puissanceaupointp21e-10 -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel Fig.E.15-Reconstitutiondes"miels"(P1estsurS2) c)<jvj2>=2aupointp7 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-13 Re{Ym1m1} et Im{Ym1m1} [s/kg] P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1.2-1.4-1.6 100 1000 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 1e-10 1e-11 1e-12

150ANNEXEE.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDECASPLUSCOMPLEXES OnconsideremaintenantunsystemedecouplagederaideurK=100000;danslaplage d'analyse100-5000hzonamaintenantunezoneendessousdelaresonnancedes E.2.4Etuded'unsystemedecouplagedeforteraideur systemesintermediaires(environ3100hz)etunezoneaudessus(figure5.15). Lespuissancesechangeesducalcul"approchetotal"sontcompletementfausses(cf.FigureE.16), jusqu'alabandepourlaquellelapartieimaginairedelamobilitedessystemesintermediaires passeparzeropourlapremierefois(autourde2300hz);autourdelaresonnanceelles sontencoremauvaises,puisserapprochentsymptotiquementducalculapprochepartiel. unfacteurcinqsurlespuissancesetaunfacteurtroissurles"miels". LepointP4delapremierestructure,excitedirectement,estevidemmentbiencalculepar lesdeuxmethodesapprochees. Lecalculapprochepartielestgeneralementsatisfaisant,avecdeserreursallantjusqu'a Surles"miels"onretrouveceserreurs(cf.FigureE.17). P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] 0.1 Fig.E.16-Puissancesactivesmoyennesechangees(recuesparS2) c)puissanceaupointp3 1e-06 1e-06 1e-07 1e-06 1e-07 1e-08 1e-07 1e-08 a)puissanceaupointp11e-09 1e-09 b)puissanceaupointp21e-08 {calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel Fig.E.17-Reconstitutiondes"miels"(P1estsurS2) c)<jvj2>=2aupointp7 1e-06 1e-06 1e-07 1e-07 1e-08 1e-08 1e-09 1e-09 1e-10 1e-10 1e-11 1e-11 1e-12 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-12 P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] P [W] < V ^2>/2 [m2/s2]

E.2.5Forteraideur,dissipationaugmentee E.2.COUPLAGESELASTIQUESETDISSIPATIFS Parrapportaucalculprecedent,onaugmentemaitenantl'amortissementd'unfacteurdix: 151 (M=0.0005[kg],K=100000[N/m],C=10[N.s/m]);lesautresdonneessontinchangees. Lespuissancesechangeessontencoremalprevues(cf.FigureE.19),parle"calculapproche (quelquesvaleursnegativessurlespremieresbandesnesontpasrepresentablesenechelle log.). Commelapartieimaginairedelamobilited'entreedecesderniersnes'annuleplus,a total",endessousetautourdelafrequencederesonnancedessystemesintermediaires Fig.E.18-Mobilited'entreedusystemeintermediaire causedelafortedissipation,onn'apluslesdeuxplagesdefrequencesavecuntresbon Lecalculapprochetotal,convergeencoreverslecalculapprochepartielaudessusde calcul,qu'onavaitau5.2.2. (FigureE.12),m^emeaupointnoncoupleP7delastructurereceptrice,c'estadireenutilisantuniquementlescontributionsdespuissancesechangees,paradditiviteenergetique. dissipationplusfaible. Le"calculapprochepartiel"estsatisfaisant,saufpourlestoutespremieresbandes. prochessontpresqueidentiques. Les"miels"aprescouplagesonttoujoursmieuxreconstituesquelespuissancesechangees lafrequencederesonnance.cependantilconvergepluslentementquedanslecasd'une Pourcompletercetteetudeilfaudraitconsidererlecasdetroissystemesintermediaires Surlapremiereplaque(voirle"miel"aupointP4),lesresultatsdesdeuxcalculsap- dierentsentreeuxetobserverle"miel"aprescouplagesurunpointdes2equidistant destroispointsdecouplage. Re{Ym1m1} et Im{Ym1m1} [s/kg] 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 -1.2-1.4-1.6

152ANNEXEE.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDECASPLUSCOMPLEXES P [W] 0.1 Fig.E.19-Puissancesactivesmoyennesechangees(recuesparS2) -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel c)puissanceaupointp3 1e-06 1e-07 1e-06 1e-06 1e-08 1e-07 1e-07 a)puissanceaupointp11e-09 b)puissanceaupointp21e-08 P [W] P [W] < V ^2>/2 [m2/s2] -calculexact{{calculapprochetotal---calculapprochepartiel Fig.E.20-Reconstitutiondes"miels"(P1estsurS2) c)<jvj2>=2aupointp7 1e-06 1e-06 1e-07 1e-07 1e-08 1e-08 1e-09 1e-09 1e-10 1e-10 1e-11 a)<jvj2>=2aupointp1 b)<jvj2>=2aupointp41e-11 < V ^2>/2 [m2/s2] < V ^2>/2 [m2/s2]

excitespardesforcesunitaires.lavariationdelapuissanceactivemoyenneinjecteepar forceconstantedemodule100[n]aupointp7,lespointsp4etp5des1etanttoujours Dansl'assemblagedu5.2.2,avecdesliaisonsdeforteraideur(M=0.0005[kg],K= 100000[N/m],C=1[N.s/m]),onexciteapresentaussiledeuxiemesystemeparune E.2.6Excitationdepartetd'autre,variationdessources E.2.COUPLAGESELASTIQUESETDISSIPATIFS 153 couplageestfaible),mais,contrairementauxattentes,ellenediminuepasenmontanten frequence. Lecalculapprochedes"miels"aprescouplageencesm^emespointsP4etP5,excites cesforcesavantetaprescouplage,representeedanslafiguree.21,restefaible(carle aprescouplage,reetecesvariationsmaisesttoujourstressatisfaisant(cf.figuree.22). directement,quiutiliselespuissancesinjecteesavantcouplageaulieudecellesinjectees a)puissanceaupointp4 Fig.E.21-PuissancesactivesmoyennesinjecteesdansS1 {avantcouplages---aprescouplages b)puissanceaupointp5 a)mielaupointp4fig.e.22-"miels"auxpointsexcites {calculexact---calculemma b)mielaupointp5 P [W] < V 2>/2 [m2/s2] 0.1 0.1 P [W] < V 2>/2 [m2/s2] 0.1 0.1

lesunsdesautres,onpeutexprimerl'erreur(pessimiste)ducalculdes"miels"entermes desseulesmobilitesclassiques.onpeutdoncobtenirdesexpressionsquicomportentdes moyennesfrequentiellesdeproduitsetderapportsdemobilitesclassiques;desexpressions Etantdonnequelesforcesexterieuresetleseortsdecouplagenesontpasidependants 154ANNEXEE.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDECASPLUSCOMPLEXES analoguesacellesdestermes"croises"quiconditionnentl'additiviteenergetique. E.3Pistespourunindicateurd'erreur Qualitativementlamoyennedecesproduits,ourapports,serad'autantpluspetitequ'ils decorrelationeectivedesdierentesmobilitesetl'ecacitedeleursoscillations. Ilsemblealorsimpossibledeprevoirl'erreurdecalculsurchaquebandedefrequences changentdesigneal'interieurdelabandeconsideree. sanseectuerlecalculexact. Cependantplusilyadechangementsdesignepourchacunedesmobilites(poursapartie reelleousapartieimaginaire),plusonadeschancesd'avoirdeschangementsdesigne Iciencorel'erreurseralieealadistanceentrelespointsd'excitation,quideterminerala tieimaginairedesmobilites.ilaugmenteaveclalargeurdelabandeetavecladensite d'oscillationsparbandedespartiesimaginairesdesmobilitesclassiques,commeindicateurapproximatifdelaqualiteducalcul. Ceparametrepeutfacilementsemesurerparlenombredepassagesazerodelapar- pourleursproduitsetrapports.c'estdanscesensqu'onproposed'utiliserlenombre modaleetsemblemieuxcorrespondrequalitativementauxvariationsdel'erreur,dansles dierentessimulationseectuees(sansqu'onpuissepourautantetablirunerelationsimple entrel'erreuretlenombred'oscillationsdanschacunedesbandes).d'apreslessimulationsnumeriqueseectuees(cf.4.3.1,d.2.2,etd.3)ilsembleraitaussiquepourobtenir lem^emeniveaud'erreur,ilsutdemoinsd'oscillationsenhautefrequence,lorsquel'amplitudedecelles-ciestpluspetite(etlerecouvrementmodalestplusfort).donccette amplitudedesoscillationspeutconstituerundeuxiemeindicateur. etimfyeg,quinepasseplusparzeroachaquemode,oscilledemoinsenmoinsdansla lerecouvrementmodalestsuperieura1,onnepeutplusseparerlesmodessurrefyeg depassagesazerodelapartieimaginairedelamobilited'entreeimfyeg,maisdesque Signicationphysique densitemodale),maisaussidurecouvrementmodal. Enbassefrequence,lenombredemodesdansunebandeestdirectementlieaunombre d'entree<yee>s: Pourunestructurehomogene,Bourgine([7]),ouCremeretHeckl([20])ontetablilelien entreladensitemodalen(f),lamassetotalemtetlamoyennespatialedelamobilite bandedefrequences. Lenombred'oscillationsdansunebandedependdoncdunombredemodes(oudela mobilitesclassiques.onvadoncessayerdedegagerdescritereslieauxmobilitesd'entree qu'onadejamesurees. Icitoutelamethodesebasesurdesquantiteslocalesmesurablesetbiendenies:les n'intervientpasexplicitementdanslamethodedesmobilitesenergetiques. Pourdesstructurescomplexesonpeutsedemandercommentaccederaladensitemodale ouaunombredemodesetsielleestencoreutilepourdescalculslocaux.depluselle n(f)=4mt<refyee(f)g>s (E.1) He=<Re2fYeg>+<Im2fYeg> Ondisposede<Re2fYeg>+<Im2fYeg>,de<RefYeg>etdeleurrapport <RefYeg>.

oscillationsestforte). estd'autantsuperieura2<refyeg>quel'amortissementestfaible(etl'amplitudedes <RefYeg><RefYeg>(d'autantplusquel'ecarttypedeRefYegestgrand),doncHe E.3.PISTESPOURUNINDICATEURD'ERREUR Enbassefrequenceona<Re2fYeg><Im2fYeg>et<Re2fYeg>estsuperieura 155 Enhautefrequencel'amplitudedesoscillationsestplusfaibleetona<Re2fYeg>>>< Cesdeuxingredients,N0(Yme)etHe depassagesazerodeimfymeg. frequenceetsontlocaux.ilfautlespondereretfabriquerunindicateuruniqueareliera Im2fYeg>et<Re2fYeg><RefYeg><RefYeg>,doncHe<RefYeg>. oscillations. Onproposed'utilisercerapportHe l'erreursurles"miels"aprescouplage,entraitantbeaucoupdecasd'assemblages. LerapportHe <RefYeg>estdoncunindicateurdurecouvrementmodaletdel'amplitudedes <RefYeg>,pourcompleter(ponderer)lenombreN0(Yme) <RefYeg>,sontmesurables,exprimesparbandede

156ANNEXEE.COMPLEMENTSAUXSIMULATIONSDECASPLUSCOMPLEXES

157 experimentales Complementsauxapplications AnnexeF F.1.1PrincipedesMontages F.1Methodologiedemesuredesmobilitesclassiques greeesacessystemesdoiventêtreisoleesdetoutesourceexterieureetellesnedoivent subiraucunemodicationexterieurelorsducouplage(autrequecellespropresaucouplage). exemples'ils'agitdelastructureprincipale),ilfautlesplacerdanslapositionreelle (congurationd'utilisation)qu'ellesauraientapresassemblage. Pourmesurerlesmobilitesdessous-structuresisoleesilfautsoitlessuspendre,soit(par Danstouslescaslesstructuresperipheriques(câbles,plotsdesuspension,supportsetc.) SuspensionsetExcitations cipale,ous'exercersurdespartiespeumobilesdelastructure. Leseortsetmomentsrestantsdoiventêtrenegligeablesparrapportal'excitationprin- exterieureparmoments. danslaquelleonvaexercerl'excitationexterieure(directiondemesure)(cf.figuref.1). Lorsqu'onsuspendlessous-structuresisoleesilvautmieuxquelesventuelseortsdusaux suspensions(tractionoucompression)s'exercentdansunedirectionorthogonaleacelle Demêmeoneviteradebloquerlastructureenrotationsuivantlesaxesd'uneexcitation Lacauseprincipaledesdoutesestlesignedusignaldesortiedesdierentscapteurs(le "sensdemesure"xeparleconstructeurdesappareils),surtouts'iln'estpasindiquepar Signedesmobilites ladocumentation. Sientheorielacorrectiondusignedesmobilitesneposepasdeproblemes,danslapratique ellepeuttourneraucassetêtepourdesstructuresmincescompliquees,quiontdespoints decouplageinaccessibles,oumesurables"dumauvaiscôte".

158 ANNEXEF.COMPLEMENTSAUXAPPLICATIONSEXPERIMENTALES LIAISONS LIAISONS ELASTIQUES a)fauxmontage V ELASTIQUES ISOLANTES ISOLANTES Fig.F.1-Montagepourmesuredemobilitesdeforce b)bonmontage F F positive. Onpeutaussixeruneconventionparrapportauxsignesdessignaux(deforceetvitesse) Lacorrectiondesmobilitesd'entreeneposepasdeproblemes:quellequesoitladirection demesureoud'excitation,ilfautqu'auboutducomptelamobiliteaitunepartiereelle Signedesmobilitesd'entree V senspositifd'excitationetdemesure(voirparexemplesurlesfiguresf.2etf.3) issusd'unet^eted'impedance.l'ayantobtenue,onpeutsexeruneconventionpourle vitesseenk,maisdefaireconciderlessensdel'excitationactuelleencetdecellequ'il fautexercerenkpourmesurerlamobilited'entreeenk. resoluspourautant:consideronsuntransfertentredeuxfuturspointsdecouplagecetk, (cf.figuref.3b),ilnes'agitpasdefaireconciderlessensdel'excitationencetdela Ayantxelesenspositifdescapteursd'acceleration,touslesproblemesnesontpas Correctiondesmobilitesdetransfert Reciprocite mesure(cf.[124]). adaptesetquelemontageestassezstableentredeuxmesuresdierentes(parexempleon veriequelesmomentsinjectesontuneetnegligeableparrapportauxforcesnormales). d'excitationetdemesure(cf.figuref.4).sil'ondisposedeplusieurscha^nesdemesure, onpeutaussiopererunecorrectiondel'interspectre,parpermutationdescha^nesde Lareciprocitepermetdeverierquelesystemed'excitationetdemesuredelavitessesont Leprincipeestsimple:onintervertitlesendroitsd'excitationetdemesureetlessens

dispersiondesmesuresobtenuespardierentscapteursauxmêmespointsetaumême F.1.METHODOLOGIEDEMESUREDESMOBILITESCLASSIQUES F.1.2CapteursetCorrectiondemasse Precision,Dispersion,Calibration Laprecisiondescapteursestdonneeparleconstructeur,cependantilfautdeterminerla 159 mêmeresultat(anagerelatif). Correctiondemasse (calibrationabsolue)etenajustantlasensibilitedescapteurspourqu'ilsdonnentle moment.c'estcequ'onfaitpendantunecalibrationcorrecteutilisantlaloif=m delamobilitedelastructureystretdecelleducapteurycap=1 ilvamasquerlesvibrationsdupointmesure.lamobilitemesureeymesesteneetfonction AchaquemasseMdecapteurcorrespondune"frequencedecoupure"apartirdelaquelle DesqueYcapetYstrsontdumêmeordredegrandeurilfautcorrigerlamesurepour TantqueYcapestgrande(bassefrequence)devantYstr,onaYmesYstrettoutvabien. Ymes=YcapYstr Ystr+Ycap j!m: obtenir: Ystr=YmesYcap Ycap Ymes (F.2) (F.1) Lafrequencedecoupureaudeladelaquellelamesuren'estpluspossiblecorresponda: Onnefaitpasdecorrectionsurlamassedelatêted'impedanceouducapteurdeforce, injecteeparlepotvibrantdanslatêted'impedance. l'excitationparlarelationfondamentaledeladynamiquef=m. caronmesurebienlaforcequiestinjecteedanslastructureseuleetnoncellequiest Toutefoissil'onrajouteunemasseaprescecapteur,alorsilfaudracorrigerlavaleurde YstrYcap (F.3) Cecin'estvalablequesilesystemed'excitationE(potvibrant+capteur+stingeret etelles'ecrit: visses)aunemobilited'entreebeaucoupplusgrandequecelledusystemerecepteurr;en choc). eetc'estlamobiliteaprescouplageaupointdecouplagequ'onestentraindemesurer fyc=yr YR c+ye cye Erreursdemesure pouravoirfycyr Sinonilfaudrad'abordmesurerlamobilitedusystemed'excitation(avecunmarteaude cilsutqueye c>>yr c. cc (F.4) Ensusdelaprecision,deserreursdemesuresontduesaumauvaiscontactducapteur sement),onasoitunproblemedemontage(excitationtroploinducapteur:onmesureen aveclastructure(xationparcireoucolledissipative)etaumesalignementavecladirectiontheoriquedemesure. L'analysedespartiesreellesdesmobilitesd'entreepermetaussid'estimerla"proprete" desmesures:siellessontnegativesoutroppetitesparrapportaunseuil(dûal'amortis-

160 realiteunemobilitedetransfert),soitunproblemedebruitoud'adherencedescapteurs. Onpeutdonc"nettoyer"lesmobilitesd'entreeenleurimposantlavaleurminimaled'un certainseuil. Demême,pourdesstructuresdontl'amortissementesthomogene,onpeuteliminerles picstropetroitsdontlalargeurn'apasunebandepassantecompatibleavecl'amortissementdelastructure,surlesmobilitesd'entreecommesurcellesdetransfert. F.1.3Autresproblemes Bruitdefond Misapartlebruitdefondacoustique,quiestgeneralementnegligeablepourdesmesures vibratoires(saufeventuellementsurdestransfertstresfaibles),lesvibrationsparasites exterieuresetantcoupeesparunbonmontage,ilrestelebruitdefonddel'electroniquedes capteursetdusystemed'acquisition,quiestgeneralementconsideredecorreledessignaux mesures.desfonctionscommelacoherenceetlerapportsignalsurbruitpermettentde l'evaluer. Nonlinearites Despartiesdumontageoudespartiesdelastructureetudieepeuventintroduiredeschocs oudesfrottementsquinevarientpaslineairementavecl'excitationexterieure.tantquele niveaudecescontributionsestnegligeable,parrapportauxcontributionsdel'excitation partird'uncertainniveauvibratoire. Engeneralonveilleraatrouverunniveaud'excitationquin'engendrepascesphenomenes. parexemple)n'interviennent(en"ouvrant"ouencoupantdenouveauxchemins)qu'a exterieure,lamesureestcorrecte.sinonelledevientdelicate,carcessignaux,vehicules ANNEXEF.COMPLEMENTSAUXAPPLICATIONSEXPERIMENTALES Couplagesdissipatifs Ilsepeutaussiquedespartiesdissipativesnonlineairesdelastructure(encaoutchouc parlamêmestructure,peuventdependredel'excitationprincipale. leverierenmesurantlesvitessesdepartetd'autre(cf.figuref.5).pourd'autreson peutlecaracteriserapartirdesmobilitesavantetaprescouplageenidentiantalorsla couplageesttoujoursunpeuelastiqueetdissipatif.pourcertainescongurationsonpeut masseajoutee,laraideuretl'amortissementintroduits. Mesuredesmobilitesdemoment Lecouplagerigideestdicilementrealisable.Quelsquesoientleselementsutilises,le methodesdescapteursd'unegrandequalitesontrequis. Lamesuredumomentexerceesttoutaussiproblematiquecaronexercetoujoursenmême suredelaphaseentrelesdeuxcapteursdevienttresimportante,doncpourlesdeux desmomentsinjectes,d'autresproblemesviennents'ajouter.larotationestmesureepar dierencesniesoupardescapteursspeciaux.danslapremieretechniquelabonnemesibilitetransversalepourlesmesuresentranslation.pourlesmesuresdesrotationset Onadejacitelesproblemesdusalamasseapporteeparlescapteursetaleursen- tempsuneorttransversaletlessystemesactuellementdisponiblessontencombrantset nepermettentpasd'eectuerdesmesuressurdesstructuresminces.

F.1.METHODOLOGIEDEMESUREDESMOBILITESCLASSIQUES 161 Excitationaumarteau F FFT Fig.F.2-Exempledeconventiondesigneenentree V V F BON SIGNE MAUVAIS SIGNE: A CORRIGER DIRECTEMENT FFT FFT a)enentree,aupotvibrant Fig.F.3-ExemplesdeConventiondesigne b)entransfert,aumarteau V F c BON SIGNE DIRECTEMENT A CORRIGER MAUVAIS SIGNE: V k F FFT

162 ANNEXEF.COMPLEMENTSAUXAPPLICATIONSEXPERIMENTALES F F Fig.F.4-Mesuresparreciprocite FFT FFT V V a)aupointcouplevi c=vii c ACCELEROMETRE TETE ACCELEROMETRE Fig.F.5-Vericationducouplagerigideparcontinuitedesvitesses b)aupointexcitevtete=vstruct d IMPEDANCE STINGER FFT VIS VIS POT VIBRANT ECROUS GROS COLLE COLLE CYLINDRE

F.2Mesuressurunassemblagedestructuressimples F.2.MESURESSURUNASSEMBLAGEDESTRUCTURESSIMPLES Surlessous-systemesisoleschoisisprecedemmentonamesurelesmobilitesd'entreeau Mesureseectuees Mesuredesmobilites"avide" 163 m(oun)quelconque,nonbloque. Mesuressurl'assemblage Onarealiseunassemblageponctueldesdeuxsystemesprecedentsparunpetitboutde futurpointdecouplagecetlesmobilitesdetransfertentrecepointcetd'autrespoints Materielnecessaire Systemed'acquisitionLMS8voiesavecgenerateurdesignauxinterne. Marteaudechocsaveccâble. Potvibrantaveccerceaucirconferencielpoursuspension. Onamesurelesmobilitesdusystemeassembleentrelestroispointsm,netc. viscolle,aupointc. 2Amplicateursdechargepourlatêted'impedance 1Amplicateur4voiespourlesaccelerometres Têted'impedanceaveccâblesetvisacoller(1.1g) 2Accelerometres0,4gavecelectroniqueintegreeetls(0,7gautotal) ecrouspourxerlesdierentselements, tige("stinger")avecemboutsvissables. Vis(3gaveccolle)surpetitcylindre,pourcouplageponctuelrobuste. 10mdeldeNylon,elastiquesdegomme,collebiphasique(dure). Visdediametre5mm,dierenteslongueurs, 2alimentationspourlesamplicateursdecharge Onamesureauprealable,leplusprecisementpossible,lamassedesdierentselements -celledelavisetdelacollepourlatêted'impedance Correctiondemasseinutile dumontage: -celledescapteursdevitesse,vis,colleetcâbles Mesuresetcalculsprealables Autresvericationsparlamasse s'estassurequela"frequencedecoupure"estplushautequecellesmesurees. onarelevelescaracteristiquesdelatêted'impedance(masseinterne)d'apreslanotice commeindiqueauf.1.2;onaconstatequelacorrectionapporteeestnegligeableeton constructeur. Onaverielescapteursenfaisantunemesuredemobilite"avide"aveclepotvibrantavec Aveccesdonneesafaituncalculdecorrectiondemassepourlesmobilitesmesurees, stinger,têted'impedanceetcâbles:ilfautverierleprincipefondamentaldeladynamique pourlamasseinternecalculee:lamobilited'entreeobtenuedoitêtreye=1 Onverieainsiaussilebonfonctionnementdupotvibrantetdelatêted'impedance, ainsiquelemontageengeneralaveclesystemed'excitationetd'acquisition. j!m

Choixdusystemed'excitation deuxiemevericationparlamasse(massesinternes+massedespastilles+massedela colle)etonaverielabonnecorrelationdessignauxetlerapportsignalsurbruit. 164 Encollantunaccelerometresurunemassevisseealatêted'impedance,onaeuune ANNEXEF.COMPLEMENTSAUXAPPLICATIONSEXPERIMENTALES etaittresamorti. Encomparantlesperformancesdel'excitationparmarteaudechocetparpotvibrant (bruitblancinjecteparbande),onachoisicettederniere,quipermetteaitd'injecterplus depuissancesetd'obtenirdesresultatspluspropresentransfert,carlegroscylindrechoisi enplacantplusieursaccelerometreslesunsacôtedesautressurunemasselotteousur Onaaussicalibrelesaccelerometresparunsystemed'etallonage(tablevibranteBK), puisenajustantleursensibilitesurlesystemelmsousurlesamplicateursdecharge, Autresvericationsdescapteurs Onavisualise,surlesmobilitesd'entree,lespremiersmodesdessystemesetudiesdansla bandefrequentielleexciteeetconstatequ'ellesnecomportentpasbeaucoupd'oscillations pourlesdeuxcylindrestresamortis(cf.figure6.4). dierencesrestentpetitesentrelesdeuxaccelerometresutilises(surunemobilitedetransfert)etentrel'und'entreeuxetlatêted'impedance(surlamobilited'entree),saufen uneplaqueetenexcitantencemêmepoint:lesmobilitesd'entree(oudetransfert)obtenues,quidoiventêtrelesmêmesjusqu'aunecertainefrequence(pourlaquellelalongueur d'ondeesthuitadixfoisplusgrandequelerayondudisquecontenantlescapteurs), presententunedispersionquidenitl'erreurdemesuredebase. Surlesystemefortementamorti(groscylindre)onconstate(cf.FigureF.6)queces 0.008 dessousde100hzetaudessusde3500hz. YAP20203 YAP30203 Re{Y} [m/s/n] a)2accelerometres,entransfert -0.004 0.008 YGR10101 YGR30101 0.006 0.006 0.004 Fig.F.6-Comparaisondecapteursparmesuresauxmêmespoints 0.004 0.002 0.002 0 0-0.002-0.004-0.002-0.006 10 100 1000 10 100 1000 Re{Y} [m/s/n] b)accel./teted'imp.,enentree

165 Surprisenale AnnexeG Aucoursdel'etudeanalytique,uneautreapprocheaaussieteebauchee:laderivationde Derivationdelatheorieapartirdesystemessimples latheoriedesmobilitesenergetiquesapartirdel'analysedesystemessimples. OnsuitlecheminementhistoriquedelaSEA:apartirdeformuless'appliquantades evenementstatistique(ausensdelasea),c'estaussiunelementsimplespatial.c'est c'estaussisonavantage):peuimportentl'endroitd'injectiondespuissancesoul'endroit systemeselementaires(lesoscillateurs,quirepresententlesmodesdetoutestructure),on souscetaspectspatial(dierentde[20])qu'onval'envisagerici. etlarealisationducouplage,pourvuquel'analysedeschosessoitstatistique. Orunoscillateur,n'estpasseulementuneuniteenergetiquedebase(unmode)ouun deriveavecmoulthypotheses,desexpressionsenergetiquesdeporteeplusgenerale. CependantlaStatisticalEnergyAnalysisnegligel'observationspatialedessystemes(et Expressionspourunoscillateuramorti Unoscillateurdenitlesproprietesdynamiquesd'unpointe,enfonctiondescaracteristiques mecaniquesclassiquesnecessairesauxtheorieslineaires:lamassem,laraideurketl'amortissementc. Ilaunemobilite(classique)d'entreequirelielaforceFinjecteeetlavitesseobtenueen Lapuissanceactivemoyenneeparbandesdefrequence("pam")injecteeenes'ecrit: cepointe: Pe=<jFej2RefYeg>=<jVej2 Ye=!2C+j!(K!2M) (K!2M)2+!2C2 jyej2refyeg> (G.1) sil'amortissementcestconstantenfrequence,onadoncsimplement ouencore Pe=<jVej2(K!2M)2+!2C2 <jvej2> (K!2M)2+!2C2>!2C (G.3) (G.2) Ilexistedoncunerelationentrelapuissanceactivemoyenneeinjecteedansunoscillateur parbandesdefrequenceetle"miel"obtenu. Pe=1C (G.4)

maintenantunedeuxiememasse. Expressionspourunsystemededeuxmasses-ressort-amortisseur ANNEXEG.SURPRISEFINALE Pourintroduirelanotiondetransfertentredeuxpointsdistincts,nousallonsintroduire 166 Soitunsystemeelastiquecomposededeuxmasses(ponctuelles,ouindeformables)m1 etm2,avecunressortderaideurketunamortisseurcintermediaires.apartirdes mobilitesclassiquesd'entreesurm1: Fig.G.1-Systemebimasse-ressort-amortisseur etdetransfertentrem1etm2: Ym1= j!(m1+m2) K!2m1m2 1+jK!m2 avec Ym1m2=Vm1 Fm2= j!(m1+m2) K!2m1m2 1 (G.5) enappliquant3.11,ontirelesmobilitesenergetiquessuivantesenentreesurm1: K=1 Kj!+c (G.6) etdetransfertentrem1etm2: Hm1=<jYm1j2> He2e1=<jYm1m2j2> <RefYm1g><(K!!m2)2+c2> <RefYm1g>c2+K2 <!2m2c> (G.7) moyenneeenfrequence,onobtient Parailleursenformantlerapportdu"miel"exactetdelapuissanceactiveexacte <RefFm1Vm1g>= <jvm1j2> <jvm1j2!2m2c <jvm1j2> (K!!m2)2+c2> (G.9) (G.8) ensupposantquelesdeuxquantitesjvm1j2et!2m2c frequences,(leurvarianceestfaible,surchaquebande),onremplacelamoyennedeleur (K!!m2)2+c2sontlisseessurunebandede m1 K c m2

Onsimpliealorspar<jVm1j2>etonobtient produitparleproduitdeleursmoyennes. <RefFm1Vm1g> <!2m2c (K!!m2)2+c2> 1 (G.10) 167 qu'onsimpliedemêmeen<jvm2j2> etentransfert <RefFm1Vm1g>=<jVm1j2jc+Kj!j2 <RefFm1Vm1g><jc+Kj!j2 <jvm1j2!2m2c jc+kj!+j!2m2j2> jc+kj!+j!2m2j2> (K!!m2)2+c2> (G.11) ouencoreen LesexpressionsG.10etG.13ressemblentbeaucouprespectivementauxexpressionsG.7 <RefFm1Vm1g>< c2+k2=!2 2K!m2+w4m2> <!2m2c (K!!m2)2+c2> (G.12) etg.8issuesdeladenition.lestermesmoyennesontdesvariationslentessurchaque bandedefrequences,donconoperel'approximationsuivante: <1a>1 <a> (G.13) G.10donnentdesresultatstresvoisins(cf.FigureG.2). Pourlessimulationsnumeriqueseectuees,enfaisantvarierKetc,lesformulesG.7et b)ressortmoudissipatif 10000 10 10 1000 100 Mêmepourdessystêmestressimples,avecuneseulefrequencederesonnance,ladenition c)ressortmouconservatif 10 1 demobiliteenergetiqueabienunsensphysique(c'estlerapportdu"miel"etdela Fig.G.2-Mobilitesenergetiquesd'entreedusystememasse-ressort-amortisseur {Calculpar1 <RefYg jyj2>{{denition:<jyj2> <RefYg>---CalculparG.7 1 0.1 a)ressortraideconservatif0.1 1 0 500 100015002000250030003500400045005000 500 100015002000250030003500400045005000 500 100015002000250030003500400045005000 Hee [s/kg] Hee [s/kg] Hee [s/kg]

puissanceactiveinjecteeparbande). SileressortKesttresraideontendverslecasd'unemasseunique,(sansdissipation interne)etlamobiliteclassiqueestpurementimaginaire,donclamobiliteenergetique 168 devientinnie. ANNEXEG.SURPRISEFINALE del'assemblageaprescouplageetcellesdessous-systemesisoles,avantcouplage. Nousnousproposonsdoncd'etudierlecouplagededeuxdecesoscillateurs,ayantdes frequencesderesonnancedierentes(cf.figureg.3). Lebutestdetrouverdesrelationssimples(approchees)entrelesmobilitesenergetiques lesplussimplespossedantunemobilited'entreeetunemobilitedetransfertdistinctes. Couplagededeuxoscillateursbimasseamortis L'approcheanalytique,quoiquepluscomplete,conduitrapidementadesexpressionscompliquees,acausedesintegrationsenfrequence. numeriquementlesrelationsapprocheesproposeesauchapitre3,pourcetyped'assem- Lesoscillateursisolesavantcouplageontlesmobilitesd'entreeaupoint2decouplage Lesoscillateursadeuxmassesprecedents,peuvent^etreconsiderescommeleselements Aulieudepoursuivreladerivationanalytique,nousproposonsdoncdetesterdirectement blagesimple. M4=0.0007[kg],K2=10000.0[N/m],C2=1.0[N.s/m]). illustreesparlafigureg.4.cesontdessystemesaassezfortamortissement.lepremier, entrelespoints1et2,estdenipar(m1=0.0004[kg],m2=0.0006[kg],k1=100000.0[n/m], C1=1.0[N.s/m]).Ledeuxieme,entrelespoints2et3,estdenipar(M3=0.0003[kg], Fig.G.3-Couplagededeuxsystemesmasse-ressort-amortisseur couplagegh13obtenuesparuncalculexact(aveclesmobilitesclassiquesaprescouplage): etcellesobtenuesparuncalculapproche,aveclesmobilitesenergetiquesavantcouplage: Oncompareencoreunefoislesmobilitesenergetiquesdetransfertentre1et3,apres LesresultatssontrepresentessurlaFigureG.5.Ilssonttressatisfaisantssurtoutle spectredefrequences.pourdesoscillateurs100foismoinsamortis,dontlesmobilites gh13=<jfy13j2> gh13=hi12hii <RefY33g> d'entreesontrepresenteessurlesguresg.7,onrepasselem^emecalcul(cf.figureg.8). HI22+HII 23II 2 m1 K1 c1 m2 1 2 m3 c2 K2 m4 3

169 plage Fig.G.4-RefY2getImfY2gdesdeuxsystemesbimasse-ressort-amortisseuravantcou- Re{Y2} et Im{Y2} [s/kg] 0.2 0.15 0.1 0.05 0-0.05-0.1-0.15-0.2 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 100 10 1 L'erreurdevientforteauxfrequencesderesonnancedel'assemblagedesdeuxoscillateurs. Fig.G.5-gH13aprescouplage: {calculexact---calculapproche 0.1 energetiqueaprescouplageachaqueresonnance,maisonlasur-estimeparailleurs. desmoyennesfrequentiellessurdesbandespluslarges,caronsous-estimelamobilite deriveranalytiquementlesexpressionsapprocheesduchapitre3. Les"forteserreurs"auxresonnancesdeviennentbeaucoupplusfaiblessil'onconsidere Iciencoreonconstatequesurlapluspartdesbandes,(quinecontiennentpasderesonnances) lecalculesttressatisfaisant.ceciestvrainotammentaudessusdeladernierefrequence deresonnancedel'assemblage.apartirdececassimpleilauraitdoncetepossiblede areduireleserreursautourdesresonnances. conduitaussiamoyennerdesquantitessous-estimeesetdesquantitessurestimees,donc L'analyseducouplagedesystemesmultimodaux,avecplusieursmodesdansunebande, H_13 [s/kg]

170 ANNEXEG.SURPRISEFINALE Fig.G.6-RefY2gdesdeuxsystemesmasse-ressort-amortisseuravantetaprescouplage 10 1 0.1 1e-06 1e-07 1e-08 1e-09 Re{Y2} [s/kg] Im{Y2} [s/kg] Fig.G.7-ImfY2gdesdeuxsystemesmasse-ressort-amortisseuravantcouplage 35 30 25 20 15 10 5 0-5 -10 H_13 [s/kg] 100000 Fig.G.8-gH13aprescouplage: {calculexact---calculapproche 10000 oscillateurspeuamortis 1000 100 10 1 0.1

Lecassuivantconsisteacouplerentreeuxdeuxassemblagescommeleprecedent(voir Couplagedequatreoscillateursbimasseamortis 171 FigureG.9)avecledeuxiemesystemedonnepar(M5=0.4[g],M6=0.6[g],M7=0.3[g], M8=0.7[g],K3=200000.0[N/m],c3=[N.s/m],K4=20000.0[N/m],c4=[N.s/m]). Deuxcalculsapprochessontmenesici.Lepremier("approchetotal"),sefaitendeux etapes:apartirdesmobilitesenergetiquesdechaqueoscillateursepare,onprevoitd'abord lesmobilitesenergetiquesdessous-systemesdedeuxoscillateurs(commeauparagraphe precedent),puiscellesdel'assemblagetotal.ledeuxiemecalcul("approchepartiel")utiliselesmobilitesenergetiquesexactesdessous-systemesdedeuxoscillateursetprevoit Fig.G.9-Couplagedequatresystemesbimasse-ressort-amortisseur aussicellesdel'assemblageglobal.le"calculexact"esttoujoursmeneapartirdesmobilitesclassiquesprevuespourl'assemblage. Iciencorelenombredemodesparbandede200Hzestinferieurouegalaun(cf.FigureG.10). Lesresultatssontdonctoutafaitcomparablesaceuxducasprecedent,saufenbasse K1 K2 K3 K4 m1 m2 m3 m4 c1 c2 c4 c3 1 2 3 4 5 m5 m6 m7 m8 100 1 0.1 maintenant),avecdeserreurssuperieuresa10dbendessousetautourdesresonnances frequenceouilssontnettementmoinsbons(carlapremiereresonnanceestplusbasse Fig.G.10-RefY3gdesdeuxsous-systemesavantetaprescouplage 1e-06 1e-07 Re{Y2} [s/kg]

del'assemblageglobalpourlecalcul"approchepartiel"etdeserreurssuperieuresa10db endessousetautourdesresonnancesdessous-systemespourlecalcul"approchetotal" 172 (cf.figureg.11). Lesdeuxcalculsapprochesdonnentdesresultatsdequalitecomparable:lamethodeapprochee,appliqueedefaconiterative,nesedegradepastrop,carseserreursnevontpas ANNEXEG.SURPRISEFINALE Enhautefrequence(audessusdeladerniereresonnance)lesresultatssontmeilleurs. toujoursdanslemêmesens. Lorsqu'onaugmentel'amortissement,ladynamiqueglobaleetleserreursdiminuent. Fig.G.11-MobiliteenergetiquegH15aprescouplage: 100000 resultatsdessimulationsnumeriquessurlesassemblagesdeplaquesparliaisonselastiques. Aveccesassemblagesdemasses,ressortsetamortisseursonretrouvequalitativementles {calculexact,{{calculapprochetotal,---calculapprochepartiel Conclusions analytiquedesformulesdebasedelaemmaapartirdel'etudeducouplageponctuel ontmontrequ'ilsverientlesequationsdel'emma,saufautourdesresonnancesdes desystemessimplesmasse-ressort-amortisseur.cependantdessimulationsnumeriques sousystemescouples. Cesresultatssurlesoscillateursrepresententune(bonne)surprise,card'apreslenombre d'oscillationsparbande(nulpresquepartout),ilsauraientdûêtremauvaisetsedeteriorer Acausedesmoyennesfrequentiellesilauraitetetroplongd'exposericiladerivation s'etaitlimitesal'etuded'oscillateurscouples. uneetudeanalytiquedecescassimples,enfonctiondesdierentsparametresglobaux (largeurdebande,nombredemodes,amortissement)oulocaux(amplitudeetnombre lorsqu'onaugmentel'amortissement,cequineseproduitpas. Ilestpossiblequ'onpuissemieuxdenirdescriteresd'applicationdelaEMMApar d'oscillationsdelamobilite...),maislademarchesuiviedanscetravail,avecdesmobilites quelconques,noussembledonnerunevisionmoinsreductivedelamethodequesion H_15 [s/kg] 1e+06 10000 1000 100 10 1 0.1 1e-06

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REFERENCESBIBLIOGRAPHIQUES 183 PrincipalesNotations Abreviations Conventions DSPDensiteSpectraledePuissance EMMAEnergeticMeanMobilityApproach m.f.moyennefrequentielle mielmassindependentenergeticlevel<jvj2> SEAStatisticalEnergyAnalysis [] fgvecteur jxj matriceouunite,suivantlecontexte Symboles Refxgpartiereelledex <>moyennesurunebandedefrequences gx PNi=1sommationsurl'indiceide1aN(entier) valeurdelaquantitexaprescouplage moduledex amortissementstructural!pulsation[rad/s] smassesurfacique[kg/m2] massevolumique[kg/m3] coecientdepoisson epuissanceactiveinjecteeaupointe longueurd'onde[m] hepaisseur[m] Fforce[N] HMobiliteenergetique[s/kg] Kraideur[N/m] Lxlongueursurl'axedesx[m] Lylongueursurl'axedesy[m] Camortissement[N.s/m] Mmasse[kg] EModuled'Young[Pa] Ppuissanceactiveparbandedefrequences[W] Vvitesse[m/s] YMobiliteclassique(oureceptance)[s/kg] ZImpedance[m/s.N]