Résoudre des problèmes en mathématiques au cycle 2 GS. CE2

Résoudre des problèmes en mathématiques au cycle 2 GS. CE2 Incarville le 20 janvier 2015

17 h : Installation des outils à exposer 17 h 30 : Identité des problèmes au cycle 2 18 h : Première série de présentations 18 h 25 : Deuxième série de présentations 18 h 50 : Rangement de l exposition

Pourquoi tant de problèmes? L activité de résolution de problème est privilégiée dans le but de découvrir de nouveaux savoirs. Dès le début de l école élémentaire, les élèves doivent être confrontés à de véritables problèmes de recherche, pour lesquels ils ne disposent pas de solution déjà éprouvée. Les problèmes visent à développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d ordre méthodologique : émettre des hypothèses et les tester ; faire et gérer des essais successifs ; élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter ; vérifier par soi-même les résultats obtenus ; formuler une réponse dans les termes du problème ; expliquer ses méthodes, les mettre en débat, argumenter.

Pourquoi tant de problèmes? Une progression s impose de la grande section au CE2, qui va de la situation non écrite à l énoncé écrit. Dès la GS, il est nécessaire d enseigner le passage de la «situation» à des «représentations» (verbales, dessinées, schématiques et numériques). À la fin de l école maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans l univers du calcul, mais c est le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe égal ) et les techniques opératoires.

Pourquoi tant de problèmes? L énoncé écrit d un problème n est souvent que l habillage particulier d une histoire que les élèves, ou d autres personnes, auraient pu vivre. C est souvent une tranche de vie. La progression conduit à se dégager progressivement des manipulations. Elle doit amener l élève à dépasser le simple stade de l action afin de s engager dans un processus de conceptualisation. On évoque les solutions personnelles et les solutions expertes. Il faut encourager l initiative et enseigner les solutions expertes. Les énoncés écrits méritent un travail d analyse spécifique prenant notamment en compte l ordre de présentation des informations, le contexte ou le vocabulaire, les redondances, la présence d informations implicites, la place de la question

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES ARITHMÉTIQUES

Qu est-ce qu un problème arithmétique? Un problème peut se définir comme une situation, concrète ou simulée, qui pose question et pour laquelle la réponse n est pas directement accessible. Résoudre un problème arithmétique, c est trouver une réponse adaptée à la question posée en mettant en œuvre des procédures de calcul.

Qu est-ce qu un problème arithmétique? Trois contextes différents peuvent être envisagés : le contexte cardinal : quantités discrètes que l on peut dénombrer, unités séparées, non liées, pouvant former un tout. le contexte ordinal (rang et déplacements) le contexte de mesure (grandeurs) quantités continues dont les parties sont liées, comme le temps et le mouvement, dont la quantité continue est successive, ou comme l'étendue, dont la quantité est permanente.

Classification et catégorisation Un problème possède une structure mathématique. Cette structure correspond aux relations entretenues entre la question et les données de l énoncé. Les énoncés relevant d une même structure mathématique appartiennent à une même classe de problèmes. En fonction de la donnée recherchée, une même classe de problèmes se subdivise en plusieurs catégories. On peut, par exemple, relever 6 catégories de problèmes additifs dans la classe «transformation d un état».

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES ADDITIFS ou SOUSTRACTIFS d après «L enfant, la mathématique et la réalité», Berne, Peter Lang 1983 Gérard VERGNAUD, directeur de recherche émérite CNRS 1999 Deux structures mathématiques dynamiques Transformation d état Composition de transformations Deux structures mathématiques statiques Comparaison d états Composition d états

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES ADDITIFS ou SOUSTRACTIFS TRANSFORMATION D ÉTAT Situation dynamique Un état initial Ei subit une transformation positive ou négative T qui aboutit à un état final Ef. E i T± E f Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo? Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant Léo? x T± y En fonction des données fournies, on peut chercher : l état final Ef après perte ou gain l état initial Ei avant perte ou gain la transformation positive ou négative

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES ADDITIFS ou SOUSTRACTIFS COMPOSITION DE TRANSFORMATIONS Situation dynamique Un état initial inconnu subit deux ou plusieurs transformations pour aboutir à un état final. T 1± T 2± T 1± o T 2± Léo avait des billes. Juliette lui a donné 5 billes. Puis Karim lui en a donné 3. Maintenant Léo a 12 billes. Combien de billes avait Léo? Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien avait il de billes? En fonction des données fournies, on cherche : La transformation composée (bilan terminal) la valeur d une composante

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES ADDITIFS ou SOUSTRACTIFS COMPARAISON D ÉTATS Situation statique Deux états E1 et E2 font l objet d une comparaison. Leur écart peut être positif ou négatif en fonction de l état référent choisi. - C E1 E2 + C Léo a x billes (E1). Juliette a y billes (E2). Léo a C billes de plus / de moins que Juliette. x En fonction des données fournies, on peut chercher : - C + C Le nombre de billes de Léo (valeur x de E1) y le nombre de billes de Juliette (valeur y de E2) L écart C entre x et y

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES ADDITIFS ou SOUSTRACTIFS COMPOSITION D ÉTATS Situation statique Deux états E1 et E2 sont composés pour en former un troisième E1 o E2. E 1 E 2 } E 1 o E 2 Le maître a confisqué les x billes de Léo (E1) et les y billes de Juliette (E2) parce qu ils jouaient pendant la classe. Finalement, le maître a confisqué x + y billes aux deux amis. y x } x + y En fonction des données fournies, on peut chercher : Le nombre de billes confisquées (E1 o E2) le nombre de billes de Léo (valeur x de E1) Le nombre de billes de Juliette (valeur y de E2)

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS* 5 structures mathématiques retenues Problèmes de configuration spatiale Problèmes de comparaison d états Problèmes de proportionnalité simple Problèmes de proportionnalité simple composée Problèmes de proportionnalité double *d après la revue «Grand N n 36», 1994-1995 Jean-Pierre LEVAIN, I.R.E.M de Besançon Gérard VERGNAUD, Directeur de Recherche C.N.R.S, Université Paris V

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS PROBLÈMES DE CONFIGURATION SPATIALE Structure mettant en jeu quatre quantités appartenant à deux espaces de mesure différents m1 et m2 (rapportée ici à une situation de proportionnalité simple). Les élèves de la classe préparent la salle pour le grand spectacle de fin d année. 11 rangées de 25 chaises sont installées. La salle peut-elle offrir assez de places pour les 260 personnes inscrites? m1 m2 1 25 11 275 m1 m2 1 f(1) x f(x) m1 mesure unité rangée m2 mesure donnée rangée de chaises En fonction des données fournies, on peut chercher : Le nombre total de chaises (multiplication) le nombre de rangées (division quotition) le nombre de chaises par rangée (division partition)

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS PROBLÈMES DE COMPARAISON D ÉTATS Deux états E1 et E2 sont comparés. L écart entre les deux états se traduit en terme de fois plus / fois moins en fonction de l état référent retenu. E 1 c E 2 E 1 X c E 2 Le lundi, la maîtresse met 45 minutes pour venir à l école. Le dimanche, il ne lui faudrait que 15 minutes. Elle mettrait donc 3 fois moins de temps pour arriver à l école si elle faisait classe le dimanche. 15 3 En fonction des données fournies, on peut chercher : la valeur C de la comparaison entre les deux états la valeur de E1 ou de E2. 45

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS PROBLÈMES DE PROPORTIONNALITÉ SIMPLE Structure mettant en jeu 4 quantités appartenant à deux espaces de mesure m1 et m2. (Quatrième proportionnelle et règle de 3) Premier cas : Une quantité est égale à 1. m1 m2 1 f(1) x f(x) Le groupe d Aziza a décidé de désherber 5 zones identiques du jardin de l école. Chacun sait qu il faut consacrer en moyenne 12 minutes à chaque zone. Ainsi lui a-t-il fallu 60 minutes pour terminer le travail. m1 m2 1 12 5 60 En fonction des données fournies, on peut chercher : la durée totale de traitement f(x) (multiplication) le temps f(1) accordé à une zone (division partition) le nombre x de zones (division quotition) m1 mesure zones m2 mesure minutes

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS PROBLÈMES DE PROPORTIONNALITÉ SIMPLE COMPOSÉE Cette structure traduit la composition de deux proportions simples mettant en jeu trois espaces de mesure m1, m2, m3. m1 m2 m3 1 f(1) 1 f (1) x f(x) f (1) o f(x) Dans le cadre du cross annuel, 5 écoles sont invitées. Chaque école compte 6 classes et en moyenne 24 élèves sont présents par classe. 720 élèves vont courir m1 m2 m3 1 6 1 24 5 30 720 m1 mesure écoles invitées m2 mesure classes m3 mesure élèves

TYPOLOGIE DES PROBLÈMES MULTIPLICATIFS m1 x m2 1 z Produit cartésien f(1m 1,1m 2 ) = 1m 3 1 1 y f(y,z) Le clown Kiri se prépare pour son spectacle. Il doit choisir un pantalon parmi les 4 qu il possède et adopter une chemise parmi les 5 suspendues dans sa roulotte. Kiri sera nécessairement en retard s il essaie les 20 tenues possibles. m1 x m2 1 5 1 1 4 20 m1 mesure pantalon m2 mesure chemise m3 mesure tenue En fonction des données fournies, on peut chercher : le nombre total de tenues le nombre de chemises le nombre de pantalons

Perspectives pédagogiques Connaître les typologies de problèmes fournit une clé de lecture des énoncés et invite dans le même temps à proposer les situations les plus variées possibles. La fréquentation régulière d énoncés diversifiés et leur traitement doivent conduire progressivement les apprenants à construire des catégories de problèmes et à s approprier les procédures standardisées de résolution correspondantes.

DES PROBLÈMES de GÉOMÉTRIE

QUATRE NIVEAUX DE RESOLUTION DE PROBLEMES GEOMETRIQUES Résolution perceptive : les enfants identifient à l œil un carré. Cette résolution s'appuie sur le vécu des élèves. Les élèves ont parfois des connaissances réelles sur les propriétés du carré qu ils ont construites intuitivement même s ils n ont pas le vocabulaire qui va avec. Cette résolution les amène à faire une estimation du résultat. Résolution pratique : c est celle des élèves qui collent, découpent, superposent bricolent pour rendre réelle et concrète leur estimation. Résolution pratico mathématique : Les élèves mesurent, modélisent. Ils sont à la frontière entre le concret et les mathématiques. Ils vont construire une maquette, faire un schéma Résolution démonstration : Les élèves sont passés de l objet réel à l objet mathématique, ils sont en mesure de généraliser : ces droites sont parallèles car elles sont toutes les deux perpendiculaires à une troisième

LES ETAPES NECESSAIRES POUR CONSTRUIRE LES SAVOIRS EN GÉOMÉTRIE REPRODUIRE C est réaliser une copie de l objet à l identique. COMPLETER Une partie de la figure est déjà reproduite, l élève doit poursuivre la reproduction. CONSTRUIRE A partir d un programme de construction. REPRESENTER II s'agit avant tout de garder la mémoire de l'objet. Pour pouvoir le reconstruire quand le matériel sera à nouveau disponible, ou pour résoudre un problème en l'absence de l'objet. DECRIRE Pour reconnaître une figure parmi d autres l élève doit: - identifier les caractéristiques des figures Pour décrire la construction d une figure l élève doit : - analyser la figure - communiquer les différentes étapes de la construction, ce qui nécessite de : - définir une chronologie, - choisir le vocabulaire adapté, - se décentrer pour contrôler que le message est recevable par un tiers

Place à la présentation d outils, de dispositifs, de démarches, de manuels, d affichages, de démarches

18 h : Première série de présentations GS - CP 18 h 25 : Deuxième série de présentations CE1-CE2 18 h 50 : Rangement de l exposition