Analyse et contrôle optimal d un bioréacteur de digestion anaérobie Amel Ghouali To cite this version: Amel Ghouali. Analyse et contrôle optimal d un bioréacteur de digestion anaérobie. Optimisation et contrôle [math.oc]. Université Montpellier, 2015. Français. <NNT : 2015MONTS106>. <tel- 01245124v2> HAL Id: tel-01245124 https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01245124v2 Submitted on 8 Jun 2018 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
UNIVERSITÉ DE TLEMCEN, ALGÉRIE Spécialité: Automatique Option: Commande UNIVERSITÉ DE MONTPELLIER, FRANCE Ecole doctorale: Information Structure Systèmes I2S Spécialité: Mathématiques et modélisation THÈSE DE DOCTORAT Présentée par : Amel GHOUALI épouse BEDJAOUI CHAOUCHE Analyse et contrôle optimal d'un bioréacteur de digestion anaérobie Soutenue le 14 Décembre 2015 devant le jury composé de : Frédéric JEAN Professeur, ENSTA ParisTech Rapporteur Mustapha LAKRIB Jérôme HARMAND Ali MOUSSAOUI Professeur, Université de Sidi Bel-Abbes Directeur de Recherche INRA Professeur, Université de Tlemcen Rapporteur Directeur Directeur Claude LOBRY Professeur Emérite, Université de Nice Examinateur Brahim CHERKI Professeur, Université de Tlemcen Examinateur Terence BAYEN Maitre de conférence Université de Examinateur Montpellier Nahla ABDELLATIF Maitre ASSISTANTE, Université de Examinateur MANOUBA Alain RAPAPORT Directeur de Recherche INRA Invité
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1 3 t t t s r t t t t r 2 t s s x(t)+s(t) = x 0 +s 0 = s in s r s t t s t t s 2 s2st s r t t s s2st ẋ = γ(x) Dx; x(0) = x 0 t γ(x) = µ(s in x)x t t t γ(0) = 0 γ(s in ) = 0 t r r t t t t k = 1 s J(x( ),D( )) = T 0 γ(x(t))dt r (x( ),D( )) s t s 2 s t t str t D min D(t) D max 2 t t 2 r r tr t 2 t s s 2 t s s r 1 sts x ]0,s in [ s t t γ(x) γ(x ) r x [0,s in ] γ(x) s r s [0,x ] γ(x) s r s [x,s in ] 2 t s s t D = µ(s in x ) t tr r x = x s st 2 st t q t ss t t 0 D min D D max s r t t t t t s t t r µ(s) = µ max s µ(s) = µ max r s t 2 r 2 2 t s s s+k s+ s2 k i s+k s 1 3 t t t s r t r s ts rst st s t r s t t r s 1 Pr s t ss t t 2 t s s t t tr 1 3 t t s 2 D min x(t) < x D( ) = D max x(t) > x D x(t) = x r D = µ(s in x ) s t s r tr s x(t) = x t t t st 2 st t s s r t t s t x(t) t r s t t x t st r r t s t r t ts D = D min r t ts 1 t2 D = D max t t r s t s r r D st 2 t t t st 2 st t x r tr r s t r s t 1 s q t t t st st ss 2 t t r s t t t x st 2 t r x s tt
P 1 s t r t 3 ré t r st ér t t r s r st ss r rt s t t t tr t s s t s ss r q st s r t t t r t t t t t tr t r s s t rst q st t t 2 r s s r t t t r t r t tr t t t str t 2 t r s t 2 s2st t s t s s r s r s s s t t 2s s t s r r t s r t t 2 t s str t 2 r s2st t s r s s 2 r t s r r 3 t t q s s r s sts t t s t s r s t tr 2 t s s r t s t t t s t s s t tr s r 2 t s t x ǫ 2 x +ǫ 1 r s s ǫ 2 s +ǫ 1 s s s r st x r r ǫ 1 r ǫ 2 r t r t rs s s r r r 3 2 2 s t t t t s s2st s s t s t r 2 r r 3 t s t s tr s t s r t x s s r t s s s r r t r s s t t t t s s rs r t t rs t 2 2s 2 s st r t t t tr r s s s t s r t t rs t r r t q s 2 t t t r t s s2st st s t t s r st t s t s t t t t t rs s t r s t s t r s s t t r t s s t s r t r t r t t rs s s rs st t t r s t r s rs t t r st ss t tr r t r s s st r s t s t r s ts r r r t t t s st t t q s rt r r2 s t s r t r str t s q st s r r ss s r s 2 2 st s t r 1 r r r2 rt r s s t t s r 2 t 3 t r t r r st r t 2 t t r t s s t rt t s q s r t s s2st r
1 3 t t t s r t s s r 2 st t r t t t t 2 t t t r s s s r st x s s r r2 Pr s t 1 r t 2 r tt 2 s t s t tr t s s rt t r s t t t s t s t r s t t s s x(t) = s in s(t) t s s t t t s t 2 t tr ss t s t r r2 t Pr s t 1 st s t t t t tr r st t t r st ss r rt s t tr s2st st s t t r s r st s t t 2 r t s 2 r s st ss t r s t t t t s r t t t x 0 +s 0 = s in s t 2 t s s 2 t s t s t 2 t r st ss t tr t r s t t t t t s r rs t st 2 t s t t s2st t s s2st s s t t t tr s2 t s 3 r s t t t s s r x 0 +s 0 = s in t s t 2 t t s r 2 t s s s t s t s t tr s t t r r s 2 t t t t str t 2 r s Pr s t s sts 2 t r D min r D max t t s t t t s r tr D s t t st t t s r r x = x r s = s t s tt r t s st s 2 t t t t t s = s r x = x r t s r r s t r s r s r t tr t t r r t t t t t t t s2 t s s r s t t 2 r s s t tr r s Pr s t s t t 2 t s s s t s t s rst ss x s s r t s 2 t tr Pr s t 1 r r t s s 0 x 0 s in s t t x 0 +s 0 = s in s r s t s str t r s ss t s r t t r µ max = 4.5 K S = 10 S in = 100 D max = 1.2D r tr r2 r r t ts s s x 2 s µ max K S s in q s 76.8 t s s t t tr r r t T = 2 r s r s ts t t s t r t s D min t t r D min = 0 D min = 1 r r s t t r s s t s s r r r 3 t tr t ǫ 1 = 1 2 ǫ 2 = 5 r ǫ 1 ǫ 2 r r t s t s x s s r s ǫ 2 = ǫ 1 D D min D max D ǫ 2 = ǫ 1 D D max D min D s r µ max K S t s s t s t r
P 1 s t r t 3 ré t r st ér s s s r t t r t t tr t s2st t s t s s s2st r r2 r t q t s r s s st r t s rs t t s r r s s r rt t t r t 2 r s t r st s s s t s t t t s {s 0,x 0 } rr s t {10,10} {10,40} {10,70} D min = 0 r tt r 80 3.5 70 3 60 2.5 50 2 X, S x, s 40 30 D 1.5 20 1 and 10 0.5 0 0-10 0 1 2 Time -0.5 0 1 2 Time r st ss t t tr x s s r s 0 +x 0 = s in s t D min = 0 D max = 1.2D t t x s tt t tt s s s s r s r t t s {10,10} {10,40} {50,10} x s s r t s2st s s t t t st 2 st t s r r r r T s t 2 s r t q s 1 t t t s r s s 2 q t s 0 r s 1 t s t r s t s st t Pr s t s s x 0 < x t tr s D = D min = 0 t x(t) r s x T s r t t x 0 + s 0 = s in r t s t t t r s s str t r t ss t r x r x 0 +s 0 = s in r s t s s r t t s r {10,10} {10,40} {50,10} t 2 t t t r s t s str t r t ss t r s t 2 t tt x t r t r s x 0 +s 0 = s in s t r x 0 < x s 0 s t s t t tr r s t s t D max r s t D = D min = 0 t t r t r2 s t s tr s t s r 2 r st t r s t t t t s x s s r
1 3 t t t s r t D min {s 0,x 0 } t t s r x s r s 10, 10 10, 10 10, 40 10, 40 10, 70 10, 70 10, 100 10, 100 50, 10 50, 10 80, 10 80, 10 100, 10 100, 10 s r t rt t t s D min t s r t s t r r s rt s t t t r x( ) s( ) s t s t t t t (s 0,x 0 ) D( ) s 2 r s ss t t s s s r st x tr Pr s t 1 s r tt D min s(t) > s D( ) = D max s(t) < s D s(t) = s r s = s in x t s st 2 2 s t t r st ss t tr t r s t t t t t s s ǫ 1 = 1 2 ǫ 2 = 0.2 s t t s2st r t s t t t s r rt r t s D min t t s r r s s r rt t rt s t r s s r s t r s ts r r rt r s t s t t t s {s 0,x 0 } rr s t {10,10} {10,40} {10,70} D min = 0 t t t s r s s r rt t s s t s 0 +x 0 = s in s t s t s t s2st s s s T s r x 0 > 0 t t t s 2s tt rs t tr t s t t t r s t t t s r t s s 2 t s s r t r t t st t s2st r s s2 t t 2 t r s t t t t t x 0 +s 0 = s in t s s s t s 2 t t t tr s r st t r s t t t t s s s s r st x
P 1 s t r t 3 ré t r st ér rt r r s s x s tt D min > 0 T r t t t t t t s r s 2s r t r s s s r st x r t r rt s r t r t s t t r s t s r s t r t t t s r r s t s s 2 t s s s t s t s 80 70 60 50 4.5 4 3.5 3 2.5 x, X, S s 40 D 2 30 20 10 1.5 1 0.5 0 0 0 1 2 Time -0.5 0 1 2 Time r st ss t t tr s s s r s 0 + x 0 = s in s t D min = 0 D max = 1.2D t t x s tt t tt s s s s r s t t r st tr t s s t s t r s ts st s Pr s t t s t t t tr r s [ ] rs r t s2st t r s t s t t s 2 t tr 2 s s t st t t t st t t st r t rs r s t t r tr s r t t r t r t r s2st t r ss r s t t tr st r t t r t r r t ss t t s str t tr t s st t 2 t t t r t r s t s t s st r s s t r t s r t t s t t s r t st t t r t r s s rt 2 t r ss t r rr s
r t r r s t s r t 2 s t r ss s s r t t t t r s t r r s t t r t t t s t t t t s str t t t s tr t r t st r s t t r ss r t r t r t 2 r ts t r st ss 2 t st 3 t t r ss s s t t r t s r s t s r t s str t 2 t rs s r t t t s r t r r s t 2 t γ t r r t s t s t S in = 100 r t 2 t s s t t x 0 + s 0 = s in t 2 t s2st s 2 ẋ = γ(x) Dx rst s r q r t x s t t x < x t s r t t t t rr s t r t r s D max > D = µ(s in x) > D t s s t t t t tr s sts 2 D = 0 t t t s tr r t s2st t r s x = 76.8 tt t tr s t s t t D r t s t q r t x < x t s 2 t tr 2 t 2 r t rt r t s 2 st r D d > D r r t st 1 t t r t s t r t t t t s2st t t s t t t s r t t 2 t s2st s 2 ẋ = γ(x) D d x x r s st 2 t t r s γ s r s r x < x s r r s t s t r t t 2 r t s t t t s2st s t r2 r s t D r 2 st 3 t t r r t s str t 2 t s q t r t st t t 2 t t t tr s r t r s D s t 2 t t str t 2 s t 2 r t st t x t r s x rs 2 st rt r t t t D < D s t t x > x s s t s r s t r s 2 t t t t t γ s r s r x > x t t t r st tr r t st t t r s x s t t tr st s 1 t 3 t r t r s 2 t r st str t 2 s t t t r s t t t t s t t r t t r t t st t x t s t t str t 2 t st t t t tr s s r t rs t s s t r t s2st t r s t t t x 1 3 s t t t s r t r t r r s s t s s t tr r t s2st t r s t t t t r 2 t s s t s t s t t tr t r2 r 2 t s s r t t t t s r st t t s2st 2 t s s s t 2 r r t t s2st s r t t rs s s t s t ss 2 r t r 2t 2 t s t r t r s r r t r s r rr t s t 2 r t 3 t st r s t r s s r t t r s r s s t r P r t s
P 1 s t r t 3 ré t r st ér 250 200 1 1 150 100 2 2 50 3 3 0 0 50 100 150 r t γ t r st tr t s t s r t 3 t r t t tr t r s t s s r t 3 t t ts s t s s t r 2 t t tr 2 t r t t r t r t t 3 t t s2st t str ts t t t r rst t s r t P rs 2 t s s s t t t t 1 t t s t s t s r t rs s t s s t s t t s s r t t x = 76.87 D = 3.14 1 t t tr s 2 Pr s t s s 2 t s s t t x 0 = 10 s 0 = 90 t r r s t tr s r r 3 t ǫ 1 = 1 t s r t tr t r s t 2 Pr s t t s t 2 P r t s rst 1 t st t tr t r s rr s tr s s r tt r P t 3 t r t rs r s ts r r rt 1 r t s t s s r q t q t t 422 s 2 P rs tr s s r t t t r t t s t
r t r x ( t ) x 0 = 10 x, s s ( t ) s 0 = 90 D D ( t ) s 0 = 90 x ( t ) x 0 = 10 x, s s ( t ) s 0 = 90 D D ( t ) s 0 = 90 r 1 t t tr t tr t t P t s 0 +x 0 = s in s r s ts s st t t P 2 t t st t 1t s s t t tr s t s 2 t s s s t s t t tr t 2 r rt r st t t t t tr s t t P s 0 +x 0 = s in s t s 2 r t r s ts t t s t t t r r t st 2 t r st ss t tr t r s t t t t t s t s t t P r t t r s s t r t P s x 0 = 10 s 0 = 10 40 70 r s t 2 t r s ts r r s t r t t t s r s s r rt P t 3 t r t rs r s ts r r rt 1 r r s 2 t r s s r r r s t r r s 2 r t tr t r s t t t r st ss st 2 2 Pr s t 1 s 0 +x 0 = s in s t t s t t P tt t tr t r s tr s r t t r st r tt t
P 1 s t r t 3 ré t r st ér x ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 70 s s ( t ) s 0 = 70 x, s ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 10 D D ( t ) s 0 = 70 D ( t ) s 0 = 40 D ( t ) s 0 = 10 s ( t ) s 0 = 10 t t s ( t ) s 0 = 70 x ( t ) x ( t ) s 0 = 40 s 0 = 70 D ( t ) s 0 = 70 s s x, s ( t ) s 0 = 40 ( t ) s 0 = 10 t x ( t ) s 0 = 10 D D ( t ) s 0 = 40 t D ( t ) s 0 = 10 s ( t ) s 0 = 70 x ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 70 D ( t ) s 0 = 70 s x, s ( t ) s 0 = 40 x ( t ) s 0 = 10 D D ( t ) s 0 = 40 D ( t ) s 0 = 10 s ( t ) s 0 = 10 t t r r s t tr s s 0 + x 0 = s in s t t D D max t t t ts r t s s t s r t t tr t r s tr s t t P t tt t s tr t r s tr t r t r s 3 t tr t tr tt r ǫ = 5 t tr t r s rr s tr s t t P r t t r t t s tr s s r r2 s2 s 2 s P s t s t tr t r2 s s r r s tt r s r t 3 t s t r 2 t r s t 2 t r t r t t 3 3 t tr s r t r t s J(x(.),s(.),D(.)) = T 0 [ µ(s(t))x(t)+ǫd(t) 2 ] dt rs r t s 2 r s st s ǫ st t s t s 1 t t t s r ǫ s r t t tr t r s r
s s rs t s s 0 t 10 40 70 s r t t t t s t t P t s r t2 t tr t r t r s 0 t t 10 40 70 t t t t s t t P t s r t2 t tr s t r t r r r ǫ = 5 t rr s s r t r t r T = 2 t t s s t t s t r s t ǫ t s t r s 3 r tr t r s tr s rr s t t 3 t s t t ǫ = 5 r tt t st r P t 3 t r t rs r s ts r r rt 1 t t r t r s ts rst r t s r t s r rt s t t s t t P t t t2 t tr r rt r r t t s s r t t t t t t s r s r t r t t tr r r t t t t2 t tr t r t r r r s ts r rt s t r s ts r r t r t tr s t r r str 2 t t2 t r t r t t str t s r r r t t t s s t rst s st P t t t r 2 t t r t s t s t 2t s t r s t t t r t s r s ts s st t t 2 t tr r s t t r r Pr s t 2 t s s s t s r r s 2 r s ts t r s s r t t t t t s t s t s q t r st t rt t2 t t s t s s s s s s r s s rs t s t s r s ss ss t t r s r st ss ss s t r s t t r t r s ts r t tr t r2 r t st t t t ss t s s t s 2 2 t s s s t s r s ts t t t2 t r st tr t 2 r s 2 t 2 r t s st t t s s t t t s
P 1 s t r t 3 ré t r st ér r st tr s s t t r s t t t 1 3 t t s r r t t t t r s t s2st t r s t s t t t t t t tr P rs t s t s r t 1t s r r s ts t r 1 s t t s st t t 2 s r r s ts t t r t 3 t t t t P s t r t r 3 t t r s ts t s r t t x 0 + s 0 = s in s t t 2 r s r t t rs t t t r t rr r s r t r r r t t P r t 33254QH t rr s r r r t r s rt 2 s t r 2 r2 ss rt r r t s ss s t t s r
s
Pr Pr s t Pr Pr s t t D( ) ss tr t x(t,x 0,D( )) t s t t s2st ẋ = γ(x) D(t)x, x(0) = x 0 t t D = D( ) tr s t s 2 D min D(t) D max r t [0,T] x(t,x 0,D max ) x(t,x 0,D( ) x(t,x 0,D min ), r t [0,T] Pr t s r r t t t t r r s s t s 2 s2st s s r 2 tr D( ) s t s 2 D min D(t) D max s γ(x) D max x γ(x) D(t)x γ(x) D min x t t r Pr s t r r s t µ( ) µ( ) s r s t r s r t t t r s s r t s t t s s t s t2 t Pr t s s t ss t t µ( ) s r s r t 2 t s s D min D µ(s ) = D s < s in s t r 1 sts s min s t t µ(s min ) = D min s min s < s in t t x(t,x 0,D min ) s t s t ẋ = γ(x) D min x, x(0) = x 0 s t r s t r s x min = s in s min x r x 0 x t r 1 sts t min (x 0 ) s t t x(t min (x 0 ),x 0,D min ) = x r 2 x(t,x 0,D max ) s t s t ẋ = γ(x) D max x, x(0) = x 0 D max supµ( ) t s t r s t r s D max < supµ( ) t s max 2 µ(s max ) = D max r t 2 t s s s s max s s st st s s max < s in t t s t r s t r s x max = s in s max x s max s in t r s t r s 0 r x 0 x t r 1 sts t max (x 0 ) s t t x(t max (x 0 ),x 0,D max ) = x t s t (x 0 ) = { min(t,tmin (x 0 )) x 0 x min(t,t max (x 0 )) x 0 x
t r r s t (x 0 ) s t st t t t s t x(t,x 0,D min ) r s x x 0 x r x(t,x 0,D max ) r s x x 0 x ts r s t [0,T] t s s t s r r x [0,T] t (x 0 ) s t q t T t r Pr s t s r ss tr D( ) t t x 0 [0,s in )] s 2 t t s t x(t) = x(t,x 0,D( )) st s t s s x 0 0 x 0 x t t s s r t tr D (t) = { Dmin 0 t t (x 0 ) D t (x 0 ) < t T r t (x 0 ) s 2 rr s s t s 2 { x(t,x0,d x min ) 0 t t (x 0 ) (t) = x t (x 0 ) < t T s r ss tr D( ) s x(t) x(t,x 0,D min ) = x (t) r t [0,t (x 0 )] x (t) x r t [0,t (x 0 )] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [0,t (x 0 )] x (t) = x r t [t (x 0 ),T] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [t (x 0 ),T] s r t [0,T] γ(x(t)) γ(x (t)) r r r x 0 x J(x( ),D( )) = T 0 γ(x(t))dt T 0 x x 0 s in t t s tr t tr { Dmax 0 t t D (x 0 ) (t) = D t (x 0 ) < t T γ(x (t))dt = J(x ( ),D ( )) r t (x 0 ) s 2 rr s s t s 2 { x(t,x0,d x max ) 0 t t (x 0 ) (t) = x t (x 0 ) < t T s r ss tr D( ) s x(t) x(t,x 0,D max ) = x (t) r t [0,t (x 0 )]
Pr Pr s t x (t) x r t [0,t (x 0 )] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [0,t (x 0 )] x (t) = x r t [t (x 0 ),T] r t t γ(x(t)) γ(x (t)) r t [t (x 0 ),T] s r t [0,T] γ(x(t)) γ(x (t)) r r r x 0 x J(x( ),D( )) = T 0 γ(x(t))dt T 0 γ(x (t))dt = J(x ( ),D ( )) r t t r t t s x 0 [0,s in ] t ss tr D( ) s J(x ( ),D ( )) = max D min D( ) D max J(x( ),D( )). s t t t s t tr 2 2 s t s 1 t 2 t Pr s t st t s s t2 t Pr ss t t t r 1 sts s s t t µ(s) s r s r 0 < s < s r s r s > s rs s min r s max r t r s s t s s s t s q t s µ(s) = D min r µ(s) = D max r s t 2 t s q t s t st t s t s st 1 t s t r r r t s t s min r s max t x ]0,s in [ 2 2 t s s γ (x ) = 0 γ (x) = µ(s in x) µ (s in x)x µ (s ) = µ (s in x ) > 0 t t s t s 2 0 < s < s r t 2 t s s D( min ) D µ(s ) = D s < s in s t r 1 sts s min s min s t t µ(s min) = µ s min = D min s min s < s in s min < s < s min s s st st s µ(s in ) D min t t s t s 2 s in s min t r x 0 x t s t r s t r s x min = s in s min x r r t r 1 sts t min (x 0 ) s t t x(t min (x 0 ),x 0,D min ) = x µ(s in ) < D min t t s t s 2 s in > s min t r x 0 x t s t r s t r t r s x min x t r t r s r r s 2
x min < x 0 x r x min = s in s min > 0 t s t r s t r s x min x t min (x 0 ) 2 x(t min (x 0 ),x 0,D min ) = x 0 < x 0 < x min t s t r s t r s s t t t r tt s x t t min (x 0 ) = + D max supµ( ) t s t r s t r s D max < supµ( ) t s max s max s t t µ(s max ) = µ ( s max) = Dmax s s max < s < s max 2 s s st st s s max s in t t s t r s t r s s max < s in < s max t t r s t r s x max = s in s max x s max < s in t t r s t r t r s x max x t r t r s 0 r r r x 0 x t s t tt s x t r r t r 1 sts t max (x 0 ) s t t x(t max (x 0 ),x 0,D max ) = x t (x 0 ) 2 r st t r s t s s t r µ(s in ) < D min t s t s 2 st t r 1 st t t s s 0 < x 0 < x min r x r s t r s 0 t r t t t r s D min = 0 P t 3 t r t rs r r s ts r rt s t r t r r rt P r t rs r t t 3 t s r 3 t P r rt r s t s r t t s x 0 = 10 s 0 = 90 s r t 3 t t t r r tt s r t 3 t st 1 t s t t 0.85s s r r t r 1.0000000000e 010 t P P P 0.323s t P P 0.477s t r t s 31 t s r r s t t s x 0 = 10 s 0 = 10 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.57s s r r t r 1.0000000000e 012 t P P P 0.29s t P P 0.223s t r t s 40 t s r r s t t s x 0 = 10 s 0 = 40
P t 3 t r t rs r r s ts r rt s t s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.64s s r r t r 1.0000000000e 012 t P P P 0.34s t P P 0.251s t r t s 48 t s r r s t t s x 0 = 10 s 0 = 70 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.37s s r r t r 1.0000000000e 012 t P P P 0.207s t P P 0.138s t r t s 37 t s r tt r s t t s x 0 = 10 s 0 = 10 s r t 3 t t t r r t ss s r t 3 t st 1 t s t t 0.58s s r r t r 1.0000000000e 005 t P P P 0.21s t P P 0.315s t r t s 20 t s r tt r s t t s x 0 = 10 s 0 = 40 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.32s s r r t r 1.0000000000e 005 t P P P 0.16s t P P 0.11s t r t s 21 t s r tt r s t t s x 0 = 10 s 0 = 70 s r t 3 t t st r r 1 t r s r t 3 t st 1 t s t t 0.37s s r r t r 1.0000000000e 005 t P P P 0.18s t P P 0.12s t r t s 23
tr trô t ré t r st ér és é r é t q t r s r s r s s s tr 3 rés t r è trô é r t s s s r s t t r s t r s t t r s t s t r t tt r èr s st à r rés t r s tr t r s s2stè t s t é r r s t s t t r t t s s q ér t s t s é ss r s t té é s r P P Pr 1 P tr2 t tr s rs té p(t) = 0 tr t t t r r s s t s q t r t rt x = x 0 rs r t r 3 t p = 0 s t s T t 0 tr r t s ré é t s s s t t st s tt t t 1 q s ss s r st s r r r é r t s s s t st rés té s rt rès t t é t tr r st r ss s s ré t s r t t s t rt s ét s r ét é s tr 2 s r 2s tt té r s r P r s t s r r s rt s2 t ès trô s s s t t s t r 1 P tr2
P trô t ré t r st ér t tr t r st r ss a,d r b,e r c,f, a r t r t t q rs té P ér b rst t r r ç s r t t r r c s t s r r d r P t r r e rs té t s s r f P r t s s t s r rr s t r str t s r 1t s t r s ts r s t t t tr r s t rs t s r t t r t t tr r t 1 3 t t s t q r s t t t t r str ts rst rt st s r s ts t t ss t2 t s r r t t tr s t s t t t s t t t t r s r r r s t 1 r s t t t r t s s r r s r r t t t 1 3 t s r t t q r s t t t s t 2 t tr s t r r s ss t t s 2 r s t tr st t r t r s 1 3 t r s t tr t r st r t 3 t s r ss r s r tr s r t r 1 t s 2 r r s s r t s r ss s s r r r t r s s r st s 1 r s2st s t st r r st 3 t r ss ts r st rt s 2s r t s t s t s ss r2 t t t s2st s t t 2 s r ss t st r s r t t 3 rt t st s s ts r t r t st rt r t r s t r s r s st r t r st r ss s r t r t r s str t t 2 s s r t t s CH 4 2 t r t x ss t t t t r t Q CH4 s r rt t t r t t2 s r s ss s t ss st t t 2 q t s r 2 t r s2st r r2 r t q t s { ẋ = (µ(s) D)x ṡ = D(s in s) µ(s)x
s r t tr r t t r t r t s s Q CH4 = µ(s)x x s t ss s str t tr t s r s t 2 s in s t tr t t t s str t s D [D min,d max ] s t t r t s s r r t r s t tr r µ s t s r t r t r r s s t r s t r s r t s s st r t r st r ss r s t t r s r t r t r s str t t 2 s s r t t s CH 4 2 t r t x ss t t t t r t Q CH4 s r rt t t r t t2 s r s r t r st 1 3 Q CH4 r t r T r t str ts D min D(t) D max r r ss t s t r t r s st t t 1 3 t t t J(x(.),s(.),D(.)) = t=t µ(s)xdt t 2 t s r r t=0 r s t r 1 3 t s r t r r t s st t s r r t ss st r s r s t r r r r s s r r s r t s t 1 Pr P tr2 t s r t t x = x r x s t 1 t t x xµ(s in x) s t s r r t r s r t t tr s2 t s s s t 1 t 2 ss t2 2s s s r r s r t ss t t s s 0 + x 0 = s in st s t t t t r t t tt t 1 s r t t q r D = µ(s in x ) s t t D min 1 D max t t tr s sts t r s t r r s q r t x s st s ss s t r D min r D max t s t x 0 t r s t t x t q r x s tt t t s t t D t s t s t t x s t 2 t s s D min D D max t s s s s t t r s r t r s t r 1t t r s ts r s t t s r t s rst ss t2 st 2 t s r r s r s st 2 t ss t2 t st 2 t t 2 t s s x 0 +s 0 = s in s t ss t s 2 t s s s s t t 3 t r t rt r s s t r r s r s t t r s r r s D r s D max D r s D D min s r t tr r 2 t s s t s q s r µ t s t t s t s 2
P trô t ré t r st ér 2 t s s t µ(s) s t s r t s s t t µ(0) = 0 µ(s) > 0 r s > 0 r r t s t r r s r t r 1 sts s s t t µ(s) s r s r 0 < s < s r s r s > s r t t r t t µ(s) = ms K +s, µ(s) = ms K +s+s 2 /K i s t s 2 t s 2 t s s s t rst s r s t s s r s r 0 < s < s = KKi r s r s > s t t s 2 r t r st t s r t s t2 t t r t t s r s t2 t t r t t s r s t r s s 1 s t 1 3 t s r t r t t r t t t r t r t t r [0,T] 1 r ss s J(x(.),s(.),D(.)) = T 0 µ(s(t))x(t)dt r (x(.),s(.),d(.)) s t s 2 r t str t D(.) [D min,d max ] t t r s ts r s t r t t 2 t s s s 2 t s s t t s s2st t t x 0 +s 0 = s in t t t r 2 t s s x(t)+s(t) = x 0 +s 0 = s in s r s t t s t t s t 3 t r s r t t s t 3 t r ẋ = γ(x) Dx, x(0) = x 0 J(x(.),D(.)) = T 0 γ(x(t))dt t γ(x) = xµ(s in x) s t 3 t r s q t t t s t 3 t r ṡ = D(s in s) γ(s in s), s(0) = s 0 J(s(.),D(.)) = T 0 γ(s in s(t))dt t s t r t s t q t t 3 t r s r t γ(x) s t s s s 2 t r rt s γ(0) = γ(s in ) = 0 γ(x) > 0 r 0 < x < s in r r t st r 1 t t r [0,s in ] ss t t t s q 1 t s t r
s r t tr r 2 t s s r 1 sts x ]0,s in [ s t t γ (x ) = 0 γ (x) > 0 r x [0,x ) γ (x) < 0 r x (x,s in ] r t t s r 2 2 t s s r st r t t str t r r t t s s t t γ (x) = m (1+s in/k i )x 2 +(K +s in +s 2 in/k i )(s in 2x) ( K +sin x+(s in x) 2 /K i ) 2 ms in K+s in +s 2 in /K i r r γ (0) = x t t r (0,s in ) x = K K i K i +s in +s in > 0 γ (s in ) = ms in K < 0 γ (x) = 0 s q s t K 2 K 2 i K i (K i +s in ) +Ks 2 in K i +s in r 2 r t t str t r r t t s s t t γ (x) = m x2 +(K +s in )(s in 2x) (K +s in x) 2 r r γ (0) = ms in K+s in > 0 γ (s in ) = ms in < 0 K γ (x) = 0 s q s t x t t r (0,s in ) x = K +s in K 2 +Ks in t s t t t t r s r t t r r t r s r t t 2 tt K i = s in D min D max x s D P r t r s r r s m = 5 K = 10 K i = 50 2 t t 2 r r tr t 2 t s s t tr r t r D min 2 t s s ss t t µ(s in ) > D min s st 2 t s s s s t t s t t r t 2 ttr t q r t s t t t t t s s s t r st r t
P trô t ré t r st ér r P ts t t s y = µ(s) y = D min y = D max rr s t t r s s s t r s rr s t s = s in x D = µ(s ) r t r t t y = µ(s) r P ts t t s y = γ(x) y = D min x y = D max x rr s t t r s s s t r r s rr s t x γ(x ) r t r t t y = γ(x) r s s t t s st s t t s t r r r s t t t t r s t 2 rr s t s γ(x) r s r r t t t 2 t s s s t 2 2 t s s r st r t r s r t t µ(s) = ms 1+2s n K +s 1+s n t t γ(x) = xµ(s in x) 1 t t 1 s t t r [0,s in ] s
s r t tr r r r t r t rs s m = 1 K = 0.1 n = 6 s in = 2 t t γ(x) = xµ(s in x) s rr s t t r s r t t s 1 ts t 1 s t t r [0,s in ] s r s t t r s rst r t r s ts st s r t s ss t t 0 D min D D max r D = µ(s in x ) Pr s t ss x s s r t t tr s 2 D min x < x D(x) = D max x > x D x = x r D = µ(s in x ) s t s r tr ss s s s r t t tr s 2 r s = s in x D = µ(s ) s t s r tr D min s > s D(s) = D max s < s D s = s r s t s r s Pr s t q t t s r r r t 1 t r s t r r t s r s t 2 s t P tr2 1 Pr P P t s r s t t t P P t t r t t str t 2 s s q t t t s rst
P trô t ré t r st ér s in D = D max x x D = D min t T r t s2 t s s t st s s ss q t s r ts s t rst t r tr t s s s t str t s t 2 2 r t t P P t str t 2 Pr s t s sts t r s x r s s r t t s t x(t) t r s t t x r s s(t) t r s t t s t st r r t s t r t ts D = D min r t ts 1 t2 D = D max t x r s s t 2 r s t s r r x r s s t st 2 t s t s r tr D s r s s ss 2 D min D D max t s r 2 t s s s t r st t s r 3 s t s t r P t 1t s t s r t r t s t t str t 2 r s s r t r t 3 t r t t s t s 2 t s 2 t s s s t t 2 t s r r t s r r S s s 2 t t t s ss t r 1 sts st t (s,x) D S(x,s) s t t r 2 t t S t t t 0 t s t s2st t D = D S(x,s) r s S r 2 t r t s s t t D(x(t),s(t)) [D min,d max ] r 2 t t > t 0 t s s t 2 t s s s t r t t s s 0 +x 0 = s in s t s t t str t 2 Pr s t ss rst t t x(t) s s r s t tr r r D = D min r D = D max s t st t (s(t),x(t)) t r s t s r r x = x st st 2 t ss t2 t s s r r x = x t r t r t s ss t st 2 t r t st t r tr s s t st 2 t x = x r r s 2 x = x 0 = ẋ = (µ(s) D)x D = µ(s)
t 2 t s r r st r r x(t) s s r t tr t s D max x(t) > x D(t) = µ(s(t)) x(t) = x D min x(t) > x s tr s t tt x = x t st 2 t s s t t t s r t ss r t s r r x = x t x = x tt r t t s t s t s 2 s 0 + x 0 = s in st t r t ss r x = x t t s t s t t t s r tt t s r r D min D(t) D max s D min µ(s) D max r t t µ(s) = ms K+s D min = 0 t s t s q t t 0 s λ max r µ(λ max ) = D max s r t s r t r s r r ts rr s t D min = 0 t r r s t r t t r (λ max,x ) rr s t D max ss t t x 0 < x t t t s t t t r ts t t D = D min t tr t r2 s t tt x = x r t tt s x = x t s > λ max x (s,x ) (λ max,x ) x (s,x ) (s, Dmax D x ) (s, D min D x ) s s r ss t2 r s t s r r s x = x s = s r 2 ss t t s(t) s s r s t tr r r D = D min r D = D max s t st t (s(t),x(t)) t r s t s r r s = s st st 2 t ss t2 t s s r r s = s t r t r t s ss t st 2 t r t st t r tr s s t st 2 t s = s s = s 0 = ṡ = D(s in s ) µ(s )x D = µ(s ) s in s x = D x x st t st 2 t s r r s = s r r s(t) s s r t tr t s D max s(t) < s D D(t) = x x(t) s(t) = s D min s(t) > s
P trô t ré t r st ér s = s tt r t t s t s t s 2 s 0 +x 0 = s in st t r t ss r s = s t t s t s t t t s r tt t s r r D min D(t) D max s D min D x x(t) D max D min D x x(t) D max D x s tr s t tt s = s t st 2 t s s t t t s r t ss r r t s r t r s r r ts rr s t D min t r r s r r ts rr s t D max str t t s r s ts t s s r t t s r s(t) s t t tr s t t rt t r s rst s t t x(t) s t s r s t t t s r tr D x x(t) t s s(t) = s t t s r r s s r t r t r t tr r s tt r r t t r s r t s r r 3 t t q s r r 3 t s sts r t tr 2 t r r 3 tr D reg (t) = D max s(t) s ǫ 2 D + D min D ǫ 1 (s(t) s ) s ǫ 2 < s(t) < s +ǫ 1 D min s(t) s +ǫ 1 r ǫ 1 > 0 ǫ 2 = Dmax D D D min ǫ 1 r r 3 t t tr s s s r s t tt r s r t s ts t t s t t ss t2 r x 0 = 10 s 0 = 10 t rst x 0 = 80 s 0 = 80 t t r r t rs r 2 m = 4.5 K = 10 s in = 100 str ts t t t r r 2 D max = 1.2D D min = 1 s t t tr t ǫ 1 = 1 2 s ǫ 2 = 0.2934 t t = T = 2 s t r s ts r r rt r s t r s t t t t t s s r t D max t D sing r D min t D sing r D sing (t) = D x x(t) s t s r tr t t t s t s t t s r r s = s in s 2 t r s t t r t r D max t D min t D sing t s x 0 = 10 s 0 = 10 r D max t D min t D sing t s x 0 = 80 s 0 = 80 r r s 2 t r s r t > 0.7 t s s s t r r 3 tr D reg (t) = D + D min D ǫ 1 (s(t) s ) t t t s t s t t t2 s r r s in ǫ 2 < s < s in +ǫ 1 s s 1 t 2 t s 2 t ss t2 2s s t s s s 2 t s s s r
t 2 t s r r 80 70 4.5 4 60 3.5 50 3 40 30 2.5 2 20 1.5 10 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 140 4.5 120 4 100 3.5 80 60 40 3 2.5 2 1.5 20 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 r t s(t) x(t) r x 0 = 10 s 0 = 10 t r t t rr s tr tt t r t t s t t r x 0 = 80 s 0 = 80 r s t 2 x (s,x ) (80,80) x (s,x ) (s, Dmax D x ) (10,10) (s, D min D x ) s s r t r t t 2 s t s s2st r t r s t D = D max r tt r t s t D = D min t ss rt t s r r r ts ss rt t t t tr t r s rr s t t t t s (s 0,x 0 ) = (10,10) (s 0,x 0 ) = (80,80)
P trô t ré t r st ér r s t s t t s t t s s 2 D max r s D min t s s r r s(t) tt s s t t t st t s s t t t ss rt t s r r t s t s ss r2 t s t t t t r 1tr tr D min r s D max r t s 2 s t t D sing t s t r s D tt r rst t s ss t2 r r t r t t s r r s t r t s t t s s2st t t str t 2 r s t s 2 t s s s t s t s rt r t s r t str t s s t t ts r r {x 0,s 0 } = {10,10} {x 0,s 0 } = {80,80} r r s 2 r r (s 0,x 0 ) = (10,10) r s r (s 0,x 0 ) = (80,80) s t tr s t D max t D min r s D min t D max t D sing rr s s t t tr s t D max t D min r s D min t D max t D reg s s r r s t t r s t t s t t t t t tr r s 2 t r s t Pr s t ss D max D t t tr s 2 { Dmin t > τ D(t,x) = c (x) D max t < τ c (x) r t t t r τ c (x) s 2 τ c (x) = T x x dξ γ(ξ) D max ξ. t s t r x s q 2 2 q t s x < x < x, γ(x ) = γ(x) r s s t P tr2 1 Pr s t 1 t s t t t τ c (x ) = T t t T τ c (x) s t r r t r 1 t t t 2 t rt s x x γ(x) D maxx s r s s r t t s t t st t t (t,x(t)) t r s t t t t t r t = τ c (x) t st r r t s t r t ts D = D min r t ts 1 t2 D = D max t t t t s t s rr s t D = D max r t r s x max s 2 µ(s in x max ) = D max D max D s x x max s in t t t t t t x s t r s t rt r r t s s t t str t 2 s sts x(t) s s s ss t x s r r t t s t 1 r ss s r x γ(x) x = (K +s in)(s in x) K +s in x
r s t t r s y y = D maxx y γ(x)=γ(x ) y = 1 γ(x) D maxx y = γ(x) T τ c x x x max s in x x x max s in r r t s x = x (x) τ c = τ c (x) s in s in D = D max D = D max x max t = τ c(x) x x x x t = τ c(x) x min D = D min D = D min t T t T r t s2 t s s t t t t r t
P trô t ré t r st ér γ(x) = mx(s in x) K +s in x r t t s t 1 r ss s r x γ(x) x = (K +s in +s 2 in/k i )(s in x) K +s in x+s in (s in x)/k i γ(x) = mx(s in x) K +s in x+(s in x) 2 /K i 1 t s s γ(x) D maxx s r t t s t r t 1 t 2 t t t t = τ c (x) s 1 t 2 r s t t r s r 2 t t s t t t t t tr r s 2 t r s t Pr s t ss D min D t t tr s 2 { Dmin t < τ D(t,x) = c (x) D max t > τ c (x) r t t t r τ c (x) s 2 τ c (x) = T x x dξ γ(ξ) D min ξ. t s t r x s q 2 2 q t s x < x < x, γ(x ) = γ(x) s s r t t s t t st t t (t,x(t)) t r s t t t t t r t = τ c (x) t st r r t s t r t ts D = D min r t ts 1 t2 D = D max t t t t s t s rr s t D = D min r t r s x min s 2 µ(s in x min ) = D min D min D s x x min > 0 t t t t t t x s t r s rt r r t s s t t str t 2 s sts x(t) s s s ss t x s r s s rs t s t s r 1t t r s ts t 2 r s t t 1 3 t t t t s r t r r t r t t r 2
s s rs t s x 0 +s 0 = s in r t ss st t ss t s s r s q t r s s s s t t str ts t t t r r t s t s r t t 1t s s t r s t t t r s ts r s t t t r s t 2 r s P rs t s t s r t r 3 t t r s ts t s r t t x 0 +s 0 = s in s t t 2 r s r
P trô t ré t r st ér
s
P tr2 1 Pr P tr2 1 Pr t s s t 2 t P tr2 1 Pr P P t t t 3 t r t r s Pr s t s s t tr r u = D D min D max D min t 3 t r s ẋ = g(x) uαx, x(0) = x 0, 0 x 0 s in J(x( ),u( )) = T 0 γ(x(t,u( )))dt r α = D max D min > 0 g(x) = γ(x) D min x t tr u( ) s t s s 0 u( ) 1 x(t, u( )) s t rr s s t tr t t ss t t st t H(x,p,u) = p[g(x) uαx]+γ(x) = (pg(x)+γ(x)) pαxu. r p s t st t 2 P tr2 s 1 r 2 1 t st t tt t s (x (t),p (t),u (t)) st 1 3 t t H(x,p,u) t r s t t u H(x (t),p (t),u (t)) H(x (t),p (t),u) r u [0,1] st s t t s2st { ẋ = H p (x,p) t r2 tr s rs t2 t s ṗ = H x (x,p) r t t H(p,x) s 2 x(0) = x 0, p(t) = 0 H(p,x) = max 0 u 1 H(x,p,u) H s r t t r u t s r t t r r H(p,x) = { H(x,p,0) = (p+1)γ(x) Dmin px p > 0 H(x,p,1) = (p+1)γ(x) D max px p < 0 D (t) = { Dmin p > 0 D max p < 0
(x (t),u (t)) s t s t t r 1 sts p (t) s t t (x (t),p (t)) s s t r r st t s t s t t s2st t t r st rt t t 0 t rt x = x 0 r r t r 3 t str t p = 0 t t T s t ts S = {(x,p) : p = 0} s t s t r t t s2st tr s rs t2 t p (T) = 0 s s t t t t s t tt s t s t r S t t = T q st r s t s p (t) t s r t r t s t tr t r [0,T] t r r s t st t (x (t),p (t)) t t s2st r r ss r r t s t r S t st t r s S t t u (t) r q t 2 D (t) s t t r 2 tr s s t s r t s s r t 2s s s r q r t t r u (t) s s st t (x (t),p (t),u (t)) s t s t t p (t) s t t s t r p = 0 s s t r [0,T] t t s t s 2 t tr s s r 2 x (t) = x D (t) = D t s s t r Pr t s r t s q t t t ṗ = (p+1)γ (x)+dp p (t) = 0 = dp dt (t) = γ (x (t)) = 0 = x (t) = x t t tr D (t) = D s r t rst q t t 2 ẋ = γ(x) Dx x (t) = x = dx dt (t) = γ(x ) D (t)x = 0 = D (t) = D st st 2 t r s t s r t s t s2st tt r rst t 2 t st 2 t s t t s2st t t H(p,x) = (p+1)γ(x) Dpx r D s 1 D = D min r D = D max t t s { ẋ = H p (x,p) = γ(x) Dx ṗ = H x (x,p) = (p+1)γ (x)+dp
P tr2 1 Pr t t t t tr t r s r t 2 t t tr t r s t D = D min t p > 0 t tr t r s t D = D max t p < 0 q r r 2 t s t s q t s { 0 = γ(x) Dx st s q t 0 = (p+1)γ (x)+dp γ(x) = Dx t 0 x s in s q t s 2s x = 0 s s t 2 r t t r s t s µ(s) s t2 t s t st s t s t s µ(s) s t2 t t st t s t s t s x 1 x 2 s s t s s t s 2 x > x 1 > x 2 D > D x 1 > x > x 2 D < D r s t 2 Pr µ(s) s t2 t s s t s t D > µ(s in ) s t s t D µ(s in ) r t s t2 t rst t r 2 t s s t t 0 < s < s t 2 s γ (x) = µ(s in x) xµ (s in x), r γ (x ) = 0 t t µ(s in x ) = x µ (s in x ) µ (s ) > 0 t s t s 2 0 < s < s r r q t s µ(s) = D t st t s t s s 1 s 2 s t s 2 s < s 1 < s < s 2 D > D s 1 < s < s < s 2 D < D t st t s t s x 1 x 2 s t t x > x 1 > x 2 D > D x 1 > x > x 2 D < D t s2st ts t r2 q r E 0 = (0,p 0 ) r p 0 = γ (0) s q r s s t s s r tr s r 2 q t s D γ (0) (p+1)γ(x) Dpx = 0 rt r s t x = 0 t s q t s t st s r tr 1 E 0 s s t s t t s t r q r t s s t s t s t 2 x D t s t r r q r E D = (x D,p D ) r p D = γ (x D ) s q r s s t s s r tr s r 2 q t D γ (x D ) (p + 1)γ(x) Dpx = Dx D rt r s t x = x D t s q t s t st s r tr 1 E D Pr x D [0,s in ] s s t t E D = (x D,p D ) s q r 2 0 = (p D + 1)γ (x D ) + Dp D t t s t s 2 p D = γ (x D ) t r t q r D γ (x D ) s r t 1 t t tr 1 t s r γ (x D ) D D γ (x D ) t 2 r r s t s s t t t q r E D s s t
rt x = x D s t st s r tr 1 E D st s t 2 s t t q t H(p,x) = H(p D,x D ) r s t (p+1)γ(x) Dpx = Dx D t t t x = x D s t s s s t s q t s ẋ = 0 s 2 x = 0 r x = x D r x D s s t s t t 1 sts s ṗ = 0 s 2 p = γ (x) D γ (x) s s ẋ = 0 ṗ = 0 t rs t t t s ts E 0 E D t s q r 1 sts t t s s s t s t s r tr s E 0 E D r t r ts q t s H(p,x) = 0 H(p,x) = Dx D r s t 2 s t r t s q t s s rt r s t s t rt s x = 0 r x = x D r t st s r tr s E 0 E D r s t 2 1 t t rt s x = 0 r x = x D r x D s s t s t t 1 sts r r ts t r r ts r t r s t t s p = h γ(x) r h s st t γ(x) Dx Pr t t H(p, x) s st t r t r ts r 2 q t H(p,x) = (p+1)γ(x) Dpx = h r h s st t r r t r t s t r q t p = h γ(x) γ(x) Dx s s t s r tr s E 0 E D r t t h = 0 h = Dx D r s t 2 t s r ts r tt r t r t t (x,0) s q t s H(p,x) = h, h = H(0,x ) = γ(x ) 2 rt t r t s t t t s2st s r t s tt r r t t t t t (0,x ) s t t rs t t s ṗ = 0 t t x 1 s s tt r t r r ts r tt r r s r ts r r s t s s s s t r s s t s s2 t t t s rtr t ts r s t r ts t t s2st r r s t2 s t t s s r t 2s s t s s t r t t r s Pr s t s s t t t x(t,t 0,x 0,D) r t s t ẋ = γ(x) Dx, x(t 0 ) = x 0 x(t,t0,x 0,D) x 0 dx γ(x) Dx = t t 0
Pr Pr s t r r ts t t s2st P D > D s s t s t P D > D s s t s t P D > D s t s t s t s P D < D s t s t s t s P D < D s s t s t s P D = 0 Pr Pr s t t 2s s t s str t r s r r t ss t2 D min = 0 s r 2 t s s t D = D min s t st s t s t t r ts r p > 0 r s r t t r ts s r s r r 2 t D = D max s ss 2 r s t s t s r r t r ts r p < 0 r s r t t r ts s r s r r t s s t t s x 0 x t 2 x = x( T,0,x,D min ) s x s 2 x x dx γ(x) D min x = T r r x < x rs t t t r t x(t) = x(t,0,x 0,D min ) s s r s s ss r2 t x 0 x t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 x (t) = x(t) t s t q s t p (t) = γ(x T) γ(x(t)) γ(x(t)) D min x(t)
Pr r x 0 x t s t t x T = x(t) x x(t) x T r t [0,T] p (t) > 0 r t [0,T) p (T) = 0 r t s t t (x (t),p (t)) s s t q ss s r t t t t r 2 p 0 > p (0) t s t t t s2st t t t x(0) = x 0 p(0) = p 0 s t s 2 t t p(t) > 0 r t [0,T] s t t p(t) > 0 t t r r 2 p 0 < p (0) t s t t t s2st t t t x(0) = x 0 p(0) = p 0 tt t s t r S r s t s < T t s t x s < x T x s r t t st 2 t s t r S t s t s t s t t p < 0 s t t p(t) < 0 x x 0 x s r t s t rr s t t r t (x,0) tt s t s t r s t T st 2s t t s t r t t T s t ss s r t tr D (t) = D [D min,d max ] r r s 2 t r s t t x < x 0 x t t < T s t t x(t ) = x t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 x (t) = { x(t) 0 t < t x t t T p (t) = { γ(x ) γ(x(t)) γ(x(t)) D min x(t) 0 t < t 0 t t T t s t q s t Pr r x < x 0 x t s t t x T = x(t) > x s t t t r 1 sts t < T s t t x(t ) = x s t s 2 x x 0 dx γ(x) D min x = t p (t) = 0 x (t) = x r t [t,t] r t s t t (x (t),p (t)) s s t rr s t t s r tr D (t) = D t s t r [t,t] q ss s r t t t t r 2 p 0 > p (0) t s t t t s2st t t t x(0) = x 0 p(0) = p 0 s t s 2 t t p(t) > 0 r t [0,T] s t t p(t) > 0 t t r r 2 p 0 < p (0) t s t t t s2st t t t x(0) = x 0 p(0) = p 0 tt t s t r S r s t s < T t s t x s < x T x s r t t st 2 t s t r S t t s t s t t p < 0 s t t p(t) < 0 s r t s x 0 x t 2 x + = x( T,0,x,D max ) s x + s 2 x dx γ(x) D max x = T x
Pr Pr s t r r x + > x rs t t t r t x(t) = x(t,0,x 0,D max ) s s r s t s r ts s r t r s t t x 0 x + t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 x (t) = x(t) p (t) = γ(x T) γ(x(t)) γ(x(t)) D max x(t) t s t q s t t x + > x 0 x t t < T s t t x(t ) = x t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 { x(t) x 0 t < t (t) = x t t T p (t) = { γ(x ) γ(x(t)) γ(x(t)) D maxx(t) 0 t < t 0 t t T t s t q s t r r r t r s t s t t t t str t 2 s sts s 2 t D = D min r x x D = D max r x x s r s Pr s t r t s t t t t rt x = x min r x min s ss s t γ(x) = D min x s t st s r tr 1 t s t E Dmin rr s t t s t x min rs t p > 0 t t r t x r r t s 2 t t s r t t r ts t t s2st t s x 0 < x r 2 γ(x) = D max x s s t r t x = x max t t r [0,s in ] t x > x max r t s t s x max s t t t rt x = x max s t st s r tr 1 t s t E Dmax rs t p < 0 t t x t s ts t s r t t r ts t t s2st t s x 0 > x r 2 t s s s t s t s t r t t µ(s) s t2 t q t γ(x) = D min x s t s t s x 1 x 2 s t t x 1 > x > x 2 r r x 0 < x 1 t t s t r s t r x 0 > x 1 t r s t r x 2 s t t t tt x t t tr s s 1 t s s s t r s t 1 3 t s r t t tr s s t s2st t t s t t s s Pr Pr s t t 2s s t s str t r t ss t2 µ(s in ) > D max s r 2 t s s t D = D min s t st s t s t t r ts r p > 0 r s r t t r ts s r r r r 2 t D = D max s r t s t s t s r r t r ts r p < 0 r s r t t r ts s r r r
t s s t t s x 0 x max t x = x( T,0,x,D min ) s x s 2 x dx γ(x) D min x = T x r r x < x rs t t x m (t) = x(t,0,x 0,D min ) x M (t) = x(t,0,x 0,D max ) r s r t r t s t x 0 x t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 x (t) = x m (t) t s t q s t p (t) = γ(x T) γ(x (t)) γ(x (t)) D min x (t) Pr r x 0 x t s t t x T = x m (T) x x m (t) x T r t [0,T] p (t) > 0 r t [0,T) p (T) = 0 r t s t t (x (t),p (t)) s s t q ss s r t t t t r 2 p 0 > p (0) t s t t t s2st t t t x(0) = x 0 p(0) = p 0 s t s 2 t t p(t) > 0 r t [0,T] s t t p(t) > 0 t t r r 2 p 0 < p (0) t s t t t s2st t t t x(0) = x 0 p(0) = p 0 tt t s t r S r s t s < T t s t x s < x T x s r t t st 2 t s t r S t s t s t s t t p < 0 s t s s p(t) < 0 x x 0 x t s r t s t s t rr s t t r t (x,0) t t s t s s x(t ) = x p(t ) = 0 st 2s t t s t r t t T s t s r r x = x s t ss s t tr D (t) = D t t r ts t st 2 t s t ss tr D (t) [D min,d max ] r s t r ss t2 t s s s 2 t r s t s r s t t t tt s t s r r S r s t c T t s t (x c = x m (t c ),0) s t tr D min t s t t t tr D max s t r t (x c = x m (t c ),0) t t (x T = x M (T),0) st γ(x c ) = γ(x T ) t c = τ c (x c ) r τ c (x) s t t 2 Pr s t c x c x T st s t s 2 t q t s xt x c dx γ(x) D max x = T t c s t t s s r st H(x c,0) = H(x T,0) = γ(x c ) = γ(x T ) r r t c = τ c (x c ) r τ c (x) s t t 2
Pr Pr s t t x + s t t τ c (x + ) = 0 t x ++ s t t γ(x + ) = γ(x ++ ) r r x++ dx γ(x) D max x = T x + t t s t s 2 t s t ẋ = γ(x) D max x t s t T t r x + t x ++ t x 0 x + t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 x (t) = x M (t) p (t) = γ(x T) γ(x (t)) γ(x (t)) D max x (t) t s t q s t t x x 0 < x + t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 { x(t) x 0 t < t (t) = c x(t,t c,x c,d max ) t c t T p (t) = { γ(xc) γ(x (t)) γ(x (t)) D min x (t) γ(x T ) γ(x (t)) γ(x (t)) D maxx (t) 0 t < t c t c t T t s t q s t Pr x + x 0 x max t x T = x M (T) < x max x 0 > x max t x T = x M (T) > x max p (T) = 0 (x (t),p (t)) s s t q ss s r r ts s r t t s s t r s s s r t s x x 0 x + t t c < T x c = x(t c ) s t t x(t,t c,x c,d max ) = x T, t c = τ c (x c ) γ(x c ) = γ(x T ) p(t T ) = 0 (x (t),p (t)) s s t t s t q s t t s s2st r r t t str t 2 s sts s 2 t D = D min r t > τ c (x) D = D max r t < τ c (x) s r s Pr s t Pr Pr s t t 2s s t s str t r t ss t2 D max < max(µ(s)) s r 2 t s s t D = D min s 2 s t s t t r ts r p > 0 r s r t t r ts s r r 2 t D = D max s r t s t s t s r r t r ts r p < 0 r s r t t r ts s r r r t s s t t s x 0 x min t x = x( T,0,x,D max ) s x s 2 x dx γ(x) D max x = T x
r r x > x rs t t x m (t) = x(t,0,x 0,D min ) x M (t) = x(t,0,x 0,D max ) r s r t r t s t x 0 min(s in,x ) t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 x (t) = x M (t) p (t) = γ(x T) γ(x (t)) γ(x (t)) D max x (t) t s t q s t Pr r x 0 min(s in,x ) t s t t x T = x M (T) x x M (t) x T r t [0,T] p (t) < 0 r t [0,T) p (T) = 0 r t s t t (x (t),p (t)) s s t q ss s r r ts s r t t s s t r s s x x 0 x t s r t s t s t s r t s t rr s t t r t (x,0) t t s t s s x(t ) = x p(t ) = 0 st 2s t t s t r t t T s t s r r x = x s t ss s t tr D (t) = D t t r ts t st 2 t s t ss tr D (t) [D min,d max ] r s t r ss t2 t s s s 2 t r s t s r s t t t tt s t s r r S r s t c T t s t (x c = x m (t c ),0) s t tr D max t s t t t tr D min s t r t (x c = x m (t c ),0) t t (x T = x M (T),0) st γ(x c ) = γ(x T ) t c = τ c (x c ) r τ c (x) s t t 2 Pr s t c x c x T st s t s 2 t q t s xt x c dx γ(x) D min x = T t c s t t s s r st H(x c,0) = H(x T,0) = γ(x c ) = γ(x T ) r r t c = τ c (x c ) r τ c (x) s t t 2 t x + s t t τ c (x + ) = 0 t x ++ s t t γ(x + ) = γ(x ++ ) r r x++ dx γ(x) D min x = T x + t t s t s 2 t s t ẋ = γ(x) D min x t s t T t r x + t x ++ t x 0 x + t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 x (t) = x M (t) p (t) = γ(x T) γ(x (t)) γ(x (t)) D max x (t)
Pr Pr s t t s t q s t t x x 0 > x + t (x (t),p (t)) r 0 t T 2 { x xm (t) 0 t < t (t) = c x(t,t c,x c,d min ) t c t T p (t) = { γ(xc) γ(x (t)) γ(x (t)) D maxx (t) γ(x T ) γ(x (t)) γ(x (t)) D min x (t) 0 t < t c t c t T t s t q s t Pr x + x 0 x max t x T = x M (T) < x max x 0 > x max t x T = x M (T) > x max p (T) = 0 (x (t),p (t)) s s t q ss s r r ts s r t t s s t r s s s r t s x x 0 x + t t c < T x c = x(t c ) s t t x(t,t c,x c,d max ) = x T, t c = τ c (x c ) γ(x c ) = γ(x T ) p(t T ) = 0 (x (t),p (t)) s s t t s t q s t t s s2st r r t t str t 2 s st s 2 t D = D max r t > τ c (x) D = D min r t < τ c (x) s r s Pr s t
s s é ér s t rs t s ét rés té s tt t ès s rt t r 2s t trô t st ér 1 s t 3 s r r t s s s r é s ts é ér 1 st ér tt s ss ré t s q s s q s str t r q st tr s r é ss t t CO 2 t CH 4 q é s2stè rt èr t 1 t t t st s r t èr t P r r t r t t r é é rs r ètr s r t 1 t ér t r té r êt t rt t t s s té r t s t s tér s à rt s sés t r é r s s q 1 r ètr s r t 1 r r é é t t t st s séq s s t st r ér st t t r r sq q 1 rt s s st s r é és t r à t q s s s 1trê s é ss t rrêt t r é rr té tr t t q st s r t t r t q t é q t t r s s s t s t q s t été r sé s r é r r r é é t r r s s str té s trô r s t t s r s è s t é t q s s r rs t r rés t r s è t ss s s2stè s ét és rès r ssé r s ér ts è s st ér 1 st ts s ttér t r s s ss r s è s 1 té r s s t r q s t été é és s è s r s s s é és r s r t s r r r r rt t é é q s2stè s è s s és é és r trô é r t èr r s q st ér r ét s s t 2 t s té r è trô t ê t t s st q é t à rés r s s r ù rt s t rs t é tré q st ér t êtr é sé r è s ét s s s s tt és à rés r
s s é ér s t rs t s r è st è q s s t sé t t tr t ès q r s r é és st ér s s r é ér t s r s 1 st t s s ttér t r t s ss q s P P t 1 r st q s s r tt t ès s s s s tt és à é r s s t s 1 r è s r t s trô t st ér 1 s t 3 s r r 3 t s é t s s rés r è t st r ér s ét P r s t s t s rt èr s t r ss tr t s s r t r é r t str té trô été t s tr s s t s rés t ts rt ts 1q s s s t s t s trô t été t t s t r r r s s tr t r s s2stè 2 q s t ét t x(t) r r rt à ét t t x st r st à s té D = D min 1 D = D max sq à tt r r s r D = D r r r t s2stè t r s r t x ù r t 3 st 1 trô st éq t à r s r t ss rs x t 2 r st r q r s s t r ér t été t sé r é t r r str té trô t s t r t Pr 1 P tr2 2s t r rés t t s r t s s2stè t s (x,p) s t r s é r s t t r t t s s ér t s t s ss r s t té é s r Pr 1 P tr2 ér r q t str té s st à q r trô D = D min t t q ét t x(t) st ss s rt r t t t c (x) ès q x(t) tr rs tt r trô D = D max st q é s s q s s trô st s s t é st à r q s r 1 st r r à r q r t t r éq r s2stè q 1 s r t 3 tr s t r s t t st s ss 3 ss t r é r r é t t t q t r t é t 3 t r s 1 s s s s s tt r x t 1 q ss r st s r r r ê rsq trô st s r t é s str té té s st à q r trô D = D max t t q x(t) st ss s r t t t c (x) s trô D = D min r è trô s s t st très tér ss t à rés r t t é t q t s s q s s r t q s s ré st
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