Modélisation et Simulation

Cours de modélisation et simulation p. 1/64 Modélisation et Simulation G. Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di

Cours de modélisation et simulation p. 2/64 Notions de temps, entrée et sortie Nous commençons ici à définir la notion de système dynamique de manière formelle. Nous définissons un ensemble T, dénoté l ensemble des temps, tel que pour chaque t T les valeurs u(t) et y(t) sont définies et elles appartiennent aux ensemble U et Y, respectivement. Selon la nature de cet ensemble nous pouvons faire la distinction entre systèmes à temps continu et systèmes à temps discret. Les évolutions des entrées et des sorties appartiennent elles aussi à deux ensembles de fonctions, notés par Ω et Γ. Dorénavant, nous noterons par u( ) Ω (y( ) Γ) la fonction d entrée (sortie) et par u(t) U (y(t) Y) la valeur prise par telle fonction à l instant t. Exemple: Ω pourrait être l ensemble des fonctions continues par morceaux et Γ l ensemble des fonctions continues.

Cours de modélisation et simulation p. 3/64 Relation entrée-sortie La modélisation d un système comme système dynamique demande au préalable 1. la definition d une échelle des temps 2. la definition d une variable d entrée u et une variable de sortie y. Comment définir l entrée et la sortie d un système? La règle générale est définir comme entrées toutes les variables qui peuvent être contrôlées ou modifiées et comme sorties toutes les variables qui peuvent être mesurées. Supposons de vouloir étudier la réaction d un patient avec de la température à l administration d un médicament. Quelles pourraient être les variables d entrée et de sortie? Supposons de vouloir étudier l efficacité d une politique de réduction du trafic sur la pollution du centre ville de Bruxelles. Quelles pourraient être les variables d entrée et de sortie?

Cours de modélisation et simulation p. 4/64 Système statique et dynamique Fixons l évolution de la variable u dans un intervalle de temps [t 0, t f ]. Est-ce que la connaissance de u détermine de manière univoque le comportement de y? Dans le cas général la réponse est négative. Nous pouvons souvent rencontrer deux processus identiques auxquels la même fonction d entrée est appliquée pendant le même intervalle mais qui ont des valeurs de sortie différentes. Pensez au cas où u est la position de la pédale de l accélérateur et y est la vitesse de la voiture. Ceci montre la nécessité d un ensemble de variables internes (ou variables d état) additionnelles pour décrire d une manière univoque le comportement d un système. Toutefois il existe un cas très particulier de système dynamique où la connaissance de u détermine de manière univoque le comportement de y: les systèmes statiques. Dans ces systèmes la sortie change seulement en fonction de l entrée, c.-à-d. aucun changement de la sortie n a lieu si l entrée est constante.

Cours de modélisation et simulation p. 5/64 Système statique et dynamique y(t) u(t) u(t) y(t) Dans les systèmes dynamiques la connaissance de l entrée n est pas suffisante pour déterminer de manière univoque la sortie. La sortie y(t) dépend non seulement de l entrée présente u(t) mais aussi des entrées passées.

Cours de modélisation et simulation p. 6/64 Exemple: réservoir Considérons un réservoir d eau cylindrique de rayon R sur lequel nous pouvons effectuer des mesures ainsi que des actions de contrôle à intervalles réguliers de période. Nous mesurons le niveau d eau dans le réservoir et contrôlons le débit (volume de fluide écoulé par unité de temps) d eau en entrée ainsi que la section d un trou circulaire au fond. Comment le niveau d eau est-il influencé par le débit en entrée et la taille du trou? u 1 y 2R u 2

Cours de modélisation et simulation p. 7/64 Exemple: réservoir (II) Nous désignons donc le niveau d eau comme sortie du système y, le débit en entrée comme entrée u 1 et la section du trou comme entrée u 2. Soient: y(t): le niveau d eau à l instant t. u 1 (t): le débit volumique (en m 3 s 1 ) en entrée à l instant t. u 2 (t): la section du trou (en m 2 ) au fond du réservoir à l instant t. et x(t) la variable (en m 3 ) qui dénote le volume d eau dans le réservoir à l instant t.

Exemple: réservoir (II) Considérons le modèle suivant basé sur la loi de Bernoulli selon laquelle le débit en sortie d out est égale à la section fois la vitesse d écoulement v = 2gh = 2g x(t) πr où h est le niveau de l eau et g est l accélération de 2 gravité. r d out (t) = u 2 (t) 2g x(t) : débit en sortie πr2 d(t) = u 1 (t) d out (t) x(t) = max(0, x(t ) + d(t ) ) = r!! x(t ) = max 0, x(t ) + u 1 (t ) u 2 (t ) 2g πr 2 y(t) = x(t) πr 2 Nous supposons que le débit reste constant pendant l intervalle [t, t] où > 0 est le pas de discrétisation temporelle. Il s ensuit que d est le changement de volume d eau dans l intervalle [t, t]. Ce genre de système sera appelé dans la suite système à temps discret. Le lien entre u et y n est pas statique. Cours de modélisation et simulation p. 8/64

Exemple: réservoir (III) Supposons que x(0) = 0. Voici deux évolutions du système pour deux paires {u 1 ( ), u 2 ( )} de fonctions d entrée différentes: une paire composée par des fonctions constantes par morceaux et une paire composée par des fonctions sinusoïdales. 40 60 y(t): niveau 30 20 10 x(t): volume 40 20 0 0 50 100 0 0 50 100 2 0.2 u 1 (t): debit 1.5 1 0.5 u 2 (t): trou 0.15 0.1 0.05 0 0 50 100 0 0 50 100 Cours de modélisation et simulation p. 9/64

Cours de modélisation et simulation p. 10/64 La notion d état d un système En réfléchissant sur l exemple du réservoir nous nous apercevons que la valeur de la sortie n est pas déterminée complètement par la valeur de l entrée au même instant mais que elle est l effet de la totalité de l histoire passée du système. Il est nécessaire donc d introduire, suite à un exercice d abstraction, une troisième grandeur, appelée état, qui 1. résume l ensemble de l information sur le passé et le présent du système (mémoire) 2. dont la connaissance à l instant t 1, conjointement avec la connaissance de l entrée pendant l intervalle [t 1, t 2 ], est indispensable pour prédire la valeur de y(t 2 ). On supposera que 1. la connaissance de valeur x(t) doit être suffisante pour déterminer la valeur de la sortie au même instant, 2. la connaissance conjointe de x(t 1 ), c.-à-d. de l état à l instant t 1 et de u [t1,t 2 )( ), c.-à-d. de la valeur de l entrée dans l intervalle [t 1, t 2 ) doit permettre le calcul de l état (et donc de la sortie) à l instant t 2.

Cours de modélisation et simulation p. 11/64 La notion d état d un système (II) Notons que le choix des variables d état n est pas univoque. Le même système peut être décrit par des ensembles de variables d état différents.

Cours de modélisation et simulation p. 12/64 Système masse-ressort Supposons vouloir étudier la relation entre la position y de la masse sur le plan (sortie) et la force appliquée u = F (entrée). Selon les lois de la dynamique u = mÿ. Aucune dépendance directe n existe entre u e y. Définissons l état à l instant t 1 comme un vecteur x(t 1 ) = [x 1 (t 1 ), x 2 (t 1 )] composé par la position et la vitesse x 2 = ẋ 1 de la masse M. Les lois de la dynamique nous permettent de calculer à partir de x(t 1 ) et de la force u = F appliquée dans l intervalle [t 1, t 2 ) l état (c.-à-d. la position et la vitesse) à l instant t 2. Aussi, la connaissance de x (et donc de x 1 ) nous permet de connaître la valeur de y. Le vecteur x = [x 1, x 2 ] satisfait les propriétés requises par une variable d état. 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 M 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 00000000000 11111111111 u

Cours de modélisation et simulation p. 13/64 Définition axiomatique d un système Un système dynamique est une entité définie par les quantités suivantes: 1. un ensemble ordonné T des temps, un ensemble U d entrée, un ensemble Ω des fonctions d entrée admissibles, un ensemble X d état, un ensemble Y de sortie et un ensemble Γ de fonctions de sortie. 2. la fonction de transition d état ϕ(,,, ) telle que x(t) = ϕ(t, t 0, x 0, u( )) est la valeur de l état à l instant t T obtenu en mettant le système dans l état x 0 à l instant t 0 et en appliquant la fa fonction d entrée u( ) Ω dans l intervalle [t 0, t). 3. la fonction η(, ), dite de transformation de sortie, telle que y(t) = η(t, x(t)) est la sortie à l instant t. Un système dynamique peut donc être résumé par le t-uple suivant: S = (T, U, Ω, X, Y, Γ, ϕ, η).

Cours de modélisation et simulation p. 14/64 Propriétés de la fonction de transition La fonction de transition d état ϕ(,,, ) jouit des propriétés suivantes: Consistance: ϕ(t, t, x, u( )) = x, (t, x, u( )) T X Ω Irréversibilité: ϕ est définie pour chaque t t 0, t T Composition: ϕ(t 2, t 0, x 0, u( )) = ϕ(t 2, t 1, ϕ(t 1, t 0, x 0, u( )), u( )), (x, u( )) X Ω } {{ } x(t 1 ) et pour chaque t 0 < t 1 < t 2 Causalité: si u [t 0,t]( ) = u [t 0,t]( ), alors ϕ(t, t 0, x, u ( )) = ϕ(t, t 0, x, u ( )), (t, t 0, x) T T X

Cours de modélisation et simulation p. 15/64 Propriétés de la fonction de transition Ces propriétés formalisent la notion clé de système dynamique: si nous connaissons l état à l instant t 0 et la fonction d entrée pendant l intervalle [t 0, t), alors nous savons déterminer d une manière univoque l état à l instant t. En d autres termes, l état futur d un système est déterminé d une manière univoque par l état initial et la fonction d entrée. Dans la première partie du cours, nous nous limiterons à une évolution strictement déterministe où l état initial et la fonction d entrée sont complètement spécifiés et une règle de calcul permet de passer sans ambiguïté à un état final unique. Notons que le lien entre l état et l entrée est un lien fonctionnel vu que la valeur x(t) dépend de toute la fonction u( ) dans [t 0, t). Au contraire le lien entre x(t) et y(t) est instantané: la sortie y(t) dépend seulement de la valeur de x à l instant t.

Cours de modélisation et simulation p. 16/64 Représentation graphique u(t) x(t) y(t) phi eta

Cours de modélisation et simulation p. 17/64 Mouvement et trajectoire Considérons un temps t 0, un état initial x(t 0 ) et une fonction d entrée u( ). Définition (Mouvement). Soit x(t) = ϕ(t, t 0, x(t 0 ), u( )) la valeur de l état à l instant t. Le mouvement d un système est l ensemble des couples (t, x(t)) pour t t 0. Définition (Trajectoire). La trajectoire d un système est l ensemble des valeurs {x(t)} pour t t 0. En autres termes le mouvement est défini dans l espace T X alors que la trajectoire est définie comme la projection du mouvement dans l espace X.

Cours de modélisation et simulation p. 18/64 Mouvement et trajectoire x 2 t 0 t 1 trajectoire t 3 x 1 mouvement t t 4

Cours de modélisation et simulation p. 19/64 État et sortie d équilibre Un état x est un état d équilibre s il existe la possibilité d agir sur le système avec une fonction u( ) de façon que, en partant de l état initial x le système reste indéfiniment dans le même état x. Définition. Un état x X est dit d équilibre en temps infini si pour chaque instant initial t 0 T il existe une fonction d entrée u( ) Ω telle que ϕ(t, t 0, x, u( )) = x, t > t 0 Définition. Une sortie ȳ Y est dite d équilibre en temps infini si pour chaque instant initial t 0 T ils existent un état x et une fonction d entrée u( ) Ω telle que η (t, ϕ(t, t 0, x, u( ))) = ȳ, t > t 0

Cours de modélisation et simulation p. 20/64 État d équilibre (exemple) Dans le système réservoir, l état x(t) = 0 est un état d équilibre pour toutes les fonctions d entrée u 1 ( ), u 2 ( ) où d out >= d in. un état quelconque x(t) est un état d équilibre pour toutes les fonctions d entrée u 1 ( ), u 2 ( ) où d out = d in.

Cours de modélisation et simulation p. 21/64 Système invariant Un système dynamique invariant (ou stationnaire) est un système où un mouvement obtenu à partir d un état x 0 à l instant t 0 suite à la fonction d entrée u [t0,t)( ) est égal au mouvement obtenu en partant toujours de l état x 0 à un instant de temps t 0 + δ et en appliquant une fonction d entrée u (δ) (t + δ) = u(t) obtenue par translation de u( ). Ceci signifie que les caractéristiques du système ne changent pas avec le temps ou plutôt que les expériences peuvent être reproduites. Les systèmes dynamiques non invariants sont tous les systèmes caractérisés par des changements périodiques ou qui subissent des phénomènes de vieillissement.

Cours de modélisation et simulation p. 22/64 Définition. Un système est dit invariant si Système invariant 1. l ensemble T est un groupe additif (pour chaque t 1 T si t 2 T alors t 1 + t 2 T.) 2. pour chaque u( ) Ω et pour chaque δ T, la fonction u (δ) ( ) obtenue de u( ) par translation, c.-à-d. appartient aussi à Ω. u(t) = u (δ) (t + δ) 3. la fonction de transition d état satisfait la propriété ϕ(t, t 0, x 0, u( )) = ϕ(t + δ, t 0 + δ, x 0, u (δ) ( )), δ T 4. la transformation de sortie est indépendante de t y(t) = η(x(t))

Cours de modélisation et simulation p. 23/64 États accessibles La notion d accessibilité concerne un couple (x (1), x (2) ) d états. Définition. Un état x (2) est accessible à l instant t 2 à partir d un état x (1) s il existe un instant t 1 < t 2 et une fonction d entrée u( ) Ω telle que ϕ(t 2, t 1, x (1), u( )) = x (2)

Cours de modélisation et simulation p. 24/64 Système connexe Parfois il est intéressant de considérer des systèmes où chaque état x (2) à l instant t est accessible à partir de quelconque état x (1). Définition. Un système est dit connexe à l instant t si chaque état x (2) est accessible à l instant t à partir de tous les états x (1) X. Si cette condition est satisfaite pour tous les instants t, alors le système est dit connexe. Notons que dans un système connexe: deux états x (1) et x (2) peuvent être liés par une trajectoire qui va de x (1) à x (2) aussi bien que par une trajectoire qui va de x (2) à x (1). si le système est aussi invariant, il existe au moins une trajectoire fermée (c.-à-d. un cycle) passant par chaque couple d états.

Cours de modélisation et simulation p. 25/64 États équivalents Deux états équivalents sont deux états qui ne peuvent pas être distingués quelque soit la fonction d entrée utilisée. Définition. Deux états x (1) et x (2) sont équivalents à l instant t si pour toutes les fonctions d entrée u( ) Ω η(, ϕ(, t, x (1), u( ))) = η(, ϕ(, t, x (2), u( ))) Notons que si x (1) et x (2) sont équivalents, alors aussi les états x (1 ) et x (2 ) obtenus en appliquant la même fonction d entrée à x (1) et x (2) seront également équivalents.

Cours de modélisation et simulation p. 26/64 Forme réduite Définition. Un système est dit en forme réduite à l instant t s il n existe pas un couple d états équivalents (x (1), x (2) ) avec x (1) x (2). Si cette condition est vérifiée pour tous les instants t alors le système est en forme réduite

Cours de modélisation et simulation p. 27/64 Observabilité et équivalence La notion d équivalence est liée à la notion de l observation de l état. Définition. Un état est dit observable à l instant t 0 s il est possible déterminer un intervalle de temps [t 0, t) et une fonction d entrée u( ) qui puisse permettre la reconstruction de manière univoque de l état x(t 0 ) à partir de 1. u [t0,t)( ), 2. y [t0,t)( ) Si deux états sont équivalents à l instant t 0 il n est pas possible d effectuer la reconstruction de l état x(t 0 ) et donc de distinguer entre x (1) et x (2). Ceci est dû au fait que aucune trajectoire d entrée u [t0,t)( ) ne nous permettrait de observer de différentes y [t0,t)( ) selon que x(t 0 ) = x (1) ou x(t 0 ) = x (2).

Cours de modélisation et simulation p. 28/64 Exemple Considérons un système dynamique où x = [x 1, x 2 ] dénote la position d un robot dans une pièce rectangulaire, u = [u 1, u 2 ] sont les vitesses de déplacement horizontale et verticale et y = [y 1, y 2, y 3, y 4 ] sont les quatre valeurs observables par le robot qui correspondent aux valeurs renvoyées par quatre capteurs à ultrason. y 1 y 4 y 2 x 2 y 3 x 1 Est le système connexe? Est-il dans la forme réduite?

Cours de modélisation et simulation p. 29/64 Supposons que le robot peut aussi effectuer des rotations? Est il connexe? Est-il dans la forme réduite? y 3 y2 y 4 y 1 x 2 x 1 Supposons que un obstacle soit présent. y 1 y 4 y 2 x 2 y 3 x 1 Est il connexe? Est-il dans la forme réduite?

Cours de modélisation et simulation p. 30/64 Systèmes complexes Dans l étude des systèmes complexes il est nécessaire d introduire les notions de sous-système et interconnexion. Un sous-système est un système dynamique qui fait partie d un système plus complexe. Un agrégé de sous-systèmes est donc un système S = (T, U, Ω, X, Y, Γ, ϕ, η) composé par N sous-systèmes S i = (T i, U i, Ω i, X i, Y i, Γ i, ϕ i, η i ) connectés entre eux, soit à travers les sorties soit à travers les entrées. Notons que ce n est pas toujours vrai que en connectant N systèmes dynamiques d une manière quelconque on obtient encore un système dynamique. Ceci n est valable que pour un sous-ensemble de systèmes (par exemple les systèmes linéaires).

Cours de modélisation et simulation p. 31/64 Connexion en cascade Définition. Deux systèmes S 1 et S 2 sont dits connectés en cascade quand y 1 = u 2, c.-à-d. quand la sortie du premier système coïncide avec l entrée du deuxième. Pour que il soit possible de connecter deux systèmes en cascades il est nécessaire que les conditions suivantes soient satisfaites: T 1 = T 2, Y 1 U 2, Γ 1 Ω 2

Cours de modélisation et simulation p. 32/64 Connexion en cascade u=u1 S1 y1=u2 S2 y=y2

Cours de modélisation et simulation p. 33/64 Connexion en cascade Le système dynamique résultant est décrit par les ensembles suivants: T = T 1 = T 2 U = U 1 Ω = Ω 1 X = X 1 X 2 Y = Y 2 Γ = Γ 2 et par les fonctions ϕ = (x 1 (t), x 2 (t)) = = (ϕ 1 (t, t 0, x 1 (t 0 ), u( )), ϕ 2 (t, t 0, x 2 (t 0 ), η 1 (, ϕ 1 (, t 0, x 1 (t 0 ), u( ))) )) } {{ } y 1 (t) η = η 2 (t, x 2 (t))

Cours de modélisation et simulation p. 34/64 Connexion en parallèle Définition. Deux système S 1 et S 2 sont dits en parallèle quand u 1 = u 2, c.-à-d. quand ils ont la même entrée. L entrée du système est l entrée commune aux deux sous-systèmes et la sortie est le couple (y 1, y 2 ) des sorties de chacun des sous-systèmes. L état du système résultant est le couple (x 1, x 2 ), où x 1 X 1, x 2 X 2 et x X 1 X 2.

Cours de modélisation et simulation p. 35/64 Connexion en parallèle u1 S1 y1 u y2 u2 S2

Cours de modélisation et simulation p. 36/64 Systèmes hiérarchiques La combinaison des plusieurs sous-systèmes en cascade et en parallèle peut générer des systèmes de structure complexe. Un exemple est la structure hiérarchique. Dans cette organisation un sous-système à un certain niveau influence seulement les sous-systèmes à plus bas niveau et il est influencé exclusivement par des systèmes de niveau supérieur. Notons que dans cette structure, aucun cycle n est présent.

Cours de modélisation et simulation p. 37/64 Systèmes hiérarchiques S3 S1 S4 u S0 S5 S2 S6

Cours de modélisation et simulation p. 38/64 Rétroaction Ce genre de connexion est la plus simple connexion qui contient une boucle Nous somme en présence d une boucle de rétroaction quand la sortie y 1 d un système S 1 agit comme entrée u 2 sur un système S 2 dont la sortie va agir de nouveau sur S 1. La rétroaction est appelée négative si un changement de y 1 entraîne un changement de y 2 (et donc de u 1 ) qui s oppose au changement de y 1. La rétroaction est appelée positive si un changement de y 1 entraîne un changement de y 2 (et donc de u 1 ) qui amplifie le changement de y 1. La notion de rétroaction est une des notions les plus fameuses et utiles de la théorie des systèmes. Il nous suffit de penser à l ensemble des systèmes automatiques et de contrôle.

Cours de modélisation et simulation p. 39/64 Rétroaction Définition. Deux systèmes S 1 et S 2 sont dits en rétroaction l un sur l autre si u 1 (t) = ψ 2 (y 2 (t), v 1 (t), t) u 2 (t) = ψ 1 (y 1 (t), v 2 (t), t) u1 S1 y1 v2 Mux psi2 psi1 Mux v1 y2 S2 u2

Cours de modélisation et simulation p. 40/64 Rétroaction sur l état Le but de la rétroaction est d imposer au système un certain type de comportement en choisissant un u adéquat. Vu que la quantité qui permet de déterminer exactement l évolution du système, une fois l entrée connue, est l état x, il est plus intéressant de rendre l entrée dépendante de l état plutôt que de la sortie. Définition. Un système est dit rétro-actionné sur l état si u(t) = k(x(t), v(t), t) La fonction k est appelée la loi de contrôle. Ce schéma de contrôle suppose l accès ou l observabilité de l état du système. Dans l impossibilité de mesurer l état des schémas alternatifs sont envisageables, comme la combinaison d un estimateur de l état avec un contrôleur.

Cours de modélisation et simulation p. 41/64 Rétroaction et climat temperature surface glaciers albedo absorption du rayonnement solaire

Cours de modélisation et simulation p. 42/64 Loi de contrôle v Mux u phi x eta x k x

Cours de modélisation et simulation p. 43/64 Exemple: régulation manuelle Régulation manuelle de la température d une douche (consigne égale à 40 C). Temperature sortie chaudiére 40 Consigne Ecart K Action vanne [10] y(0) 1 1 z 1 y(t+1)=y(t)+u(t) Saturation 4 Z Retard Temperature perçue Temperature perçue Notons l existence d un retard entre l action entreprise par l opérateur sur la vanne mélangeuse pour modifier la température y(t) et l effet résultant (température au bout du tuyau).

Exemple: régulation manuelle (II) Voici l évolution de la température perçue par deux types d opérateurs: un opérateur pressé qui réagit de manière importante à l écart entre la température perçue et celle désirée 70 60 50 Temperature 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 Temps et un opérateur modéré qui a des réactions plus mitigées 70 60 50 Temperature 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 Temps Cours de modélisation et simulation p. 44/64

Cours de modélisation et simulation p. 45/64 Systèmes à temps continu et discret Définition. Un système est dit à temps continu si l ensemble T est l ensemble des nombres réels. Un exemple de système à temps continu est un système qui décrit le niveau d un fleuve. La variable d état change d une manière continue le long du temps. Définition. Un système est dit à temps discret si l ensemble T est un ensemble discret. Les systèmes à temps discrets peuvent être synchrones où les variables du système prennent leur valeurs selon une fréquence préétablie (par exemple T est l ensemble des nombres entiers), asynchrones où les instants de temps suivent une distribution aléatoire. Ces systèmes sont aussi appelés systèmes à évènements discrets. Un exemple de système à temps discret synchrone est un système qui décrit l évolution annuelle du Produit Intérieur Brut (PIB) d une nation. Un exemple de système à évènements discrets est un système qui décrit le nombre de clients dans un banque. La variable d état change sa valeur seulement quand un client entre ou sort de la banque.

Cours de modélisation et simulation p. 46/64 Automate Définition. Un automate est un système dynamique invariant à temps discret et avec un espace d état discret, où les ensembles d entrée et de sortie sont finis. Définition. Un automate fini est un automate avec un espace d état fini. Dans la suite nous nous considérerons que des automates finis.

Cours de modélisation et simulation p. 47/64 Automate Dans le cas d un système invariant à temps discret, nous pouvons remplacer la fonction de transition et la transformation de sortie par { x(t + 1) = δ(x(t), u(t)) y(t) = η(x(t)) Si les espaces d état, entrée et sortie sont finis, ces fonctions peuvent être aussi représentées par des tableaux et/ou par des graphes.

Cours de modélisation et simulation p. 48/64 Tableaux Considérons un automate où X = {x (1), x (2) },U = {u (1), u (2) } et Y = {y (1), y (2) } sont composés par deux éléments chacun. Soient la fonction de transition et la transformation de sortie données par les tableaux suivants x-u u (1) u (2) x (1) x (2) x (1) x (2) x (1) x (2) x(t) y(t) x (1) y (1) x (2) y (2)

Graphe de transition Cours de modélisation et simulation p. 49/64

Cours de modélisation et simulation p. 50/64 Notons que Graphe de transition le symbole sur chaque arc qui connecte x (i) à x (j) représente la valeur de l entrée qui causes la transition x (i) x (j). la notation x (i) /y (i) signifie que la valeur y (i) Y est émise par l automate pendant que l automate est dans l état x (i) X. le nombre d états est égal au nombre de composants de X. le nombre d arcs qui sortent d un noeud est égal au nombre de composants de U. il est admis que δ(x, u ) = δ(x, u ), u u, c.-à-d. que entrées différentes u et u peuvent déclencher la même transition à partir d un état x. Dans ce cas, les deux valeurs u et u sont notées sur le même arc.

Cours de modélisation et simulation p. 51/64 États d équilibre Un état x est dit d équilibre si et seulement si il existe dans le graphe la boucle x x. Une sortie ȳ est d équilibre si et seulement si il existe dans le graphe une boucle qui traverse des noeuds ayant tous la sortie ȳ.

États d équilibre Cours de modélisation et simulation p. 52/64

Cours de modélisation et simulation p. 53/64 Pour un automate donné, Accessibilité un état x est accessible à partir d un état x s il existe dans le graphe un chemin x x. un automate est connexe ssi le graphe est fortement connexe (c.-à-d. si chaque sommet est accessible à partir de n importe quel autre).

Exemple Considérons un système d éclairage composé par deux lampes L 1 et L 2 le système soit contrôlé par un interrupteur u qui peut prendre deux positions U = {u (1), u (2) }. Ω puisse être quelconque séquence de valeurs u (1) et u (2) : en particulier les séquences constantes...,u (1), u (1),... et...,u (2), u (2),... sont admises. le système soit à temps discret et synchrone, par exemple l interrupteur peut être commuté chaque seconde. Donc T = {1, 2, 3,... }. le système ait quatre configurations internes: X = {x (1), x (2), x (3), x (4) }. l observateur puisse distinguer trois configurations d éclairage: y (0) qui correspond à l obscurité, y (1) qui correspond à seul la lampe L 1 allumée, y (2) qui correspond à seul la lampe L 2 allumée. Soit x(t) X la configuration à l instant t: la configuration suivante dépend de x(t) et de la valeur u(t) selon le graphe à gauche dans la page suivante. Soit x(t) X la configuration à l instant t: la sortie y(t) dépend de x(t) selon le graphe à droite dans la page suivante. Cours de modélisation et simulation p. 54/64

Cours de modélisation et simulation p. 55/64 Exemple u (1) u (2) x (1) u (1) x (4) x (1) u (2) u (2) x (2) y (1) x u (2) (2) (3) u (1) x u (1) x x (3) (4) y y (2) (0)

Exemple Il est possible montrer que le graphe de transition d état nous permet de calculer la fonction de transition ϕ. Par exemple, étant donné l état initial x(t 0 ) = x (1) à l instant t 0 et la fonction d entrée û( ) telle que û(t 0 ) = u (1), û(t 0 + 1) = u (2), û(t 0 + 2) = u (2) il est facile de dériver que x(t 0 + 3) = ϕ(t 0 + 3, t 0, x 0, û( )) = x (2). Il est facile aussi de montrer que cette fonction satisfait les propriétés de consistance, irréversibilité, composition et causalité. En plus le système est stationnaire et déterministe: fixé la condition initiale et la loi d entrée, l état finale est unique. Tous les états et les sorties sont d équilibre. Le système est connexe et en forme réduite. L état est observable en une seule transition. Notons aussi que cette représentation d état n est pas la seule qui garantit cette relation entrée-sortie. On pourrait par exemple obtenir la même relation entrée-sortie en ajoutant des états équivalents redondants. Cours de modélisation et simulation p. 56/64

Cours de modélisation et simulation p. 57/64 Exemple u (1) x u (1) x (1) u (1) x (4) u (2) x (1) x u (2) u (2) u (2) x (2) y (1) x u (2) (3) (2) u (1) x u (1) x x (3) (4) y y (2) (0)

Cours de modélisation et simulation p. 58/64 Exemple Considérons maintenant l automate suivant: u (1) u (2) x (1) u (1) x (4) x (1) u (2) u (2) x (2) y (1) x u (2) (2) (3) u (1) x u (1) x x (3) (4) y (0) Est-il encore observable? Est-il en forme réduite?

Cours de modélisation et simulation p. 59/64 Automates cellulaires Un automates cellulaires est un système dynamique à temps discret synchrone caractérisé par un grand (toutefois fini) nombre de variables d état x ij (ou cellules) disposés sur une grille où i et j représentent la position sur la grille. Chaque cellule x ij prends sa valeur dans un ensemble fini X. La valeur à l instant t + 1 de la cellule x ij est fonction de l état au temps t d un nombre fini de cellules appelé son voisinage. Aucune entrée n est présente. À chaque nouvelle unité de temps, les mêmes règles sont appliquées pour toutes les cellules de la grille, produisant une nouvelle génération de cellules dépendant entièrement de la génération précédente.

Cours de modélisation et simulation p. 60/64 Automate cellulaire unidimensionnel L automate cellulaire non-trivial le plus simple que l on puisse concevoir consiste en une grille unidimensionnelle de n cellules x i ne pouvant prendre que deux états (0 ou 1), avec un voisinage constitué, pour chaque cellule, d elle-même et des deux cellules qui lui sont adjacentes. Chacune des cellules pouvant prendre deux états, il existe 2 3 = 8 configurations (ou motifs) possibles d un tel voisinage. Pour que l automate cellulaire fonctionne, il faut définir quel doit être l état, à la génération suivante, d une cellule pour chacun de ces motifs.

Cours de modélisation et simulation p. 61/64 Automate cellulaire unidimensionnel Considérons l automate cellulaire défini par n = 22 états binaires (X = {0, 1} 22 ) où x i (0) = { 0 i 11 1 i = 11, i = 1,...,22 et où la règle d évolution est donnée par x i 1 (t) x i (t) x i+1 (t) x i (t + 1) 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

Cours de modélisation et simulation p. 62/64 Automate cellulaire unidimensionnel (II) L état à l instant j est représenté par la jème ligne. L évolution temporelle avance du haut vers le bas

Cours de modélisation et simulation p. 63/64 Jeu de la vie Le jeu de la vie est un automate cellulaire bidimensionnel où chaque cellule peut prendre deux valeurs (0 et 1, qui dénotent la vie et la mort, respectivement) et où son état futur est déterminé par son état actuel et par le nombre de cellules vivantes parmi les huit qui l entourent. Une règle simple de transition est 1. Si la cellule est vivante et entourée par deux ou trois cellules vivantes, elle reste en vie à la génération suivante, sinon elle meurt. 2. Si la cellule est morte et entourée par exactement trois cellules vivantes, elle naît à la génération suivante. Il est intéressant de remarquer que ces deux règles, même fort simples, font émerger une dynamique inattendue à partir d une condition initiale aléatoire.

Cours de modélisation et simulation p. 64/64 Jeu de la vie (II) 20 20 40 40 60 60 80 80 100 100 120 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120