Approche inverse pour la restauration de l information cristallographique

Approche inverse pour la restauration de l information cristallographique Ferréol Soulez INSA CNDRI, Centre de Quantimétrie Lyon 1 1 / 19

Principe 2 / 19

Diffraction des rayon X Diffraction des rayons X Source x y S z θ Objet O Diffraction d une poudre cristalline : Loi de Bragg ( θ 2 n d (h k l) sin = λ 2) D Détecteur d (h k l) distance inter-réticulaire (caractéristique du cristal), n entier. En théorie : on observe des photons que pour des couples (λ, θ) correspondant aux caractéristiques du cristal. Applications :Spectrographie Variation de θ (ADXRD), λ fixe, rotation du détecteur. Variation de λ (EDXRD), détecteur résolu en énergie. 3 / 19

Modèle physique Energy Dispersive X Ray Diffraction Source S α 1 α x z y α 2 Objet B O θ A Ouverture angulaire des collimateurs brouillage du spectre, Convolution variant avec E : y(e) = h(e, E ) x(e ) de D L l Détecteur 4 / 19

Modèle physique Modèle physique, poudre cristalline Modèle de formation : z = R (a s (H x + f) ) +b. 2 1 5 1 15 x : Diagramme de poudre de la matière (en kev). C est ce que l on cherche à estimer, H : Réponse du montage (estimée numériquement), f : spectre du fond (à déterminer), s : spectre de la source, a : atténuation dans l objet, R : Réponse du détecteur (convolution en énergie), b : Bruit (comptage + bruit détecteur + modèle), z : Mesures. 5 / 19

Modèle physique Modèle physique, poudre cristalline Modèle de formation : z = R (a s (H x + f) ) +b. 6 4 2 5 1 15 x : Diagramme de poudre de la matière (en kev). C est ce que l on cherche à estimer, H : Réponse du montage (estimée numériquement), f : spectre du fond (à déterminer), s : spectre de la source, a : atténuation dans l objet, R : Réponse du détecteur (convolution en énergie), b : Bruit (comptage + bruit détecteur + modèle), z : Mesures. 5 / 19

Modèle physique Modèle physique, poudre cristalline Modèle de formation : z = R (a s (H x + f) ) +b. 6 4 2 5 1 15 x : Diagramme de poudre de la matière (en kev). C est ce que l on cherche à estimer, H : Réponse du montage (estimée numériquement), f : spectre du fond ( à déterminer), s : spectre de la source, a : atténuation dans l objet, R : Réponse du détecteur (convolution en énergie), b : Bruit (comptage + bruit détecteur + modèle), z : Mesures. 5 / 19

Modèle physique Modèle physique, poudre cristalline Modèle de formation : z = R (a s (H x + f) ) +b. 15 1 5 5 1 15 x : Diagramme de poudre de la matière (en kev). C est ce que l on cherche à estimer, H : Réponse du montage (estimée numériquement), f : spectre du fond (à déterminer), s : spectre de la source, a : atténuation dans l objet, R : Réponse du détecteur (convolution en énergie), b : Bruit (comptage + bruit détecteur + modèle), z : Mesures. 5 / 19

Modèle physique Modèle physique, poudre cristalline Modèle de formation : z = R (a s (H x + f) ) +b. 5 5 1 15 x : Diagramme de poudre de la matière (en kev). C est ce que l on cherche à estimer, H : Réponse du montage (estimée numériquement), f : spectre du fond (à déterminer), s : spectre de la source, a : atténuation dans l objet, R : Réponse du détecteur (convolution en énergie), b : Bruit (comptage + bruit détecteur + modèle), z : Mesures. 5 / 19

Estimation du diagramme de poudre 6 / 19

Approche inverse Approche inverse 2 vecteurs à estimer : Diagramme de poudre x, fond continu f. Modèle de formation : y = R (a s (H x + f) ) 7 / 19

Approche inverse Approche inverse Modèle de formation : y = R (a s (H x + f) ) A priori Diagramme de poudre x x est composé des quelques pics très importants. Fond f f est relativement lisse et de moyenne faible. Régularisation pénalisation par x 1. (Parcimonie) Régularisation pénalisation par f 2 2. Positivité 7 / 19

Approche inverse Approche Maximum A Posteriori (MAP) Solution {x +, f + } qui minimise une fonction de coût : {x +, f + } = arg min R (a s (H x + f) ) y 2... {x f} W } {{ } attache aux données + µ 1 x 1 1 + µ 2 f 2 } {{ } 2 a priori Bruit de Poisson Bruit gaussien non-stationnaire 1 w E = γ max(z E, ) + σ 2 si z E est mesuré, b sinon. 8 / 19

Résultats données réelles Échantillon de graphite, détecteur germanium Mesures 2 Restauration 15 1 5 5 1 15 sin(.5 θ) h c Résultats en transfert de quantité de mouvement : x = E Estimation 1.47 2.33 2.41 ND 2.95 3.14 4.2 ND 4.45 Théorie 1.48 2.34 2.45 2.76 2.96 3.21 4.5 4.31 4.44 Position théorique et estimée des pics en nm 1. indique deux harmoniques du pic à 1.48 nm 1. 9 / 19

Résultats données réelles Échantillon de graphite, détecteur germanium Mesures 2 Restauration 2 15 15 1 1 5 5 5 1 15 5 1 15 sin(.5 θ) h c Résultats en transfert de quantité de mouvement : x = E Estimation 1.47 2.33 2.41 ND 2.95 3.14 4.2 ND 4.45 Théorie 1.48 2.34 2.45 2.76 2.96 3.21 4.5 4.31 4.44 Position théorique et estimée des pics en nm 1. indique deux harmoniques du pic à 1.48 nm 1. 9 / 19

Résultats données réelles Échantillon de NaCl, détecteur Germanium Mesures Restauration 4 2 5 1 15 sin(.5 θ) h c Résultats en transfert de quantité de mouvement : x = E Estimation 1.52 1.79 1.92 2.5 3.5 3.7 3.98 Théorie 1.54 1.78 faux 2.51 2.94 3.8 3.87 Position théorique et estimée des pics en nm 1. Faux est pour fausse détection. 1 / 19

Résultats données réelles Échantillon de NaCl, détecteur Germanium Mesures Restauration 4 5 2 5 1 15 5 1 15 sin(.5 θ) h c Résultats en transfert de quantité de mouvement : x = E Estimation 1.52 1.79 1.92 2.5 3.5 3.7 3.98 Théorie 1.54 1.78 faux 2.51 2.94 3.8 3.87 Position théorique et estimée des pics en nm 1. Faux est pour fausse détection. 1 / 19

Résultats données réelles Échantillon de NaCl, détecteur CZT Mesures 8 Restauration 6 4 2 5 1 15 11 / 19

Résultats données réelles Échantillon de NaCl, détecteur CZT Mesures 8 Restauration 6 6 4 4 2 2 5 1 15 5 1 15 11 / 19

Reconstruction d une ligne de l objet 12 / 19

Principe Principe Source x z y Montage : Plusieurs détecteurs pointant sur différentes zones illuminées par le pinceau. Objectifs : Objet Mesurer toute la ligne en une seule acquisition, Super-résolution (si les zones se chevauchent), Voxels estimés plus petits. Détecteurs Principe : Même approche inverse prenant en compte toutes les mesures d un coup. 13 / 19

Simulation 19 cm Source x y z 27 cm 24 cm NaCl 12 voxels = 24mm 3 voxels Graphite = 6mm Object 3 voxels 3 voxels TNT = 6mm = 6mm NaCl 12 voxels = 24mm Montage : 5 détecteurs, 6 sources réparties sur 2mm, spectre source plat, 7 voxels/détecteur, voxels de 2mm 2mm 2mm. θ = 4.26 Scatter detectors 14 / 19

6 4 2 6 4 2 NaCl graphite TNT 6 4 2 5 1 15 6 4 5 1 15 2 5 1 15 5 1 15 Champ de vue détecteurs Detect. 3 Detect. 1 Detect. 4 Detect. 2 Detect. 5 1 2 NaCl Graphite TNT NaCl z depth in voxel 1 2 3 5 1 15

Simulation Approche Maximum A Posteriori (MAP) Solution {x +, f + } qui minimise une fonction de coût : {x +, f + } = arg min R (a s (H x + f) ) y 2... {x f} W } {{ } attache aux données + µ 1 x 1 1 + µ 2 f 2 2 + µ 3TV c (x) } {{ } a priori Vector valued Total Variation [Chan 21] TV c (x) = ( spatial x) 2. spatial spectral 16 / 19

Simulation Résultats Mélange simulé Depth position in voxel 1 2 3 Zone observée 3 momentum transfer (nm -1 ) 4 2 nm -1 2 1 1 2 3 Voxels 17 / 19

Simulation Résultats Mélange simulé Depth position in voxel 1 2 3 Mélange reconstruit Depth position in voxel 1 2 3 momentum transfer (nm -1 ) 4 2 momentum transfer (nm -1 ) 4 2 17 / 19

Conclusion 18 / 19

Conclusion Conclusion Modèle validé sur des données réelles, Bonne estimation des distances inter-réticulaires, Robuste aux bruits (bruit de photons, fond continu...). Perspective Valider la reconstruction d une ligne sur des données expérimentales, Estimer le produit spectre de la source fois atténuation, Utiliser les 16 pixels du détecteur CZT, Étendre au cas fan-beam. 19 / 19