5. e modèle de Bertrand En 1883, Joseph Bertrand a critiqué le modèle de Cournot en disant qu en pratique les firmes ne choisissent pas les quantités, mais les prix. Il propose le modèle alternatif: Etant donné la demande du marché D(p), i chaque entreprise choisi un prix p. e prix le plus bas attire les clients. es entreprises maximisent leur profit q i p i C i ( q i ), où i q est la demande pour l entreprise i. Question clé: comment Si les produits des entreprises ne sont pas differenciés et les clients sont bien informés par rapport aux prix, le modèle de Bertrand a une simple et forte prédiction. Pour rendre l argument simple, ajoutons une hypothèse: les deux entreprises en duopole ont des fonctions de coûts identiques: C(q) = cq. Alors, à l optimum, les deux entreprises vont choisir: p = c. i 1 2 q est déterminé? Pourquoi? Supposons que l entreprise 1 choisisse un prix 1 2 2 p > p et p > c. Alors, tous les clients vont aller à l entreprise 2, laissant l entreprise 1 avec un profit nul. entreprise 1 serait strictement mieux si elle offrait un prix légèrement plus faible que celui de l entreprise 2. Supposons que l entreprise 1 choisisse un prix 1 2 p < p. Elle serait strictement mieux si elle choisissait un prix légèrement plus élevé (mais toujours plus bas que le prix du concurrent). 3 Donc, les deux entreprises doivent à l optimum mettre un prix identique et partager le marché (chacune reçoit ½ D(p)). Mais si le prix qu elles demandent est plus grand que c, une des deux peut légèrement baisser son prix ce qui fait qu elle perd un tout petit peu sur chaque pièce vendue mais elle aura tout le marché. p 1 = p 2 = c Résultat: Seulement est possible avec ce genre de concurrence. 4 1
Equilibre de Bertrand avec biens identiques p 2, Price of Firm 2, $ per unit 1 5 45 line Firm 1 s best-response curve e Firm 2 s best-response curve Ce résultat est très différent de celui du modèle de Cournot! Avec Cournot, les entreprises font des profits positifs, et une situation de concurrence parfaite est seulement possible si le nombre d entreprises devient très grand. Avec Bertrand, seulement deux entreprises suffisent pour arriver à une situation de concurrence parfaite. 5 9.99 1 p 1, Price of Firm 1, $ per unit 5 6 Que faut-il penser de cela? Qu un marché fonctionne d après Cournot ou d après Bertrand dépend de l intensité de la concurrence (note: ceci ne se réfère pas au nombres d entreprises concurrentes!) Dans un grand nombre de marchés avec seulement peu d entreprises, elles font des profits positifs. Donc, Cournot semble plus plausible que Bertrand. Mais, dans certains marchés avec des biens homogènes, la concurrence est à la Bertrand. Exemple: instruments financiers et arbitrages entre avoirs financiers, où mise aux enchères de licences téléphoniques pour portables. e modèle de Bertrand est un bon cadre d analyse pour une investigation plus approfondie de biens différenciés. 7 8 2
6. e modèle de Stackelberg es modèles de Cournot et de Bertrand font l hypothèse que les entreprises sont sur un pied d égalité, aucune entreprise n a d avantage par rapport à l autre (à part probabalement des avantages de coûts); chacune prend le comportement de l autre comme une donnée. Mais souvent les entreprises ne sont pas symétriques: l une peut stratégiquement influencer l autre et l autre va prendre sa décision en regardant vers l entreprise e modèle de Stackelberg (Heinrich von Stackelberg, 1934) adapte le modèle de Cournot à cette perspective asymétrique. Idée principale: l entreprise dominante (leader) choisit en premier, ensuite c est l autre (follower) qui choisit. dominante. 9 1 e modèle de Stackelberg dans l exemple Swiss-ufthansa (vol Berlin-Genève) Après le débacle de Swissair, les passagers ont préféré voler avec ufthansa ( plus fiable, meilleure sit web,... ). Donc, en définissant les vols et prix en été 22, Swiss s est orienté vers la politique de ufthansa. ufthansa, par contre, a pu penser que Swiss allait s ajuster à sa politique (ce qui ne veut pas dire qu elle pouvait ignorer Swiss!). 11 Supposons que ufthansa choisit sa quantité en premier q, et ensuite Swiss S choisit q en fonction de q. En d autres mots: q S = R S ( q ), mais pas q = R ( q S ). q est choisi de sorte que les bénéfices de ufthansa soient maximisés, en prenant la réaction de Swiss comme donnée. 12 3
En formules: ufthansa maximise (1 3.33( q = (1 3.33( q = 35q 1.67(q ) S + R ( q + 15. 5q 2 )) q 3q ) q 3q demande résiduelle de ufthansa: 1 65 475 3 p D r MR r q S = 52.5 MC Solution: Q = 15, et donc: S Q = 52.5, p = 475. 13 best response de Swiss: 52.5 15 Q = 157.5 21 3 q S 15 15 21 D q q 14 Comparant les différents modes de concurrence: q S q Q p π S π S π +π CS Monopoly 15 15 65 36.7 36.7 18.4 Cournot 7 7 14 533 16.3 16.3 32.6 32.7 Stackelberg 15 52.5 157.5 475 18.4 9.2 27.6 41.3 Note: Profits and consumer surplus before fixed costs, in mill. CHF per year Bertrand 15 15 21 3 73.5 Perf. Compet. 15 15 21 3 73.5 15 Dernier chapitre: théorie des Jeux es modèles de Cournot, Bertrand, et Stackelberg sont des exemples d interactions stratégiques qui sont d une manière plus générale analysées en utilisant la théorie des jeux. En fait, notre analyse était déjà (plus ou moins) une analyse du style de la théorie des jeux. Cette section introduit brièvement la théorie plus générale qui a ses origines principalement chez John von Neumann et John Nash. 16 4
En 1928, von Neumann a donné la première description et analyse des jeux comme le poker et les échecs. En 1944, il a publié avec Oskar Morgenstern le livre The Theory of Games and Economic Behaviour. John Nash, dans sa thèse en 1949, a développé et caractérisé un modèle général de situations avec interactions stratégiques, qui englobait les analyses de von Neumann, Cournot, Bertrand, et a théorie développée par Nash est utilisée aujourd hui dans tous les domaines de l économie, en gestion de l entreprise, en sciences politiques et même en biologie. élément de base de la théorie de Nash est un jeu une situation stratégique, qui peut impliquer des entreprises en concurrence sur un marché, des individus en interaction dans une entreprise, des parties politiques lors de votations, ou des pays engagés dans une guerre pour donner quelques exemples. Stackelberg comme cas particuliers. 17 18 Un jeu est défini par: - un ensemble de n joueurs - pour chaque joueur i - un ensemble d actions X i - une fonction de payoff Π i Si chaque joueur i choisit une action x, i X i alors le payoff du joueur i est donnée par Π i ( x1,..., xn). Donc, le payoff de chaque joueur dépend de ce que tous les autres font, et l action de tout le monde influence le payoff de tout le monde. 19 2 5
Selon la nature dynamique de l interaction on distingue entre deux types de jeux: un jeux in normal form : les joueurs choissisent leurs stratégies simultanément un jeux in extensive form : les actions se passent d une manière séquentielle. Dans la version la plus simple du jeux in extensive-form, les joueurs choisissent leurs actions l une après l autre. Mais il est possible d analyser des situations où quelques joueurs choisissent simultanément et ensuite d autres Exemples: 1. Modèle de Cournot: un jeux in normal form avec n joueurs, des ensembles d action (l ensemble de toutes les quantités possibles) = [, ), et des fonctions de payoff: n Πi( q1,...,qn ) = qip( q j) Ci(qi) j= 1 où p ( ) est la fonction de demande inverse. prennent leur décision etc... 21 22 X i 2. e modèle de Bertrand: un jeu in normal form avec n joueurs, ensembles d action (ensemble de tous les prix possibles) = [, ), et les payoffs: X i D(pi )pi C i(d(pi )) Πi(p1,...,pn) = αid(pi )pi C i( αid(pi )) α i if pi < min{p j; j i} if pi = min{p j; j i} if pi > min{p j; j i} où est la fraction de la demande totale desservie par l entreprise i si les clients sont indifférents entre i et son concurrent. 23 3. e modèle de Stackelberg: un jeux in extensive form avec 2 joueurs, les ensembles d action X i = [, ), et les fonctions de payoff comme dans le cas de Cournot. a extensive form du jeu est donnée par: q 1 q 2 1. Joueur 1 choisit, 2. Joueur 2 choisit. 24 6
4. Dilemme du prisonnier : deux suspects d un casse de banque majeur ont été arrêtés par la police et mis dans deux cellules distincts. a police a suffisamment d evidence pour inculper chacun pendant une année (pour un autre acte mineur). es deux ont le choix de trahir l autre ( betray ) ou de refuser de coopérer avec la police ( stay silent ). Si aucun n avoue, chacun aura une année en prison. 25 Si l un des deux coopère et l autre pas, celui qui a cooperé est liberé (peu d évidence plus une récompense pour la coopération) alors que l autre aura le maximum de 1 ans de prison. Si les deux coopèrent, ils seront coupables les deux, mais obtiennent une récompense pour coopération et vont terminer avec 8 ans de prison. 26 C est un jeu in normal form avec deux joueurs et des ensembles d action X i = { b, s}. es fonctions de payoff et tout le jeu peut être représenté par la matrice suivante: 1 betray silent 2 betray 8,8 1, silent,1 1,1 27 5. Entry deterrence: Une entreprise ( incumbent ) domine le marché qui est suffisament grand pour qu un duopole puisse produire à bénéfices positifs. Une deuxième entreprise ( entrant ) est prête à entrer sur le marché; les coûts d entrée sont de 1. es bénéfices du duopole sont de 2 par entreprise, les bénéfices du monople sont 5. Si l entrant entre, l incumbant a le choix entre un comportement aggressif (querre des prix, publicité intensive, ) et un comportement passif. 28 7
Avec un comportement passif, les deux entreprises gagnent des bénéfices de duopole. Avec un comportement aggressif, les deux font un bénéfice de (l entrant ne sert pas de clients et l incumbent garde ses clients, mais fait un bénéfice de ). incumbent annonce s il va être aggressif si le nouveau entre. entrant doit décider si il veut entrer sur le marché (e) ou rester dehors (o=out). 29 C est un jeu in extensive form avec 2 joueurs, I et E, et les ensembles d action X I = { a, p}, X E = { e, o}. extensive form est donnée par: 1. E choisit x E, 2. I choisit x I. es fonctions payoff peuvent être écrites explicitement en utilisant la description cidessus. Une manière plus pratique de les décrire (tout le jeu) est par un abre: 3 Arbre du jeu entry deterrence E e o e concept de résolution le plus important est celui de l équilibre de Nash. e comportement de tous les joueurs constitue un équilibre de Nash (NE) si le comportement de tous les joueurs est optimal étant donné le comportement de tous les autres. a 1 I p 2 1 5 31 * * Dans un jeu normal-form : ( x, x2,..., x * un équilibre de Nash si maximise * 1 n * * * * Πi (x1,..., x i 1, x i, x i + 1,..., x n ) en fonction de x i pour tous les i. x i ) est 32 8
Dans un jeu extensive-form, une autre hypothèse est souvent utilisée. Cette hypothèse concerne la structure dynamique de l interaction et assure que l action de chaque joueur soit optimale étant donné l avancement du jeu. a solution est appelé équilibre de Nash parfait, et la procédure pour obtenir la solution (résoudre le jeu à l envers depuis le noeud final vers le noeud initial) s appelle backward induction. 33 Dans l exemple du modèle de Stackelberg (expl. 4), backward induction a été utilisé: d abord étudier le comportement optimal du last mover (Swiss) pour toutes les actions possible du first mover (c.-à-d.: trouver la fonction de réaction du second mover), ensuite trouver le comportement optimal du first mover (sachant comment le second mover va réagir). Donc, la solution que nous avons trouvée dans l exemple Swiss-ufthansa est un équilibre de Nash parfait. 34 Dans l exemple de entry deterrence (expl. 5), un équilibre de Nash parfait est trouvé ansi: 1. Si l entrant entre, l incumbent (qui bouge en dernier) ne sera pas agressif, parce que être aggressif donne alors que rester calme donne 2. 2. Donc, à la première étape du jeu, l entrant va entrer sur le marché. Remarque: l incumbent à tout intérêt à prétendre qu il serait agressif. Et si l entrant le croit, l incumbant serait chanceux. Mais ce genre de menaces ne sont pas crédibles: l entrant devrait comprendre qu une fois entré, l incumbent ne va pas agir selon son annonce préalable. Un équilibre de Nash parfait évite l utilisation de ce genre de menaces non crédibles. 35 36 9
Equilibre de Nash en jeu normal-form : Dans l exemple du modèle de Cournot, l équilibre est un NE. De même pour l équilibre dans le modèle de Bertrand. Dans le dilemme du prisonnier il y a un NE qui est: (b,b). Notez que ce résultat qui est optimal du point de vue individuel n est pas optimal du point de vue social: le résultat (s,s) est supérieur au sens de Pareto. Donc dans le cadre d interactions stratégiques il n y a pas de garantie que l équilibre (basé sur actions privées) soit le bon choix pour la société. 37 1