Couplage mécanique des milieux continus/dynamique moléculaire

Transcription

1 Couplage mécanique des milieux continus/dynamique moléculaire MATHILDE BUGEL a, GUILLAUME GALLIÉRO b, JEAN-PAUL CALTAGIRONE a a. Laboratoire TREFLE, Université Bordeaux I, ENSCPB, 16 avenue Pey Berland, Pessac Cedex b. LFC, Université de Pau et des Pays de l Adour, Centre Universitaire de Recherche Scientifique BP Pau Cedex - France Résumé : Dans ce travail, nous présentons un schéma de couplage spatial et temporel entre les équations de Navier-Stokes (échelle macroscopique) et la dynamique moléculaire (échelle microscopique). Le couplage de ces deux approches est basé sur la décomposition de domaine de Schwarz. Dans cette méthode, le domaine d étude est décomposé en deux sous-domaines qui se recouvrent partiellement : un sous-domaine traité par dynamique moléculaire et l autre sous-domaine où les équations de Navier-Stokes en formulation incompressible sont résolues par la méthode des volumes finis. L échange d information entre les deux approches s effectue dans la zone de recouvrement, au travers d une variable d état, la vitesse. Cet échange est réalisé par l imposition de la vitesse d un sous-domaine à l autre, sous forme de conditions aux limites. La manière dont est effectué ce couplage, d un point de vue spatial et temporel, a été étudiée dans ce travail. Pour ce faire nous avons appliqué cette approche multi-échelles à quelques cas académiques de type écoulement de Couette mono et diphasique afin de montrer la faisabilité d une telle approche. Nous nous sommes en particulier intéressé à la phase d établissement des profils de vitesses. Dans le cas monophasique, les résultats obtenus sont en bon accord avec la solution analytique instationnaire. Cependant il existe un léger retard de la solution obtenue par la méthode hybride qui est probablement dû à l approche choisie pour le couplage temporel. Dans le cas diphasique, pour lequel le cisaillement est parallèle à l interface gaz-liquide, les résultats sont également cohérents avec la solution analytique. Il a néanmoins été noté qu au niveau de l interface la simulation hybride montrait un léger saut de vitesse dont l origine physique reste à préciser. Abstract : In this work, we present one scheme for coupling the Navier-Stokes set of equations with Molecular Dynamics. Among the existing alternatives to couple these two approaches, we have chosen to implement a domain decomposition algorithm based on the alternating Schwarz method. In this method, the flow domain is decomposed into two overlapping regions : an atomistic region described by molecular dynamics and a continuum region described by a finite volume discretization of the incompressible Navier-Stokes equations. The fundamental assumption is that the atomistic and the continuum descriptions match in the overlapping region, where the exchange of information is performed. The information exchange, through the overlapping region, requires the imposition of velocity from one sub-domain in the form of boundary conditions (Dirichlet)/constraints on the solver of the other subdomain and vice versa. The spatial coupling as well as the temporal coupling of the two approaches has been investigated in this work. To show the feasibility of such a coupling, we have applied the multiscale method to a classical fluid mechanics problem like one-fluid and two-fluid Couette flow. For this problem, the relaxation to the steady state has been studied carefully. In the case of the one-fluid Couette flow, the results obtained are in good agreement with the unsteady analytical solution. However, there is a smooth delay of the solution obtained by the hybrid method, probably due to the temporal coupling scheme chosen. In the case of the two-fluid Couette flow, for which the shear is parallel to the gaz-liquid interface, results are also in good agreement with the analytical solution. Nevertheless, at the interface, the hybrid simulation shows a velocity jump, for which we have still to find a physical interpretation. Mots clefs : milieu continu, dynamique moléculaire, décomposition de domaine, problèmes multiéchelles 1 Introduction A l échelle macroscopique, la mécanique des fluides numérique rencontre parfois des difficultés liées à une mauvaise modélisation des phénomènes physiques introduits. Ces faiblesses proviennent en particulier de l écriture des conditions aux limites et de la présence d interfaces. La simulation moléculaire, en outre la dynamique moléculaire, peut permettre de pallier certains de ces problèmes, en permettant de mieux appréhender les divers processus physiques, notamment aux interfaces. Le couplage d une démarche macroscopique à une 1

2 démarche microscopique, de manière directe ou indirecte, peut donc permettre d accéder à des informations que l une ou l autre de ces approches ne peut fournir seule, et ainsi d étudier des phénomènes complexes dans un temps raisonnable. Il existe deux grands types de couplage discret/continu permettant d échanger l information entre les deux approches. Le premier est basé sur l échange direct de flux [1], [2], alors que le deuxième est basé sur la méthode de décomposition de domaine de Schwarz avec échange de conditions de type Dirichlet [3], [4], [5]. Dans ce travail, nous avons mis en place une approche de simulation hybride en utilisant la méthode de Schwarz. Celle-ci permet d éviter l imposition direct de flux mais assure la continuité de ces derniers, dans la mesure où les coefficients de transport des deux approches correspondent dans la zone de recouvrement. Dans cette article, nous présentons les deux techniques de simulation ainsi que l approche choisie pour échanger l information entre les deux échelles. Nous abordons ensuite le couplage temporel, avant d appliquer notre méthode à l écoulement de Couette monophasique et diphasique instationnaire. Enfin, nous donnons les conclusions et perspectives de ce travail. 2 Théorie et approches employées 2.1 Décomposition de domaine : Méthode de Schwarz La méthode de Schwarz est une méthode itérative de décomposition de domaine. Ainsi un domaine noté Ω sera décomposé en deux régions se recouvrant partiellement : une région atomique Ω A décrite par la dynamique moléculaire, et une région continue Ω C décrite par la discrétisation en volumes finis des équations de Navier-Stokes, en formulation incompressible. La figure 1 représente la décomposition de domaine effectuée pour étudier l écoulement de Couette plan. Ω A (zone en gris, largeur L A ) et Ω C (deux parties) représentent respectivement les sous-domaines atomique et continu. Les limites du milieu continu sont notées Γ C (gras) alors que les limites du milieu atomique sont notées Γ A (en pointillés). La zone de recouvrement entre les deux approches a pour largeur L 0. Dans cette zone, les approches continue et discrète doivent être toutes les deux valides et correspondre entre elles. A chaque itération de Schwarz notée n, la vitesse du milieu continu, u n C calculée dans est Ω C à partir des conditions aux limites initiales Γ n C. La restriction de un C à Γn A donne la condition limite pour trouver u n A dans Ω A, ce qui donne alors la nouvelle condition limite Γ n+1 C pour l itération d après. A chaque itération, une solution cohérente est donc déterminée dans chaque région. La solution hybride stable est obtenue de manière implicite en utilisant les solutions stables de chaque domaine. L échange des conditions limites entre les deux domaines se fait en une itération, et la convergence est obtenue lorsque les solutions de chaque domaine sont identiques dans la zone de recouvrement. FIGURE 1 Schéma de principe de la méthode de décomposition de domaine de Schwarz, pour l écoulement de Couette plan. 2.2 Dynamique moléculaire La dynamique moléculaire permet de décrire le système là où la mécanique des milieux continus échoue. Elle consiste à faire évoluer au cours du temps un système de particules définies par leurs positions, leurs vitesses et leurs accélérations, et à décrire chaque particule en tenant compte des interactions avec ses voisines. Le calcul des forces d interaction entre les particules permet de déterminer l évolution des vitesses, et donc des positions, en utilisant les lois de la dynamique classique de Newton discrétisées : r i t = v i(t) (1) 2

3 v i m i t = F i = U(r ij ) (2) j i avec r i (x i, y i, z i ) la position de la particule i, v i (v xi, v yi, v zi ) sa vitesse, m i sa masse et U(r ij ) le potentiel d interaction entre les particules i et j. Le potentiel d interaction utilisé dans nos simulations est celui de Lennard-Jones : [ (σij ) 12 ( ) ] 6 U12 6(r LJ σij ij ) = 4ε ij (3) r ij r ij avec ε ij et σ ij la profondeur du puits de potentiel et le diamètre atomique. De plus, un rayon de coupure r c est défini, et représente la distance entre particules au-delà de laquelle les interactions ne sont plus prises en compte pour le calcul des forces. L écoulement de Couette plan étant unidirectionnel suivant x, nous avons imposé des conditions aux limites périodiques suivant cette direction. Les limites supérieure et inférieure du domaine sont assimilées à des murs, sur lesquels les particules se réfléchissent de manière spéculaire. Ainsi, les composantes de la vitesse normales au mur sont inversées, alors que les autres composantes ne sont pas affectées par l impact. Le mur joue le rôle de plan de symétrie, et les particules qui rebondissent dessus peuvent être vues comme des particules venant d un réservoir imaginaire de l autre côté du mur. Il est à noter que ces murs ne sont pas physiques, ils permettent seulement d éviter que les particules ne sortent de la boîte de dynamique moléculaire, afin de conserver le même nombre de particules dans celle-ci. Néanmoins, l ajout de ces murs à la simulation pose des problèmes de structuration du fluide. Pour obtenir un système plus homogène, nous avons introduit une force externe limitant cette structuration, comme proposé par Werder [5]. Cette force rend compte de l interaction des particules près du mur, avec celles du réservoir imaginaire. L imposition des conditions limites de C vers A est un véritable challenge et constitue à l heure actuelle le point le plus sensible d une telle méthode hybride discret/continu. En effet, il s agit de générer un état hors équilibre dans la région A qui concorde avec les contraintes hydrodynamiques que l on souhaite imposer. Pour ce faire, la boîte de dynamique moléculaire est découpée en sous-boîtes, centrées sur les noeuds du maillage macroscopique. Pour le problème de Couette, ce découpage n est effectué que suivant y, car le problème est périodique suivant x. Ainsi, l imposition des conditions limites au niveau microscopique se fait dans les sousboîtes 1 et NBY (extrémités de la boîte de DM). Pour imposer la vitesse de la région C aux particules des boîtes 1 et NBY, nous utilisons la méthode de constrained dynamics utilisée par Werder et al [5], O Connell et Thompson [6] et Nie et al. [7]. Dans cette méthode, la vitesse à imposer est formulée en terme de contrainte et introduite dans les équations du mouvement des particules, de la région à contraindre. Ainsi, dans cette région l équation du mouvement modifiée pour la particule i est la suivante : a i = F i m 1 N J m N J i=1 F i + Du J(t) Dt avec a i l accélération de la particule i et F i la force exercée sur celle-ci par les autres particules. N J est le nombre de particules se trouvant dans la sous-boîte J et u J (t) est la vitesse moyenne continue correspondant à cette sous-boîte. Toutefois, dans la zone à contraindre, les accélérations des particules sont modifiées avec un paramètre de relaxation. 2.3 Mécanique des milieux continus Dans le domaine continu, les équations résolues sont celles de Navier-Stokes, qui pour l écoulement de Couette plan, d un fluide visqueux, isotherme et incompressible, se ramènent à :.u = 0 (5) u = ν u (6) t où u est le champ de vitesse et ν la viscosité cinématique. Pour résoudre ces équations, nous utilisons le solveur AQUILON développé au laboratoire, basé sur la méthode des volumes finis. Les conditions limites imposées sur Γ C sont de type Dirichlet, avec des valeurs provenant du milieu moléculaire, u ΓC = u A ΓC. Le seul paramètre nécessaire à la simulation macroscopique est la viscosité cinématique du fluide. Pour déterminer cette dernière, nous utilisons une corrélation développée par Galliéro [8], et basée sur des résultats de simulation par dynamique moléculaire. Il est à noter que l algorithme hybride proposé ici s applique également aux cas avec inertie. (4) 3

4 L imposition des conditions limites de A vers C est un processus bien défini qui consiste à faire des moyennes spatiales et temporelles des valeurs de la vitesse microscopique. Ainsi, dans les sous-boîtes 2 et N BY 1, on calcule la vitesse moyenne des particules se trouvant dans ces sous-boîtes, au cours du temps, et on impose cette vitesse sur chaque noeud du maillage macroscopique correspondant. Si l on étudie un problème en régime stationnaire, cette vitesse moyenne est calculée après atteinte de cet état. Le système est donc mis à l équilibre pendant N eq pas de temps puis on fait les calculs de la vitesse moyenne sur les N m pas de temps suivants. Ces nouvelles conditions limites macroscopiques sont alors utilisées pour déterminer la nouvelle solution macroscopique. Si l on étudie le régime transitoire d un problème, la vitesse moyenne sera calculée dès le premier pas de temps, il n y a pas de mise à l équilibre du système. Cependant, il est important de bien choisir le schéma de couplage temporel utilisé, afin d éviter un décalage en temps des deux solutions microscopique et macroscopique. 2.4 Couplage temporel Lorsque l on s intéresse à la solution stationnaire d un problème, les échelles de temps macroscopique et microscopique sont découplées. En effet, il s agit de faire évoluer le système dans le milieu continu jusqu à atteinte de l état stationnaire, d imposer les contraintes au niveau moléculaire, et de faire évoluer le système dans cette région jusqu à atteinte de l état stationnaire. On effectue alors les moyennes spatio-temporelles, puis on renvoie l information à la région continue pour l itération Schwarz suivante. Il n y a donc pas besoin d avoir une correspondance entre les pas de temps des deux approches. Lorsque l on étudie le régime transitoire d un écoulement, les échelles de temps macroscopique et microscopique ne peuvent être découplées. Ainsi il convient de trouver un schéma de couplage temporel adapté, afin d avoir une correspondance entre les pas de temps macroscopique t C et microscopique t A. Le schéma de couplage que nous avons adopté ici est représenté sur la Figure 2. C est avancé jusqu à t= t C en utilisant les conditions initiales. L échange de C vers A se fait alors à t= t C et la contrainte est appliquée à chaque pas de temps de la dynamique moléculaire. A est alors avancé au même temps ( t C = t m =k t A, avec k le nombre de pas de temps au niveau dynamique moléculaire). On effectue alors la moyenne de l information moléculaire sur l intervalle t m et on échange celle-ci de A vers C. Ceci donne alors la nouvelle condition limite pour faire avancer C jusqu à t C. Tout ce processus représente une itération de Schwarz. On continue alors l échange entre A et C pour faire plusieurs itérations de Schwarz, jusqu à convergence dans la zone de recouvrement. A la fin des itérations Schwarz, C est avancé d un nouveau pas de temps et le processus recommence. Il est important de remarquer que ce schéma engendre un retard de t m /2 pour la résolution dans C. Toutefois, plus on choisit k petit et moins le retard est important, mais moins la précision sur les valeurs est grande (fluctuations au niveau microscopique). FIGURE 2 Schéma de couplage temporel de notre méthode hybride. 3 Résultats 3.1 Couette monophasique La méthode hybride décrite précédemment a d abord été appliquée à l écoulement de Couette monophasique. Ce cas classique de la mécanique des fluides est souvent utilisé pour valider une méthode hybride [2], [4], [7], [9]. Les paramètres utilisés dans nos simulations sont les suivants : la densité ρ = 0, 8mσ 3 (liquide), la température du fluide est maintenue constante T = 1ɛ/k B, le rayon de coupure r c = 2, 5σ, le temps caractéristique τ = (mσ 2 /ɛ) 1/2, avec m la masse du fluide, la viscosité du fluide µ = 2, 02ɛτσ 3. A t = 0, le mur du haut en y = H = 102, 6σ est mis en mouvement à une vitesse u m = 0, 64(ɛ/m) 1/2 dans la direction x, et celui du bas en y = 0 à une vitesse de -0, 64(ɛ/m) 1/2, voir Figure 1. La taille du domaine suivant x est de 5, 13σ, avec des conditions périodiques suivant cette direction. Dans notre méthode hybride, le domaine de simulation, 0 x 5,13σ et 0 y H, est divisé en deux régions, avec la boîte de dynamique moléculaire au milieu du domaine. La largeur de cette boîte est de 51,3σ et la largeur de la zone de recouvrement est de 15,39σ, voir Figure 1. Le nombre de particules simulées est égal à Le pas de temps utilisé au niveau 4

5 moléculaire est t A = 0, 002τ, tandis que dans la région continue on utilise t C = t A = 20τ. La simulation hybride a été effectuée pendant 600τ pour atteindre l état stationnaire. La Figure 3 montre les profils de vitesse pour l écoulement de Couette obtenus avec notre méthode hybride et avec la solution analytique du problème. Les résultats de la méthode hybride sont en bon accord avec la solution analytique, cependant on observe un léger retard de la solution numérique par rapport à la solution analytique. Ceci est probablement dû à notre schéma de couplage temporel comme cela a été évoqué précédemment. FIGURE 3 Profils de vitesse du problème de Couette monophasique instationnaire pour différents temps : les lignes représentent la solution analytique et les symboles représentent les résultats de simulation de la méthode hybride. 3.2 Couette diphasique Dans un second temps, nous avons appliqué notre méthode hybride à l écoulement de Couette diphasique instationnaire, avec une interface liquide/vapeur parallèle aux murs. A notre connaissance il n existe aucun travail de couplage sur ce cas. Les paramètres utilisés dans nos simulations sont les suivants : la densité du liquide ρ L = 0, 667mσ 3, la densité du gaz ρ G = 0, 0405mσ 3, la température du système est maintenue constante T = 1ɛ/k B, le rayon de coupure r c = 3, 5σ, le temps caractéristique τ = (mσ 2 /ɛ) 1/2, la viscosité du liquide µ L = 1, 05ɛτσ 3, la viscosité du gaz, µ G = 0, 12ɛτσ 3. La décomposition de domaine est la même que pour l écoulement de Couette monophasique, seules les dimensions changent. La hauteur du domaine hybride est de H = 188, 6σ, le liquide occupant la région 0 y 90, 84σ et le gaz le reste du domaine. La largeur de la boîte de dynamique moléculaire est de 94,3σ et la largeur de la zone de recouvrement est de 18,9σ. La taille du domaine suivant x est de 9, 08σ, avec des conditions périodiques suivant cette direction. Le nombre de particules simulées est égal à 2660 (2500 particules en phase liquide et 160 en phase gaz). Le pas de temps utilisé au niveau moléculaire est t A = 0, 002τ, tandis que dans la région continue on utilise t C = t A = 200τ. Le schéma de couplage temporel utilisé est toujours le même. La simulation hybride a été effectuée pendant 6000τ pour atteindre l état stationnaire. La Figure 4 montre les profils de vitesse pour l écoulement de Couette diphasique obtenus avec notre méthode hybride et avec la solution analytique du problème instationnaire. Les résultats de la méthode hybride sont en bon accord avec la solution analytique, cependant on observe un léger saut de vitesse à l interface entre liquide et gaz. L interprétation physique de ce saut de vitesse reste encore à préciser. 4 Conclusions et perspectives Dans ce travail, nous avons développé une méthode hybride permettant de coupler directement la mécanique des milieux continus et la dynamique moléculaire. Cette méthode est basée sur la décomposition de domaine de Schwarz, avec un échange de l information au travers de la vitesse locale. Afin de traiter les problèmes instationnaires, nous avons mis en place un schéma de couplage temporel. Ce dernier permet d obtenir des résultats satisfaisants, cependant des améliorations sont encore à mettre en oeuvre pour éliminer le retard potentiel lors de l échange de l information d une approche à l autre. Notre méthode hybride a été validée sur le problème de Couette monophasique et diphasique instationnaires. Les résultats obtenus par la méthode hybride sont en bon accord avec les solutions analytiques de ces deux problèmes. Un léger retard des résultats de simulation sur la solution analytique a néanmoins été noté. De plus, nous avons obtenu dans le cas diphasique un léger saut de vitesse à l interface liquide/vapeur (traitée 5

6 FIGURE 4 Profils de vitesse du problème de Couette diphasique instationnaire pour différents temps : les lignes représentent la solution analytique du problème et les symboles représentent la méthode hybride. Linterface liquide/vapeur est située autour de y/h = 0, 5. par dynamique moléculaire), dont la signification physique reste encore à préciser. D autre part, la méthode hybride sera appliquée à des cas instationnaires avec interface fluide/solide tel que le second problème de Stokes. Références [1] Delgado-Buscalioni R. and Coveney P. Hybrid molecular-continuum fluid dynamics. Philosophical Transactions of the Royal Society A : Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 362(1821), , [2] Flekkøy E., Wagner G., and Feder J. Hybrid model for combined particle and continuum dynamics. Europhysics Letters, 52(3), , [3] Hadjiconstantinou N. and Patera A. Heterogeneous atomistic-continuum representations for dense fluid systems. International Journal of Modern Physics C, 8(4), , [4] Wijesinghe H. and Hadjiconstantinou N. A hybrid atomistic-continuum formulation for unsteady, viscous, incompressible flows. Computer Modeling in Engineering and Sciences, 5(6), , [5] Werder T., Walther J. H., and Koumoutsakos P. Hybrid atomistic-continuum method for the simulation of dense fluid flows. Journal of Computational Physics, 205(1), , [6] O Connell S. and Thompson P. Molecular dynamics-continuum hybrid computations : A tool for studying complex fluid flows. Physical Review E, 52(6), [7] Nie X., Chen S., E W., and Robbins M. A continuum and molecular dynamics hybrid method for microand nano-fluid flow. Journal of Fluid Mechanics, (500), 55 64, [8] Galliéro G., Boned C., and Baylaucq A. Molecular dynamics study of the lennard-jones fluid viscosity : Application to real fluids. Industrial and Engineering Chemistry Research, 44(17), , [9] Wang Y. and He G. A dynamic coupling model for hybrid atomistic-continuum computations. Chemical Engineering Science, 62(13), ,