THE ASTIN BULLETIN PUBLICATION OF THE ASTIN SECTION OF THE PERMANENT COMMITTEE FOR INTERNATIONAL ACTUARIAL CONGRESSES VOL. I, PART III APRIL 1960

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1 THE ASTIN BULLETIN PUBLICATION OF THE ASTIN SECTION OF THE PERMANENT COMMITTEE FOR INTERNATIONAL ACTUARIAL CONGRESSES VOL. I, PART III APRIL 1960

2 CONTENTS lye Editorial Notes x Summaries Une m~thode pour calculer une ristourne ad6quate pour ann6es sans sinistres par F. Bischel xo6 Th6orie du bonus par Ed. Franckx II3 Automobile Insurance: Canadian Accident-Free Classification System by D. B. Martin I23 The Swedish System of Bonus by Carl Philipson..... I34 Contribution h l'6tude du bonus pour non sinistre enassurance automobile par P. Thyrion I42 Sec~,~ary and Editor: R. E. BEARD, 252 High Holborn, London W. C. I, England.

3 EDITORIAL NOTES 252, High Holborn, London XV.C..I April 196o As reported in the ASTIN Bulletin (Vol. I, p. 43) the Institut des Actuaires Fran~ais arranged a colloquium at La Baule on the subject of "No claim discount in insurance, with particular reference to Motor business". The French Institute invited members of ASTIN to take part and more than 50 actuaries from various countries took part in the discussions Which extended over the two days, Ilth and I2th June The programme was arranged in four sessions, at which specific aspects of the main subject were discusooed. Altogether ten papers were submitted for discussion at the colloquium and subsequently a further paper by E. Franckx was circulated to those attending. The full programme and the papers discussed were as follows : Thursday, Ilth June-9.3o a.m. Introduction by Marcel Henry, Pr6sident de l'institut des Actuaires Fran~ais. First business session; Chairman: Dr. P. Johansen. "Theory of no claim bonus and its stochastic processes". Paper: Professor M. Frechet Thursday, Ilth June-2.3o p.m. Second business session; Chairman: Prof. M. Frechet. "Study of no claim bonus by mathematical statistics: insured populations, distribution law of claims, mathematical expectation of cost of bonus, theoretical conditions of efficacy of bonus." Papers: P. Thyrion, F. Bichsel, P. Delaporte Friday, I2th June-9.3 o a.m. Third business session; Chairman: Sir George Maddex. "Application of no claim bonus to a motor portfolio-observed results". Papers: P. Depoid, C. Philipson, D. B. Martin, Friday, I2th June-2.3o p.m. Fourth business session; Chairman: Prof. E. Franckx. "Political and administrative aspects of no claim bonus". Papers: J. Sousselier, J. L. Frangois, A. Th6paut. Friday, I2th June-4.3o p.m. Closing session ; summarised by P. Delaporte; Closing remarks by M. Henry.

4 92 EDITORIAL NOTES The full text of the papers by Frechet, Delaporte, Depoid and Th6paut have been published in the Bulletin de l'institut des Actuaires Fran~ais and the papers by Sousselier and Francois in the Bulletin de l'association des Actuaires Diplom6s de l'institut de Science Financi~re & d'assurances. Copies of these are being sent to all ASTIN members. The remaining papers are published in this issue of the ASTIN Bulletin together with summaries in English and French of all the papers submitted. A brief report by R. E. Beard on the colloquium was published in the "Quarterly Letter" Vol. VII, 3rd Quarter I959, and a rather more lengthy report by H. Ammeter was published in the "Mitteilungen der Vereinigung schweizerischer Versicherungsmathematiker", Part 2, Copies of these two reports are also being sent to all members. As announced in Part II of the ASTIN Bulletin, a meeting of ASTIN members has been arranged during the 16th International Congress and Friday, I7th June, has been set aside for this purpose. The subject of the meeting will be a continuation of the discussions at La Baule; it is hoped that useful further points will arise from contributions from those who were lmable to join in the earlier discussions The meeting in Brussels marks a further stage in the development of ASTIN and recommendations for the membership of the committee elected in New York in November 1957 will be placed before the members. It is interesting to look back to the records of the i3th Congress held in Scheveningen in 1951 when, following the suggestion of E. E. B. Eldridge, a "private meeting" was held to discuss the subject of Excess of Loss Reinsurance. Four papers were read to an unexpectedly large meeting, the authors being 1R. E, Beard, E. E. B. Eldridge, B. H. de Jongh and B. Monic. Three years later in Madrid, H. Ammeter read a paper on Collective Risk Theory in Non-Life Insurance and I. Sternberg a paper on The fire frequency in relation to working hours within Industry, the audience again being actuaries interested in non-life subjects. In New York the organising committee recognised the growing interest and one of the subsidiary subjects of the Congress was devoted to non-life matters, fourteen papers being submitted. Members of ASTIN particularly interested in Aviation insurance will be interested to hear of the formation of Advanced Study Group No. 166 of the Insurance Institute of London. The subject of the Group's activity is "What statistics would be used in Aviation insurance rating?" and the Secretary of the Group, Mr. B. G. Noble, A.C.I.I., A.M.C.I.B., would be pleased to hear from any members of ASTIN who could help them in their studies.

5 SUMMARIES OF PAPERS PRESENTED AT LA BAULE, Ii th & i2tb JUNE 1959 A Method [or Calculating an Adequate Re[und/or Years u~ithout Claims by F. BICHSEL, Switzerland. In this paper a method is given for calculating an adequate refund for years without claims on the basis of random drawings. The method makes use of the compound Poisson distribution with the Gamma distribution as the structural function. Une Mdthode pour Calculer une Ristourne Addquate pour Anndes sans Sinistres par F. BICHSEL, Suisse. Une m6thode est donn6e clans ce travail pour calculer une ristourne adequate pour ann6es sans sinistres sur la base de tirages au sort. La m6thode fait usage de la distribution de Poisson compos6e avec la distribution I' comme fonction structurelle. Some Problems of Mathematical Statistics Posed by Motor Insurance and no Claim Bonus by P. DELAPORTE, France. In motor insurance the tariff includes some criteria which serve to differentiate risks, but the vehicles of a given tariff group do not all have a frequency equal to the average frequency of the class. The theoretical frequencies of the vehicles of a class have a bell-shaped distribution. The author gives the probability law of the numbers of claims equal to S'. These probabilities are less concentrated than those of the Poisson law applied to the average frequency of the class. The consequences on the real cost of no claim bonus are then inferred as being always greater than the value calculated by the Poisson law. The author concludes by showing: that the normal frequency of a tariff class is that of the maximum or mode of the curve (and not the average frequency); that the dispersion of the frequencies around the mode measures the quality of the distinctive criterion of the tariff class; that the deviation between mode and mean frequency of the class shows by how much to increase the normal tariff to take account of the poor discrimination between tariff classes. Quelques problkmes de Statistique Mathgmatique pos6s par l'assurance Automobile et le bonus pour non sinistre par P. DELAPORZE, France. En assurance Automobile le tarif retient quelques crit~res servant A la differentiation des risques, mais les voitures d'une m~me classe du tarif n'ont pas toutes une fr~quence 6gale A la fr~quence moyenne de la classe. Les fr~quences th~oriques des voitures d'une classe ont une distribution en' forme de courbe en cloche. L'auteur donne la loi de probabilit6 des hombres de sinistres dans l'ensemble d'une classe et les probabilit6s d'observer un hombre S' de sinistre~.

6 94 SUMMARIES Ces probabilit6s sont moins concentr~es que celles de la loi de Poisson appliqu6e k la fr6quence moyenne de la classe. On en tire alors des cons6quences sur le coflt r6el du bonus pour non sinistre, toujours sup6rieur ~ la valenr calcul6e par la loi de Poisson. L'auteur conclut en montrant: que la fr6quence normale d'une classe d'un tarif est celle du maximum on mode de la courbe (et non la fr6quence moyenne); que la dispersion des fr6quences autour du mode mesure la qualit6 du crit~re de distinction de la classe du tarif; que l'~cart entre mode et fr6quence moyenne de la classe montre de combien on doit augmenter le tarif normal pour tenir compte de la mauvaise discrimination entre classes du tarif. Study o] the Frequency and of the No-Claim Bonus in a Port[olio "Tous Risques Moderne" by P. OEPOlD, France. The study relates to provincial "Tous Risques Moderne" contracts (one contract for each vehicle) underwritten by the Company La Prevoyance from 1954 to After examination of the general results shown in regard to frequency and of the proportions of the bonus granted, the results of a first examination affected in November I956 and of a recent more complete inquiry concerning the experience during 3 1/2 years of 1513 contracts underwritten during the first six months of 1955 were analysed. The results of the "Tous Risques Moderne" contract considered from the point of view of frequency of claims or of the proportion of contracts having the right to bonus show a clear improvement in course of time. A more thorough study clearly shows the lack of homogeneity of the portfolio: it can be definitely considered that almost 3/4 of the vehicles insured (I lo 3 out of 1513 in our example) have a normal frequency. The corresponding contracts are durable: more than 3/4 are still in force after 3 years (85 out of 11o3). The remainder can be divided in 2 categories: 20% of contracts show a frequency double the normal and 7% of contracts are abnormally bad with a frequency four times the normal. They disappeared either due to the initiative of the Insured or following close attention to the risks by the Insurer. Furthermore, it emerges that a contract not showing any claim during one or more years can expect a definite reduction of frequency, increasing with the importance of the rate of the bonus attained. Etude de la Frequence et de la Bonification pour non Sinistre dans un Porte]euille,,Tous Risques Moderne'" par P. ])EPOID, France. L'6tude porte sur les contrats,,tous Risques Moderne" Province (6tablis raison d'un contrat par v6hicule) souscrits par la Compagnie La Prevoyance de 1954 ~ Apr+s examen des r6sultats g6n~raux enregistr6s en mati~re de fr~quence et des proportions de bonification accord6es, on a analys~ les r6sultats d'un premier d6pouillement effectu6 en Novembre 1956 et d'une enqu~te r6cente plus compl+te portant sur le comportement pendant 3 ans i/2 de 1513 contrats souscrits au cours du Ier semestre Les r6sultats de l'assurance,,tous Risques Moderne", consid6r6s du point de rue de la fr6quence des sinistres ou de la proportion des contrats ayant droit tt bonification, font apparattre une nette am61ioration au cours du

7 SUMMARIES 95 temps. Une 6rude plus approfondie met en 6vidence le manque d'homog6n6it6 du portefeuille : on peut valablement consid6rer que prbs des 3/4 des v6hicules assur6es (iio 3 sur I513 dans notre exemple)ont une fr6quence normale. Les contrats correspondants sont stables: plus des 3/4 sont encore en vigueur apr~s 3 ans d'assurance (85o sur IXO3). Le surplus peut 6tre divis6 en 2 cat6gories: 2o% de contrats pr6sentant une fr6quence double de la normale et 7% de contrats anormalement graves avec une fr6quence quadruple de la normale. Ils s'61iminent rapidement, soit ~ l'initiative de l'assur6, soit grace ~ une bonne surveillance des risques par l'assureur. D'autre part, le fait pour un contrat de ne pas supporter de sinistre pendant une ou plusieurs ann6es entraine une sensible r6duction de fr6quence, croissante avec l'importance du taux de bonification atteint. Bonus and Extra Premium in Motor Insurance, Their e][ect on administrative processes with particular re[erence to billing operations by J. L. FRAN9OIS, France. In accordance with the subjects assigned to the fourth session, this paper is mainly devoted to the effect of bonus or extra premium as a result of claims, on the administrative operation of insurance companies, all other aspects assumed to be settled. The need to give this paper an objective both accurate and limited and at the same time topical, automatically leads to the use as a basis of discussion of the clause proposed by the French Ministry of Insurance in their research into a technical amendment of tariffs. The analysis of its terms brings out the compexity of the tests necessary for it to be applied to premium billing: period of reference for checking claims; definition of the claims which might affect the liability of the policyholder; circumstances disclosed during the handling of claims which are liable to have a retrospective effect on premium calculations. A concrete example makes the complexity clear. Various uncertainties nevertheless remain, particularly in the case of multiple line policies on single vehicles, policies covering several vehicles, the type of settlement to be taken into account for suppression of bonus or for application for extra premium and the consequences, especially financial ones, of the interpretation clause. The administrative processes and the departments affected by the application of the proposed formula are determined by the preceding analysis and the assumptions mentioned above. Nevertheless, the heaviest and most constant charges certainly fall upon the departments concerned with premium calculation and billing operations. The third part of the paper is, therefore, devoted to an attempt at estimating these charges under the following assumptions: a company having punched card equipment available (either wholly mechanised or partly manual); a company having a powerful electronic data-processing machine available. The costs brought out, even though very approximate show the need for seeking a simplification of the clause which should, in the ultimate, be beneficial to both insurers and policyholders,

8 96 SU MMARIES Bonification et Penalisation de la Prime en Assurance Automobile, Leur incidence sur les opgrations administratives de gestion et, plus spdcialement, de quittancement par J. L. FRAN9OIS, France. Conform6ment A l'objectif assign6 ~ la 4~me Commission, cette &ude est essentiellement consacr6e ~ l'incidence des clauses de Bonification ou Penalisation des Primes en fonction des sinistres, sur Ies Operations Administratives des Compagnies d'assurance, tousles autre~ aspects &ant supposes r6gl~s. La n~cessit6 de donner ~ l'expos6 un objet ~ la fois pr6cis et limit6, en m~me temps qu'actuel, a fait retenir comme base de discussion la clause propos~e par le Minist~re de Tutelle de l'assurance fran~aise k l'occasion de la recherche d'un,,am6nagement technique des tarifs". L'analyse de ses termes met en 6vidence la complexit6 des crit+res A retenir pour son application au quittancement ~ terme 6chu: pfriode de r6f6rence pour surveillance des sinistres; notion des sinistres susceptibles d'engager la responsabilit6 civile de l'assur6; 6v~nements de la vie des dossiers de sinistres susceptibles d'influencer r&roactivement le calcul de la prime. Un exemple concret illustre cette complexit6. Diverses incertitudes subsistent n6anmoins, en particulier pour les polices garanties multiples sur un m~me v~hicule, les polices couvrant plusieurs v~hicules, la nature des r~glements A retenir comme condition de suppression de bonification ou application de p6nalisation, les consequences- fiscales notamment -- de l'interpr&ation de la clause. L'analyse pr~c6dente et les hypotheses formul6es d&erminent les op~rations administratives et les d6partements affect6s par l'application du r6gime projet& Mais la charge la plus lourde et la plus constante paso certainement sur les d6partements charg6s du calcul des primes et de l'6mission des quittances terme. La troisi~me partie de l'&ude est donc consacr6e ~ un essai d'6valuation de cette charge dans les diff&entes hypotheses: d'une Compagnie disposant d'un ~quipement ~ cartes perfor&s (soit par traitement purement m6canique, soit par traitement semi-manuel); d'une Compagnie disposant d'un ensemble ~lectronique puissant. La charge, tr~s approximative, ainsi d6gag6e, montre la n&essit6 de la recherche d'une simplification de la clause dont devraient finalement b6n~ficier 6galement assureurs et assures. Essay on a Study on Series o[ Casualties Considered as a Stochastic Process by Professor FRECHET, France. I. On the statistical basis, admittedly insufficient, of a single numerical table used for this whole report, the author first of all eliminates the hypothesis that the casualties sustained by a vehicle are mutually independent (even when the cars are distributed in several categories and the assumption is applied to each of them). 2. In order to simplify the application of the opposite hypothesis, the author first supposes that the bonus Px,,,~ (positive or negative) applied to the average premium P depends only on the total number v of casualties

9 SUMMARIES 97 undergone by the insured car since the commencement of the contract and during the n following years, until the beginning of the year t in which the premium considered is paid. 3- The author investigates the Markoff-Poincar6 case where there is a determined probability p^j independent of the vehicle 1) and of the year, that a car which has had h casualties one year would have k the next year. A known calculation shows that (save in exceptional cases), the probability that a vehicle would sustain k casualties t years after the signature of the contract is then of the form: r where r is equal to the maximum number of casualties attained in practice per vehicle-year and % are real numbers or complex numbers of modulus ~< I. 4. More generally, the author considers the case where the frequency law of claims per vehicle-year depends only (as it is the case in formula (I)) on the number t of the year which separates the year considered from the time of signature of the policy. He propounds in this case a bonus P,~,a where ~ is the number of casualties of the car in the year preceeding the payment of the premium, t years after the signature of the contract. 5. Finally, the author points out the benefit of drawing up statistics, extending for each vehicle to the whole duration of the contract (possibly much greater than in para. 4) and to all the numbers of casualties for each vehicle-year (possibly much greater than in para. 2). Essai d' une Etude de Succession de Sinistms Considdrds comme Processus Stochastique, par Professeur FRECHET, France. i. Sur la base statistique, d'ailleurs insuffisante, d'un seul tableau num~rique pour tout son rapport, l'auteur 61imine d'abord l'hypoth~se que les sinistres subis par une voiture sont mutuellement ind6pendants (m~me en r~partissant les voitures en plusieurs catcgories et n'appliquant l'hypoth~se qu'/~ chacune de ces catcgories). 2. Pour simplifier l'application de l'hypoth~se contraire, l'auteur suppose d'abord que la bonification Px,, v (positive ou ncgative) appliquce ~ la prime moyenne P ne dcpend que du nombre total ~ des sinistres subis par la voiture assurce depuis la mise en vigueur du contrat pendant les n annces qui ont suivi jusqu'au debut de l'ann~e t off est payee la prime considcrce. 3. L'auteur examine le cas de Markoff-Poincar~ oh il y a une probabilit6 dctermince Phi indcpendante de la voiture 2) et de l'ann~e, pour qu'une voiture qui a eu h sinistres une annie, et air k l'ann~e suivante. Un calcul connu montre qu'alors (sauf des cas exceptionnels) la probabilit6 qu'une voiture air k sinistres t ann~es aprbs la signature du contrat est de la forme: f g-2t off rest ~gal au maximum pratiquement constat6 du nombre de sinistres par voiture-annce et a, sont des nombres rcels ou complexes de modules ~< I. ~) In a definite category: lorry, motor coach, etc... 2) Dans une catcgorie d~termince: camions, autocars, etc.

10 O~ SUMMARIES 4. Plus g6n6ralement, l'auteur consid~re le cas off la loi de fr6quence des sinistres par voiture-ann6e ne d6pend (comme cela a lieu dans la formule (I)) que du nombre t d'ann6es qui s6pare l'ann6e consid6r6e de la signature du contrat. I1 propose, dans ce cas, une bonification Put,a off ~ est le nombre de sinistres de la voiture dans l'annde pr6c6dant le paiement de la prime, t ann6es apr~s la signature du contrat. 5. Enfin, l'auteur signale l'utilit6 de dresser des statistiques s'6tendant pour chaque voiture ~ toute la dur6e du contrat (6ventuellement notablement sup~rieure ~t para. 4) et ~t tous les hombres de sinistres pour chaque voiture-ann6e (6ventuellement notablement sup6rieurs ~t para. 2). Automobile Insurance, Canadian Accident-Free Classification System by D. B. MARTIN, Canada. The Canadian accident-free rating system is based on the classification of insureds according to their accident record, with the quotation of separate premium rates for each distinct class. It does not take the form of a bonus or a quoted discount from a basic premium. The present system has been developed over a period of years following its introduction on a restricted basis in There has rarely been statistical justification for the successive stages of development, and the initial restricted scheme was introduced without any attempt to compensate for the loss of premium income involved. The statistics now available justify what has been done and offer the possibility that the scheme could be carried further, either by increasing the premium advantage now granted to accident-free insureds, or by the introduction of additional classes with longer accident-free records. The gradual introduction of the scheme has helped in its orderly development and acceptance by the public, and it is now clear that it is working satisfactorily and is probably a permanent part of the Canadian Automobile Insurance rating structure. Assurance Automobile, Systdme Canadien de Classi/ication des Risques Exempts d'accidents par D. B. MARTIN, Canada. Le syst~me Canadien de tarification des risques exempts d'accidents est fond6 sur la classification des assur6s selon leur statistique d'accidents, et des taux differents sont fix6s pour chaque classe distincte. II ne s'agit ni d'un bonus, ni d'un escompte sp6cifi6 sur une prime de base. Le syst~me actuel s'est d6velopp6 consid6rablement depuis son introduction sur une base restreinte en I953. Les stades successifs d'6volution 6taient rarement justifi6s par des statistiques et le plan initial restreint a 6t6 pr6sent6 sans aucune tentative de compenser la perte du revenu primes qu'il impliquait. Les statistiques qui sont maintenant ~t notre disposition justifient amplement ce qui a 6t6 fait et offrent la possibilit6 d'6tendre le plan, soit en augmentant la r6duction de prime accord6e aux assur6s exempts d'accidents, soit en ajoutant de nouvelles cat6gories qui comprendraient les assur6s exempts d'accidents durant des p6riodes plus longues. Le plan n'a 6t6 introduit que graduellement, ce qui a permis son 6volution et son acceptation par le public d'une mani~re ordonn6e et il est maintenant 6vident qu'il donne les r6sultats attendus et qu'il est probablement devenu une piece permanente du syst~me Canadien de tarification de l'assurance automobile.

11 SUMMARIES 99 The Swedish System o] Bonus by C. PHILIPSON, Sweden. In section i two Swedish systems for premium reduction on years without losses have been described and in section 2, a model constructed for the distribution of policies over duration and bonus class attained. Section 3 deals with an investigation into a group of Third Party insurances for the calender year 195, in which the risk measures were estimated for each of five groups of duration in a material grouped in three groups with regard to the amount indemnified, within each of four main groups of Third Party Liability, with respect to kind of vehicles and geographical area. The results were compared with a standard comparison as calculated from the model modified with regard to a registration error in the material and based on rates as provided by the first of the systems described in section i. The comparison which was based on a t-test leads to the acceptance of the hypothesis that the empirical results may be satisfactorily explained by the model, with an indication of a marked deviation for the first year of duration. Section 4 deals with a similar investigation for the calendar year 1955, with material partly taken from other groups than those studied in section 3. The standard comparison was in this case based on the second system described in section i. The comparison led for Third Party LiabilitY in the main to the same result as the investigation described in section 3- For Car Damage Insurance the first year of duration showed a material deviation from the model due in part to selection. The slope of the curve representing the relation between the risk premium and the duration was steeper for 1955 than for 195o. This was explained by a phenomenon called "hunger for bonus" implying an effect of an arbitrary minimum loss clause of the bonus scale, as defined in section 5. In section 6 the effect of different bonus scales upon the economy of motor insurance and on the transfer of policies between companies has been discussed. In section 7 some critical arguments against the system now in force have been considered. In section 8, finally, a modification of this system has been suggested. In this modification the same premium levels for all durations are kept approximately constant, while repeated claims in the lowest class of bonus should be "punished" with self retention according to a suitable scale of increasing amounts. This suggestion leads to a better adaptation to the risk, at the price of a necessary complication in the routine for settling the claims. Le Syst~me Suedois de Bonus par Carl PHILIPSON, Suede. Dans la I~re partie sont d6crits deux syst~mes su6dois de bonification de la prime pour ann6es sans sinistres et, darts la 2~me pattie est 6tabli un sch6ma de distribution des polices suivant la dur6e et la classe de bonus atteinte. La 3~me partie traite de recherches effectu~es pour l'ann~e calendrier 195o sur des assurances,,aux tiers". Les ~Mments du risque furent ~valuss pour cinq groupes de dur6e, en distinguant trois classes de montants d'indemnitss, et quatre groupes quant /~ la nature du v6hicule et la r~gion. Les r6sultats furent compares ~ un schema standard d~riv6 du schema de distribution sus-vis6 modifi5 pour tenir compte des erreurs d'enregistrement et

12 IO0 SUMMARIES bas6 sur les taux fournis par le premier des syst~mes d6crits duns la I~re partie. La comparaison, qui fur bas6e sur laloi des 6carts, permit de conclure ~t la l$gitimit6 de l'hypoth~se suivant laquelle les r6sultats exp6rimentaux cadrent d'une mani~re satisfaisante avec le sch6ma th6orique, avec toutefois des 6carts plus sensibles pour la premiere ann6e. Le 4~me partie traite d'une investigation semblable pour l'annoe-calendrier I955, avec des ~16ments statistiques provenant pour partie d'autres groupes que ceux 6tudi6s dans la 3~me partie. Le sch6ma de comparaison rut duns ce cas bas6 sur le second des syst~mes d6crits duns la i~re partie. La comparaison conduisit, dans l'ensemble, pour les assurances,,aux tiers", ~ des r6sultats tr~s semblables ~ ceux d6crits duns la 3~me partie. Pour l'assurance des accidents caus6s h la voiture, on constata pour la premiere ann6e, un 6cart assez sensible par rapport au module, 6cart dfl en partie ~ la s6lection. La pente de la courbe repr6sentant la prime de risque en fonction de la dur6e 6tait plus accentu6e pour 1955 que pour x95 o. L'explication r6side dans un ph6nombne appem,,soil de bonus" ayant le m~me effet qu'une clause arbitraire de perte minima pour l'6chelle de bonus, comme il est indiqu6 dans la 5~me partie. Duns la 6~me partie est discut6 l'effet de diverses 6chelles de bonus sur l'6conomie g6n6rale de l'assurance automobile et sur les mutations de polices d'une Compagnie ~ l'autre. Duns la 7bme partie, quelques critiques motiv6es sont formul6es contre le syst~me actuellement en vigueur. Enfin, duns la 8~me partie, une modification de ce dernier syst~me est sugg6r6e. Le niveau des primes, quelle que soit la dur6e resterait sensiblement inchang6, tandis que les doclarations de sinistres repot6es duns la classe de bonus la plus basse devraient ~tre,,punies" au moyen d'une retenue sur le r~glement suivant une 6chelle croissante appropri6e. Cette suggestion conduit ~t une meilleure adaptation ~t la nature du risque, au prix d'une rupture, n6cessaire, avec la routine actuelle des r~glements. Bonus, Deductible and Extra Premiums/or Claims by J ~AN SOUSSELt~t~, France. In the opinion of the author considerable light is thrown on the no claim bonus question when considered against the two other usual schemes-- extra premiums charged after claims, deductible on each claim. Although the three systems are mathematically equivalent (as is easy to prove), in practice there are obvious differences. The TR bonus tariff is necessarily higher than the normal TN tariff, the difference increasing with increasing yearly claim frequency q. The Ts extra premium tariff, on the contrary, is lower than the normal tariff and may be considerably less if the frequency ratio q is high. It follows that in both cases it is desirable to have high frequencies q. Moreover, the introduction of tariffs comprising bonus or extra premium induces the insured to avoid claiming for small losses--besides, perhaps making him more careful--a fact which relates the systems to the tariffs with deductibles. (The author shows however that for low frequencies only the deductible system can be applied). It is then easy to calculate the reduction in frequency needed to enable a no claim bonus to be introduced into a tariff without increasing it.

13 SUMMARIES IOI Similarly the acceptable increase in frequency is calculated when a system oi extra premiums for claims is added to any ordinary tariff. The essential results of the above theory are not altered by questions relating to the occurrence of several losses in the same year, to random fluctuations and to the loadings on premium premiums. In appendices to the paper, tables are given setting out a few numerical results (Appendix II) and a type of tariff involving both bonus and extra premiums with an indication of the acceptable increase in frequency (Ap pendix III); this latter scheme is similar to that recently introduced by the American Casualty Underwriters in the State of California. Bonus, Franchise et Surprime pour Sinistres par JEAN SOUSSELIER, France. L'auteur pease que le probl~me de la bonification pour non sinistre s'$claire d'une mani~re particuli~re par son rapprochement avec les deux autres syst~mes classiques: surprimes g la suite de sinistres, franchise sur chaque sinistre. Bien qu'il y ait $quivalence math~matique entre les trois syst~mes (d~monstration facile), il y a une disparit6 tr~s nette dans la pratique: Le tarif avec bonus TB est n~cessairement sup6rieur au tarif normal TN et il en diff~re d'autant plus que la fr6quence annuelle de sinistres q est plus ~lev~e. Le tarif avec surprimes Ts est, au contraire, inf$rieur au tarif normal et peut msme ~tre consid6rablement r6duit si le taux de fr~quence q est ~lev6. I1 y a donc int6r~t dans l'un et l'autre cas g avoir des fr~quences q grandes. Mais, de plus, l'introduction de tarifs comportant bonus ou surprimes incite les assur~s---outre, peut-6tre, X plus de prudence--g ne pas d6clarer les petits sinistres--ce qui apparente ces syst~mes A des tarifs avec franchise (L'auteur montre cependant que pour les fr~quences basses, le syst~me de la franchise est seul applicable). On peut alors calculer la r6duction de fr~quence n6cessaire pour qu'on puisse introduire dans un tarif une bonification pour non sinistre sans avoir ~ majorer ce tarif. Inversement, on calcule la majoration de fr6quence supportable si oll adjoint A un tarif normal un syst~me de surprimes pour sinistres. La consid6ration des sinistres annuels multiples, de la dispersion et des chargements sur les primes pures ne modifie pas la th~orie ci-dessus dans ses r~sultats essentiels. En annexe A l'6tude, sont donn~s, outre des tableaux contenant un certain nombrc de r~sultats num6riques (Annexe II L un exemple de tarif assorti d'un bonus et de surprimes avec indication de l'aggravation de fr~quence supportable (Annexe III), combinaison analogue A celle r6cemment introduite par les Assureurs Accidents Am$ricains en Californie (Annexe IV). Political and Administrative,4 spects o/no Claim Bonus by A. THEPAUT, France. Political aspect o5 tile Bonus M. Thepaut specifies that his statement is limited to the French experience in matter of Bonus. First of all he enumerates the advantages and disadvantages of the bonus:

14 102 SUMMARIES a) Advantages The Insured is encouraged to drive prudently. The Insured is encouraged not to notify claims of minor importance. b) Disadvantages i) The French Ploicy does not insure a driver, but a car, whoever the person driving. 2) The frequency of claims is, in the majority of the categories, too small to give the bonus any significance. 3) The distribution of the bonus involves general expenses out of proportion to the amount distributed. 4) The institution of the bonus should be accompanied by an increase of the tariff, taking into account the expenses of this bonus and the cost of its management. 5) The bonus is not easily applicable to policies covering fleets of vehicles. 6) For commercial reasons the bonus tends to become a definite reduction of premium independent of the notifications of claims. 7) The application of the bonus is a cause of conflicts between the Company and the Insured. 8) It is abnormal to distribute bonuses in a Branch of Insurance generally in deficit. 9) In order to be equitable the bonus should include graduated rates taking into account the frequency of claims, which complicates administration still further. M. Thepaut estimates that the disadvantages are greater than the advantages. However he agrees that the bonus is extremely popular among the Insured. That popularity led the French Government, in 1958, to associate an increase in the tariff with a generalization of the no claim bonus in order to diminish public reaction. M. Thepaut objects to this demagogic procedure. The Motor Car Insurance market is sufficently competitive to enable the Government to allow the Companies to fix rates of premium and the clauses of Policies freely. Administrative aspect of the Bonus a) Management o/ a classical bonus The management of a classical bonus involves additional and important general expenses owing principally to its repercussions for the establishment of the receipts. Each declaration of claim actually constitutes additional administrative work similar to that caused by an endorsement temporarily modifying the premium. On the other hand the application of the bonus to fleets of vehicles is a cause of certain complications. In conclusion, M. Thepaut estimates that the generalization of the classical bonus should be expected to lead to an increase of lo% of general expenses of the Motor Car Branch, whether the Company is mechanised or not. b) Management o/ the "'governmental" bonus The management of the system of the bonus and penalization instituted by the letter of the Ministre des Finances dated is more onerous than that of the classical bonus.

15 SUMMARIES 103 A commission of specialists decided that whatever the system adopted (manual, punched cards or computor) the increase in general expenses would be considerable and perhaps greater then the amount of the bonus granted. Moreover no Company appears to have begun to undertake the practical application of the "Governmental" bonus. Conclusion M. Thepaut stipulates that the Ministry of tutelage of the French Insurance Companies should remain in its role of control and not decide to make pretended reforms of structure, such as the generalization of the bonus, which are almost non applicable for practical purposes and consequently not applied. He considers that Motor Car Insurers are capable by themselves of making some progress in their techniques in particular by graduating more and more their tariff as a result of more thorough statistics. He requests the actuaries of ASTIN to add their contribution to this attempt at perfection. L'Aspect Politique et l'aspect Administrati/ du Bonus pour Non Sinistre par A. THI~PAUT, France. Aspect politique du bonus M. Thepaut pr6cise que son expos6 est limit6 A l'exp6rience franqaise en mati~re de bonus. I1 ~num~re tout d'abord les avantages et tes inconv6nients du bonus: a) Avantages L'assur~ est incit6 A conduire prudemment. L'assur6 est incit6 A ne pas d6clarer les petits sinistres. b) Inconvdnients I) La police franqaise n'assure pas un conducteur mais une voiture quelle que soit la personne au volant. 2) La fr~quence des d6clarations de sinistres est, dans la plupart des cat6gories, trop faible pour que le bonus ait une signification. 3) La distribution du bonus entraine des frais g6n6raux hors de proportion avec le montant distribu6. 4) L'institution du bonus dolt s'accompagner d'une hausse de tarif tenant compte de la charge de ce bonus et du coflt de sa gestion. 5) Le bonus est difficilement applicable aux polices garantissant des flottes de vbhicules. 6) Pour des raisons commerciales, le bonus a tendance ~t se transformer en une r6duction d6finitive de la prime ind~pendante des d6clarations de sinistres. 7) L'application du bonus est une source de conflits entre la Compagnie et l'assur6. 8) I1 est anormal de distribuer des bonus dans une branche d'assurance g6n6ralement d6ficitaire. 9) Pour ~tre ~quitable le bonus devrait comporter des taux nuances tenant compte de la fr~quence, ce qui complique encore la gestion. M. Thepaut estime que les inconv6nients priment les avantages. Cependant il constate que le bonus est extrsmement populaire chez les assure. C'est cette popularit~ qui a amen6 les Pouvoirs publics franqais, en t058, A con-

16 10 4 SUMMARIES ditionner une hausse de tztrif par la g6n6ratisation du bonus pour non sinistre de faqon A diminuer la r6action du public. M. Thepaut s'61~ve contre ce proc6d6 d6magogique. Le march6 de l'assurance automobile est suffisamment concurrentiel pour que, sans inconv6nient, les Pouvoirs publics puissent!aisser les Compagnies fixer librement les taux de primes et les clauses de polices. Aspect administratif a) Gestion d'un bonus classique du Bonus La gestion d'un bonus classique entraine des frais g6n~raux suppmmentaires importants en raison notamment de ses r6percussions sur le quittancement. Chaque d6claration de sinistre cr6e en effet un travail administratif suppl6mentaire analogue t~ celui provoqu6 par un avenant modifiant temporairement la prime. L'application du bonus aux flottes de v6hicules est, par ailleurs, une source de complications certaine. M. Thepaut estime, pour conclure, que la g6n6ralisation du bonus classique dolt se traduire, pour une Compagnie m6eanis6e ou non, par une augmentation de lo% des frais g6n6raux de la branche Automobile. b. Gestion du bonus,,minist~re" La gestion du syst~me de bonification et de p6nalisation, institu6 par la lettre du Ministre des Finances en date du 2I/I/I958, est beaucoup plus lourde que celle d'une bonus classique. Une Commission de sp6cialistes a conclu que, quel que soit le syst~me utilis6 (manuel, cartes perfor6es ou ordinateur), l'alourdissement des frais g~n6raux serait consid6rable et peut-~tre sup6rieur au montant des bonifications allou6es. Aucune Compagnie ne semble d'ailleurs avoir commenc6 entreprendre l'application pratique du bonus,,ministate". Conclusion M. Thepaut estime que le Ministate de tutelle des Compagnies d'assurances fran~aises devrait se cantonner dans son r61e de contr61e et ne pas d6cider de pr6tendues r~formes de structure comme la g6n6ralisation du bonus qui, dans la pratique, sont A peu pros inapplicables et en consequence inappliqu6es. I1 pense que les assureurs Automobile sont capables de r6aliser eux-m~mes des progr~s dans leur technique en nuan~ant notamment de plus en plus leurs tarifications grace k des statistiques plus pouss6es. I1 convie les actuaires d'astin k apporter leur contribution h cet effort de perfectionnement. Contribution to the Study o[ No Claim Bonus in Motor Car Insurance by P. THYRION, Belgium. The question of no claim bonus can and must be studied from different points of view. From the mathematical angle one can approach it by considering that a class of risk deemed homogeneous---for want of something better--for the rate fixing a priori, is in fact heterogeneous, namely that one or several parameters entering into the laws of probability considered are themselves random variables. Consequently. the observations made on the behaviour of a given risk

17 SUMMARIES IO 5 during a certain insurance period can be used to improve the rating of this risk a posteriori for zt subsequent period. Simplifying hypotheses led to consideration being given only to the law of probability of the "number of accidents" and to reduce it to a compound Poisson law,. A test of this law has been undertaken on the basis of statistics drawn from a motor car insurance portfolio using a three parameter law proposed by Mr. Hofmann. An example of adjustment is given; aggregate results on the heterogeneity observed in the group of the adjustments made are furnished and discussed; examples are given of some moments a posteriori. In conclusion some of the miscellaneous considerations which are needed to complete the purely technical analysis so as to enable a decision to be reached in matter of bonus are considered. Contribution ~ l'etude du Bonus pour Non Sinistre en Assurance Automobile par P. THYRION, Belgique. La question du bonus pour non sinistre peut et dolt ~tre ~tudi6e sous diff,- rents points de rue. Sous l'angle math6matique, on peut l'aborder en consid~rant qu'une classe de risque r~put~e homog~ne--faute de mieux-- pour la tarification a priori, est en fait h~t6rog~ne, c'est-tt-dire qu'un ou plusieurs param~tres intervenant dans les lois de probabilit6 consid~r~es sont eux-m~mes des variables amatoires. DOs lots les observations faites sur le comportement d'un risque d~termin~ pendant une certaine p6riode d'assurance peuvent ~tre utilis~es pour am61iorer la tarification a posteriori de ce risque pour une nouvelle p6riode subs6quente. Des hypotheses simplificatrices conduisent tt ne se soucier que de la loi de probabilit~ du,,hombre de sinistres" et A la r~duire ~t une loi de Poisson compos6e. Un essai d'application de cette loi a 6t6 entrepris ~ partir de statistiques tir6es d'un portefeuille d'assurance automobile et en utilisant une loi b, 3 param~tres, propos6e par M. Hofmann. Un exemple d'ajustement est trait6; des r6sultats globaux sur l'h~t~rog6n6it6 observ6e dans l'ensemble des ajustements effectu6s sont donn~s et discut6s; quelques moments a posteriori sont indiqu6s ~ fitre d'exemple. En guise de conclusions, sont ~voqu6es quelques-unes des considerations de divers ordres qui doivent compmter l'analyse purement technique, pour g, clairer la dt~cision ~t prendre en mati~re de bonus.

18 UNE MI~THODE POUR CALCULER UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANN~ES SANS SINISTRES DR. F. BICHSEL Suisse En Suisse, les soci6t6s d'assurances bonifient ~ leurs assur6s en responsabilit6 civile autos une ristourne qui d6pend du nombre des ann6es sans sinistres, suivant le bar6me 1 ci-apr6s: Nombre des ann6es subs6quentes sans sinistres Ristourne en % de la prime I et plus lo% ~5% 20% 25% 30% Cette ristourne a pour but de tenir compte des facteurs d'ordre subjectif qui influencent le risque et qui ne peuvent 4tre pris en consid6ration dans les tarifs. Les deux questions suivantes se posent: A) Y a-t-il en r6alit6 des diff6rences darts le risque subjectif justifiant la bonification d'une ristourne pour anndes sans sinistres? B) Si oui, le bar6me indiqu6 ci-haut tient-il compte de ces differences d'une fa~on ad6quate? Le present travail a pour but de r6pondre k ces deux questions en appliquant les m6thodes modernes des tirages au sort. Question A Voici les r6sultats de quelques tirages au sort du portefeuille de,,la G6n6rale de Berne" x Depuis la r6daction de cet article, un nouveau syst~me a 6t6 introduit en Suisse. La ristourne est remplae6e par un bonus d6duit d'avance, et les pourcentages ont 6t6 angment6s.

19 UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANNI~ES SANS SINISTRES 107 No du tirage... la Ib 2a 2b PoHces conclues en I rt Force en C~... Nombre total des polices de chaque tirage k 4, I O -- 7,09 16o 7,10 4, ,O , dont avec k sinistres pendant 7, IO -- 15,o 9 3o7 les 3 ann6es O et plus... Nombremoyen des sinistres k... Variance s2(~)... lo ,52 0, ,49 I,OO ,67 1,O I o,7t 1,15 S'il n'y avait pas de diff6rences dans le risque subjectif, la variable al6atoire k devrait suivre la distribution de Poisson. Toutefois, on salt que dans ce cas, ~ devrait ~tre 6gal ~ s~(k), ce dont il n'est 6videmment pas question pour les chiffres ci-dessus. En cons6- quence, k n'est pas distribu6 d'apr~s Poisson, et l'existence de diff6rences dans le risque subjectif est prouv6e. On pourrait se demander si les diff6rences entre k et s2(k) sont de nature al6atoire. Une investigation sp6ciale a toutefois montr6 que si k suivait la distribution de Poisson, la probabilit6 pour des diff6rences aussi ~lev~es que celles des tirages indiqu~s ci-haut serait pratiquement nulle. Question B Le bar, me indiqu6 au d6but tient-il compte d'une fa~on adequate des diff6rences existant dans le risque subjectif? Pour la solution de ce probl~me, je pouvais me baser sur un travail du Dr. Martin Hofmann paru dans le volume 55 du Bulletin de l'association des Actuaires suisses et intitul~,,l~ber zusammengesetzte Poisson-Prozesse und ihre Anwendungen in der Unfallversicherung" (Processus de Poisson compos6s et leurs applications l'assurance-accidents).

20 IO8 UNE RISTOURNE ADI~QUATE POUR ANNEES SANS SINISTRES Pour simplifier, je fais l'hypoth~se que le risque subjectif n'influence que le nombre des sinistres et non pas leurs montants. I1 s'agit d'abord de trouver, pour le nombre des sinistres d'une police pendant un certain laps de temps, une distribution qui corresponde mieux & la r6alit6 que la distribution de Poisson. On arrive & une telle distribution si, dans la distribution de Poisson w(k; t) - k! on suppose que le param&tre X n'est pas une constante, mais une variable al6atoire. La distribution obtenue par cette op6ration est appeme,,distribution de Poisson compos6e" et la distribution de X sa,,fonction structurelle". Darts la formule (I), X nous donne le hombre moyen des sinistres par ann6e, (l'ann6e 6tant l'unitd de temps). Supposer que ce X n'est pas une constante pour le portefeuille, c'est admettre que le portefeuille se compose de sous-portefeuilles avec des ~ diff6rents. En d'autres termes, c'est supposer que le risque n'est pas le m~me pour toutes les polices du porteleuille par suite de differences dans le risque subjectif. En choisissant comme fonction structurelle la distribution r avec le moyen ~, ~-q et la variance 4, = qb on arrive ~t la distribution suivante: qlb xqlb -t - - e -x/b (2) r(qlb) W(k" t) ' = ~ + btj.~-~-~. I"(qlb) k! (3) avec le moyen ~2 = qt et la variance a~qt(bt+ i) Cette distribution est connue sous le nora de distribution binomiale n6gative ou distribution de Polya et Eggenberger. Pourquoi choisir la distribution F comme fonction structurelle?

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