i. La Survena.nce des accidents

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1 SUJET B LES MATH~MATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE Introduction de la discussion (rdsumd) P. J. DELAPORTE Plusieurs communications sont prdsentdes au Colloque sur les Mathdmatiques de l'assurance Automobile. Afin de pouvoir mieux situer chacune d'elles dans ce vaste sujet, il peut ~tre bon de schdmatiser l'ensemble de la question. I1 comprend: x. la survenance des accidents 2. le tarif et la mesure de son efficacitd par rapport k l'estimation optimale. i. La Survena.nce des accidents Groupons dans une classe les propridtaires de vdhicules ayant un m~me ensemble de caractdristiques extdrieures de risques: m~me mod61e de voiture, m~me zone de garage habituel, mime usage ou profession du propridtaire, etc. Les risques s de survenance d'accident ne sont pas identiques pour tous Ics propridtaires de la classe, rnais sont distribuds selon une fonction de rdpartition F(s). Ddsignons par P(s' I s) la probabilitd de survenance de s' sinistres pour un assurd dont le risque individue[ est s (des dtudes antdrieures ont montrd que P(s' ] s) est reprdsentable par une loi de probabilitd de Poisson). La probabilitd qu'un assurd, pris au hasard dans la classe, air s' sinistres est: P(s') = J" P(s'ls).dF(s) (I) #o so dtartt le risque minimum de la classe. Ddsignons par g(x) la densit~ de probabilitd de la distribution des cofits X des sinistres. Oft peut admettre qu'~t l'intdrieur de la classe, au moins en premiere approximation, g(x) est inddpendant de s, d'oh la probabilitd de survenance d'un sinistre de coflt X est: P(s" = I; X) = g(x).p(s" = I) (2) I3

2 I86 MATHI~MA'I'IQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE La probabilit6 de survenance d'un sinistre de coflt supdrieur 5. une franchise Xe est: P(s' = ; x > G) = P(s' =. [ j" dg(x)] (3) z d et la probabilit6 de survenance de s'e sinistres de coflts sup6rieurs 5. une franchise est" P(S~; 1X > X e... cox > Xe) = P(s~). [ f dg(x)]g (4) Dans sa communication:,,l'influence de la franchise sur le nombre de sinistres dans l'assurance Automobile", Monsieur Mogens Muff 6tudie les distributions empiriques de ces sinistres, et apr6s ajustement sur une distribution binomiale n4gative, il observe que l'un des param6tres d6pend de la clause de bonus et l'autre varie avec la franchise. Le rdassureur excess pourra utiliser ce m~me mod61e en prenant pour s non pas le risque probable d'un assur6, mais le risque probable d'une compagnie r6assur6e. I1 remplacera la franchise X e par un montant d'excess Xe(I.or_ d) t d4croissant avec le temps 6could depuis le d4but de l'ann6e de survenance jusqu'k l'6poque moyenne de r6glement t, pour tenir compte d'une d6pr6ciatiou mon6taire dont le taux annuel est de d pour les r6glements de sinistres. Dans sa communication:,,une approche d'analyse des sinistres observ6s dans la rdassurance excess de responsabilit6 civile", Monsieur H. G. Verbeek 6tudie le tableau 5~ double entr6e des sinistres par ann6e de survenance et par ann6e de d6claration au rdassureur au fur et g mesure que chacun d'eux d6passe le montant de l'excess. M. Verbeek admet que la distribution des nombres de sinistres d6clar6s par la eompagnie cddante au rdassureur est reprdsentable par des distributions de Poisson et qu'il y a entre le nombre et le cofit des sinistres. Une estimation des param6tres par la m6thode du Maximum de Vraisemblance lui permet d'extrapoler, pour les ann6es futures, la valeur probable des sinistres qui seront d4clar6s au r6assureur, ce qui peut servir de base ~ la cotation d'un trait6 de r6assurance excess.

3 MATHI~MATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE Le tarif et la mesure de son efficacild par rapport & l'eslimalion optimale Le tarif d'assurance automobile comprend: I. une informalion a priori sur l'assur6 et l'usage qu'il fera du vdhicule, son lieu de garage habituel et, d'autre part, sur la voiture, son modhle, son 4tat d'entretien, etc. ; 2. une information ~ posteriori sur les sinistres ddclards et sur la manihre dont le conducteur se comporte (entretien du v6hicule, infractions au Code de la Route), relative g la pdriode dcoulfe depuis la souscription du contrat. L'information ~. priori permet un ddcoupage de l'ensemble des risques en classes de tarif dans lesquelles on groupe les assurds ayant ~t priori des risques identiques. Ddsignons par : ~s~, 2s~... les nombres de sinistres d4clar4s par l'assur4 i pendant les ann6es d'assurance I, 2, etc. Les probabilitds de survenance d'accidents ont 6t4 d6finies ci-dessus (formule I). 14, o-cl... la mani6re dont le conducteur s'est comport6 pendant les anndes I, 2, etc. (par exemple le hombre des infractions graves h la loi sur la circulation routi6re). H(/~[s) la Ionction de distribution des comportements des conducteurs de risques s pendant l'annde j. et admettons que les classes de tarif ont dt4 constitudes de mani6re suffisamment homog6nes pour que le cofit moyen des sinistres X soit, dans la classe, inddpendant du risque individuel d'accident. La prime pure de l'ann4e k + I connaissant les ant4c4dents des k premihres anndes d'assurance est: t,. fi(~ + ls~ I ~sl... ks~, lq... kq) = -~ 2 #0 +m / J I s.p(~h I s)...p(~s~ I s).h(~ 4 I s)...h(k4 I ~)-df(~) +~ t ; P(,szls)...P(k41S).H(14 I s)...h(k4ls ).df(s) #0 (5)

4 e 188 MATHEMATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE P(s' [ s) ayant une loi de distribution de Poisson, ceci se simplifie en +~ S s'"' X ' +~ f s, 8,... ao,s', + X.e-*-S.H(~c~ls). ".H(kc~ls ).de(s) ~",. e- k'h(~c~ I s)... H(kc~ I s). af(sl A notre connaissance, la fonction H n'a pus encore dt6 dtudi6e, ellea donc 6t6 suppos6e constante duns tousles travaux ant6rieurs. Au contraire, l'6tude des observations a montrd que la fonction de distribution des risques individuels F(s) est voisine de l'eulerienne de seconde esp&ce : (6) de(s)- a 0, r(b) -a<s-8 ) (S-- So)~-l.ds (7) et que So, qui est le risque minimum, est voisin de zdro; a et b sont des param6tres k estimer par le Maximum de Vraisemblance pour que les voitures aient eu les nombres de sinistres observds. Le risque d'un assur6 i connaissant les sinistres qu'il a eus pendant les k ann6es antdrieures peut 4tre obtenu d'aprhs l'esp6rance mathdmatique de s li6e par les sinistres observds, c'est-k-dire: -,, - b + ~ s, +...+~.s, X. EFk. ~s, I ~s~... ~s~] = X (8) a+k Notre Prdsident, Monsieur P. Thyrion, prdsente une communication intitulde:,,quelques observations statistiques sur la variable,,nombre de sinistres" ell assurance automobile", dans laquelle il a dtudi6 le comportement de 1.41o polices pendant 4 anndes et de 1.o94 polices pendant 7 ann6es. Sur cet ensemble, i[ a d'abord examin~ la distribution empirique du nombre des sinistres d'une annde en fonction du nombre total des sinistres des anndes ant6rieures. I1 a montr6 que les observations v6rifient les conditions pour ~tre reprdsentables par une loi de Poisson composde et que la,,fonction de structure" U(X) (qui est la fonction F(s) dans les notations prdcddeates, formule[i]) reste stable au cours du temps. Les rdsultats montrent que cette fouction est plus concentrde que la loi exponentielle et aun seul mode situ6 pros de l'origine. Ensuite, il a calcul6, d'apr&s les observations, pour chacune des t t

5 MATHI~.MATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE 18 9 ann6es, la valeur du risque li6e par les nombres de sinistres observ6s pendant les ann~es pr~c~dentes eta donn~, pour plus de prdcision, les valeurs mddianes du rapport du risque li6 divis6 par le risque moyen de l'ensemble des polices, dans le dernier tableau de sa communication. On peut noter que les rdsultats enti~rement empiriques de P. Thyrion, obtenus sur la Belgique, sont en excellent accord avec ceux que nous avions obtenus, sur la France, il y a plus de IO ans, par un module th~orique de loi de Poisson compos6e avec une eulerienne de seconde esp~ce (formules I, 7 et 8 ci-dessus) pour une mfime frdquence moyenne s = o,193 et pour la valeur du param&tre b = 1,6, alors que les rfisultats de P. Thyrion donnent b = 1,32 ~Z Valeur S'fl y a eu * sinistres pendant les ann6es ant6rieures, quotient de la fr~quence lide 5~ la fr~quence moyenne apr6s: I an 2 ans 3 ans 4 ans 5 ans 6 ans o sin. empirique 0,85 o,79 o,71 o,66 0,64 o,59 th~orique 0,89 0,80 0,73 0,67 o,6~o 0,58 1 sin. empmque 1,48 1,25 1,21 I,OI o,96 o,79 th~orique 1,45 1,31 1,19 i,o 9 i,oi o,94 P. Thyrion indique qu'avec une vraisemblance suffisante pour la pratique on peut conclure que l'hypoth~se de l'h6t6rog6n6it6 des classes de risques se montre apte ~ pr6voir l'influence du comportement pass6 d'une sous-classe de risques sur son comportement futur en ce qui concerne les nombres de sinistres, ce qui est une des bases pratiques d'une tarification de l'assurance automobile utilisant un syst~me de bonus-malus. Dans sa communication :,,Etude sur la survenance des sinistres en assurance automobile", M. Brichler propose de poser b = Iet a ~gal l'inverse de la Ir6quence moyenne du groupe. Cette solution correspond ~ un cas limite de la repr6sentation par l'eul~rienne de seconde esp~ce rdduite ae- ~8. Ceci semble valable lorsque la classe de risques est tr~s dissym6trique et l'esp6rance matmmatique du nombre de sinistres tr~s faible, mais conviendrait moins bien g des classes plus h6tfirog&nes pour lesquelles on trouve b variant de 1,5 ~. 2.

6 19o MATHt:.MATIQUES DE L'ASSURANCE AUTOMOBILE D'autre part, M. Briclder a essay6, empiriquement, de trouver une repr6sentation des fr6quences des ann6es successives par des formules plus g6n6rales, notamment en dormant un poids plus fort aux sinistres des ann6es rdcentes et plus faible aux sinistres anciens. Nous ne parlerons pas du probl~me de jugement d'un tarif, car aucune communication n'est prdsent6e sur ce suiet. Je voudrais cependant rappeler que l'analyse de la variance permet de d~composer la variance totale des sinistres cn variance li6e par le tarif et variance non expliqnde par le tarif. La variance du risque probable divis6e par la variance like par le tarif donne la mesure de l'efficacltd de ce tarif. Cette mdthode a encore peu ~td utilis6e. En terminant, je voudrais faire remarquer que, pour dtablir les mod61es rep%sentant la survenance des accidents et l'estimation des fr6quences individuelles des assur6s, nous avons fait appel seulement k quatre distributions: F(s).P(s'l s) G(X) H(c' I s) fonction de des risques individuels probabilitd de survenance d'un sinistre fonction de des co6ts de sinistres fonction de du comportement des conducteurs qui nous permettent d'obtenir toute l'information d~sirde. Un effort tr~s grand devrait ~tre fait pour obtenir de mani6re tr&s p%cise ces distributions.

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