Equilibre technique d'un exercice de souscription

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1 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS*) par JEAN SOUSSELIER, Paris La question est controvers~e de savoir si l'on doit tenir compte du revenu des placements -- et 6ventuellement des b6n6fices sur r6alisations de valeurs -- pour appr~cier le r6sultat technique de la branche Automobiles. Rappelons qu'en France, r6glementairement, dans les 6tats B 3 qui font apparaitre le r6sultat technique de la cat6gorie, on tient compte des frais g6n6raux, ce qui est normal, mais non des int6r~ts. En r~alit6, il semble bien qu'il soit difficile de faire abstraction d'un 616ment non n6gligeable de profits et pertes qui d~rive de l'exercice m~me de l'industrie de l'assurance, mais la question demeure de savoir dans quelle mesure il faut en tenir compte. Nous allons montrer que la question est intimement li~e ~ la conception m~me que l'on se fait du montant des r~serves techniques inscrire au passif du bilan. Equilibre technique d'un exercice de souscription On ne peut avoir une idle saine tant des r6sultats techniques que des revenus de placements que si la comptabilit6 est 6tablie par exercice de souscription. C'est l'hypoth~se que nous retiendrons dans ce qui va suivre 1). Un tel exercice donne lieu ~ encaissement d'un certain montant de primes, au paiement de commissions et de frais g6n6raux et enfin au paiement de sinistres s'~chelonnant dans le temps, au delh de la cl6ture calendrier de l'exercice, Pour plus de rigueur m~me -- et l'on peut se r6f6rer au mode de raisonnement appliqu6 en Assurance sur la Vie -- il faut consid6rer *) Pr6sent6 au Colloque de I'ASTIN 1962 ~ Juan-les-Pins. 1) Nous examinerons in fine dans quelle mesure il faut corriger cette conception en faisant intervenir le jeu des exercices successifs.

2 272 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS s6par6ment les diff~rentes 6ch6ances de primes, chacune se comportant comme une sorte d'exercice isol6: ensemble des assurances 6ch6ance du Ier janvier, ensemble des assurances ~ 6ch6ance du 2 janvier, etc.., jusqu'~ celles k 6ch6ance du 31 d6cembre. (I1 est indiff6rent de raisonner sur un ensemble ou,,en valeur probable" selon le principe actuariel classique). Consid6rons donc une 6ch6ance de primes d6termin6e. L'Assureur encaisse ces primes, pale les commissions et les frais g6n6raux correspondants et dispose ainsi d'une certaine masse de manoeuvre (fonds qu'il peut investir). Les sinistres surviendront en moyenne six mois apr&s l'6ch6ance et seront pay6s dans des d61ais variables selon une certaine cadence: un certain nombre d~s la premiere ann6e h partir de la souscription, un autre hombre la seconde ann6e, un troisi~me la troisi~me ann6e, etc... D6signons, si l'on veut, par s 1, s 2, s 3, s4... etc.., ces diff6rents montants, la somme s 1 + s 2 + s 8 + s tant 6gale au montant des sinistres S correspondant aux primes P. La r6serve constituer est ainsi: s l+s,+s 3+s et, logiquement pour y faire face, l'assureur devrait investir la somme s 1 pendant six mois, la somme s, pendant I an et demi, la somme s 3 pendant 2 ans et demi... la somme sk pendant (2k -- I) demi-ann6es... ou, plus exactement, il doit investir les valeurs actuelles de ces sommes soit: s:, s,, s:, s:,... qui, capitalis6es ~ un taux d'int6r~t i, reproduiront le montant des sinistres ~ payer. On a donc la formule g6ndrale pour les sinistres de k eme ann6e h partir de l'6ch6ance 0 Sk--1 s, = s, (I + i)- (-x-) En faisant le m~me raisonnement pour les diff6rentes 6ch6ances de primes et en faisant la sommation, on obtiendrait la r6serve totale h constituer et l'on pourrait 6valuer l'importance de la capitalisation financi~re r6alis6e. Par capitalisation financi~re il ne faut pas entendre uniquement les coupons annuels mais aussi la plus-value des titres. I1 s'agit en

3 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS 273 effet d'investir une certaine somme s~ qui doit produire apr~s k ann6es la somme s v On peut investir en obligations venant k cette 6ch6ance ou que l'on vendra avec une certaine plus-value -- ou moins-value. -- On peut investir en actions dont le dividende annuel sera faible mais qui pr6senteront apr~s k ann6es un b6n6fice en capital important. Tout ceci ~quivaut actuariellement k une capitalisation int6ret compos6 ~ un certain taux i r6sultant de la formule ci-dessus. Bien que cette th~orie soit des plus ~16mentaires eue peut sembler n~anmoins quelque peu r6volutionnaire. C'est ce qu'il convient d'examiner maintenant. Rdserve de risques en cours et rdserve de sinistres On remarquera que cette th6orie fait bon march6 de la distinction classique entre la r~serve pour risques en cours et la r6serve pour sinistres restant ~ payer. C'est qu'en effet, conform6ment aux principes actuariels, on admet, par hypoth~se, que les primes nettes de charges contrebalancent exactement le montant des sinistres -- compte tenu de la capitalisation de l'argent -- et, dans une telle conception, il n'y a plus que des reserves d'un caract~re math6matique. On peut encore dire, si l'on veut, que la r6serve pour risques en cours n'est que la mise en reserve d'une fraction des primes nettes de charges destin6e A faire face ~ des sinistres non encore survenus, mais en puissance, ce qui est mathsmatiquement 6quivalent. Trois conceptions sont en effet possibles au sujet de la rsserve pour risques en cours: i ) -- Formule prospective: la somme k mettre en r6serve est ceue qui permet de faire face (toujours compte tenu de la capitalisation) A des d6bours futurs. C'est la conception la plus saine et classique; elle correspond ~ la notion de bilan de liquidation. 2 ) --Formule r6trospective: on met en reserve ce qu'on a pu 6conomiser, conception qui peut paraitre absurde mais qui est lrigoureusement 6quivalente h la premiere si le tarif est bien 6tabli et si, par cons6quent, les sinistres correspondent aux primes nettes de charges. 30) --Equipartition: on met en r6serve la fraction de prime exc6dant la date du 31 d~cembre, calcume prorata temporis, con- x9

4 274 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS ception dans laquelle on ne prend pas cr6dit au titre de l'exercice de la fraction de prime qui n'y est pas affdrente. Ceci suppose que le risque se r6partit uniforln6ment dans le temps et reste de m~me valeur pour l'exercice en cours et pour le suivant. M~thode strictement 6quivalente aux deux pr~c6dentes dans la mesure oh le tarif est correct mais on voit imm6diatement que si le tarif est insuffisant par exemple, cette m6thode,,de fraction de prime non acquise" revient A faire supporter k l'exercice suivant une partie de la perte qui devrait ~tre assum~e par l'exercice responsable des souscriptions. En mati&re de r6serve de sinistres, la seule conception qu'il parait 16gitime de retenir est la conception prospective: il convient de mettre en r6serve la valeur des sinistres qui seront ~ payer ou plus exactement, pour tenir compte de la capitalisation de l'argent, leur valeur actuelle. La difficult6 est 6videmment qu'on ne connait pas le montant auquel seront effectivement r6gms les sinistres. Trois facteurs interviennent en effet: Premier Facteur L'estimation d'un sinistre est chose malais~e. Elle ne peut d'ailleurs ~tre strictement faite au d6part si l'on ne connalt pas le montant de la responsabilit~, le taux de consolidation des blessures, etc... Nous n'insistons pas sur ce point qui est cependant capital car il sort de l'objet de notre 6tude et nous admettrons que par une intuition remarquable des choses ou par des m6thodes statistiques, math6matiques ou actuarielles, les Services des sinistres ont dt6 m~me de d6terminer exactement le montant des sinistres ~ payer ou, tout au moins, que les erreurs commises par exc~s compensent exactement les erreurs commises par d6faut. I1 s'agit lh, bien entendu, d'une vue id6ale mais il est tout-~-fait n6cessaire de la retenir car sinon on introduit un facteur d'erreur qui fausse et l'appr6ciation du r6sultat technique et l'effet des int~r~ts. Si, en effet, on constitue des r~serves major6es, devant d6gager un boni, il n'est pas Mgitime de calculer les int6r~ts sur la totalit6 des sommes ainsi raises en r6serve car on capitalise de cette fa~on des fonds qui ne d6pendent pas de la technique de la branche.

5 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS 275 II s'agit, en fait, de r6serves fibres appartenant en propre h la Soci6t6. Inversement, si on constitue des r~serves insuffisantes, non seulement on verra apparaitre des malis qui devront ~tre pr61ev6s sur les ressources propres de la Compagnie, mais encore on se prive d'une s6rie de revenus financiers qui auraient dr ~tre affect6s ~ l'~quilibre de la branche. Deuxi~rne Facteur I1 ne suffit pas, d'ailleurs, d'avoir une correcte estimation du montant des r~glements, il faut, pour appr6cier le jeu des int6r~ts, connaitre exactement la cadence de r6glements future. En effet, la notion de valeur actuelle est 6troitement d6pendante de cette cadence de r&glements. Mais il y a une circonstance aggravante: le montant auquel le sinistre sera r~gl6 d~pend lui-m~me de l'~poque ~ laqueue le paiement intervient. En effet, bien que l'usage n'en soit pas fr6quent, un tribunal peut d6cider de majorer l'indemnit6 des int6r~ts courus depuis le jour de survenance du sinistre ou encore il peut tenir compte, dans la fixation de cette indemnit6, du montant des int6r~ts courus. I1 est clair que, dans un tel cas, la capitalisation des r6serves de sinistres ~ un taux au moins 6gal aux int6r~ts imposes par le jugement est une n6cessit~ proprement technique. Si, pour rendre ce sinistre comparable aux autres on exclut de son montant la fraction repr6sentant les int6r~ts, la somme mettre en r6serve initialement n'est plus la valeur actuelle au sens actuariel du mot, c'est-~-dire l'escompte, mais la valeur pleine qui, capitalis6e, reproduira le montant effectif du r~glement. Troisi~me Facteur Mais le facteur le plus grave, et chacun le sait, est que la cadence de r~glements influe directement sur le montant des sinistres, et ceci pour deux raisons: a) Les sinistres qui sont r6gl~s apr~s de longs d~lais ou une laborieuse proc6dure peuvent se r6v61er beaucoup plus on~reux que ceux r6gl6s dans un court d61ai, ~ la suite de transactions par exemple. Ceci constitue d'ailleurs un dl~ment moral pouvant inciter les Soci6t6s k faire face rapidement ~ leurs obligations.

6 276 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS b) I1 y a, d'autre part, le ph6nom~ne quasi-g6n6ral du rench6rissement du cofit des sinistres au cours du temps, dfi k la d6pr6ciation mondtaire, k l'augmentation du prix des choses et k l'appr6ciation de plus en plus large de la r6paration des dommages de responsabilit6 (voir k ce sujet les courbes dtablies par Monsieur Pierre Frangois au Colloque de Nice en I96O montrant la croissance du coflt moyen des sinistres mat6riels et corporels ainsi que du point d'invalidit~. La croissance des sinistres mat6riels suit grossi~rement les prix de gros mais celle des sinistres corporels est plus rapide que la croissance des salaires) 1). Est-il alors normal de faire intervenir ce facteur de rench6rissement dans l'6valuation des r6serves de sinistres? Nous faisons abstraction de la difficult6 de d6termination pratique de ce coflt futur, qui exigerait une rue proph6tique de l'avenir. Supposons qu'on puisse conjecturer l't~volution future des cofits moyens et connaltre simultan6ment les cadences de r~glements: serait-il normal de se baser sur ce coflt? Nous avons tendance ~ r6pondre non car il s'agit d'un ~l~ment ext~rieur au tarif, assimilable k d'autres facteurs qui peuvent vicier la vie d'une entreprise, comme ]a d6pr6- ciation de certains biens d'actif, la confiscation de certains avoirs, des mesures l~gislatives impr6vues, etc... Cependant, comme il faut bien que l'assureur puisse faire face k ces paiements futurs major6s, il faut que soit obtenue une surcapitalisation des montants mis en r6serve initialement. On peut 6tablir une sorte de th6or~me: Si s, est le montant du sinistre dans la k ~me annie correctement estim6 selon les normes de l'ann6e initiale, s o, sa valeur actuelle calcul6e ci-dessus (s~ capitalis6 au taux i donnant s,), pour obtenir s~, montant du sinistre s, compte tenu du rench6rissement du cofit des sinistres, il faut capitaliser au taux i' au lieu de i tel que: La surcapitalisation i' - i doit donc ~tre au moins 6gale au coeffi- 1) Nous n~gligeons la vieille querelle faite aux Magistrats de retenir la date de r~glement et non la date de survenance des sinistres pour la fixation des indemnit~s, parce que le reproche est partiellement faux -- le calcul des rentes est bas6 normalement sur le salaire des victimes au jour de l'accident, et nettement injuste -- le versement fair aux tiers 16s6s doit s'inspirer de la valeur de la monnaie au jour off il est effectu6.,

7 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS 277 cient de rench6rissement. Par exemple, si le coefficient d'accroissemerit annuel du coflt des sinistres est de 5 %, cela exige de capitaliser 5 % de plus que le taux i. Si le taux effectif de placement ne d6passe pas 5 ~o, ceci signifie donc que tout l'int6r~t financier sert faire face k l'accroissement futur des cofits. En rigueur, il faudrait avoir recours k des placements index6s 6voluant selon l'exacte revalorisation des sinistres. De toute fa~on, rassureur ne dispose plus d'aucun revenu financier pour l'6quilibre technique de son tarif. Limite de 65 ~o On ne peut 6videmment parler de revenus financiers que dans la mesure oh on est capable de repr6senter par des 616merits d'actif, productifs de revenus financiers, les r6serves de sinistres. En d'autres termes, on ne peut prendre en consid6ration que les int6r~ts qui d6rivent des fonds rendus disponibles par le jeu de l'assurance, c'est-k-dire les primes nettes des charges. Disons sch6matiquement: Primes IOO, charges 35; cette limite est donc de 65 %. Si donc, au d6part, les sinistres exc~dent la limite de 65 %, la repr6sentation des r6serves ne peut intervenir qu'en faisant appel k d'autres ressources de la Compagnie et ron ne peut prendre en consid6ration les revenus qui en d6rivent. Par contre, si les r6serves n'atteignent pas cette limite de 65 ~o, la Compagnie est ~ marne de capitaliser des fonds pour un montant sup6rieur ~ celui des r6serves techniques strictement n6cessaire et en retirer des revenus financiers suppl6mentaires. Mais il ne parait pas rlormal non plus de tenir compte de ce suppl6ment puisqu'aussi bien la Compagnie aurait pu distribuer ce montant ou raffecter k d'autres usages. On aboutit donc au sch6ma suivant: I ) -- So < 65 ~o, c'est-~-dire les sinistres en valeur actuelle sont inf6rieurs k la limite de 65 %. Dans ce cas, il suffit de capitaliser le montant S o qui produira le montant effectif des sinistres S~ et pour obtenir le montant r6el S~ compte tenu du rench6rissement, il faudra ou obtenir un surint6r~t ou capitaliser une somme sup6- rieure k So: appelons-la S~. 2 ) --So >~ 65 ~o, c'est-~-dire les sinistres en valeur actuelle d6passent la limite de 65 %. I1 n'est possible de capitaliser que la

8 278 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS somme de 65 qui ne parviendra h constituer qu'une fraction des sinistres Si et, afortiori, une fraction des sinistres S~ compte tenu du rench6rissement. On peut dire qu'on est h la fois en perte technique et en perte financi~re. Exemple schdmatique Donnons un exemple sch6matique chiffr6. Supposons un montant de sinistres de 62, chiffre initial, devant se r~gler finalement ~ 68, chifffre final, sans, dans cette majoration, faire la distinction entre ce qui provient du jeu des int6r~ts ou du jeu des autres facteurs de rench6rissement; on ales deux pr6sentations possibles: z~re prdsentation Compte technique B~n6fice technique 3 Revenu sur 62 et 3 ~ 9 (en admettant qu'on capitalise aussi le b6n6fice de 3, ce qui n'est pas normal comme il a 6t6 dit) Cette somme d'int6r~ts de 9 servira, ~ concurrence de 6, ~ compenser l'insuffisance future des r6serves. I1 restera un b6n6fice propre d'int6r~t de 3. Le b6n6fice total est ainsi de 6 dont: B6n6fice technique 3 B6n6fice financier 3 2~me prdsentation On inscrit les r6serves pour leur valeur finale 68. On a donc: Compte technique Perte technique 3 Revenu financier sur 65 = 9 Le b~n6fice total est 6 comme ci-dessus, mais se d~composant cette fois en Perte technique 3 B6n~fice financier 9 I -- Rdassurance Deux remarques On ne peut d6gager les v~ritables r~sultats techniques si l'on

9 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS 279 n'61infine pas l'incidence de gros sinistres 6ventuels, c'est-h-dire si l'on ne tient pas compte d'une r6assurance en exc6dent de sinistres. Dans cette conception -- qui suppose d'aiueurs que le r6assureur fait son affmre de la constitution des r6serves de sinistres k sa charge -- l'assureur direct ne d6compte les sinistres que pour la portion n'exc6dant pas la hmite de l'exc~s. La prime vers6e au r6assureur constitue une charge de l'exercice qui doit ~tre assimime k un sinistre: on substitue en effet k des paiements al6atoires variables une contribution constante. II- Jeu des exercices successifs M~me en 61iminant l'dl6ment perturbateur des sinistres importants, les r6sultats seront n6cessairement fluctuants d'un exercice l'autre. I1 n'est donc pas normal de traiter chaque exercice comme une entit6 s6par~e. Une certaine compensation doit intervenir. De la m~me mani&re une perfection dans l'estimation des r6serves ~tant impossible, il est normal que des bonis d6gag6s sur les r6serves de certains exercices compensent les insuffisances de rdserves se r6v61ant d'autre part. La th6orie unitaire d6velopp6e pr6c6demment doit donc ~tre corrig6e d'un mani~re ad6quate. Cependant, on ne peut faire jouer la compensation entre exercices que pour 6quilibrer des fluctuations d'ordre accidentel et non pour corriger une tendance nettement d6favorable. Ce serait masquer une perte technique r6elle, c'est-kdire une insuffisance de tarification, par le j eu fictif de bonis de liquidation ant6rieurs ou de b6n6fices de rdalisations de valeurs. Cependant, dans la r6alit6, un Assureur ne peut faire la scission effective de ses investissements en la multiplicit6 des exercices et des ann6es de r~glements. I1 est exclu, comme le voudrait la thdorie, que l'assureur r6alise une pattie de son actif pour faire face ~t des paiements actuels de sinistres et investisse dans le m~me temps des fonds pour faire face aux sinistres ~ payer dans l'avenir. Conclusion On peut s'6tonner qu'~ la question simple pos6e de savoir si et dans queue mesure on devrait tenir compte des benefices financiers, nous opposions une r6ponse complexe. On peut 6galement nous reprocher de proc6der k des d6veloppe-

10 280 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS ments purement th~oriques et de faire bon march6 des contingences comptables, fiscales et r6glementaires. Nous sommes conscients de ces d6fauts. Mais nous estimons pourtant qu'une id& claire de la relation qui existe entre le r6sultat technique et le revenu des placements ne peut d6river que de la notion classique de valeur actuelle, ce qui signifie qu'on applique k l'estimation des sinistres un escompte financier. Le revenu des valeurs devient ainsi partie int~grante des composants techniques, comme cela a lieu dans l'assurance sur la Vie. Ce n'est que si les int6r~ts exc~dent l'int6r~t du tarif qu'on peut parler de b6n6fice financier. Cependant, pour sacrifier aux usages et pour garder une marge de s&urit~ fiscalement d6ductible, on peut admettre d'inscrire les sinistres pour leur valeur vraie de liquidation pr6visible. On introduit ainsi une charge occulte dans le compte technique; en contrepartie, le revenu financier peut ~tre pris enti~rement en b6n6fice. Mais il est tout-k-fait abusif de majorer les r~serves au point d'afficher une perte technique en se vantant par ailleurs d'un important,,b6n6fice" financier. Dans le cas, enfin, oh l'~16vation future du cofit du r~glement des sinistres devrait absorber tous revenus et plus-values des placements, on ne saurait retenir aucun profit financier pour l'6quilibre technique de l'op6ration d'assurance. Avril I962 A nnexe CADENCE DE REGLEMENTS DES SINISTRES AUTOMOBILES ET INTERETS FINANCIERS En se pla~ant ~ la date de souscription d'un contrat, l'assureur direct per~oit la prime nette de charge (P - c) et d~bourse la valeur actuelle des sinistres y aff6rents, pay6s ~ raison de s 1 la i~re ann6e... sk la k ~me annie. L'~quilibre du tarif exige que -- capitalisation suppos6e au taux i et sinistres supposds en milieu d'ann6e -- 1 S 6 (I) (P--c) =s 1(I +i)-i+s,(i+i)-i+s 3(I+i)-i + 17; sk(i+i)- " +...

11 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS 281 I~re 2~ 3~ 4~ 5~ 6~ ann~e I I I I I I I t S S P-c En posant (2) S O = s, + s, s t... la valeur actuelle des sinistres, le montant rfel des sinistres pay6s est la capitalisation de cette valeur actuelle au taux i: 1 I (3) sl+s~+...+st..=s~(i+i);+s:(i+i);+... till-- 1 +s~(z+0, +... La diffdrence Z s~ -- Z sl reprdsente le total des int6rgts recueillis. En n6gligeant les termes de puissance 2 ou supdrieurs dans les d6veloppements, ce qui revient h capitaliser h int6rets simples seulement, on a: (4) total des int~r~ts = i sl + ~ sl k--I o ) --y-- s, +... Comme, d'autre part, dans Fhypoth~se du tarif dquilibr6: 0 0 O (2his) P -- c = s, + s, s, +... on arrive ~ la conclusion suivante: si la cadence de r~glement est invariable, c'est-h-dire si chaque terme s~ est proportionnel k P- c- ou encore si, en posant P = IOO, c -~ constant = 35 par exemple, less ' t sont des nombres fixes -- le montant des intdrgts est lui-mgme invariable et ddpend de la seule cadence de r~glement: plus cette cadence est lente plus les intdr~ts sont dlfvds puisque les derniers termes subissent un tacteur de multiplication plus ~levd. I1 convient maintenant de faire la sommation pour les diffdrentes 6ch6ances de primes. Ier ex. 2& ex. 3~ ex. 4 ~ ex. Une simplification,,pp,oxi,,,- I I I I tire consiste ~ supposer les I sl ss I ss I primes ~ ~ch~ance en nfilieu P--c d'ann~e. Le montant total d'int~r~ts a la m~me expression mais il faut bien comprendre que les int~rats sont encaiss~s au cours d'exercices successi/s d'une mani~re ddgressive.

12 282 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS Essayons de raisonner en fonction des r6serves de sinistres en suspens (en s'en tenant aux int6r~ts simples) Ces r&erves sont les suivantes en admettant une rdpartition rdguli&e dans l'annde du paiement des sinistres: C5) fin Ier exercices-!+ s~+s 3+s dont le cumul est: (6) sl + 3 s~ + 5? 2~ exercice s~ + s3 + s ~ exercice s-! + s qui, multipli~ par i, donne le total des int~r&s per~us. Cette formule serait identique ~ la formule (4) si on substituait less] aux si. En effet, en basant les reserves sur les montants de sinistres bruts, on capitalise des sommes trop ~lev&s: il faut mettre en reserve les valeurs actueues. Cadences comptables Les si repr6sentent les cadences rdelles de r~glement des sinistres. Ce ne sont pas les cadences comptables c'est-~t-dire le pourcentage de sinistres effectivement pay6s pendant le Ier exercice, le 2~me exercice, le 3~me exercice, etc. Seules ces cadences comptables sont directement observables. D6signons-les par ti. On a: t 1 -- Sl 2 (7) t2 --- $1 q- 52 ti 2 _ s~_ ~ + si 2 ~S+ l -- sn 2

13 - s ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS 283 Connaissant les cadences comptables ti, on obtient les cadences r6elles s~ par les formules: ~8) $1 : 2 ~I sz : 2 t 2-1 Exemples thdoriques : On suppose la cadence (r6elle) de r~glement suivante: I~re ann6e: 50% 2~me ann6e: 25 % 3~me ann6e: 15 % ~me ann6e: 5 %,! u n, I, I ~ I u I, 5~me ann6e: 5 % IO 5 3 Total :IOO % La cadence,comptable, est ainsi: Ier exercice" 25 2~ exercice" 37 3~ exercice" 20 4& exercice" IO 5~ exercice" 5 6~ exercice" 3 Total: IOO Les r6serves pour sinistres k payer successives sont: Soit un total de 142 % ou (sur la base maximum de 65 % des primes) 92, 30 % des primes. En ajoutant ~ ce montant la r6serve de risques en cours 36 % on a un total de 128 % ce qui, ~ 5 %, repr6sente un revenu d'int~r~t de 6,40 %. Si l'on suppose l'~chelonnement tr~s lent: IO on obtient la cadence comptable, sur 8 exercices: 15--3o

14 284 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS ce qui conduit k un cumul de suspens de 217 ~o ou 141 ~o des primes, soit avec les rrserves de risques en cours 36 ~o, 177 ~o de rrserves techniques, soit, ~ 5 ~o, un intrr~t total de 8.8 /o. Cadences comptables observdes Les cadences observ~es sont en rralit6 tr~s variables selon les Compagnies et selon les annres. Voici quelques exemples: I- Ensemble de Compagnies Fran~aises (pour 6~ exercice et suivants) II- i Compagnie Fran~aise (6~ exercice et suivants) III- i Compagnie Fran~aise (6~ exercice et suivants) IV- I Compagnie Italienne, moyenne o I Si, h partir de ces taux, on cherche h remonter aux cadences rreues selon la formuie (8), on arrive ~ des anomalies: Par exemple pour (I): t : s: avec un taux nrgatif en 4~me annre! De m~me pour (IV), la cadence de I~re annre serait 54 2 = io8 %1 I1 faut sans doute en conclure que l'hypoth&se de paiement rrguli~rement ~chelonn6 des sinistres en cours d'annre n'est pas vrrifre dans la pratique. Rdgime des inldr~ts rdels Les formules pr~crdentes permettaient d'obtenir le total des intrr~ts k recevoir au titre d'un exercice de souscription mais ne donnaient pas la r~partition effective de la perception de ces intrr~ts. Pour cela il faut considrrer le cumul des exercices successifs. On a le schrma suivant, en d~signant par tij le montant des

15 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS 285 sinistres de l'exercice de souscription i pay~s dans la j~me annie, c'est-h-dire dans l'exercice comptable (i + j -- I): exercices: tll 2 I 3 I 4 I 5 t12 tz3 tz4 tz5 t~z t~ t~ t~4 taz ta2 ta3 tiz t,, t6~ Si l'on suppose que les tij sont ind6pendants de i tq ---- tj 6 tz6 t~5 ~34 tel I 7 I 8 I t26 tan t~ tu t~ t~ ts, te~ t63 t71 /72 ts1 ce qui implique non seulement la permanence des cadences de r~glement pour tousles exercices mais aussi l'6galit6 des encaissements -- plus rigoureusement du montant des sinistres -- on voit qu'en r6gime plein, on obtient un montant constant de sinistres pay6s ~gal ~ la somme: tl + t~ + t3 + t, + ts + t6 Pour faire face k ce montant constant de sinistres, l'assureur dispose de la prime nette de charges (P -. c) qui lui est pr~cis6ment 6gale puisque dans les hypotheses retenues. Ig s~ = Z ti. Quant ~L la r6serve pour sinistres ~L payer, elle est 6gale h -- par sommation du tableau encadr6 sur la figure: (9) 5 t, + 4ts + 3 t t, ce qui, d'apr~s la formule (7), conduit h: ss s5 + s4 + 3 s z -I- s S z -,J- s 1 (9 bis) 5 -~- + 4 ~ 2 2 S2 S3 S5 OU : sz Y 2

16 286 ASSURANCE AUTOMOBILES ET REVENUS FINANCIERS On retrouve la formule (6). Par cons6quent, les int6r~ts per~us au cours d'un exercice colnptable sont ~gaux au total des int~r~ts ~t percevoir au titre d'un exercice de souscription. Mais on voit quelles hypotheses restrictives il y a lieu de faire pour qu'il en soit ainsi. Si on ajoute que dans notre th6orie, il ne faut pas faire intervenir les seuls int~r~ts annuels (coupons ou dividendes) mais aussi les profits sur remboursements ou ventes, on voit qu'on ne saurait parler des revenus financiers par la seule consid6ration des recettes enregistr6es au cours d'un exercice comptable mais qu'on doit suivre le d6veloppement des investissements aff6rents ~t un exercice de souscription. Ceci s'apparente au jugement des taux de sinistres sous forme de taux d6velopp6s par exercice et non du seul taux de l'ann6e.