Les arbres pour trier. Objectifs. Contexte L ensemble des données à trier peut être. Nour-Eddine Oussous, Éric Wegrzynowski.

Transcription

1 Nour-Eddine Oussous, Éric Wegrzynowski Introduction Trier avec des ABO Principe Complexité du tri Trier avec des maximiers décembre 00 Objectifs Montrer l utilité des arbres pour trier des données Deux tris exposés. tri par construction d un ABO. tri par construction d un maximier Contexte L ensemble des données à trier peut être un tableau T [..N] d éléments de type E une liste L d éléments de type E Dans la suite le type ENSEMBLE est soit soit type ENSEMBLE = LISTE ; type INDICE =.. N; ENSEMBLE = array [ INDICE ] of ELEMENT ; E est supposé totalement ordonné par une relation notée. Les tris considérés produisent un ensemble (liste ou tableau) trié dans l ordre croissant.

2 Principe Principe de l algorithme Construction de l ABO À partir d un tableau (ENSEMBLE=array[INDICE] of ELEMENT) T = T = Les données à trier (ici un tableau). Construire un ABO. Parcourir les nœuds de l ABO dans l ordre infixé function construitabo ( T: ENSEMBLE ): ARBRE ; var a : ARBRE ; i : INDICE ; a := ARBREVIDE ; for i:= low ( INDICE ) to high ( INDICE ) do insererabo (T[i],a); construitabo := a; end { construitabo }; Construction de l ABO À partir d une liste (ENSEMBLE=LISTE), version itérative function construitabo ( L: ENSEMBLE ): ARBRE ; var a : ARBRE ; L : ENSEMBLE ; a := ARBREVIDE ; L := L; while not ( estlistevide ( L )) do insererabo ( tete (L),a); L := reste (L) end ; { while } construitabo := a; end { construitabo }; Obtention de l ensemble trié À partir d une liste (ENSEMBLE=LISTE) function parcoursabo (a : ARBRE ) : ENSEMBLE ; var l,l, l : ENSEMBLE ; if estarbrevide (a) then parcoursabo := LISTEVIDE else l := parcoursabo ( gauche (a )); l := parcoursabo ( droit (a )); l := ajouteentete ( racine (a), LISTEVIDE ); concatener (l, l ); concatener (l, l ); parcoursabo := l; end {if}; end { parcoursabo }; Pour obtenir une version triée de la liste L : L := parcoursabo ( construitabo (L ));

3 Tri d un tableau À partir d un tableau (ENSEMBLE=array[INDICE] of ELEMENT) // parcoursabo (a,t,i ) range dans l ordre // croissant les valeurs situées dans a dans // le tableau T à partir de l indice i // À l issue i est augmenté de la taille de a procedure parcoursabo ( const a : ARBRE ; var T : ENSEMBLE ; var i : CARDINAL ); parcoursabo ( gauche (a),t,i); T[i] := racine (a); i := i +; parcoursabo ( droit (a),t,i); end { parcoursabo }; Complexité du tri Coût en espace. Construction de l ABO : allocation de N cellules. Production de l ensemble trié à partir de l ABO aucune dans le cas d un tableau allocation de N nouvelles cellules dans le cas d une liste Pour trier T : i := 0; parcoursabo ( construitabo (T),T,i); Complexité du tri Coût en temps Complexité du tri Remarque. Coût de la construction de l ABO : Θ(N ) dans le pire des cas (se produit lorsque l ABO construit est dégénéré) Θ(N log(n)) dans le meilleur des cas. Coût du parcours : en Θ(N) dans tous les cas Conclusion coût total en Θ(N ) dans le pire des cas coût total en Θ(N log(n)) dans le meilleur des cas Le tri par ABO est très proche d un tri nommé tri rapide (ou quicksort). Le tri rapide des tableaux (bien programmé) ne consomme aucun espace mémoire supplémentaire, et a un temps d exécution en Θ(N ) dans le pire des cas, et en Θ(N log(n)) en moyenne.

4 Exemples de maximier Un maximier est un arbre binaire satisfaisant l une des deux conditions suivantes. a =. a = <e; g; d > tel que g est un maximier, d est un maximier, et e est supérieur aux racines de ses deux sous-arbres (si celles-ci existent). Deux maximiers avec les mêmes éléments : Propriétés Théorème Tout arbre de taille est un maximier. La racine d un maximier est l élément maximal. Remarque Pour un ensemble donné, plusieurs maximiers possibles en général, mais tous les maximiers ont même racine : l élément maximal. Arbres complets Un arbre binaire est complet s il satisfait aux deux conditions. Tout nœud a zéro ou deux fils.. Toutes les feuilles sont à même profondeur. Exemples

5 Propriétés des arbres complets Théorème Soit a un arbre binaire de hauteur h. Pour tout 0 p h, a possède p nœuds de profondeur p. La taille de a est h+ Il n existe pas d arbres binaires complets pour toutes les tailles. Arbres quasi-complets Un arbre binaire de hauteur h est quasi-complet s il satisfait aux trois conditions. toutes les feuilles sont de profondeur h ou h. il y a h nœuds de profondeur h (la profondeur h est complète). les nœuds de profondeur h sont situés le plus à gauche Exemples Représentation contigüe des arbres quasi-complets Théorème. Il existe des arbres quasi-complets de toute taille.. La hauteur h d un arbre quasi-complet de taille n est h = log (n) Un tableau T [..N] peut être considéré comme un arbre quasi-complet.. la racine est l élément T [],. le fils gauche de l élément d indice i est celui d indice i. le fils droit de l élément d indice i est celui d indice i T =

6 Filiation et paternité Construction d un maximier illustrée racine : T [] fils gauche du nœud T [i] : T [i] fils droit du nœud T [i] : T [i + ] feuilles : T [i] avec i > N père du nœud T [i] : T [i ] T = T = T = T = T = T= Pré-maximier Un pré-maximier est un arbre binaire non vide dont les deux sous-arbres gauche et droit sont des maximiers. Remarque tout maximier est un pré-maximier. Transformer un pré-maximier en maximier // reorganiser (T,I,M ): transforme le prémaximier // T enraciné en I en un maximier enraciné en I // CU : T [..M] est un pré - maximier enraciné en I procedure reorganiser ( var T : TABLEAU ; const I,M : CARDINAL ); var j,k : CARDINAL ; pasplace : BOOLEAN ; j := i; pasplace := true ; while pasplace do if *j>m then // T[j] est une feuille pasplace := false else if M >=* j+ then // T[j] a fils k := *j; if T[k] < T[k +] then k := k +; if T[j] < T[k] then echanger (T[j],T[k ]); j := k; end else pasplace := false ; end else // T[j] a seul fils (le gauche ) if T[j] < T [* j] then echanger (T[j],T [* j ]); j := *j; end else pasplace := false ; end { while }; end { reorganiser };

7 Construction d un maximier Le tri par tas illustré // construiremaximier ( T, i) transforme le // sous - arbre enraciné en i en un maximier procedure construiremaximier ( var T: ENSEMBLE ; const i: INDICE_ ETENDU ); if * i <= N then construiremaximier ( T,* i); construiremaximier ( T,* i +); reorganiser (T,i,N); end {if}; end { construiremaximier }; NB : le type INDICE_ETENDU est déclaré par T = type INDICE_ ETENDU =.. N + ; Le tri par tas Coût du tri par tas // heapsort (T ) : trie le tableau T procedure heapsort ( var T : ENSEMBLE ); var m : INDICE ; construiremaximier ( T,); for m := N downto do echanger (T[],T[m ]); reorganiser (T,,m -); end { for }; end { reorganiser }; En espace le tri se fait sur place, i.e. à l intérieur du tableau sans espace mémoire supplémentaire que celui nécessaire pour stocker le tableau. En temps coût = coût de la construction d un maximier de taille N+ le coût de la boucle pour. étude du coût de la réorganisation d un pré-maximier et étude du coût de la construction d un maximier. Mesure du coût : nombre de comparaisons d éléments du tableau.

8 Coût de la réorganisation d un pré-maximier Á chaque étape du tant que, 0, ou comparaisons d éléments de T ; Nombre d étapes : au plus la hauteur h du prémaximier. le coût de la réorganisation d un prémaximier de taille n dans le pire des cas est h. D où c reo (n) = O(log(n)). Coût de la construction d un maximier er cas : la taille du tableau est de la forme n = h+, h 0. Le maximier est alors un arbre complet de hauteur h. Le nombre c max (n) de comparaison dans le pire des cas est donné par c max (n) = c max ( h ) + h En tenant compte du fait que c() = 0, on obtient c max (n) = n log (n) ème cas : cas général, on peut montrer que c max (n) = θ(n). Coût du tri par tas Le nombre de comparaisons c(n) du tri par tas d un tableau de taille n est donc majoré dans le pire des cas par c(n) = c max (n) + = θ(n) + n c reo (m ) m= n (log (m ) ) m= = θ(n) + θ(n log(n)). Conclusion Le tri par tas d un tableau de taille n se fait en O(n log(n)) comparaisons d éléments du tableau dans le pire des cas.