4 TP CCP régulièrement donné : Etude d un circuit RLC série

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1 Précision des appareils Appliquer une amplitude s 0 de 800 mv à l oscillo. Déterminer la précision à laquelle on connaît s 0. Est-ce suffisant? Rép L oscillo donne une amplitude qui bouge d environ 2 pour cent. De même un multimètre numérique indique un nombre qui bouge de 2 pour cent. Cela peut paraître suffisant comme précision. 2 Mesure de la résistance interne d un générateur La méthode dite de la tension moitié consiste à visualiser la tension aux bornes du générateur à vide, puis de brancher le générateur sur une résistance variable, de faire varier celle-ci jusqu à obtenir à l oscillo la tension moitié de la précédente. Alors par simple application de lois d Ohm on montre que la valeur de la résistance variable est égale à celle du générateur. 3 TP CCP (extrait) : Mesure de la résistance d un circuit Matériel : Bobine quelconque, une résistance de R = 00 Ω et un condensateur de µ F. On considère le circuit résistance-bobine-condensateur en série alimenté par un générateur de tension sinusoïdale. On dispose si besoin est d une résistance variable R. Question : Mesurer la résistance totale de ce circuit. Réponse : Il faut d abord comprendre que la bobine possède un résistance propre r L qu on ne connaît pas et qu elle s ajoute à la résistance de 00 Ω. De même la résistance interne r g du GBF s ajoute. Il s agit donc de trouver la résistance totale. Pour faciliter la compréhension, on modélise la bobine par (L, r L ) et le BF par (e, r g ). Partir de u BF = (R + r L )i + j(lω /Cω)i; à la résonance ç-à-d quand Lω = /Cω, u BF et R sont en phase. Il faut donc observer à l oscillo la tension aux bornes du BF et la tension aux bornes de R, se mettre en XY, faire varier la fréquence jusqu à observer une droite et non plus une ellipse. Quand cela est fait, c est comme si L et C n existaient plus dans le circuit. On utilise alors la méthode tension moitié comme pour la mesure de la résistance interne d un géné. On mesure à l oscillo la tension à vide U vide, ce qui revient à mesurer la fem e du GBF. Puis on place la résistance variable R en série dans le circuit qui est alors fermé et débite du courant. On branche l oscillo aux bornes de cette résistance variable (celle-ci doit être placée en dernier dans le circuit pour permettre une masse commune oscillo-bf). Faire varier la résistance variable R jusqu à ce que la tension lue soit la moitié de U vide. Alors en appliquant la loi d Ohm on trouve que nécessairement R = R + r L + r g (c est comme la méthode de mesure de la résistance interne du BF sauf qu il faut ajouter les résistances de la bobine et R qui sont aussi dans le circuit). 4 TP CCP régulièrement donné : Etude d un circuit RLC série Matériel : Bobine d inductance L = 0, 08 H de résistance r, C = µf, R = 20 Ω, générateur basse fréquence de résistance interne de 50 Ω, multimètre, oscillo, ordinateur. On considère un circuit RLC série. Questions ) Mesurer la valeur r de la résistance de la bobine au multimètre. 2) Exprimer l impédance Z(ω) du circuit. Pour quelle fréquence Z(ω) est minimale? Physique PC*

2 3) Soient e(t) la tension du générateur et i(t) l intensité du courant, v(t) la tension aux bornes de la résistance. Avec des fréquences bien choisies, relever les valeurs des amplitudes de E(ω), V (ω) et I(ω) 4) Tracer Z(f) en fonction de la fréquence. Commenter. 5) Quelle est la valeur de Z(f) à la résonance? 6) Trouver r. Commenter 7) Quelle doit être la valeur du déphasage entre e(t) et i(t) à la résonance? Vérifier à l observation. 8) Trouver f tel que e(t) et i(t) soient déphasés de π/4. Mesurer le facteur de qualité Q = f 0 / f. Evaluer l incertitude sur la mesure de Q. Comparer la valeur mesurée avec la valeur calculée en théorie. 9) Observer l amplitude du générateur au voisinage de la résonance. Expliquer. Réponses ) r est de l ordre de 3 Ω 2) Z = (R + r) + j(lω /Cω) et Z(ω) = (R + r) 2 + (Lω /Cω) 2 3) S assurer de placer la résistance en dernier dans le circuit, ç-à-d reliée à la masse du BF afin de mesurer correctement v(t). On lit à l oscillo les amplitudes des tensions aux bornes du BF soit E et aux bornes de R soit V. On calcule I par la loi d Ohm : V = RI. 4) On calcule Z = E/I. On constate que le tracé de Z(f) passe par un minimum en f 0 fréquence où V est max. 5) Z(f 0 ) = R + r 6) On déduit r de la valeur minimale connue Z(f 0 ). On peut trouver un tout petit peu plus que la résistance mesurée pour l inductance, qu on peut attribuer à la résistance des fils de connexion. Toute autre valeur expérimentale trouvée plus grande provient probablement d une mesure effectuée hors résonance. 7). Déphasage nul car Z est réel. On vérifie que lors du maximum de V on a bien e et v en phase. On le vérifie plus précisément en se plaçant en position XY, la courbe v en fonction de e est une droite et non plus une ellipse. 8) Il s agit de trouver la fréquence pour laquelle e et i (ou v qui a la même phase que i) sont déphasés de ±π/4. e = Zi donne aussi Ee iϕ = ZI soit tan ϕ = Im(Z)/Re(Z) ; tan ϕ = si ϕ = π/4. Donc Im(Z) = Re(Z) = R + r, donc Z = 2(R + r). Il suffit de reprendre le tracé graphique de Z(f) et de voir en quelles fréquences on a 2(R + r). Cela donne f avec une incertitude estimée personnellement ( f). On calcule Q = f 0 / f. L incertitude sur Q est (par différentiation logarithmique et calcul d incertitude) Q/Q = ( f/f) 2 + ( ( f)/ f) 2. La valeur théorique est Q = L R+r L C. Rq: d habitude f est définie par l intervalle correspondant à G = G max / 2. Cela correspond aussi à un déphasage de π/4 entre e et i. En effet, H = conduit à tan ϕ = Lω Cω et tan ϕ = ± pour la même équation en ω que (R+r L )i u BF = +j Lω Cω R+r L lorsqu on part de G = G max / 2. R+r L 9) L amplitude e chute à la résonance car e = e g r g i et comme à la résonance i devient fort, cela fait chuter e à cause de la chute ohmique aux bornes de la résistance interne du générateur. Physique PC* 2

3 5 TP CCP variante sur l étude d un circuit RLC série Matériel : Bobine avec noyau de fer doux, une résistance R = 00 Ω, un condensateur C = µf, un générateur, oscillo, mais pas de multimètre. On considère un circuit RLC série. Questions ) Exprimer Z(ω) l impédance totale du circuit. 2) Quelle condition a-t-on à la résonance? Donner sans démonstration l expression du facteur de qualité Q en fonction de R totale, L et C. 3) On cherche à étalonner la bobine en fonction de l enfoncement x du noyau de fer doux. Tracer L(x). On cherchera à chaque fois à se placer à la résonance. 4) On remplace le condensateur par un autre de capacité inconnue C. On impose la fréquence 880Hz. Déterminer la valeur de C. 5) Quelle est la valeur de la résistance totale du circuit? 6) En déduire la valeur du facteur de qualité Q. Réponses ) Z(ω) = R totale + j(lω /Cω) 2) A la résonance u C + u L = 0. Alors u e = u R ç-à-d la tension aux bornes de R et la tension d entrée sont en phase. Le facteur de qualité est Q = L R totale C. 3) A chaque emplacement x, on fait varier la fréquence pour se situer à la résonance; celle-ci est obtenue lorsque tension d entrée et tension aux bornes de R sont en phase, ç-à-d quand on observe une droite en XY. On connaît la formule L(x)Cω 2 = ; elle permet de calculer L(x). 4) Maintenant la fréquence est imposée; on ne peut plus y toucher. Il s agit donc, avec le nouveau condensateur de trouver la position x du noyau de fer doux qui donne la résonance. Par la courbe de L(x) tracée précédemment ; de cette valeur x on déduit la valeur de L(x) correspondante. Puis on calcule C par la formule L(x)C ω 2 =. (L élève a trouvé C = 52 nf ). 5) Voir le paragraphe 3 : Mesure de la résistance d un circuit. 6) Ayant trouvé L, C et R totale, on déduit enfin Q = 6 TP CCP : L R totale C. ) e est un générateur de tension sinusoïdale d amplitude obligatoirement égale à la tension d alimentation de l A.O. On prend R 2 = 7 3 R. Observer sur un oscilloscope analogique et tracer sur un même graphe les tensions e, s et v +. 2) Soient v H et v B les valeurs haute et basse de v +. Comparer aux R valeurs théoriques suivantes v H = V R alim R +R 2 et v B = V alim R +R 2. 3) Tracer sur du papier millimétré le mode XY. Préciser toutes les grandeurs caractéristiques et le sens. 4) On conserve le même circuit sauf que R est branchée sur la tension +V alim au lieu d être à la masse Tracer e, s et v + sur un même graphe. Conclure. Les réponses sont dans le TP Multivibrateur astable à comparateur inverseur. Physique PC* 3

4 7 Etude d un filtre (CCP) Question : Les deux résistances valent 320 Ω. Tracer le diagramme de Bode de ce filtre pour C = C 2 = 00 nf puis pour C = 00 nf C 2 = 0 nf. Comparer à la théorie. Réponse : H = +2jRC 2 ω R 2 C C 2. A T BF, H = et ϕ = 0. A T HF, H = ω 2 R 2 C C 2 et ϕ = ±π. ω 2 Pour savoir le signe, il faut voir le domaine de variation de ϕ. La fonction de transfert montre un signe de sinϕ toujours négatif donc ϕ [ π, 0]. La nature du filtre est un passe-bas de deuxième ordre. Je suppose que les deux propositions de valeurs des capacités doivent mener à un filtre soit résonant soit non résonant. Il faut essayer en manip!. 8 Couplage par capacité (CCP) C = 0, 5 µf et L inconnue (les bobines de 8 mh conviennent, on fait semblant de ne pas connaître leur valeur). Pour les calculs théoriques demandés, on considère que la résistance de l inductance est négligeable. ) Si on définit les fréquences propres de ce montage par celles qui annulent l impédance vue par le BF, montrer que les fréquences propres du circuit + 2C Γ sont : f 0 = 2π et f LC = 2π LC 2) Faire le montage. (Prendre une inductance en faisant semblant de ne pas la connaître!). 3) Pour Γ = 0, 5 µf, mesurer f. On montrera que cette fréquence correspond à une valeur maximale de tension aux bornes de Γ. 4) Mesurer f pour différentes valeurs de Γ. 5) Tracer f 2 en fonction de /Γ. 6) Déterminer L. Estimer une incertitude de mesure. Réponses : ) Z = Z LC + jγω+ Z LC = Z LC ( + +jγz LC ω ). Z = 0 si Z LC = 0 ou + jγz LC ω =. La première condition conduit au classique ω 0 = /LC et la deuxième condition à jγω(z L + Z C ) = 2, ç-à-d à Γω 2 Γ/C = 2. On obtient bien les fréquences propres signalées. 5) et 6) Le tracé de f 2 en fonction de /Γ donne une droite de pente. Le calcul de cette pente 2π 2 L conduit donc à L. L incertitude de mesure sera donnée par l incertitude sur la pente. Physique PC* 4

5 9 Etude d un filtre (CCP) R = 5 Ω R = R 2 = 30 kω R u = 5 Ω C inconnue. (Vous prendrez C entre 50 nf et 00 nf ). I) Faire le montage, appeler l examinateur. II) ) Mesurer le module de la fonction de transfert pour différentes valeurs de fréquences réparties entre 50 Hz et 50 khz. Faire un tableau avec les valeurs de v s, v e, f. 2) Tracer G en fonction de f. Le candidat pouvait utiliser excel ou bien une feuille de papier millimétré. A quelle fréquence trouve t-on la valeur maximale de G? Quelle est la valeur de G max? 3) Donner l expression théorique de H, puis de H. Commenter alors la valeur maximale de G trouvée à la question précédente. III)) On interdit toute lecture directe de déphasage donnée par l oscillo. Proposer et décrire deux méthodes pour déterminer le déphasage ϕ de v s par rapport à v e. 2) Mesurer ϕ pour différentes valeurs de fréquences réparties entre 50 Hz et 50 khz. 3) Tracer ϕ en fonction de f. 4) Trouver alors la valeur C des capacités. Remarques candidat : L examinateur n est venu que pour surveiller le montage en I) et il n est pas revenu me voir! Ni ceux qui étaient autour de moi. On pouvait néanmoins l appeler si besoin. Il y avait un logiciel sur Power Point (mal fait) pour expliquer le fonctionnement de excel et des appareils. J ai dû me débrouiller seul! Réponse : II)3) H = ( + R 2 R ) 3+j( ω ω 0 ω 0 ω ) avec ω 0 = /RC. Le gain est max pour ω = ω 0 = /RC et vaut H max = /3( + R 2 /R ). 0 Couplage par mutuelle inductance (CCP) )a) Soit un circuit comportant un condensateur C = 0, µf et une bobine en série. Le circuit est alimenté par un générateur de tension réel de résistance r. La fréquence est f. Exprimer la fréquence propre f 0 de ce circuit en fonction de L et C. )b) Mesurer f 0 en indiquant votre méthode et en déduire la valeur de L. 2)a) On applique une mutuelle inductance M entre deux circuits. Montrer que les fréquences propres sont f = 0 f et f 2 = f 0 +M/L. M/L 2)b) Exprimer Z(ω) aux bornes du générateur en fonction de L, M, C et ω. 2)c) Réaliser le montage et le faire vérifier. 2)d) Mesurer f et f 2 et en déduire la valeur de M. Physique PC* 5

6 Réponse : )a) La fréquence propre d un circuit (L, C) est f 0 = ω 0 /2π avec ω 0 = / LC. )b) Ne pas oublier que la bobine a une résistance r L. Mais celle-ci est faible et donc le facteur de qualité du circuit (r L, L, C) est très grand (Q = L C ). Du coup la tension aux bornes de C présente certainement une résonance qui se place très près de f 0 (théoriquement cette résonance est possible pour Q > / 2 et se situe à f r = f 0 /2Q 2 ). Par conséquent en prélevant aux bornes de C on obtient avec une bonne approximation la valeur de f 0 lorsque la tension aux bornes de C passe par un maximum. r L 2)a) Soient i et i 2 les courants circulant dans chaque maille (choisis descendants dans chaque inductance). Soit u la tension aux bornes du BF. La loi des mailles donne le système : u = jcω i + jlωi + jmωi 2 et 0 = jcω i 2 + jlωi 2 + jmωi. Les fréquences propres correspondent à des intensités maximales. Elles le seront pour un déterminant nul puisque celui-ci apparaît au dénominateur pour les solutions de ce système. Ce déterminant vaut ( jcω )2 + (Mω) 2. La condition pour qu il soit nul est Lω Cω = ±Mω. Ceci conduit aux fréquences indiquées. f et f 2. 2)b) Il faut arriver à u = Zi. On est donc amené à exprimer i 2 en fonction de i et de remplacer dans l expression ci-dessus de u. On trouve alors : Z = jcω + jlω j M 2 ω L /Cω 2. 2)d) Les mesures de f et f 2 s obtiennent quand la tension aux bornes du condensateur (n importe lequel ) est maximale. Pont et Etude d un coupe-bande (Centrale) Le candidat a malheureusement laissé peu de valeurs des composants, mais le plus grand intérêt est de faire les calculs demandés et d imaginer le procédé expérimental A) P, Q et ρ sont des résistances variables. γ est une capacité variable. D est un oscillo. On cherche à mesurer r et L d une bobine inconnue. ) Pourquoi utilise t-on un transfo d isolement? 2) Trouver les relations entre r, L, P, Q, γ et ρ pour V = V 2 = 0. 3) On fixe librement P et Q ; jouer expérimentalement sur γ et ρ pour trouver la situation précédente. En déduire r et L. Réponse : ) On ne peut pas avoir deux masses différentes dans le circuit. Comme on a deux appareils branchés sur le secteur, le BF et l oscillo, ils imposent leur borne noire à la masse. Si ces deux bornes noires sont séparées par des éléments passifs dans le circuit, alors cela les court-circuite, c est comme s ils n existaient pas. Le transfo d isolement branché sur le BF permet de s affranchir de sa masse. 2) Si on reconnaît un pont, il est bon de se rappeler la condition pour avoir la tension nulle aux bornes de D : le produit croisé des impédances est égal, ç-à-d ici : (r + jlω)z γ//p = P Q. Pour la démonstration, on remarque d abord que le courant est nul dans D puisque la ddp à ses bornes est nulle ce qui montre que r, L, Q constitue une branche parcourue par le même courant. De même pour l autre côté. Soit A le point commun à r et P, et B le point commun à Q et ρ. V A V 2 = V A V et V 2 V B = V V B. On applique alors le diviseur de tension : r+jlω r+jlω+q e = P P +Z γ//p e et Z γ//p P +Z γ//p e. Le calcul de Z γ//p permet d aboutir finalement à (r + jlω)ρ = P Q( + jργω). Q r+jlω+q e = Physique PC* 6

7 3) Partie théorique : égaliser les parties réelle et imaginaire : rρ = P Q et Lωρ = P Qργω, d où r = P Q/ρ et L = P Qγ. 2 Analogie Fluide-Elec (CCP) ) Expérience à tube Seul le premier tube initialement vide est relié au récipient, R 2 est fermé. Mesurer en fonction du temps la hauteur h dans le tube. Montrer que h eq h suit une loi exponentielle où h eq est la hauteur à l équilibre. Trouver son temps caractéristique. 2) Expérience à 2 tubes Cette fois les deux tubes sont initialement vides et on ouvre tous les robinets, le fluide s écoule dans les deux tubes. Mesurer en fonction du temps les hauteurs h et h 2. Montrer que h eq2 h 2 suit une loi exponentielle. 3) Analogie électrique Quelle tension de BF fournir au circuit RC afin de modéliser l expérience à tube? Construire ce circuit. Puis le modifier afin de modéliser l expérience à 2 tubes. Rép. Il suffit de tracer ln(h eq h ) en fonction du temps ; la courbe doit ressembler à la charge d un condensateur dans un circuit RC ; la constante de temps s obtient au point d intersection de la tangente en 0 et de l asymptote. Le BF doit délivrer une tension échelon. Le circuit équivalent à l expérience 2 est R en série avec C//(RC) série alimenté par une tension échelon. Physique PC* 7