Plan. Définition. Introduction. Fonctions logiques (ET, OU, NON) Règles de l Alg. Algèbre de Boole. orème de De Morgan

Transcription

1 Plan Définition Introduction onctions logiques (ET, OU, NON) Règles de l lg l lgèbre de oole Théor orème de De Morgan Simplification des fonctions logiques

2 Définition Définit en 847 par Georges oole (85-864), physicien nglais lgèbre applicable au raisonnement logique qui traite des fonctions à variables binaires (deux valeurs). Ne s'applique pas aux systèmes à plus de deux états d'équilibre. Permet d'étudier les circuits logiques (un système logique sert à modifier des signaux). INTRODUCTION L alg algèbre de oole permet de manipuler des valeurs logiques Une valeur logique n a n que deux états possibles : Vraie() ou ausse(). Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pour donner un résultat r qui est lui aussi une valeur logique Exemple : Vrai faux Ouvert fermé vant arrière re 2

3 Introduction La manipulation des valeurs logiques repose sur 3 fonctions (ou opérateurs) logiques de base: ET, OU, NON et ; ou ; non La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs qui sont repérées habituellement ou. Se note par une lettre comme en algèbre Toutes les fonctions logiques sont formées des 3 fonctions de base onction logique Résultat de la combinaison (logique combinatoire) d'une ou plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations logique de base : la valeur résultante (O ou ) de cette fonction dépend de la valeur des variables logiques. Une fonction logique possède une ou des variables logiques d'entrée et une variable logique de sortie. Cette fonction logique se note par une lettre comme en algèbre. Exemple = ( et ) ou C et (non D) 3

4 onctions Logiques Les fonctions logiques peuvent être représentées par des Tables de vérit v rités La table de vérité permet la connaissance de la sortie (d un circuit logique) en fonction des diverses combinaisons des valeurs des entrées Le nombre de colonnes est le nombre total d'entrées es et de sorties Pour "N" entrées, es, le nombre de lignes nécessaire n est d ordre 2 N Exemple: Une fonction de 3 entrées et sortie se représente par une table de 4 colonnes et 8 lignes Table de vérit rité (exemples) 3 entrées et sortie 4colonnes et 8 lignes C Résultat C C C C C C C C 4

5 onction logique ET (ND) Représentation: = * ou ou Table de vérité Entrée Sortie Symbole graphique Représentation: = + onction logique OU (OR) Table de vérité Entrée Sortie Symbole graphique 5

6 onction logique NON (NOT) Représentation: = Table de vérité Entrée Sortie Symbole graphique Règles (ou propriétés) de l algèbre de oole 6

7 Théorème de De Morgan +=..=+ Vérification : Vérification : Equivalent Equivalent Simplification des fonctions logiques Pourquoi? Utiliser le moins de composants possibles Simplifier au maximum le schéma de câblage Deux méthodes Il faut donc trouver la forme minimale de l expression logique considérée lgébrique (en utilisant des propriétés et des théorèmes) Graphique (tableaux de Karnaught;...) 7

8 Exemple S=..C +..(.C) Transformation S=..C +..(+C) =..C C =..C +.+..C Variables communes S=. +.C.(+) =. +.C =.(+C) Exercice Simplifier les expressions suivantes :.+. (+).(+).+ + 8

9 Correction.+.=(+).=.= (+).(+)= = =..(+)=(+).(+)=.+. Exercice 2 Prouver les théorèmes d absorption :.( + ) = +. = +.(+ )=.. +.C +.C =. +.C 9

10 Correction.(+) =.+.=+.=.(+)= +. = + car : +=(+).(+)=+.+.=.(+)+.=+..(+ )=. car :.(+ )=.+.=.. +.C +.C =. +.C car :. +.C +.C=. +.C +.C.(+)=.+.C+..C+..C=..(+C)+.C.(+)=.+.C onction logique NON-ET (NND) Représentation: = * Table de vérité Entrée Sortie Symbole graphique

11 onction logique NON-OU (NOR) Représentation: = + Table de vérité Entrée Sortie Symbole graphique onction OU-EXCLUSI (XOR) Représentation: = /*+*/ Table de vérité Entrée Sortie /* */ Symbole graphique

12 onction NON OU-EXCLUSI (XNOR) Représentation: = /*/+* Table de vérité Entrée Sortie /*/ * Symbole graphique Table de Karnaugh Représentation de la table de vérité sous forme graphique. Nombre de cases = nombre de lignes de la table de vérité. Multiple de 2 n (, 2, 4, 8, 6,...) n = Nombre d entrées 2

13 Table de Karnaugh vec n = 2: Entrées et 4 cases Table de Karnaugh vec n = 3: Entrées C, et 8 cases C

14 Table de Karnaugh vec n = 4: Entrées D, C, et 6 cases DC Exemple (Karnaugh Karnaugh) Entrées Sortie C S C TLE DE KRNUGH TLE DE VÉRITÉ 4

15 Table de Karnaugh À partir de la table, on simplifie en groupant les adjacents. Les adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table La taille d un groupe est un multiple de 2 k (, 2, 4, 8,...). Le groupe est soit rectangulaire ou carré. Table de Karnaugh ormer les plus gros groupes possibles. Termes plus simples. Un peut faire partie de plusieurs groupes. 5

16 Exemple (Karnaugh Karnaugh) Les des bords extrêmes sont adjacents. La table se referme sur elle même. DC /C./ /D.C./ /C. Table de Karnaugh À partir de la table, on simplifie en groupant les adjacents. Les adjacents sont mis en évidence par l'ordre utilisé pour former la table La taille d un groupe est un multiple de 2 k (, 2, 4, 8,...). Le groupe est soit rectangulaire ou carré. 6