T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013

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1 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 4 23 JANVIER 2013 Durée : 2h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Exercice 1-4,5 points - Une boîte de chocolats contient 50% de chocolats au lait, 30% de chocolats noirs et 20% de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d emballage identique. Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56% sont garnis de praliné. On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables. On note : L : l événement «le chocolat choisi est au lait» ; N : l événement «le chocolat choisi est noir» ; B : l événement «le chocolat choisi est blanc» ; A : l événement «le chocolat choisi est garni de praliné» ; : l événement «le chocolat choisi est garni de caramel». Tous les résultats seront donnés sous forme décimale. 1) Traduire les données du problème à l aide d un arbre de probabilité. 2) Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c est un chocolat au lait. 3) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné. 4) Dans la boîte, 21% des chocolats sont noirs et garnis de praliné. Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c est un chocolat noir, est égale à 0,7. 5). Dans la boîte, 60% des chocolats sont garnis de praliné. a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. b) En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c est un chocolat blanc.

2 Exercice 2-6 points - 1) Dans cette question aucune justification n est demandée, tous les tracés demandés seront effectués sur le repère orthonormé ci-dessous qui sera rendu avec la copie. On souhaite tracer la courbe représentative d une fonction suivantes : - La fonction est définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. - Le maximum de la fonction est 5, il est atteint pour 0. - Le minimum de la fonction est 1. satisfaisant les conditions - La fonction est dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. On note la fonction dérivée de et on sait que 0 3, 6 3 et Le signe de la fonction dérivée de est donné par le tableau suivant : Signe de 0 + a) Compléter le tableau de variations de la fonction f, fourni en annexe 1. On fera figurer dans le tableau les images par de 0, de 4 et de 6. b) Donner l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 6. c)tracer dans le repère fourni en annexe 2 la courbe représentative d une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus. On placera les points d abscisses 0, 4, 6 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points. 2) Dans cette question toute réponse doit être justifiée. On considère la fonction g définie sur l intervalle [0 ; 6] par a) Déterminer le sens de variation de la fonction sur l intervalle [0 ; 6]. Compléter le tableau de variation de la fonction fourni en annexe 3. On précisera les valeurs de 0, 4 et 6. b) Déterminer 0.

3 Annexe Signe de f '( x ) 0 + Variations de Annexe 2 Annexe Variations de

4 Exercice 3-7 points - I - Etude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par : 0,5,,. 1) Calculer où désigne la dérivée sur l intervalle [0 ; + [. 2) Étudier les variations de sur l intervalle [0 ; + [ et vérifier que admet un minimum en 0,8. II - Application économique Une entreprise fabrique des objets. est le coût total de fabrication, en milliers d euros, de centaines d objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6. 1) Quel nombre d objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum? 2) a) Montrer que le résultat (recette moins coûts), en milliers d euros, obtenu par la vente de centaines d objet est : 0,1,,. b) Montrer que la dérivée de la fonction est définie par 0,1 0,5,, c) Étudier les variations de sur l intervalle [0 ; + [. d) Montrer que l équation 0 a une unique solution α dans l intervalle [0 ; 10]. Déterminer un encadrement de α à 10 2 près. e) En déduire la quantité minimale d objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets. Exercice 4-2,5 points - Démontrer que est une primitive de sur, puis déterminer la primitive de sur vérifiant la condition indiquée. ; 3 1 0

5 T ES/L CORRECTION DEVOIR SURVEILLE 4 23 / 01 / 2013 Exercice 1-4,5 points - Une boîte de chocolats contient 50% de chocolats au lait, 30% de chocolats noirs et 20% de chocolats blancs. Tous les chocolats de la boîte sont de même forme et d emballage identique. Ils sont garnis soit de praliné soit de caramel et, parmi les chocolats au lait, 56% sont garnis de praliné. On choisit au hasard un chocolat de la boîte. On suppose que tous les choix sont équiprobables. On note : L : l événement «le chocolat choisi est au lait» ; N : l événement «le chocolat choisi est noir» ; B : l événement «le chocolat choisi est blanc» ; A : l événement «le chocolat choisi est garni de praliné» ; : l événement «le chocolat choisi est garni de caramel». Tous les résultats seront donnés sous forme décimale. 1) Traduire les données du problème à l aide d un arbre de probabilité. 0,56 A L 0,5 0,3 N A 0,2 A B 2) Donner la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c est un chocolat au lait. On cherche D après l énoncé : parmi les chocolats au lait, 56% sont garnis de praliné. Donc, 3) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit au lait et garni de praliné. correspond au chocolat choisi soit au lait et garni de praliné 0,5 0,56 0,4 Donc, 4) Dans la boîte, 21% des chocolats sont noirs et garnis de praliné. Montrer que la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c est un chocolat noir, est égale à 0,7. On sait que 21% des chocolats sont noirs et garnis de praliné D où 0,21 On cherche Alors, 0,7, Donc la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné, sachant que c est un chocolat noir, est égale à 0,7.

6 5). Dans la boîte, 60% des chocolats sont garnis de praliné. a) Déterminer la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné. On sait que L, N et B forment une partition de l univers D après la formule des probabilités totales 0,6 0,28 0,21 0,6 0,49 0,11 Donc la probabilité que le chocolat choisi soit blanc et garni de praliné est de 0,11 b) En déduire la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c est un chocolat blanc. On cherche Alors,, 0,55 Donc la probabilité que le chocolat choisi soit garni de praliné sachant que c est un chocolat blanc est de 0,55. Exercice 2-6 points - Nouvelle Calédonie ) Dans cette question aucune justification n est demandée, tous les tracés demandés seront effectués sur le repère orthonormé ci-dessous qui sera rendu avec la copie. On souhaite tracer la courbe représentative d une fonction satisfaisant les conditions suivantes : - La fonction est définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. - Le maximum de la fonction est 5, il est atteint pour. - Le minimum de la fonction est 1. - La fonction est dérivable sur l intervalle [0 ; 6]. On note la fonction dérivée de et on sait que, et. - Le signe de la fonction dérivée de est donné par le tableau suivant : x Signe de 0 + a) Compléter le tableau de variations de la fonction f, fourni en annexe 1. On fera figurer dans le tableau les images par de 0, de 4 et de 6. Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée b) Donner l équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 6. Une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse 6 est de la forme : Alors La tangente à la courbe au point d'abscisse 6 a pour équation 2 9

7 c)tracer dans le repère fourni en annexe 2 la courbe représentative d une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus. On placera les points d abscisses 0, 4, 6 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points. Une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse soit , alors la tangente à la courbe au point d abscisse 4 est parallèle à l'axe des anscisses. Son équation est 1 2) Dans cette question toute réponse doit être justifiée. On considère la fonction g définie sur l intervalle [0 ; 6] par a) Déterminer le sens de variation de la fonction sur l intervalle [0 ; 6]. Compléter le tableau de variation de la fonction fourni en annexe 3. On précisera les valeurs de, et. On a, sur [0 ;6], Donc la fonction a les même variations que la fonction sur [0 ;6] De plus D'où le tableau des variations de la fonction g :

8 b) Déterminer. est dérivable sur [0 ;6] puis et sa dérivée est la fonction définie sur [0 ;6] par D'où Donc Exercice 3-7 points - Nouvelle Calédonie deuxième session 2008 I - Etude d une fonction Soit f la fonction définie sur l intervalle [0 ; + [ par :,,,. 1) Calculer où désigne la dérivée sur l intervalle [0 ; + [. est dérivable sur [0 ; + [ comme somme de fonctions dérivables de [0 ; + [ On a avec 0,5 0,5 0,5 0,4 0,5 Alors D où pour tout réel de l'intervalle [0 ; + [, 0,5 0,5,, Donc pour tout réel de l'intervalle [0 ; + [,,,, 2) Étudier les variations de sur l intervalle [0 ; + [ et vérifier que admet un minimum en 0,8. Étudions le signe de la dérivée : 0 0,5 1,, 0 1,, 0 1,,,, 0 0,5 0,4 0,5 0,4,, 0,8 D où les variations de la fonction se déduisent du signe de la dérivée : Et 8 0,5 0,8,,, 0,4,, 0,4 0,4 1 1,4... D'après le tableau des variations, la fonction admet un minimum en 0,8 qui vaut 1,4.

9 II - Application économique Une entreprise fabrique des objets. est le coût total de fabrication, en milliers d euros, de centaines d objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6. 1) Quel nombre d objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum? D après la question précédente, la fonction admet un minimum en 0,8 Donc le coût total de fabrication est minimum pour la production de 80 objets 2) a) Montrer que le résultat (recette moins coûts), en milliers d euros, obtenu par la vente de centaines d objet est :,,,. On sait que le résultat est la recette moins le coûts Or sachant chaque objet fabriqué est vendu 6, la recette en milliers d euros et en centaine d objets est ,6 Donc 0,6 0,6 0,5,, 0,6 0,5,,,,, b) Montrer que la dérivée de la fonction est définie par,,,, est dérivable sur [0 ; + [ comme différence de fonctions dérivables de [0 ; + [ On a avec 0,1 0,1 0,5 0,4 0,5 Alors D où pour tout réel de l'intervalle [0 ; + [,,,,, c) Étudier les variations de sur l intervalle [0 ; + [. Étudions le signe de la dérivée : Comme pour tout réel,,, 0 Alors 0,5,, 0 Donc 0,1 0,5,, 0 C'est-à-dire que pour tout réel, 0 Donc la fonction est strictement croissante sur [0 ;+ [ d) Montrer que l équation a une unique solution α dans l intervalle [0 ; 10]. Déterminer un encadrement de α à 10 2 près. On calcule 0 0,1 0,,, 1, ,1 10,, 1, 0, On sait que est dérivable donc continue sur [0 ;10] est strictement croissante sur [0 ;10] D'après le théorème de la valeur intermédiaire, l équation 0 admet une unique α sur [0 ;10] À l'aide de la calculatrice, on obtient des encadrements successifs de α 3 0,033 et 4 0,198 Donc 3 < α <4 3,1 0,007 et 3,2 0,019 Donc 3,1 < α <3,2 3,12 0,001 et 3,13 0,001 Donc 3,12 < α <3,13 Ainsi, sur l'intervalle [0 ;10], l équation 0 admet une unique α sur [0 ;10] avec 3,12<α<3,13.

10 e) En déduire la quantité minimale d objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets. Dire que l'entreprise réalise un bénéfice signifie que 0 Or la fonction étant strictement croissante, Donc 0 Pour que cette entreprise réalise un bénéfice elle doit produire et vendre au moins 313 objets. Exercice 4-2,5 points - Démontrer que est une primitive de sur, puis déterminer la primitive de sur vérifiant la condition indiquée. ; Pour montrer que est une primitive de sur, il faut montrer que la dérivée de est égale à, c'est-à-dire que pour tout,. On calcule donc la dérivée de. G dérivable sur ;3 de définition car c est une fonction rationnelle On a avec Alors ² D où ² ² ² Donc D'où G est une primitive de f sur ;3 3 1 Cherchons maintenant la primitive de telle que 1 0. On sait que On résout : La primitive cherchée a donc pour expression ( car toutes les primitives de ne diffèrent que d'une constante)