Modéliser les actions mécaniques Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques.

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1 Modéliser les actions mécaniques Prévoir et vérifier les performances de systèmes soumis à des actions mécaniques statiques. CI-6 LYCÉE CARNOT (DIJON), Germain Gondor Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

2 Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

3 Introduction Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

4 Introduction Pince de robot Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

5 Introduction Montage d usinage Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

6 Modélisation d une action mécanique Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique Définition Notion de force Notion de moment Torseur d action mécanique Cas particuliers 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

7 Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

8 Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

9 Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

10 Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps On distingue deux types d actions mécaniques : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

11 Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps On distingue deux types d actions mécaniques : les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,....) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

12 Modélisation d une action mécanique Définition Définition DÉFINITION: Action mécanique Toute cause susceptible de maintenir un corps au repos créer un mouvement déformer un corps On distingue deux types d actions mécaniques : les actions mécaniques de contact (liaison de contact entre solides, pression,....) les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, force électromagnétique,... ) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

13 Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

14 Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction son sens Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

15 Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction son sens son intensité Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

16 Modélisation d une action mécanique Notion de force Notion de force L action mécanique est caractérisée par : sa direction son sens son intensité Elle possède donc toutes les caractéristiques d un vecteur. Un action mécanique représentable par un vecteur est appelée force. Cependant cette notion de force n est pas suffisante pour décrire les actions mécaniques. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

17 Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d implication (P): Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

18 Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d implication (P): La porte se ferme Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

19 Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Pour définir complètement une action mécanique, il convient de prendre en compte son point d implication (P): La porte se ferme La porte ne se ferme pas Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

20 Modélisation d une action mécanique Notion de moment Notion de moment Il est donc nécessaire d introduire la notion de moment au point A de la force F appliquée en P et défini par : M (A, F P ) } {{ } notation personnelle = M (A, F) = #» AP F REMARQUE: l unité d un moment d une force est le N.m. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

21 Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

22 Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

23 Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Le champ des moments d une force est donc... Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

24 Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Le champ des moments d une force est donc... un champ de moments! Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

25 Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Torseur d action mécanique Puisque M (B, F P ) = #» BP F P = ( #» BA+ #» AP ) F P = #» BA F P + #» AP F P d où: M (B, F P ) = M (A, F P ) + #» BA F P Le champ des moments d une force est donc... un champ de moments!il est donc représentable par un torseur avec comme vecteur résultante, la force appliquée F P : { F F P Σ } = M F P M (M, F P ) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

26 Modélisation d une action mécanique Torseur d action mécanique Dans le cas général d un système S soumis à une force F, le torseur {FF S } de l action mécanique créée par cette force s écrit: {FF S } = M R F S M (M, F S) = M X Y Z L M N B Lorsqu il y a plusieurs actions mécaniques, on additionne les torseurs (attention au point où on additionne les torseurs) { F i[ F i] Σ } = i M R F i Σ #» M (M, F i Σ) = [ R F i Σ] i[ M(M, F i Σ)] M i Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

27 Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur couple Un torseur couple est de la forme 0 M (M, F S) avec M (M, F S) 0. M {FF S } = Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

28 Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur glisseur Un torseur glisseur est de la forme M, M (M, F S). R F S = 0. {FF S } = R F S 0 avec A Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

29 Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur glisseur Un torseur glisseur est de la forme M, M (M, F S). R F S = 0. {FF S } = R F S 0 avec A L action mécanique d une force F appliquée en un point A est modélisable par un glisseur. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

30 Modélisation d une action mécanique Cas particuliers Torseur glisseur Un torseur glisseur est de la forme M, M (M, F S). R F S = 0. {FF S } = R F S 0 avec A L action mécanique d une force F appliquée en un point A est modélisable par un glisseur. DÉMONSTRATION : #» M (M, F S). R F S = [ M (A, F S) + MA #» R ] F S. R F S = [ #» MA R ] F S. R F S = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

31 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Analyse de la liaison pivot Tableau des liaisons usuelles Moyen mnémotechnique Modélisation plane 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

32 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

33 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Les surfaces sont géométriquement parfaites. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

34 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Les surfaces sont géométriquement parfaites. Les jeux sont nuls Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

35 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Rappels sur les liaisons parfaites Rappels sur les liaisons parfaites Ces liaisons parfaites ont les caractéristiques suivantes : Les pièces mécaniques sont des solides indéformables. Les surfaces sont géométriquement parfaites. Les jeux sont nuls Le contact est sans frottement ni adhérence. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

36 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Analyse de la liaison pivot Une liaison pivot d axe (O, x) permet un mouvement de rotation, autour de cet axe, entre deux solides S i et S k. Sa schématisation (norme NF E ) est la suivante : Projection orthogonale z Perspective S k S i x Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

37 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Sa réalisation se fait essentiellement par un couple de surfaces cylindriques de révolution, avec éventuellement des paliers lisses ou des roulements, et des arrêts axiaux. En tout point de l axe (O, x), donc en particulier au point O, les éléments de réduction du torseur cinématique associé s écrivent : ω x Ω (k/i) 0 } {V Sk/Si = O V (O Sk /S i ) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

38 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Considérer une liaison pivot d axe (O, x) entre deux solides revient à considérer, d un point de vue mathématique, les surfaces de liaison comme des surfaces de révolution non cylindriques d axe (O, x) : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

39 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot La densité surfacique d F l (S i S k ) rencontre l axe (O, x) en H, donc son moment en O a une projection nulle sur l axe (O, x). En effet M (O,Si S k ). X = [ #» OI l d F l (S i S k ) ]. X = [ #» OH d F l (S i S k ) ]. X } {{ } 0 + [ #» HI l d F l (S i S k ) ]. X = 0 } {{ } 0 d après les conditions de nullité du produit vectoriel et du produit mixte. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

40 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Analyse de la liaison pivot Par conséquent le torseur d inter-efforts transmissibles par la liaison pivot d axe (O, X) entre les deux solides S i et S k s écrit : X R Si S k Y } {F Sk Si = O #» M (O,Sk S i ) Z La forme de ce torseur est conservée en tout point de l axe (O, X). 0 M N Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

41 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Tableau des liaisons usuelles Tableau des liaisons usuelles dll 0 dll 0 tr 0 rt 1 dll 1 tr 0 rt 1 dll 0 tr 1 rt 1 dll 1 tr 1 rt 2 dll 1 tr 1 rt 2 dll 0 tr 2 rt Nom de la liaison Encastrement Glissière Pivot Hélicoïdale Pivot glissant Rotule à doigt Caractéristique géométrique M (ε) 1 direction x M (ε) 1 axe (A, x ) M (A, x ) 1 axe (A, x ) M (A, x ) 1 axe (A, x ) M (A, x ) 1 point A, centre de liaison M M { 0 0 { 0 V. x Torseur cinématique } } M u M { ω. } x M 0 M { ω. } x V. x p 10 M avec V = p 2.π.ω M { ω. } x V. x M M Ω(S1 /S 0 ) A 0 avec Ω(S1 /S 0 ). x = 0 A p R0 R0 R0 p 2.π.p p 10 u q 10 0 r 10 0 R0 R0 Torseur des AM M M M R0M M A X 10 L 10 Y 10 M 10 Z 10 N 10 0 L 10 Y 10 M 10 Z 10 N 10 X 10 0 Y 10 M 10 Z 10 N 10 R0 R0 R0 X 10 Y 10 M 10 Z 10 N Y 10 M 10 Z 10 N 10 X 10 L 10 Y 10 0 Z 10 0 p 2.π.X 10 R0 R0 R0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

42 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Tableau des liaisons usuelles ddl 3 ddl 0 tr 3 rt 3 ddl 2 tr 1 rt 4 ddl 1 tr 3 rt 4 ddl 2 tr 2 rt 5 ddl 2 tr 3 rt Nom de la liaison Rotule Appui plan Linéaire annulaire 1 axe (A, x ), centre de sphère A Linéaire rectiligne Ponctuelle Torseur cinématique Caractéristique } géométrique Ω {V 1/0 = (S1 /S 0 ) V X (X S1 /S 0 ) Ω(S1 /S 0 ) 1 point A, centre de A 0 p 10 0 liaison avec q Ω 10 0 (S1 /S 0 ) r 10 0 A R0 quelconque Ω(S1 /S 0 ) V(M S1 Normal au plan M /S 0 ) 0 u 10 avec q y, M (ε) 10 0 V(M S1 /S 0 ). 0 w y = 10 M R0 0 { } Ω(S1 /S 0 ) p 10 u 10 q 10 0 r 10 0 A R0 Normal au plan y, Droite de contact (A, x ) Normal au plan y, point de contact A A V x avec Ω (S1 /S 0 ) quelconque ω x. x +ω y. y V(A S1 A /S 0 ) avec V(A S1 /S 0 ). y = 0 Ω(S1 /S 0 ) V(A S1 A /S 0 ) avec Ω (S1 /S 0 ) quelconque et V(A S1 /S 0 ). y = A A p 10 u 10 q w 10 p 10 u 10 q 10 0 r 10 w 10 R0 R0 A Torseur des actions mécaniques transmissibles M A A A X 10 0 Y 10 0 Z L 10 Y N Y 10 0 Z Y N Y R0 R0 R0 R0 R0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions 0 mécaniques Année / 87

43 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Moyen mnémotechnique de retrouver les torseurs des liaisons parfaites Nous verrons dans le programme de deuxième année que la liaison étant parfaite, la puissance des efforts intérieurs } à la liaison sont nuls. Le comoment du torseur cinématique {V S2/S1 et du torseur des actions } mécaniques {F S2 S1 est donc nul. R S2 S 1. V (A S2 /S 1 ) + Ω (S2 /S 1 ). #» M (A,S2 S 1 ) = 0 X 10.u 10 + Y 10.v 10 + Z 10.w 10 + L 10.p 10 + M 10.q 10 + N 10.r 10 = 0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

44 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Par exemple pour la liaison pivot: } ω 21 0 {V S2/S1 = R A A X 0 Y M Z N } = {F S2 S1 R X, Y et Z sont les composantes de R S2 S 1 dans le repère R. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

45 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Par exemple pour la liaison pivot: } ω 21 0 {V S2/S1 = R A A X 0 Y M Z N } = {F S2 S1 R X, Y et Z sont les composantes de R S2 S 1 dans le repère R. L, M et N sont les composantes de #» M (A,S2 S 1 ) dans le repère R, avec L = 0. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

46 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Moyen mnémotechnique Par exemple pour la liaison pivot: } ω 21 0 {V S2/S1 = R A A X 0 Y M Z N } = {F S2 S1 R - X, Y et Z sont les composantes de R S2 S 1 dans le repère R. L, M et N sont les composantes de #» M (A,S2 S 1 ) dans le repère R, avec L = 0. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

47 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite Modélisation plane Modélisation plane Dans un problème considéré comme plan, un solide S k possède au maximum trois degrés de liberté par rapport à un repère de référence R i. Quatre modèles de liaisons, correspondant à des formes particulières du torseur cinématique, peuvent être retenus. X 10.u 10 + Y 10.v 10 + N 10.r 10 = 0. ddl 0 ddl 0 tr 0 rt 1 ddl 1 tr 0 rt 1 ddl 0 tr 1 rt 2 ddl 1 tr 1 rt Nom de la liaison Encastrement Glissière Pivot Ponctuelle plane Caractéristique géométrique M (ε) 1 direction x M (ε) 1 axe (A, z ) M (A, z ) Normal au plan y, point de contact A M M M A Torseur cinématique u r 10 R0 u 10 0 r 10 R0 R0 R0 Torseur des actions mécaniques transmissibles X 10 Y 10 N 10 M R0 0 Y 10 N 10 M R0 X 10 Y 10 0 M R0 0 Y 10 0 A R0 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

48 Actions mécaniques particulières Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières Pesanteur Pression hydrostatique d un fluide sur un solide 5 Lois de Coulomb 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

49 Actions mécaniques particulières Pesanteur Pesanteur P = m. g Le poids P est dirigé de haut en bas et est porté par une droite verticale (en négligeant la rotation de la terre) qui passe par le point matériel. Chaque point matériel M i d un solide S est soumis à cette attraction terrestre : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

50 Actions mécaniques particulières Pesanteur { F ni Pi S } = A R = n P i i=1 M (A, P i S) = n #» i=1 AM i P i = A R= n i=1 m i. g #» i=1 AM i m i. g M (A, P i S) = n Quand la masse est distribuée de manière continue, ce torseur prend la forme { } R F Pi S = = M S g.dm i P i S M (A, P i S) = #» AM g.dm M S A où dm est l élément de masse autour du point M. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

51 Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore #» AG = 1 m. M S #» AM.dm Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

52 Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

53 Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

54 Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

55 Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : si S possède un plan de symétrie, G y appartient Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

56 Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : si S possède un plan de symétrie, G y appartient si S possède un axe de symétrie, G y appartient Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

57 Actions mécaniques particulières Pesanteur Le centre de gravité G est le point définit par M S #» GM.dm = 0 soit encore m i. AG #» = i i #» AG = 1 m. m i. #» AM i M S #» AM.dm {Fg Σ } = G { mσ. g 0 } REMARQUES : si S possède un plan de symétrie, G y appartient si S possède un axe de symétrie, G y appartient si S possède un centre de symétrie, G est confondu avec ce centre. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

58 Actions mécaniques particulières Pression hydrostatique d un fluide sur un solide Pression hydrostatique d un fluide sur un solide Soit p(m) la pression en un point M d un fluide. Le fluide est en contact sur la surface Σ avec le solide S. On a alors: {F fluide S } = O M Σ p(m). n(m).dσ #» OM ( p(m). n(m)).dσ M Σ p(n). n(n) n(n) N n(m) M p(m). n(m) Où n(m) est la normale en M dirigée vers l extérieur du solide S. La pression exerce une densité de force localement normale à la paroi Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

59 Lois de Coulomb Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 7 Liaisons équivalentes 8 Résolution d un problème de statique Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

60 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts. Soit I le point de contact Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

61 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts. Soit I le point de contact Π le plane tangent commun aux deux solides Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

62 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Entre deux solides S 1 et S 2 en contact peuvent se transmettre des actions mécaniques avec frottement (dû aux irrégularités de contact, et au bourrelets de contact). Coulomb a déterminé empiriquement des lois sur les efforts. Soit I le point de contact Π le plane tangent commun aux deux solides n la normale à Π Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

63 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

64 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

65 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) un vecteur rotation Ω (2/1) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

66 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) un vecteur rotation Ω (2/1) un vecteur rotation de pivotement Ω p(2/1) = ( Ω (2/1). n). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

67 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Le mouvement de S 2 par rapport à S 1 est caractérisé par un vecteur vitesse de glissement V (I 2/1) un vecteur rotation Ω (2/1) un vecteur rotation de pivotement Ω p(2/1) = ( Ω (2/1). n). n un vecteur rotation de roulement Ω r(2/1) = Ω (2/1) Ω p(2/1) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

68 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le glissement Soient F (1 2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du point I Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

69 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le glissement Soient F (1 2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) la force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) = ( F(1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

70 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le glissement Soient F (1 2) la force de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) la force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point I N (1 2) = ( F(1 2). n ). n T (1 2) la force tangentielle de S 1 sur S 2 au niveau du point I T (1 2) = F (1 2) N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

71 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

72 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb spécifient que : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) 0 T (1 2) V (I 2/1) = 0 T (1 2). V (I 2/1) < 0 T (1 2) = f. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

73 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb spécifient que : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) 0 T (1 2) V (I 2/1) = 0 T (1 2). V (I 2/1) < 0 T (1 2) = f. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 T (1 2) f. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

74 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb spécifient que : s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) 0 T (1 2) V (I 2/1) = 0 T (1 2). V (I 2/1) < 0 T (1 2) = f. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 T (1 2) f. N (1 2) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

75 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

76 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de f = tanϕ demi angle au sommetϕtel que Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

77 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement.si la force est dans le cône, il n y a pas glissement. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

78 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement.si la force est dans le cône, il n y a pas glissement.on parle alors d adhérence Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

79 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Glissement F(1 2) La force F (1 2) doit donc être située dans le cône de frottement de demi angle au sommetϕtel que f = tanϕ Si F (1 2) est sur le cône, il y a glissement.si la force est dans le cône, il n y a pas glissement.on parle alors d adhérence F (1 2) Adhérence Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

80 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Coefficient de frottement Le coefficient de frottement f entre S 1 et S 2 ne dépend que de la nature des matériaux de S 1 et S 2 et de leur état de surface au niveau du contact. Nature des matériaux Etat de surface f = tan ϕ Acier sur acier Polie 0.1 Acier sur bronze A sec 0.2 Fonte sur bronze A sec 0.1 Acier sur bronze Lubrifié 0.07 Fonte sur Fonte Lubrifié 0.07 Acier ou fonte sur garniture de friction A sec 0.45 Pneu neuf sur chaussée A sec 0.6 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

81 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le roulement Soient #» M (I,1 2) le moment en I de S 1 sur S 2 Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

82 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le roulement Soient M (I,1 2) le moment en I de S 1 sur S 2 M #» N(I,1 2) le couple de résistance au pivotement en I de S 1 sur S 2 #» M N(I,1 2) = ( M(I,1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

83 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le roulement Soient M (I,1 2) le moment en I de S 1 sur S 2 M #» N(I,1 2) le couple de résistance au pivotement en I de S 1 sur S 2 #» M N(I,1 2) = ( M(I,1 2). n ). n M #» N(I,1 2) le couple de résistance au roulement en I de S 1 sur S 2. #» M T(I,1 2) = M (I,1 2) ( M(I,1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

84 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

85 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb pour le roulement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) 0 #» M T(I,1 2) Ω R(2/1) = 0 #» M T(I,1 2). Ω R(2/1) < 0 M #» T(I,1 2) = f P. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

86 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb pour le roulement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) 0 #» M T(I,1 2) Ω R(2/1) = 0 #» M T(I,1 2). Ω R(2/1) < 0 M #» T(I,1 2) = f P. N (1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) = 0 M #» T(I,1 2) f R. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

87 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Les lois de Coulomb pour le roulement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) 0 #» M T(I,1 2) Ω R(2/1) = 0 #» M T(I,1 2). Ω R(2/1) < 0 M #» T(I,1 2) = f P. N (1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : Ω R(2/1) = 0 M #» T(I,1 2) f R. N (1 2) où f R est le coefficient de résistance au roulement entre S 1 et S 2. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

88 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le pivotement De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) 0 #» M N(I,1 2) Ω P(2/1) = 0 #» M N(I,1 2). Ω P(2/1) < 0 M #» N(I,1 2) = f P. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

89 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le pivotement De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) 0 #» M N(I,1 2) Ω P(2/1) = 0 #» M N(I,1 2). Ω P(2/1) < 0 M #» N(I,1 2) = f P. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) = 0 M #» N(I,1 2) f P. N (1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

90 Lois de Coulomb Lois de Coulomb (ou loi du frottement) pour un contact ponctuel Lois de Coulomb concernant le pivotement De la même manière, les lois de Coulomb pour le pivotement s écrivent s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) 0 #» M N(I,1 2) Ω P(2/1) = 0 #» M N(I,1 2). Ω P(2/1) < 0 M #» N(I,1 2) = f P. N (1 2) s il n y a pas glissement au contact entre S 1 et S 2 : Ω P(2/1) = 0 M #» N(I,1 2) f P. N (1 2) où f P est le coefficient de résistance au pivotement entre S 1 et S 2. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

91 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n est pas ponctuel et s effectue sur une surface entière. Soient f p(1 2) la densité surfacique de force de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

92 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n est pas ponctuel et s effectue sur une surface entière. Soient f p(1 2) la densité surfacique de force de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact n p(1 2) la densité surfacique de force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point Pde la zone de contact n p(1 2) = ( f p(1 2). n ). n Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

93 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Les lois de Coulomb, concernant le frottement de glissement, ne sont valables que pour un contact ponctuel ou "quasi ponctuel". Mais très souvent le contact entre deux solides n est pas ponctuel et s effectue sur une surface entière. Soient f p(1 2) la densité surfacique de force de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact n p(1 2) la densité surfacique de force normale de S 1 sur S 2 au niveau du point Pde la zone de contact n p(1 2) = ( f p(1 2). n ). n t p(1 2) la densité surfacique de force tangentielle de S 1 sur S 2 au niveau du point P de la zone de contact t p(1 2) = f p(1 2) n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

94 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

95 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel L action mécanique de S 1 sur S 2 est } {F 1 2 = A f p(1 2) ds #» AP f p(1 2) ds Les lois de Coulomb s écrivent: s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : t V (I 2/1) p(1 2) V (I 2/1) = 0 0 t p(1 2). V (I 2/1) < 0 t p(1 2) = f. n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

96 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel L action mécanique de S 1 sur S 2 est } {F 1 2 = A f p(1 2) ds #» AP f p(1 2) ds Les lois de Coulomb s écrivent: s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : t V (I 2/1) p(1 2) V (I 2/1) = 0 0 t p(1 2). V (I 2/1) < 0 t p(1 2) = f. n p(1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 t p(1 2) f. n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

97 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel L action mécanique de S 1 sur S 2 est } {F 1 2 = A f p(1 2) ds #» AP f p(1 2) ds Les lois de Coulomb s écrivent: s il y a glissement au contact entre S 1 et S 2 : t V (I 2/1) p(1 2) V (I 2/1) = 0 0 t p(1 2). V (I 2/1) < 0 t p(1 2) = f. n p(1 2) s il y a adhérence au contact entre S 1 et S 2 : V (I 2/1) = 0 t p(1 2) f. n p(1 2) où f est le coefficient de frottement entre S 1 et S 2 au niveau du point P. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

98 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

99 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

100 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

101 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être : une répartition uniforme pour f Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

102 Lois de Coulomb Lois de Coulomb pour un contact non ponctuel La solution pratique du problème exige : la connaissance de la loi de répartition de n p(1 2) la loi de répartition de f (qui peut dépendre du point P considéré). Dans de nombreux cas, nous pouvons faire des hypothèses simplificatrices qui peuvent être : une répartition uniforme pour f une répartition uniforme pour n p(1 2) ou une répartition qui, en essayant d approcher la réalité, permet des calculs rapides. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

103 Principe Fondamental de la Statique (PFS) 6 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Action mécanique extérieure / intérieure Enoncé du PFS Théorèmes généraux de la statique Théorèmes des actions réciproques Système soumis à l action de 2 glisseurs (forces) Sciences de Système l Ingénieur (MPSI soumis - PCSI) à l actionci-6 deactions 3 glisseurs mécaniques (forces) Année / 87 Sommaire 1 Introduction 2 Modélisation d une action mécanique 3 Actions mécaniques transmissibles par une liaison parfaite 4 Actions mécaniques particulières 5 Lois de Coulomb

104 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Isolement d un solide Pour étudier un système matériel (Σ) on commence par l isoler de l extérieur (Σ). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

105 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Exemple Le système matériel (Σ) défini à l intérieur de la frontière est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du piston, d un joint, de la tige, du ressort, et du volume d air situé dans la chambre entre le piston et le corps. Ce système est en relation avec l extérieur par l intermédiaire de deux liaisons : une liaison encastrement (patte de fixation) une liaison rotule de centre O avec un autre système. De plus, chaque corps du système est soumis au champ d action de la pesanteur. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

106 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Isolement d un solide Isolons le système matériel (S) constitué de la tige, du piston et du joint du vérin. L extérieur de (S), noté (S), est constitué du corps de vérin, de deux pattes de fixation, du ressort, du volume d air situé dans la chambre entre le piston et le corps et de l extérieur deσ(σ). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

107 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Action mécanique extérieure / intérieure Action mécanique extérieure / intérieure Les actions mécaniques extérieures à un système matériel (S) sont l ensemble des actions mécaniques de (S) sur (S). EXEMPLE : Bilan des actions mécaniques exercées sur l ensemble matériel{tige, piston, joint} du vérin. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

108 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Action mécanique extérieure / intérieure Les actions mécanique intérieures à un système matériel (S) sont l ensemble des actions mécaniques mutuelles entre les différents sous ensembles de (S). EXEMPLE : l action mutuelle de la tige sur le piston, et l action mutuelle du piston sur le joint. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

109 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Enoncé du PFS Dans un repère galiléen R g, si un système matériel(σ) est en équilibre, l ensemble des actions mécanique extérieures est nul. (Σ) en équilibre dans R g } {F Σ Σ = A } R Σ Σ M {0 (A,Σ Σ) = Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

110 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

111 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

112 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

113 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

114 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

115 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme mouvement de rotation uniforme d un solide équilibré dynamiquement Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

116 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme mouvement de rotation uniforme d un solide équilibré dynamiquement lorsque les effets des masses et des inerties peuvent être négligés devant les efforts extérieurs Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87

117 Principe Fondamental de la Statique (PFS) Enoncé du PFS Remarques Le Principe Fondamental de la Statique ne se démontre pas, c est un cas particulier du Principe Fondamental de la Dynamique (P.F.D). Si un torseur est nul alors il est nul en tout point. Il n est donc pas nécessaire d imposer un point pour exprimer le torseur des actions extérieures. Par contre, il est judicieux de choisir correctement ce point afin de simplifier au maximum les calculs : en particulier ce point peut être l origine d une force inconnue. Les repères galiléens sont des repères où le PFS est vérifié. Pour des applications des systèmes mécaniques classiques (voiture, avion, machine,... ), la Terre est une bonne approximation d un repère Galiléen. L analyse de PFD montre qu il est possible d étendre le champ d application du PFS à des systèmes mobiles dans les trois cas particuliers suivants : mouvement de translation uniforme mouvement de rotation uniforme d un solide équilibré dynamiquement lorsque les effets des masses et des inerties peuvent être négligés devant les efforts extérieurs la réciproque du P.F.S n est pas forcément juste. Sciences de l Ingénieur (MPSI - PCSI) CI-6 Actions mécaniques Année / 87