Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Corrigé

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1 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 2 novembre 2 Corrigé A. P. M. E. P. EXERCICE Commun à tous les candidats 5 points. Diminuer le budget de 6 % sur un an revient à multiplier par 6 =,94. Diminuer le budget de 6 % pendant deux ans revient à multiplier par ( 6 2=,94 2 =,886. Diminuer le budget de 6 % pendant cinq ans revient à multiplier par ( 6 5=,94 5,79. Multiplier par,79 revient à diminuer de (,79 = 26,6% et pas de % sur la période de 5 ans. L affirmation est fausse. 2. On étudie les variations de la fonction B sur l intervalle [;] : B (x= 2x+ > sur [;5[ et B (x< sur ]5;]. De plus B (= 9, B (= + 9=, B (5= = 6, B (9= 8+9 9= et B (= + 9= 9. D où le tableau de variations de la fonction B sur [;] : x 5 9 B (x + B (x 9 6 D après ce tableau de variations, lorsque l entreprise produit et vend entre et 9 clés USB (strictement, le bénéfice est positif. L affirmation 2a est vraie. La fonction B est maximale quand x= 5 donc le bénéfice est maximum pour une production et vente de 5 clés USB. L affirmation 2b est vraie. Le bénéfice mensuel moyen lorsque l entreprise produit et vend entre 2 clés et 8 clés correspond à la valeur moyenne de la fonction B entre 2 et 8 8, c est-à-dire : B (x d x = 8 B (x d x B est une fonction polynôme qui a pour primitive la fonction b définie par b (x= x + 5x 2 9x. b (8= = = +248= = 22 b (2= = = 8 + 2= = 2 8 [ ] 8 22 B (x d x = b (x = b (8 b (2= 2 2 = 24 = 78 ; la valeur moyenne de la fonction entre 2 et 8 est donc 6 78=. Le bénéfice mensuel moyen lorsque l entreprise produit et vend entre 2 clés et 8 clés est donc de euros. L affirmation 2c est fausse.

2 . Si n est la taille de l échantillon, et f la fréquence d apparition du caractère recherché, l intervalle [ de confiance au niveau de confiance 95 % est approximativement I = f n ; f + n ]. Ici, n= 4 et f = 2 4 =,525, donc [ I =,525 ;,525+ ] [,67;,684] 4 4 La borne supérieure de l intervalle de confiance est approximativement,684 soit 6,84% donc elle ne dépasse pas 7 % ; à l issue du contrôle, le directeur des ventes ne doit donc pas stopper toute la chaîne de fabrication. L affirmation est fausse. EXERCICE 2 Commun à tous les candidats 6 points On considère f la fonction définie sur R par f (x= xe x +. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé du plan et f la fonction dérivée de f.. a. f (x= e x + x ( e x = e x ( x b. Pour tout réel x, e x > ; donc f (x est du signe de x. Sur ] ;[, x > donc f est strictement croissante. Sur ]; + [, x < donc f est strictement décroissante. 2. a. D après la question.b, la fonction f est strictement croissante sur [ ; ] ; de plus f ( = e+ < et f (=>. D après la propriété des valeurs intermédiaires, l équation f (x = admet une solution unique α sur [ ; ]. b. D après [ la calculatrice, ] f (,6,9 < et f (,5,8 > donc α,6;,5.. L équation réduite de la tangente au point de la courbe C f d abscisse a est y = f (a(x a+ f (a. En a=, l équation de T est : y = f ((x + f (. Or f (x= e x ( x donc f (= e = et on sait que f (=. L équation réduite de la tangente T est : y = x a. D après le tableau donné dans le texte, f (x= e x (x 2 ; cette dérivée seconde est du signe de x 2 car e x > pour tout réel x.. Sur l intervalle ] ;2[, x 2< donc f (x< et donc la fonction dérivée f est strictement décroissante. Sur l intervalle ]2;+ [, x 2> donc f (x> et donc la fonction dérivée f est strictement croissante. b. On sait qu une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est croissante sur cet intervalle. Or f est croissante sur ]2;+ [, donc la fonction f est convexe sur l intervalle ]2; + [. On sait qu une fonction est concave sur un intervalle si et seulement si sa dérivée première est décroissante sur cet intervalle. Or f est décroissante sur ] ;2[, donc la fonction f est concave sur l intervalle ] ;2[. c. Une fonction est concave sur un intervalle quand sa courbe représentative est entièrement située en dessous de toutes ses tangentes. On sait que la fonction f est concave sur l intervalle ] ;2[ et que T est une tangente à la courbe au point d abscisse qui appartient à ] ;2[. Donc la courbe C f est située en dessous de T sur l intervalle ] ;2[. Amérique du Sud 2 2 novembre 2

3 5. On a tracé ci-dessous la courbe C f et la tangente T dans un repère orthonormé. 2 T C f 2 O a. On considère la fonction F définie sur R par F (x=e x ( x+ x. F est une primitive de f si et seulement si F = f. F (x=( e x ( x+ e x ( += e x (+ x + = x e x + = f (x Donc F est une primitive de f. b. La tangente T est d équation y = x+ donc c est la représentation graphique de la fonction g définie par g (x= x+. On sait que sur ] ;2[ la droite T est au dessus de la courbe C f donc c est encore vrai sur [;] ; donc sur cet intervalle g > f et donc g f >. D après le cours,on peut dire que l aire du domaine hachuré est, en unités ( d aires, A = g f (x d x. D après la linéarité de l intégration, ( g f (x d x = g (x d x f (x d x. Or F est une primitive de f sur R donc f (x d x= F ( F (= ( e ( 2+ ( e ( + = 2 e. Cette quantité correspond à l aire du domaine situé entre la courbe C f, l axe des abscisses et les droites d équations x = et x =. La fonction polynôme g a pour primitive la fonction G définie par G (x = x 2 ( + x. Donc g (x d x= G ( G (= = 2. L aire vaut en unités d aire : A = 2 ( 2 2e = 2e 2,26. EXERCICE ES : Enseignement obligatoire L : Enseignement de spécialité 5 points Dans un pays, suite à une élection, un institut de sondage publie chaque mois la cote de popularité du président (c est-à-dire le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable à l action qu il mène. Ce sondage résulte d une enquête réalisée auprès d un échantillon de la population du pays. Les enquêtes réalisées révèlent que d un mois à l autre : 6 % des personnes qui étaient favorables ne le sont plus ; Amérique du Sud 2 novembre 2

4 Baccalauréat ES A. P. M. E. P. 4 % des personnes qui n étaient pas favorables le deviennent. On interroge au hasard une personne dans la population du pays et on note : F l évènement «la personne interrogée a une opinion favorable dès l élection du président» de probabilité p et F son évènement contraire ; F l évènement «la personne interrogée le er mois a une opinion favorable» de probabilité p et F son évènement contraire.. a. On complète l arbre pondéré :,6=,94 F p F,6,4 F p F F,4=,96 F b. D après la formule des probabilités totales : p = P (F =P (F F +P (F F = p,94+ ( p,4 =,94p +,4,4p =,9p +,4 On admet de plus, que pour tout entier naturel n, p n+ =,9p n +,4. 2. On considère l algorithme suivant : Variables : I et N sont des entiers naturels P est un nombre réel Entrée : Saisir N Initialisation : P prend la valeur,55 Traitement : Pour J allant de à N P prend la valeur,9p +,4 Fin Pour Sortie : Afficher P a. Si l utilisateur entre pour valeur de N, on n entre pas dans la boucle et en sortie, on affiche P c est-à-dire,55. N =. b. Cet algorithme va afficher P N.. On considère la suite (u n définie pour tout entier naturel n par : u n = p n,4. a. u n = p n,4 donc u = p,4=,55,4=,5 u n+ = p n+,4=,9p n +,4,4=,9p n,6 Or u n = p n,4 donc p n = u n +,4 u n+ =,9(u n +,4,6=,9u n +,6,6=,9u n Donc la suite (u n est géométrique de premier terme u =,5 et de raison q =,9. b. D après le cours, u n = u q n =,5,9 n pour tout entier naturel n. p n = u n +,4=,5,9 n +,4 pour tout entier naturel n. c. La suite (u n est géométrique de raison,9 ; or <,9< donc la suite (u n est convergente et a pour limite. Or p n = u n +,4, donc d après les théorèmes sur les limites de suites, on peut dire que la suite ( p n est convergente et a pour limite,4. Amérique du Sud 4 2 novembre 2

5 p n est la probabilité de l événement «la personne interrogée le n-ième mois a une opinion favorable». La suite ( p n a pour limite,4 qui représente 4%. On peut interpréter ce résultat de la façon suivante : quand le nombre de mois augmente, le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable tend vers 4%. 4. a.,5,9 n +,4,45,5,9 n,5,9 n,5,5,9n La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]; + [ donc :,9 n ( ( ln(,9n ln n ln (,9 ln ( Or ln (,9< donc n ln (,9 ln n ln( ln (,9 ln ( b.,4 ; l entier immédiatement supérieur à,4 est et,45 ln (,9 correspond à 45%. On peut donc dire qu à partir du e mois, le pourcentage de personnes ayant une opinion favorable est inférieur à 45%. EXERCICE Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité 5 points Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard. L étude révèle que : Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu elle pratique le snowboard l hiver suivant est égale à,2. Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu elle pratique le ski de piste l hiver suivant est égale à,. On note S l état : «la personne pratique le ski de piste» et S l état : «la personne pratique le snowboard». On note également pour tout entier naturel n : p n la probabilité qu une personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver ; q n la probabilité qu une personne pratique le snowboard lors du n-ième hiver ; P n = ( p n q n la matrice ligne donnant l état probabiliste du système lors du n-ième hiver. On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc P = (. Partie A. Il y a une probabilité de passer de S à S de,2 donc il y a une probabilité de,2=,8 de rester sur le sommet S. Il y a une probabilité de passer de S à S de, donc il y a une probabilité de,=,7 de rester sur le sommet S. On représente la situation à l aide d un graphe pondéré de sommets S et S :,2,8 S S,7, Amérique du Sud 5 2 novembre 2

6 2. a. La matrice de transition M est une matrice carrée 2 2 telle que ( pn+ q n+ = ( pn q n M { pn+ =,8p n +,q n D après le graphe, on peut écrire : q n+ =,2p n +,7q n (,8,2 et donc M =,,7 ( ( (,8,2,8,2,8,8+,2,,8,2+,2,7 b. M 2 = = =,,7,,7 (,64+,6,6+,4,24+,2,6+,49,,8+,7,,,2+,7,7 (,7, =,45,55 c. P 2 = ( ( ( ( p 2 q 2 = p q M ; or p q = p q M ; donc P 2 = ( p q M 2 = ( (,7,,45,55 = (,7+,45,+,55 = (,7,. On a vu que p n+ =,8p n +,q n ; or q n = p n, donc p n+ =,8p n +, ( p n =,8pn +,,p n =,5p n +,. 4. On considère l algorithme suivant : Variables : J et N sont des entiers naturels 2 p est un nombre réel Entrée : Saisir N Initialisation : 4 p prend la valeur Traitement : 5 Pour J allant de à N 6 p prend la valeur Fin Pour Sortie : 8 Afficher p Recopier et compléter la ligne 6 de cet algorithme afin d obtenir la probabilité p N. Partie B On considère, pour tout entier naturel n, l évènement S n : «la personne pratique le ski de piste lors du n-ième hiver». La probabilité de l évènement S n est notée p (S n. On a donc p n = p (S n. On sait d après la partie A que pour tout entier naturel n, p n+ =,5p n +,. Soit la suite (u n définie pour tout entier naturel n par u n = p n,6.. On sait que u n = p n,6 donc p n = u n +,6. u n+ = p n+,6=,5p n +,,6=,5(u n +,6,=,5u n +,, =,5u n u = p,6=,6=,4 Donc la suite (u n est une suite géométrique de raison q =,5 et de premier terme u =,4. 2. (u n est une suite géométrique de raison q =,5 et de premier terme u =,4 donc, d après le cours, u n = u q n =,4,5 n pour tout entier naturel n. p n = u n +,6=,4,5 n +,6 pour tout entier naturel n. Amérique du Sud 6 2 novembre 2

7 . La suite (u n est géométrique de raison,5 ; or <,5< donc la suite (u n est convergente et a pour limite. Or p n = u n +,6 donc, d après les théorèmes sur les limites de suite, on peut dire que la suite ( p n est convergente et a pour limite,6. Le nombre p n désigne la probabilité qu une personne pratique le ski lors du n-ième hiver ; cette probabilité tend vers,6. Cela veut dire que le nombre de personnes pratiquant le ski de piste tend à se rapprocher de 6%. Partie C Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous. B 7 A C 2 F E 2 H 6 D I 7 G On détermine, à l aide de l algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. A B C D E F G H I A 7(A 2(A B 2(B 25(B 22(B 5(B 2(A F 2(F 25(B 2(A 22(F 2(B 2(F C 2(C 2(F 22(F 25(B E 25(B 2(E 8(E 22(F H 28(H 5(H 4(H 25(B 8(E D 5(H 8(E (D G 8(E 7(G I on garde Amérique du Sud 7 2 novembre 2

8 Le plus court trajet pour aller de A à I a une longueur de 7 et se décompose ainsi : A 7 B 8 D 5 G 7 I EXERCICE 4 Commun à tous les candidats 4 points Dans un cabinet d assurance, une étude est réalisée sur la fréquence des sinistres déclarés par les clients ainsi que leur coût. Partie A Une enquête affirme que % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l année.. Dans le cadre d une étude approfondie, on choisit au hasard et de manière indépendante 5 clients. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l année. a. Comme % des clients ont déclaré un sinistre au cours de l année, la probabilité qu une personne déclare un sinistre est,. Choisir au hasard et de manière aléatoire 5 clients, revient à extraire 5 noms avec remise et de manière indépendante. Donc la variable aléatoire X qui compte le nombre de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l année suit la loi binomiale de paramètres n= 5 et p=,. b. Si X suit la loi binomiale B ( n,p ( n, alors P (X = k= p k ( p n k. k L événement (X est l événement contraire de (X < donc P (X = P ( (X < = P (X =. 5 P (X = =,,7 5,5 ; donc P (X,5, a. Pour n assez grand, l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de p ( p p ( p 95% est I = p,96 ; p+,96 où p désigne la n n proportion dans la population. n= [ et p =, donc I =,,96,(, ;,+,96,(, ] [,2 ;,9] b. L expert constate que 9 clients ont déclaré un sinistre au cours de l année, ce qui fait une proportion de 9 =,9. Or,9 I donc on peut dire que l affirmation du cabinet d assurance, «% des clients ont déclaré un sinistre au cours de l année», ne peut pas être validée par l expert. Partie B On note Y la variable aléatoire donnant le coût, en euros, des sinistres de faible gravité sur le deuxième semestre de l année ; on admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale d espérance µ = 2 et d écart-type σ = 2.. Dans cette question, on cherche P ( Y 5 ; la calculatrice donne,775 comme résultat arrondi à. La probabilité qu un sinistre de faible gravité ait un coût compris entre et 5 est de,775. Amérique du Sud 8 2 novembre 2

9 2. Dans cette question, on cherche P (Y > qui est égal à P ( Y car le sinistre ne peut pas avoir un coût négatif. La calculatrice donne P ( Y,59 donc la probabilité qu un sinistre de faible gravité ait un coût supérieur à est,59=,84. Amérique du Sud 9 2 novembre 2