Superposition de signaux sinusoïdaux

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1 Superposition de signaux sinusoïdaux I TP interférences obtenues par la superposition de deux ondes ultrasonores Modélisation d une courbe sous Regressi Mesure de l amplitude de l onde résultant de la superposition de deux ondes Modélisation de la courbe U = f(x) Calcul de l interfange Echelle angulaire Interférences destructives...4 II TP Corde de Melde et ondes stationnaires Expérience réalisée au bureau : corde de Melde avec vibreur Expérience de la corde de Melde dans le cas d une excitation éléctomagnétique Justification de l expression des fréquences f k des modes propores Interprétation du phénomène de résonance Influence de la tension de la corde Détermination de la masse linéique de la corde...6 III Superposition d une onde incidente et d une onde réfléchie onde stationnaire Signal s(x,t) résultant de la superposition des ondes incidentes et réfléchies Qu est ce qu une onde stationnaire? Onde stationnaire avec conditions aux limites - modes propres Expression générale du signal s(x,t) dans le cas de conditions aux limites...8 IV Un outil pour représenter une onde sinusoïdale : le vecteur de Fresnel Définition du vecteur de Fresnel Déphasage entre deux signaux de même pulsation Somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation V Interprétation du phénomène d interférences à deux ondes Signal résultant en un point M fixé Superposition constructive Superposition destructive Interprétation de la figure d interférences de l annexe Interfrange VI Exercices ANNEXES Lycée Lapérouse - Kerichen 1 / 16

2 Introduction Dans le chapitre précédent, nous avons étudié la propagation des ondes progressives et notamment des ondes progressives sinusoïdales. Dans ce chapitre, nous allons découvrir et interpréter des propriétés surprenantes des ondes progressives sinusoïdales. V D Accrochez une corde à un vibreur V de fréquence f (extrémité gauche) : cela doit créer une onde progressive Maintenez l extrémité droite D avec la main : vous observez une onde qui ne se propage plus, une onde stationnaire! Modifiez maintenant la tension de la corde (sans modifier la longueur VD) : vous observez, pour certaines valeurs particulières de la tension exercée, un phénomène de résonance avec des fuseaux d amplitudes importantes en nombre égal à 1, 2, ou 3 ( ) selon la tension exercée. vidéo V deux fuseaux D Quel paramètre caractéristique de l onde a été modifié avec la tension? En quoi cela peut-il modifier le nombre de fuseau de l onde stationnaire? Prenez maintenant une cuve à onde avec un vibreur V 1 : vous observez des ondes circulaires. Ajoutez maintenant un deuxième vibreur V 2 : vous observez la figure surprenante ci-dessous (à droite) presentant des arcs d hyperbole. V trois fuseaux D Il est clair dans cette deuxième expérience que le phénomène observé est dû à la superposition des 2 ondes. Mais comment déterminer l ensemble des points où l amplitude de l onde est minimale? Maximale? Et quelle est, dans la première expérience, l onde qui vient se superposer à l onde créée par le vibreur? Et pourquoi la superposition de ces ondes crée-t-elle, dans certaines conditions particulières, des fuseaux de grandes amplitudes? animation V 1 V 2 Lycée Lapérouse - Kerichen 2 / 16

3 I TP interférences obtenues par la superposition de deux ondes ultrasonores Le but de ce TP est de mesurer l amplitude en un point M d une onde ultrasonore résultant de la superposition de deux ondes ultrasonores émises par deux sources situées en O 1 et O 2. visualisée sur la voie 2 de l oscilloscope a visualisée sur la voie 1 de l oscilloscope * Lire le paragraphe 1 de l annexe. 1 Modélisation d une courbe sous Regressi Prendre des notes sur l utilisation du logiciel Regressi dans le cahier de TP. 2 Mesure de l amplitude de l onde résultant de la superposition de deux ondes - Réaliser le montage ci-dessus avec a = 6 cm et HO = D = 50 cm (par exemple). - Régler la valeur de la fréquence du GBF (voisine de 40 khz) de manière à ce que l amplitude reçue soit maximale, dans le cas où un seul émetteur est allumé. Vérifier que l amplitude reste importante lorsque le deuxième émetteur, seul, est allumé (puis allumer les deux émetteurs). - Déplacer le récepteur de la position centrale x = 0 à la position x = 15 cm. Observer et appeler le professeur si les observations ne sont pas satisfaisantes. - Mesurer l amplitude U du signal reçu (mesurée à l aide de l oscilloscope numérique) en fonction de la position x (de 0,5 en 0,5 cm, jusqu à x = 15 cm) du point M sur la droite (Ox) et entrer les valeurs «directement» dans le logiciel Regressi. - Appeler le professeur après environ 10 mesures pour une première vérification (si nécessaire, récupérer une série de mesures sur le réseau, fichier intitulé interférences.rw3) - Représenter U = f(x). - Déterminer la période de cette courbe (+ unité). Cette grandeur est appelée interfrange et est notée i. 3 Modélisation de la courbe U = f(x) - Modéliser la courbe U = f(x) par une sinusoïde. - Noter la période fournie par la modélisation (+ incertitude + unité). La valeur précédemment obtenue est-elle compatible avec la valeur fournie par la modélisation? - Proposer des valeurs pour les incertitudes Δx et ΔU (sans calcul, par simple estimation) et faire apparaître ces incertitudes sur le graphe. - Commenter la précision de l expérience et la validation du modèle. - Modifier les valeurs des incertitudes afin que la courbe modélisée passe bien par tous les «points élargis» (en omettant les éventuelles valeurs aberrantes). Commenter. Lycée Lapérouse - Kerichen 3 / 16

4 4 Calcul de l interfange Les 2 sources sont situées en O 1 et O 2 distant de a. On note D la distance HO et x la distance OM. x H O * * ( * ) - En utilisant l approximation (1) de l annexe, exprimer la différence d 2 d 1 en fonction de D, a et x. - Les deux ondes émises en O 1 et O 2 étant émises en phase, déterminer une condition portant sur d 2 d 1 et sur la longueur d onde λ pour que l amplitude de l onde soit maximale au point M d abscisse x. - Vérifier la relation proposée en la testant sur l animation suivante (taper «Tulloue interférences» dans un moteur de recherche). - En déduire les positions x k où l amplitude reçue est maximale puis l expression de l interfrange des interférences en fonction de λ, D et a. - Calculer sa valeur et comparer à la valeur expérimentale. 5 Echelle angulaire - Soit θ l angle entre les droites HO et HM. Représenter cet angle sur le schéma. - En utilisant l approximation (2), déterminer l expression de d 2 d 1 en fonction de a et de θ. - Soit M 0 le point correspondant au premier maximum de l amplitude des interférences (x > 0). Après avoir rappelé la condition pour obtenir des interférences constructives au point M, en déduire l expression de sin(θ 0 ), correspondant au point M 0, en fonction de λ et a. Cette grandeur est appelée échelle angulaire du phénomène d interférences. 6 Interférences destructives - Déterminer une condition sur d 2 d 1 pour observer des interférences destructives en un point M puis retrouver l expression de l interfrange i. Lycée Lapérouse - Kerichen 4 / 16

5 II TP Corde de Melde et ondes stationnaires 1 Expérience réalisée au bureau : corde de Melde avec vibreur Décrire vos observations sur votre compte rendu de TP : - type d onde observée, - influence de la fréquence, - positions des nœuds, - positions des ventres, - amplitude de vibration au niveau du vibreur - 2 Expérience de la corde de Melde dans le cas d une excitation éléctomagnétique aimant m A B Le fil est soumis à une tension alternative de fréquence f, il est donc parcouru par un courant alternatif de fréquence f. Le fil est placé dans l entrefer d un aimant. Le courant étant alternatif, la force exercée sur le fil par l aimant (force de Laplace comme nous le verrons plus tard) est donc alternativement dirigée vers le haut puis vers le bas, l alternance s effectuant à la fréquence f. Le fil est donc soumis, comme dans le cas de la corde de Melde avec vibreur, à une excitation sinusoïdale. La seule différence est que cette fois, les deux extrémités A et B du fil étant fixe, elles correspondent toutes les deux à des nœuds de vibration (l interprétation sera plus facile). - Accrocher une masse m = 500 g au bout du fil et choisir une longueur de l ordre de 50 cm. - Brancher le GBF en série avec le fil, un rhéostat et un ampèremètre (voir schéma au tableau). - Déplacer le curseur du rhéostat de manière à avoir une intensité proche de 1 A mais surtout inférieure à 1 A. - Déterminer la fréquence f 1 (fréquence fondamentale) qui permet d obtenir un seul fuseau. - Déterminer les fréquences f 2, f 3 et f 4 des 3 premiers harmoniques. Attention, pour observer ces modes, vous devrez déplacer l aimant fin de la placer au niveau d un ventre de vibration. - Quelle est la relation entre la fréquence f n de l harmonique n et la fréquence fondamentale f 1? Lycée Lapérouse - Kerichen 5 / 16

6 3 Justification de l expression des fréquences f k des modes propores - Décrire l amplitude des vibrations aux deux extrémités de la corde. Comment nomme-t-on ces points? - Quel est le type d onde observée? Justifier. - Quelle est la distance entre deux nœuds dans le cas d une telle onde? - En déduire une relation entre la longueur L de la corde, un entier k et les longueurs d onde λ k correspondant à des modes propres. Justifier. - En déduire l expression des fréquences f k des modes propres. Remarque : en exercice, à la question «déterminer l expression des fréquences f k des modes propres», il faudra donc refaire le raisonnement ci-dessus, sans oublier aucune étape du raisonnement. 4 Interprétation du phénomène de résonance Au moment des résonances, on observe des fuseaux de très grandes amplitudes (dans le cas de la corde de Melde avec vibreur notamment, on observe des amplitudes beaucoup plus importantes que celle du vibreur). Comment interpréter ce phénomène? Pour y parvenir, il faut comprendre que l onde 1 créée par le vibreur ou par le phénomène électromagnétique, se réfléchit sur l extrémité de droite (création de l onde 2) et donne donc une onde stationnaire par superposition avec l onde incidente 1. Mais elle se réfléchit ensuite sur l extrémité de gauche (création de l onde 3) et se superpose donc avec la première onde créée. Et ainsi de suite ce qui crée une onde résultante de grande amplitude (qui pourrait même tendre mathématiquement vers l infini si la corde était parfaitement élastique, sans limite de rupture). - justifier que l onde 1 et l onde 3 sont en phase. - les ondes 5, 7, 9 ( ) sont-elles aussi en phase avec l onde 1? Justifier. - les ondes 4, 6, 8 ( ) sont-elles en phase avec l onde 2? 5 Influence de la tension de la corde - A partir du mode fondamental, modifier la tension T = m.g du fil puis trouver la nouvelle fréquence correspondant au mode fondamental. - Interpréter en utilisant la relation déterminée dans l exercice d application 1c. 6 Détermination de la masse linéique de la corde - Proposer un protocole expérimental permettant de calculer la masse linéique µ d une corde (préciser les grandeurs qui doivent être fixées, celles qui doivent être mesurées et le calcul à effectuer). - En fait on souhaite déterminer µ graphiquement. Après avoir établi la relation entre µ, L, m, g et la fréquence fondamentale f fond, déterminer les grandeurs à porter en ordonnées et en abscisses du graphe afin que la courbe tracée soit une droite linéaire de coefficient directeur µ. Voir aide au tableau si nécessaire. - Réaliser le protocole proposé en utilisant l animation suivante (taper «Tulloue corde Melde» dans un moteur de recherche) : - Tracer le graphe cité précédemment sous Regressi et en déduire la valeur de µ (+ unité). - Commenter l ordre de grandeur de la valeur obtenue. Lycée Lapérouse - Kerichen 6 / 16

7 III Superposition d une onde incidente et d une onde réfléchie onde stationnaire 1 Signal s(x,t) résultant de la superposition des ondes incidentes et réfléchies 1.1 Construction graphique de l onde résultante Supposons que deux ondes sinusoïdales de même pulsation ω et de même célérité se déplacent en sens inverse sur une corde et se rencontrent. Soit t0 l instant où deux crêtes sont exactement au même endroit. C est le cas de la figure en haut à gauche (précision : elle ne montre qu une partie de la corde comportant 2 crêtes). On représente sur les schémas suivants l aspect à chaque 1/8 de période. Les ondes se déplacent alors d un huitième de longueur d onde (½ division) entre chaque image. On observe que l onde résultante est telle que : des points restent constamment immobiles (A, C, E), ce sont les nœuds de vibration. L amplitude de ces points est donc constamment nulle d autres points présentent une amplitude maximale (B et D), ce sont les ventres de vibration. L amplitude des oscillations en ces points est (où S représente l amplitude des deux ondes qui se superposent). pour tous les autres points, l amplitude est donnée pour un point donné et est différente en chaque point ; elle est comprise entre 0 et 2S la distance séparant deux nœuds qui se suivent est de la distance qui sépare un ventre et un nœud immédiatement voisin est de Calcul du signal s(x,t) résultant de la superposition Soit s 1 (x,t) l onde décrite précédemment se propageant de la gauche vers la droite (phase initiale φ 1 ) et s 2 (x,t) l onde se propageant de la droite vers la gauche (phase initiale φ 2 ). s 1 (x,t) = s 2 (x,t) = s 1 (x,t) + s 2 (x,t) = 2 Qu est ce qu une onde stationnaire? = = p q 2 p q 2 Rappel : cos(p) cos(q) 2cos( ).cos( ) Lycée Lapérouse - Kerichen 7 / 16

8 Voir animation : Les nœuds de vibration : Les nœuds de vibration sont espacés de Les ventres de vibration : Les ventres de vibration sont espacés de 3 Onde stationnaire avec conditions aux limites - modes propres Exemple du cas où il y a des nœuds de vibration en x = 0 et en x = L 4 Expression générale du signal s(x,t) dans le cas de conditions aux limites Lycée Lapérouse - Kerichen 8 / 16

9 IV Un outil pour représenter une onde sinusoïdale : le vecteur de Fresnel 1 Définition du vecteur de Fresnel 2 Déphasage entre deux signaux de même pulsation S ( ) 1 t S ( ) S ( t 0) 2 t 1 S 2( t 0) à t à t = 0 Conclusion : Lycée Lapérouse - Kerichen 9 / 16

10 3 Somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation s ( ) 1 t S 1 S 2 s ( ) 2 t La somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation ω et d amplitude différente S 1 et S 2 L amplitude S du signal somme est égale à Norme S du vecteur somme : Maximum de l amplitude du signal somme : Minimum de l amplitude du signal somme : Lycée Lapérouse - Kerichen 10 / 16

11 V Interprétation du phénomène d interférences à deux ondes Lorsque deux signaux s 1 et s 2 sinusoïdaux synchrones (même pulsation ω) se superposent, les signaux s 1 et s 2 s ajoutent mais les amplitudes ne s ajoutent pas (on n obtient pas S = S 1 + S 2, comme nous venons de le voir au paragraphe précédent). L amplitude résultante S dépend du déphasage Δφ entre les deux signaux s 1 et s 2. Or ce déphasage Δφ dépend de la position du point M où l on calcule la somme s(m,t) = s 1 (M,t) + s 2 (M,t) comme nous allons le vérifier dans ce paragraphe. C est le phénomène d interférences. 1 Signal résultant en un point M fixé Dans ce paragraphe, nous allons calculer s(m,t) dans le cas où les phases à l origine φ 1 et φ 2 sont égales (et même nulles pour simplifier). Dans l animation ci-dessous les amplitudes A 1 et A 2 ont même été choisies égales mais ce n est pas toujours le cas (notamment si l on considère des ondes circulaires). Figure 1 Figure 2 Soit un point M fixé de l espace. Notons d 1 la distance S 1 M et d 2 la distance S 2 M. Lycée Lapérouse - Kerichen 11 / 16

12 2 Superposition constructive Les interférences sont constructives en M si Remarque : 3 Superposition destructive Les interférences sont destructives en M si 4 Interprétation de la figure d interférences de l annexe Expliquer comment le point M a été construit : La superposition des ondes est-elle constructive ou destructive en M? Justifier. Placer un point N correspondant à une superposition destructive. Justifier ce tracé. Décrire la courbe reliant un ensemble de points de type M. 5 Interfrange Soit un plan Π parallèle à (S 1 S 2 ) et distant de D >> S 1 S 2 Lycée Lapérouse - Kerichen 12 / 16

13 VI Exercices 1 Exercices d application a- Déterminer l amplitude S du signal s(t) = 2 cos(ωt + π/6) + 2 cos(ωt + π/3) en utilisant une construction de Fresnel. Déterminer géométriquement la phase initiale φ 0 (argument du cosinus lorsque t = 0) de s(t). b- Soit s(t) = cos(ωt) + 2 sin(ωt) Réaliser une construction de Fresnel afin de déterminer l amplitude A et la phase φ du signal s(t). Remarque : ne pas oublier que la fonction tan -1 = arctan définit un angle modulo π ; afin de déterminer la valeur de φ sans ambiguïté, il faut donc utiliser un argument géométrique (voir CH1). c- Par quelle force T faut-il tendre une corde de longueur 0,50 m et de masse 0,80 g pour que le son fondamental émis soit le La de fréquence 220 Hz? Quelles sont les fréquences des deux premiers harmoniques émis par cette corde dans les mêmes conditions? Remarque : une onde progressive se propage le long d une corde (soumise à une tension T et de masse linéique μ = masse par unité de longueur) à la célérité v =. (relation littérale à trouver par analyse dimensionnelle). 2 Notes jouées à la guitare 1- Quelle corde faut-il raccourcir? Justifier. 2- Quelle est la nouvelle longueur L de cette corde? La corde ré d une guitare a pour fréquence fondamentale 293,7 Hz ; la corde sol voisine vibre à 392 Hz. La longueur des parties vibrantes des deux cordes est L = 65 cm. On souhaite raccourcir la partie vibrante de l une des deux cordes de manière qu elle sonne à la même fréquence que l autre. 3- Quelle est la longueur d onde de la vibration sonore produite alors par les deux cordes? 3 Figure d interférences On considère une expérience effectuée sur une cuve à ondes avec des vibreurs situés en E 1 et E 2 distants de a. La longueur d onde est λ et on note, pour chaque point M à la surface du film d eau, δ = E 1 M -E 2 M. On appelle ordre d interférence p le rapport p = δ/λ. 1- Quelles sont les valeurs de δ et p sur la médiatrice du segment [E 1, E 2 ]? Les vibrations étant émises en phase, quel type d interférences observe-t-on sur cette droite? 2- On se place sur la droite (E 1 E 2 ) joignant les sources, à l extérieur du segment [E 1, E 2 ], au-delà de E 2 On admet que l onde émise par le point E 1 n est pas perturbée par son passage au voisinage de E 2. Que valent δ et p? A quelle condition observe-t-on des interférences constructives sur cette droite? 3- Lorsque le point M passe de la médiatrice du segment [E 1, E 2 ] à l axe (E 1 E 2 ) en décrivant un arc de cercle, l ordre d interférences p croît de manière régulière. En déduire le nombre de franges, correspondant à des interférences constructives, que l on peut observer sur cet arc de cercle. Application numérique : λ = 8 mm et a = 4 cm. L Lycée Lapérouse - Kerichen 13 / 16

14 4 Propagation de l onde progressive incidente On considère une corde sur laquelle se propage une onde, sans atténuation, vers les x croissants. Ci-contre la fonction représentant le signal en fonction du temps pour le point d'abscisse nulle y (x = 0, t) τ est une durée connue et on appelle c la célérité des ondes sur la corde. On définit L = c. τ (L est donc la distance parcourue par le signal pendant la durée τ). Dans cet exercice et le suivant, aucune justification n est attendue, uniquement le tracé des courbes. Sur le graphe ci-contre (gradué en unité L de distance), représenter la forme de la corde à la date t 1 = 4 τ 5 Réflexion de l onde progressive On continue de s intéresser à la corde de l exercice précédent. On suppose qu elle est accrochée solidement au point E d abscisse 6L (dont on interdit donc la variation d altitude). L onde définie dans l exercice précédent va donc être amenée à se réfléchir en ce point et à repartir dans la direction des x décroissants. 1. Tracer l allure du graphe temporel de l onde incidente au point E. 2. Étant donné que le point E est fixe, dessiner le graphe temporel de l onde réfléchie au point E. 3. En déduire la forme de la corde à l instant t 2 = 11 τ 6 Facteur de contraste (exercice corrigé) On utilise un détecteur sensible à la valeur moyenne du carré du signal : il mesure donc une grandeur I = s ( t) [ Acos( t )] A car la valeur moyenne de la fonction [cos(ωt + φ)] 2 calculée sur 2 une période est égale à ½ Exprimer la valeur I max de I correspondant au signal somme s(x,t) en fonction de A 1 et A Exprimer de même la valeur I min de I en fonction de A 1 et A On définit un facteur de contraste C dont on voudrait qu il ait les propriétés suivantes : - C est compris entre 0 et 1 - C est d autant plus grand que l écart entre I max et I min est grand I max I min Montrer que la définition C = vérifie ces propriétés. I max I min 2.4. Exprimer alors C en fonction de x = A 2 / A 1 et tracer le graphe C = f(x) Commenter la valeur de x correspondant au maximum de la courbe. Lycée Lapérouse - Kerichen 14 / 16

15 ANNEXES 1 Expression de d 2 d 1 lorsque D >> a et x sources sources. HO HO. Dans le cas a et x << D, on pourra par conséquent faire, au choix, l une des approximations suivantes : - d 1 + d 2 2D ; approximation (1) - ou d 1 + d 2 2HM ; approximation (2) Lycée Lapérouse - Kerichen 15 / 16

16 2 Figure d interférences dans le cas de deux ondes circulaires (à 2 dimensions) k =0 Lycée Lapérouse - Kerichen 16 / 16