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1 Universite Pierre et Marie Curie, Paris VI Licence de physique PF ENS Cachan Licence PHYTEM PHYSIQUE NUM ERIQUE TD n 1 Etude d'une lentille demi-boule On considere la lentille demi-boule de rayon R et d'indice n schematisee sur la gure 1. Tout d'abord, on se propose de calculer la distance focale f de cette lentille en fonction de la distance a l'axe optique, d, d'un rayon parallele a cet axe. Ensuite, on determinera les trajets des rayons lumineux a l'interieur et en dehors de la demi-boule, dans le but de les tracer. t d O i R H S δ F axe optique e f 1. Calcul de la distance focale Fig. 1 { Schema de la lentille demi-boule a) Exprimer l'angle d'incidence i ainsi que l'angle t du rayon transmis avec la normale au dioptre, en fonction de d et R. Exprimer la deviation subie par le rayon lumineux lors de la traversee, ainsi que la distance e parcourue par le rayon dans le verre de la lentille. Enn, donner une expression de la distance focale f. b) Pour des rayons proches de l'axe optique, l'approximation de Gauss peut ^etre justiee. Montrer que dans cette approximation, la distance focale f de la lentille devient f = R n R: c) Lorsque l'angle d'incidence i augmente, le rayon n'est plus transmis mais completement reechi sur le dioptre. Determiner la condition limite de reexion totale. Donner la deviation du rayon en cas de reexion totale (application numerique pour n = 1; 5). d) Ecrire un programme qui calcule la distance focale f pour une valeur de d qu'on entrera au clavier. On prendra les valeurs numeriques suivantes : n = 1; 5 et R = 1. La compilation du programme, ecrit dans un chier appele par exemple lentille.f90, se fait a l'aide de la commande : g95 lentille.f90 -o lentille 1

2 e) Completer le programme pour qu'il calcule f pour des valeurs de d variant de 0 a la condition limite de reexion totale. Les resultats du calcul devront ^etre places dans un chier appele par exemple lentille.res. Ce chier comportera deux colonnes, la premiere pour les valeurs de d et la seconde pour les valeurs de f. Tracer la courbe de f en fonction de d. Deux outils graphiques sont disponibles : gnuplot et xmgrace. f) Perfectionner le programme pour qu'il produise un chier de resultats a quatre colonnes : d, i, et f. Tracer les courbes de f en fonction de i et. g) Quelle serait l'allure de la courbe si les conditions de Gauss etaient toujours veriees? Dans le cas present, jusqu'a quel point le sont-elles? 2. Trace des rayons lumineux 2.1 Avant la reexion totale Chaque rayon est caracterise par trois points : son point depart, de coordonnees (0R; d) par exemple, son point d'intersection avec le dioptre spherique et son point d'intersection avec l'axe optique. Chaque rayon est donc materialise par deux segments de droite qui joignent ces points. Pour chaque valeur de d, on doit donc placer dans un nouveau chier, appele par exemple lentille.trajet, les trois points qui denissent les deux segments comme suit : x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3... gnuplot (ou xmgrace) tracera alors un segment entre le point (x 1 ; y 1 ) et le point (x 2 ; y 2 ), puis un segment entre le point (x 2 ; y 2 ) et le point (x 3 ; y 3 ). Il est necessaire d'ajouter une ligne blanche entre chaque jeu de trois coordonnees, an d'eviter que le point d'arrivee d'un rayon soit relie au point de depart du rayon suivant. Pour obtenir une ligne blanche dans le chier, on ecrira dans le programme l'instruction write(1,*). La ligne blanche sera interpretee par gnuplot ou xmgrace comme l'ordre de ne pas tracer de segment entre le point precedent et le point suivant. Modier le programme pour qu'il cree un chier contenant les coordonnees des points denissant les trajets des rayons lumineux. 2.2 Cas de la reexion totale a) Au-dela de la limite de reexion totale, un rayon peut ^etre reechi plusieurs fois sur le dioptre. Dans le cas d'une seule reexion, calculer la deviation, les coordonnees du point d'impact sur le dioptre et la position de l'intersection du rayon reechi avec l'axe optique. Generaliser a p reexions en calculant les coordonnees des dierents impacts sur le dioptre ainsi que l'intersection avec l'axe optique. On se limitera a la partie du dioptre spherique situee au-dessus de l'axe optique. b) Modier le programme pour tenir compte des dierentes reexions sur le dioptre. Comme le nombre de reexions est a priori inconnu, on pourra utiliser une boucle innie accompagnee d'un test approprie et de l'instruction exit pour sortir de la boucle. Commenter les avantages et les inconvenients d'une telle boucle par rapport a une boucle du type do i=1,n. c) Ajouter les instructions necessaires au trace du dioptre (on ecrira dans un chier, appele par exemple dioptre.res, les coordonnees des points d'un quart de cercle). 2

3 L'arc-en-ciel L'arc-en-ciel est une curiosite de la nature. Il provoque le desir de le comprendre. Dans cette partie, nous allons voir qu'en etudiant le trajet et l'intensite des rayons lumineux dans une goutte d'eau, consideree comme spherique, on peut expliquer l'origine des arcs colores. 1 Etude analytique On considere une goutte d'eau de forme spherique. Un rayon rectiligne frappe la sphere en un point M 0. On se place dans le plan contenant la direction du rayon et la normale a la sphere en M 0. Le trajet du rayon se fera entierement dans ce plan. (voir gure 2). On appelle i et t, les angles d'incidence et de refraction et R, le rayon de la sphere. y i M 0 β 0 t α 0 M 1 α 1 x Fig. 2 { Schema de la goutte d'eau M Trace des rayons a) Chaque impact sur et dans la goutte est repere par un angle. Exprimer, en fonction de i et t, 0 et 1 correspondant aux points M 0 et M 1. En deduire p (pieme reexion a l'interieur de la goutte). Ecrire les coordonnees des points M p. b) A chaque point d'impact, on considere le rayon reechi et le rayon refracte (contrairement a la premiere partie du TD ou on avait neglige la reexion du rayon incident avant la reexion totale). Peut-on se trouver en condition de reexion totale dans le cas present? c) Exprimer 0, l'angle de sortie du rayon reechi en M 0, en fonction de i. Exprimer 1, l'angle de sortie du rayon refracte en M 1, en fonction de i et 1. En deduire une expression generale de p, l'angle de sortie au point M p, en fonction de p, t et i. Donner les coordonnees de points susamment eloignes des points M p pour permettre le trace des rayons exterieurs a la goutte. 1.2 Intensite des rayons L'arc-en-ciel provient de la refraction en M 2, correspondant donc a p = 2. Pour mieux comprendre le phenomeme, il faut conna^tre les intensites des rayons reechis et refractes. Dans un premier temps, on considere l'onde electromagnetique incidente comme une onde plane monochromatique, polarisee rectilignement : ~E i = ~ E i 0 e0i(!t0~ k i :~r): 3

4 On peut ecrire l'intensite de l'onde incidente sous la forme : I i = ~ E i : ~ E i3 = j ~ E i 0 j2 : On denit par E i k et E i? les composantes parallele et perpendiculaire au plan d'incidence du vecteur polarisation ~ E i 0. On denit les m^emes grandeurs pour l'onde reechie ( ~ E r ) et pour l'onde transmise ( ~ E t ), au point M 0. Les conditions aux limites a la frontiere entre deux milieux dielectriques exigent que les composantes tangentielles du champ electrique ~ E et du champ magnetique ~ H soient continues (lois de Fresnel). En exprimant ~ H, a partir des equations de Maxwell, en fonction des composantes E k et E? pour les ondes incidente, reechie et transmise, puis en ecrivant les relations de continuite entre un milieu 1 d'indice n 1 et un milieu 2 d'indice n 2, on obtient les relations suivantes : r k = E r k E i k = n 2 cos i 0 n 1 n 2 cos i + n 1 r? = E r? E i? = n 1 cos i 0 n 2 n 1 cos i + n 2 t k = E t k E i k = 2n 1 cos i n 2 cos i + n 1 A partir de ces relations on peut montrer que R + T = 1 t? = E t? E i? = 2n 1 cos i n 1 cos i + n 2 ou R = jr j 2 et T = n 2 jt j 2 sont les coecients de Fresnel de reexion et de transmission n1 cos i ( =k;?). Ecrire les coecients de reexion en M 0 et en M p. On suppose que l'onde incidente est polarisee soit parallelement, soit perpendiculairement au plan d'incidence. Donner, pour un donne, les expressions des intensites des ondes reechie et transmise en M 0 en fonction de l'intensite de l'onde incidente. M^eme question en M 1. En deduire une expression generale pour les intensites des ondes reechie et transmise en M p. En realite, la lumiere naturelle n'est pas polarisee. Elle constituee d'une succession de paquets d'onde, dont la polarisation peut prendre toutes les directions possibles dans le plan d'onde. Pour modeliser l'intensite de la lumiere naturelle (non polarisee), nous ferons la moyenne des intensites obtenues pour une polarisation parallele au plan d'incidence et une polarisation perpendiculaire au plan d'incidence. 2 Programmation a) Ecrire un programme qui calcule les coordonnees des points denissant les trajets des rayons lumineux pour dierentes valeurs de d comprises entre 0 et R. Le chier contenant les coordonnees calculees pourra s'appeler, par exemple, arc-en-ciel.res. On prendra en compte la reexion et la refraction sur le premier dioptre, les reexions multiples a l'interieur de la goutte et les refractions a l'exterieur de la goutte. Le nombre d'impacts a l'interieur de la goutte sera 4

5 xe par l'utilisateur du programme. On prendra n = 1; 33. On pourra tracer les resultats obtenus a l'aide de gnuplot. On pourra tester plusieurs valeurs de p. b) Modier le programme pour prendre en compte les intensites des dierents rayons. Pour cela, on va attribuer a chaque segment caracterisant les rayons lumineux, une largeur de trait proportionnelle a l'intensite calculee. Si le chier arc-en-ciel.res contient les coordonnees de deux points que l'on souhaite relier par un segment, x1 y1 x2 y2 alors la commande gnuplot plot 'arc-en-ciel.res' lw 0.5 tracera un segment reliant le point (x1,y1) et le point (x2,y2) par un trait d'epaisseur 0.5. A chaque couple de points sera associee une epaisseur dierente. Si le chier arc-en-ciel.res contient deux couples de points separes par deux lignes blanches x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 alors la commande gnuplot plot 'arc-en-ciel.res' index 1 lw 1., 'arc-en-ciel.res' index 2 lw 0.5 tracera un premier segment d'epaisseur 1, puis un deuxieme d'epaisseur 0,5. On comprend qu'il sera necessaire de creer, outre le chier resultat arc-en-ciel.res, un chier de commande, par exemple arc-en-ciel.com, qui contiendra toutes les commandes speciques de gnuplot, qui permettront le trace des rayons lumineux a l'interieur et a l'exterieur de la goutte avec les bonnes intensites. Visualiser le resultat dans gnuplot. Quels sont les rayons responsables de l'arc-en-ciel? L'indice de refraction n depend de la longueur d'onde. La valeur 1,33 de l'indice de l'eau (a 20 C) correspond a la longueur d'onde = 7065 A (rouge). Executer le programme pour n = 1; 3427, correspondant cette fois-ci a la longueur d'onde du violet (4047 A). Comparer les resultats obtenus pour les deux indices. Expliquer les dierences observees, sachant que dans le cas de l'arc-en-ciel, le rouge se situe a l'exterieur de l'arc. 5