D après une idée originale dans «Les maths au quotidien» M.Colonval et A.Roumadni éd. Ellipses

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1 LES ABEILLES D après une idée originale dans «Les maths au quotidien» M.Colonval et A.Roumadni éd. Ellipses 1. Présentation de la trame : Recherche et synthèse d infos Notion d optimisation Intérêt et biais de l échantillonnage Calcul d ordre de grandeur Stats descriptives Intervalle de confiance On part de l observation d un cadre de ruche et on s interroge sur la forme, la régularité et la taille des alvéoles. Après cette étude statistique, on étudie pourquoi les abeilles utilisent une forme hexagonale pour ces structures. On étudie ensuite la façon dont le fond des alvéoles est construit et pourquoi. On termine en examinant la forme et la taille optimale d un pot de miel. La dernière partie est volontairement très ouverte. En bleu les points du programme abordés, en jaune les compétences TICE, en rouge l algorithmique. 2. Etude statistique et documentaire. 2.1 Un peu de vocabulaire Vous chercherez la signification des mots : alvéole, polygone régulier, hexagone, essaim, cadre de ruche, couvain, cire. 2.2 Quelques petites choses qu il n est pas interdit de savoir Rechercher des éléments de réponses aux questions suivantes : Depuis quand les abeilles existent elles? Quel est leur rôle essentiel pour l Homme? Depuis quand l Homme élève-t-il des abeilles? Quelle est la production mondiale de miel? Donner un ordre de grandeur du nombre d espèces d abeille en France. Combien sont domestiquées? Depuis quand (et qui) a-t-on remarqué la forme particulière des alvéoles des ruches? quelle est-elle? Quelles explications ont été données pour l expliquer? Retrouve-t-on cette structure ailleurs dans la nature? Retrouve-t-on cette structure dans des réalisations humaines? dans quel but? 2.3 Etude statistique des tailles d alvéoles A partir de la photo ci-contre (ou d une autre de qualité suffisante) que vous agrandirez : (le bord droit du cadre mesure 10mm) Peut-on mesurer toutes les alvéoles? Estimer un ordre de grandeur de leur nombre sur ce cadre. Choisir un rectangle contenant environ 50 alvéoles

2 Peut-on le prendre n importe où? Mesurer la taille de ces alvéoles et reportez ces valeurs dans une feuille de calcul. Intro tableur Fonctions statistiques Diagrammes statistiques Etudier cette série statistique (min, max, moyenne, médiane, quartiles.) et faire son diagramme en boite. Arrondir à 0,1 mm. Commenter. Donner l intervalle de confiance au seuil de 95% autour de votre moyenne obtenue. Amplitude 0,2 mm Voici les résultats obtenus par l ensemble des élèves de la classe, classés selon qu ils aiment le miel ou pas : Aime le miel Nombre d élèves Résultats (taille des alvéoles) des échantillons Min Effet de structure (moyennes partielles) Encadrements Propriété de linéarité Tracés statistiques Max moyenne OUI NON En déduire le même tableau pour la classe entière. Estimer la précision avec laquelle vous avez effectué vos mesures. En déduire un encadrement de la taille d une alvéole. On considère la série des moyennes des n élèves de la classe. Donner l intervalle de confiance au seuil de 95% autour de cette moyenne. Représenter le diagramme en bâton de la moyenne d un élève en fonction de son n d échantillon. Y faire apparaître l intervalle ci-dessus. 2.4 Etude statistique des angles des alvéoles On reprend le même travail avec les angles : Insérer l image de vos 50 alvéoles dans Geogebra et mesurer les angles comme sur la figure ci-contre. Etudier cette série statistique (min, max, moyenne, médiane, quartiles.) et faire son diagramme en boite. Arrondir à 0,1. Commenter. Donner l intervalle de confiance au seuil de 95% autour de votre moyenne obtenue. Amplitude 0,2 Voici les résultats obtenus par l ensemble des élèves de la classe. Résultats (angle des alvéoles) des échantillons Min Max moyenne

3 3. Etude de la forme des parois de l alvéole : pourquoi une forme hexagonale? Il semble que les abeilles aient choisi de réaliser les alvéoles de leur ruche sous forme d hexagones réguliers. Pourquoi ce choix? Tracé soigné aux instruments Géométrie plane : symétries, translation, vecteurs 3.1 Différents pavages possibles. Chercher la définition du mot pavage en mathématiques. Dessiner un pavage original d une feuille A4 Réaliser ce pavage avec Geogebra Construire la figure ci-dessous avec Geogebra Prise en main GGB Transformations du plan avec GGB Intro fonctions Courbe ou variation Fonction homo Donner, pour un polygone à n côtés, la mesure en degrés des angles. Donner une condition que doivent vérifier k et n pour pouvoir accoler par un sommet k polygones réguliers à n côtés. Exprimer alors k en fonction de n. (on notera. Montrer qu on peut écrire k(n) sous la forme de la fonction k.. En déduire le sens de variation Compléter le tableau suivant : n >7 k Figure En déduire les seuls polygones réguliers permettant de paver le plan avec un seul motif. 3.2 Comparaison des différents pavages.

4 On va maintenant étudier, pour ces trois polygones possibles, celui qui permet de couvrir une surface donnée avec le moins de cire, autrement dit celui qui a le plus petit périmètre. On note a la longueur du côté du polygone Approche expérimentale. Avec GGB : Variables Ligne de commande Texte Liens entre objets Fonction linéaire Coef directeur Proportionnalité Réaliser la figure ci-contre pour pouvoir visualiser comment l aire et le périmètre varient. Pour chacun des trois polygones faire un graphique représentant l aire A en fonction du périmètre P. Quelle semble être la nature des fonctions donnant l aire en fonction du périmètre. Pour chaque polygone, l aire estelle proportionnelle au périmètre? Comment peut-on lire sur les graphiques le rapport Aire/Périmètre du polygone. Combien valent environ ces rapports? Quel polygone semble avoir le meilleur? Approche algébrique. Nous allons maintenant démontrer la valeur de ces rapports. Les calculs suivants seront donnés en fonction de a. Polygone à n côtés Calcul d aire dans le plan Mise en équation Trigo Algorithme élémentaire sans test ni boucle Algorithme avec test double Quel est le périmètre P? Donner l aire de AOB en fonction de h et a. En déduire l aire A du polygone. Exprimer h en fonction de P et A. Exprimer en fonction de n, puis. En déduire en relation entre h, a et n, puis exprimer h en fonction de P et n. En déduire la formule reliant P et A. Retrouver alors lequel des trois polygones permet de couvrir une surface donnée avec le minimum de cire. Réaliser un programme auquel on donne en entrée l aire A à paver, le côté a des polygones qu on veut utiliser et qui affiche en sortie le périmètre total pour chacun des trois polygones. Réaliser un programme auquel on donne en entrée l aire le côté a d un polygone et son nombre n de côté et qui affiche en sortie son périmètre et son aire.

5 4. Etude du fond de l alvéole : pourquoi un fond rhombique? 4.1 Pourquoi pas un fond plat? Calcul de volume Réalisation de patron Démonstration Découverte de Géospace : Variables Transformations Polygones Polyèdres Styles Vues Patron Calculer le volume d une alvéole à fond plat (noter h la hauteur). Un fond dit rhombique est constitué de 3 losanges comme sur la figure ci-contre. Les trois longueurs sont égales. En notant cette distance h, montrer que l alvéole à fond rhombique a le même volume que celle à fond plat. Montrer que En fonction de cette distance, donc de la position de, l angle des losanges varie. Réaliser avec Géospace la figure ci-contre en partant d un prisme droit à base hexagonale (fichier prismehexa.g3w) : vous définirez une variable fixant la position du point puis construirez les points I,, enfin les polygones du fond de l alvéole. Calcul d aire dans l espace Mise en équation Trigo Optimisation Courbe pour optimum Réaliser deux patrons différents (angle des losanges différents) d alvéoles à fond rhombique (vous prendrez 5 cm pour a, 7 cm pour h et 3 puis 6 cm pour. A votre avis, quel peut-être l avantage d avoir un fond de cette forme? Pour vos deux patrons, comparer l aire totale du polyèdre avec celui à fond plat (mesurer une valeur approchée). Avec le logiciel, faites calculer et afficher : la distance, l angle le volume et l aire totale de l alvéole. Faire bouger et conjecturer l angle optimal. 4.2 Comparaison fond plat-fond-rhombique On considère des alvéoles de côté Aire de l alvéole avec fond plat En utilisant la formule de l aire d un hexagone, déterminer, en fonction de h, l aire totale de l alvéole à fond plat Aire de l alvéole avec fond rhombique Représenter en vraie grandeur les polygones en codant leurs propriétés sur les figures. On note x la longueur.

6 Calculatrice ou grapheur : Saisie expression Réglages graphiques (courbe pas facile à tracer) Recherche d extrema Aire latérale : Calculer, en fonction de x, l aire de. En déduire l aire latérale de l alvéole en fonction de x. Aire du fond : Démontrer que l aire d un losange est égale au demi-produit des longueurs de ses diagonales. Calculer A P à partir de l angle. En déduire A C. D autre part, exprimer en fonction de x. En déduire la longueur en fonction de x. Exprimer finalement l aire du losange. En déduire l aire totale du fond de l alvéole. Etude de l aire totale : On note l aire totale en fonction de x. On prend. Quel est l ensemble de définition de cette fonction? Sur une calculatrice ou un traceur de courbe, régler convenablement l écran pour obtenir un graphique comme ci-contre : Tracer cette courbe à la main dans un repère orthonormé d unité 15 cm en abscisse et 1,5 cm en ordonnée. Conjecturer sur le papier la valeur du minimum de l aire et la valeur pour laquelle elle est atteinte. Algorithme de recherche d extremum Test Boucle Tant que Calcul d erreur Erreur relative Algorithme de tracé de points Boucle POUR Réaliser un programme dont l entrée est une fonction f, deux bornes a et b entre lesquelles on cherche un extremum et une précision p avec laquelle on souhaite avoir cet extremum. Le programme affiche en sortie l extremum cherché. Utiliser ce programme avec. Vérifier en utilisant la fonction min/max de vos calculatrices. Déterminer finalement les valeurs des angles et du losange optimal (arrondir au centième de ) Comparer ces valeurs avec celles trouvées en 1712 par l astronome Jacques Philippe Maraldi : donner l erreur relative en %. Commenter. Calculer le gain relatif (en%) obtenu par les abeilles en choisissant ce fond par rapport à un fond plat. Réaliser un programme dont l entrée est le nombre n de côté d un polygone et qui produit en sortie le tracé d un polygone régulier à n côtés. 5. Forme et taille des pots de miel

7 Une fois le miel récolté, on le met en pot. Quelle est la forme et les dimensions permettant d utiliser le moins de plastique possible pour contenir une quantité donnée de miel?