Thème D : Calcul littéral : égalité, développement et. fiche de r esum es

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1 Thème D : Calcul littéral : égalité, développement et réduction fiche de r esum es

2 Programmes de calcul Activité programmen o 1 On peut appliquer ce programme à n importe quel nombre. Appliquer le programme n o 1auxtroisnombres:5, 5et 2 3. Triple Ajoute 4 Double Retire ou 5 3= = = =34 Avec 5 comme nombre de départ, le programme donne 34. (5 3+4) 2 4= Avec 5commenombrededépart,leprogrammedonne ( ) =(2+4) 2 4=12 Avec 2 3 comme nombre de départ, le programme donne 12. Activité programmen o 2 On peut appliquer ce programme à n importe quel nombre. Appliquer le programme n o 2auxnombres4, 4et 5 2. Prends l opposé du double Ajoute 3 Multiplie par 5 Retire 2 Bilan : La somme de deux nombres opposés vaut 0. Autrement dit, pour prendre l opposé d un nombre, il suffit de changer le signe.(positif ou négatif)

3 Exercice Aquel(s)nombre(s)faut-ilappliquerleprogrammen o 1pourtrouver809, 2? pour trouver 14? Rémi a tâtonné. Il essaie avec 200 et trouve (trop grand) (trop grand) (trop grand) (trop petit) (trop grand) (trop petit) 134,5 811 (trop grand) 134,4 810,4 (trop grand) 134,3 809,8 (trop grand) 134,2 809,2 (trop grand) Sophie a remonté le programme : ? 809, 2 134,2 402, 6 406, 6 813, 2 809, Pour 14 : 1, ne convient pas car c est seulement une valeur approcheée de 5 3. Si on lui applique le programme, on trouve 14, et non pas 14, comme l indique la calculatrice qui arrondit.

4 Une variable : quand? et pour quoi faire? Activité squeletteducube On fabrique des squelettes de cubes en collant face contre face des petits cubes de 1 cm d arête, comme le montrent les quatre dessins en perspective ci-dessous. On peut ainsi fabriquer des squelettes de cubes aussi grands qu on veut. Pouvez-vous dire combien il faut de petits cubes pour fabriquer n importe quel squelette? productions d élèves Exemple de calculs rencontrés pendant le débat : c 2+c 2+c 2+c 2=(c 2) 4 (c 2) 8=c 8 16 (a + a + a + a 8) 2+a + a + a + a = (a 4 8) 2+a 4 = a a 4 = a Pour calculer combien vaut (a + a + a + a 8) 2+a ++a + a + a lorsque a =123,ondoitremplacer a par 123 ou on peut faire le calcul : (beaucoup plus rapide)

5 Activité programmen o 3 On peut appliquer ce programme à n importe quel nombre. Que penses-tu de ce programme? Prouve ce que tu avances. Double Ajoute 5 Double Retire le triple du nombre de départ Retire 10 La solution de l exercice avec une réduction détaillé de (x 2+5) 2 x 3 10 Exercice du programme trompeur Voici un programme de calcul. On peut l appliquer à n importe quel nombre. Appliquer le programme aux trois nombres : 1 ; 2 et 3. Que pensez-vous? Ajoute 1 au carré du nombre de départ Multiplie par 6 Retire le cube du nombre de départ Divise par 11 Bilan : Conjecture : Le programme semble donné tout le temps le nombre de départ. Grâce au calcul littéral, on a trouvé que notre conjecture était fausse. Il faut donc faire attention à ce que l on croit. Il faut une démonstration pour être sûr! Bilan : Pour n importe quels nombres k, a et b, Pour multiplier une somme ou une différence par k, on multiplie chaque terme par k. Développement k (a + b) =k a + k b et k (a b) =k a k b Factorisation

6 Exemples déjà rencontrés : = 34 (20 1) = = = =34 20 = 680 (on factorise 34) (2 x +5) 2=4 x +10 (a 2) 4=a 4 8 a 8+a 4=a 12 (on factorise a) Vers un calcul littéral formel Activité :legrossquelette On fabrique de nouveaux gros squelettes de cubes en collant facecontrefacedespetitscubes,comme le montrent les deux dessins en perspective ci-dessus. On peut ainsi fabriquer des gros squelettes de cubes aussi grands qu on veut. Pouvez-vous dire combien il faut de petits cubes pour fabriquer n importe quel gros squelette? a :nombredecubessurune petitearête dusquelettequel onveutobtenir. n :nombredecubesnécessairespourfabriquerlequeletteavec a cubes par petite arête. n = a =a a 4:1grossearête 12 : 12 grosses arêtes 8:cubesd ungrossommet 8:grossommets 2:retirés2foisparcequedéjàcompter3fois

7 Activité :lesdifférentes formules On a demandé à des élèves combien il faut de petits cubes pour fabriquer n importe quel gros squelette. Voici leurs formules : Formule 2 : n =(a 2) 4 8+(a 4) 4 4 Formule 3 : n =(a 4) Formule 4 : n = a 4 4+(a 4) 4 8 Que pensez-vous de leurs réponses? Pour valider la formule 2, on peut prouver que la formule permet bien de compter tous les cubes d un squelette, comme pour la formule 1. On peut aussi faire un calcul littéral : n = (a 2) 4 8+(a 4) 4 4 = (a 2) 32 + (a 4) 16 = a a = a La formule 2 fournit donc les mêmes résultats que la formule 1pourn importequellevaleurdea La formule 3 est fausse car pour a =100,elledonne4624aulieude , c est-à-dire Pour n importe quel nombre a, quandonécrit: a 4 4+(a 4) 4 8 = a 16 + (a 4) 32 = a 16 + a = a Exercice Quel est le plus grand gros squelette que l on puisse faire avec petits cubes? avec petits cubes? Utilisation Exercice du mur 1 Dans le mur ci-dessous, le contenu d une brique est la somme des deux briques qui se trouvent sous elle. Si on met deux fois le même nombre dans les deux briques grises, on peut alors calculer de proche en proche le contenu de la brique du haut. 2 3

8 x désigne un nombre quelconque. Le mur est complété avec les expressions littérales Quand on met x dans les briques grises, on obtient 6 x +5danslabriqueausommet. Conclusion : pour trouver très vite le nombre tout en haut, on peutjustemultiplierpar6lenombrechoisi et ajouter 5. Exercice du livret : Exercice : les programmes Programme A Programme B Programme C Double Triple Multiplie par 4 Ajoute 3 Retire 1 Retire 8 Double Double Divise par 4 Retire le triple du nombre de départ Retire le double du nombre de départ Ajoute 1 Retire 7 Retire 2 Comparer les trois programmes. Programme A : (2 a +3) 2 3 a 7=4 a +6 3 a 7=x 1 Programme B : (3 a 1) 2 2 a 2=6 a 2 2 a 2=4 a 4 Programme C : (4 a 8) 4+1=a 2+1=a 1 4 a 4=4 (a 1) Pour une même valeur de départ, les programmes A et C donnent le même résultat et le programme B donne le quadruple de ce résultat.

9 Exercice du livret :