Mémoire du MASTER 104 FINANCE. Master 104 Finance dirigé par Edith Ginglinger, Professeur

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1 Mémoire du MASTER 104 FINANCE Master 104 Finance dirigé par Edith Ginglinger, Professeur

2 Les méthodes alternatives d allocation entre matières premières Hubert Corpechot Master 104 Finance

3 Hubert Corpechot Master 104 Finance 2

4 Les méthodes alternatives d allocation entre matières premières Hubert Corpechot Université Paris 9 Dauphine Master 104 Finance Septembre 2009 Mémoire de Recherche sous la direction de Jérôme Teiletche Résumé Certaines méthodes alternatives d allocation permettent de mettre en place une stratégie ne dépendant pas de l estimation des rendements futurs et ne souffrant donc pas de cette source d erreurs. Parmi les méthodes d allocation alternatives, nous étudions ici l allocation naïve ou "1/N", l approche minimum-variance, le "most-diversified portfolio" introduit par Choueifaty et Coignard [2008], et l allocation "equally-weighted risk contribution", développée dans Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. On souhaite évaluer la performance relative des ces méthodes d allocation en les appliquant à un panier de 22 matières premières investissables via futures. On considère des portefeuilles "long-only", dans un premier temps sans tenir compte de l effet du P&L dû au renouvellement des contrats à terme, puis en prenant en compte l impact du roll, afin de connaître les performances réelles de ces allocations appliquées aux contrats futures sur matières premières. Dans le cas où les poids calculés sont appliqués aux données "spot", les allocations citées précédemment présentent des performances proches. En appliquant ces méthodes d'allocation aux données "Excess Return", on constate que le portefeuille présentant les meilleures performances est le portefeuille équipondéré (1/N). L allocation basée sur l équipondération de la contribution au risque présente des performances relativement proches de l allocation naïve. Le portefeuille "most-diversified" est celui présentant les performances les moins bonnes comparativement aux autres méthodes. Nous remarquons aussi que le roll à un impact non négligeable sur les portefeuilles considérés, ainsi il pourrait être intéressant de considérer l aspect de déport ou de report comme paramètre supplémentaire pour la construction de méthodes d allocation appliquées aux contrats futures sur matières premières. Hubert Corpechot Master 104 Finance 3

5 Alternative allocation methods applied to commodities Hubert Corpechot Université Paris 9 Dauphine Master 104 Finance September 2009 Financial research dissertation under the supervision of Jérôme Teiletche Abstract Some alternative allocation methods allow to establish an alternative process, which does not depend on the forecast of future returns, and which does not suffer from a possible inherent error. Among the alternative allocation methods, we study: the naïve or 1/N allocation, the minimum-variance approach, the most-diversified portfolio, established by Choueifaty and Coignard [2008] and the equally-weighted risk contribution allocation developed in Maillard, Roncalli and Teiletche [2009]. We evaluate relative performance of these allocation methods thanks to a basket of 22 commodities tradable by means of future contracts. We consider long-only portfolios, firstly without taking into account the P&L generated by contracts rolling, and secondly by looking at the impact of the roll on the portfolios performances. The allocations listed above show close performances, when the obtained weights are applied to spot data. By applying these allocation methods to Excess Return data, we note that the portfolio showing the best performance is the equallyweighted portfolio (1/N). The equally-weighted-risk-contribution allocation displays performance close to that of the naïve portfolio. The most diversified portfolio is the one showing the worst performance in comparison to the other methods. We observe that the roll has a significant impact on the studied portfolios. Thereby, it can be interesting to consider the backwardation or contango aspects as an additional parameter for the creation of allocation methods applied to future contracts on commodities. Hubert Corpechot Master 104 Finance 4

6 Remerciements Les méthodes alternatives d allocation entre matières premières Je remercie en premier lieu Jérôme Teiletche, mon responsable de mémoire, pour son aide dans le choix de l étude des méthodes alternatives d allocation d actifs et son encadrement. Ma reconnaissance va aussi à l ensemble de l équipe de Recherche Matières Premières de la Société Générale Corporate & Investment Banking, notamment à Emmanuel Jayet et Frédéric Lasserre, mais plus particulièrement à Rémy Penin pour ses conseils, son aide et les connaissances qu il m a permis d acquérir. Je remercie aussi l ensemble de professeurs du Master 104 Finance, de l Université Paris Dauphine, pour leurs enseignements et leurs conseils, les professeurs de l Ecole Centrale Nantes qui m ont orienté dans le choix de ce master et de mes spécialisations, ainsi que les membres de l équipe d investissement et de l équipe Risk du Crédit Agricole Asset Management Hong Kong. Hubert Corpechot Master 104 Finance 5

7 Sommaire Les méthodes alternatives d allocation entre matières premières Remerciements... 5 Sommaire... 6 I / Introduction... 7 II / Les méthodes alternatives dans la littérature... 9 II.1. Le portefeuille minimum-variance... 9 II.2. L allocation "naïve" II.3. Ratio de diversification et Most-Diversified Portfolio II.4. Etude de la contribution au risque III / Les indices sur matières premières III.1. Standard & Poor Goldman Sachs Commodity Index III.2. Dow Jones-UBS Commodity Index IV / Description des données et de la méthodologie IV.1. Les données IV.2. La méthodologie V / Application de quatre méthodes alternatives d allocation à un panier de matières premières V.1. Performances des portefeuilles "spot" V.2 Analyse de l influence du roll V.3. Allocations alternatives et indices sur matières premières VI / Conclusion Table des figures Bibliographie Hubert Corpechot Master 104 Finance 6

8 I / Introduction Les méthodes alternatives d allocation entre matières premières La question de la diversification est une problématique centrale de la gestion de portefeuille. L approche moyenne-variance, mise en place par Markowitz, a depuis longtemps fait ses preuves. Elle souffre cependant d une source probable d erreur : l estimation des rendements attendus. Pour palier à ce problème d estimation, une vaste littérature s intéresse aux méthodes d allocation non dépendantes du rendement espéré. L objectif de ces méthodes est de mettre en place un processus permettant d obtenir une diversification optimisant le couple rendement-risque. L allocation dite naïve ou "1/N", consistant à attribuer un même poids à l ensemble des actifs considérés, et le portefeuille "minimumvariance", représentant le portefeuille ex-ante le moins risqué, sont deux méthodes d allocation d actifs non dépendantes du rendement estimé ayant fait l objet de plusieurs études. Le portefeuille "1/N" est assez représentatif des règles simples mises en place par de nombreux investisseurs, et le portefeuille à variance minimum se base sur le risque comme seule règle d allocation et permet d avoir une vue sur le rendement que donne le risque a priori le plus faible. A l instar de la méthode minimum-variance, un ensemble de processus d allocation ne prenant en compte que le risque des actifs a vu le jour. C est le cas du "mostdiversified portfolio" maximisant un ratio de diversification mis en place dans l'article Choueifaty et Coignard [2008] ou de la méthode "equally-weighted risk contribution" développée dans Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. On souhaite évaluer la performance relative des ces quatre méthodes d allocation en les appliquant à un panier de matières premières investissables via futures. Le marché des matières premières, ou commodities, est un marché relativement volatile et dont l estimation des rendements futurs est un art difficile. L allocation d actifs au sein des commodities soulève plusieurs questions, telles que : "sur quels critères se baser pour effectuer l allocation?" ou "quels contrats doivent être pris en compte?". Les indices sur matières premières présentent diverses caractéristiques, à titre d exemples, le S&P GSCI ou encore le DJ UBS se basent sur le niveau de production des commodities pour le calcul des pondérations. Nous étudions donc les performances de ces méthodes d allocation appliquées à vingt-deux matières premières, en considérant pour chaque matière première un contrat à échéance en fin d année (généralement décembre) sur la période allant de décembre 1997 à septembre Pour chaque commodity, le renouvellement des contrats (roll) est effectué cinq jours avant la maturité du contrat. Dans un premier temps le roll n est pas considéré, on étudie ensuite son impact afin de connaître les performances effectives de ces méthodes d allocation. Hubert Corpechot Master 104 Finance 7

9 Dans le cas où on ne considère pas le roll, les portefeuilles constitués présentent des performances proches. La simplicité étant l habit de la perfection, le portefeuille présentant les meilleures performances dans le cas des portefeuilles "Excess Return" est le portefeuille équipondéré (1/N). Cependant on constate que l allocation basée sur l équipondération de la contribution au risque présente des performances relativement proches de l allocation naïve. Le portefeuille "most-diversified" est celui présentant les performances les moins bonnes. Nous présentons dans un premier temps quelques résultats concernant ces méthodes d allocation déjà publiées, ainsi que le détail des méthodes d allocation mises en place par les articles Choueifaty et Coignard [2008] et Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. Dans un deuxième temps, nous exposons quelques caractéristiques des indices de matières premières auxquels seront comparées les allocations étudiées. Les données et la méthodologie sont ensuite présentées avant que soient exposés et analysés les résultats obtenus. Hubert Corpechot Master 104 Finance 8

10 II / Les méthodes alternatives dans la littérature Les méthodes d allocation d actifs non dépendantes de l expected return font l objet d une littérature de plus en plus importante. Nous décrivons ici les résultats et la méthodologie de cinq articles : Clarke, de Silva et Thorley [2006] DeMiguel, Garlappi et Uppal [2007] Martellini [2008] Choueifaty et Coignard [2008] Maillard, Roncalli et Teiletche [2009] II.1. Le portefeuille minimum-variance Clarke, de Silva et Thorley mettent en avant le fait que, contrairement à l approche moyenne-variance, le portefeuille minimum-variance est obtenu indépendamment de rendements estimés ou de prévisions effectuées sur les actifs considérés. A contrario des autres portefeuilles constituant la frontière efficiente, qui sont obtenus en minimisant le risque pour un rendement donné, le portefeuille minimum-variance (MVP : "Minimum- Variance Portfolio") ne prend en compte que le risque des actifs. On rappelle que le portefeuille présentant la variance la plus faible est celui dont le vecteur de poids x* vérifie : argmin Σ où Σ est la matrice de variances-covariances des rendements (de dimension N 2, N étant le nombre d actifs considérés). Le portefeuille minimum variance est étudié à travers un ensemble de titres américains pendant une période allant de janvier 1968 à décembre Les auteurs utilisent l analyse en composantes principales et la méthode du "bayesian shrinkage" pour évaluer les matrices de variances-covariances. Le nombre de titres sélectionnés (1000) permet d obtenir des résultats intéressants, bien que le traitement de cette quantité de données soit relativement lourd. En analysant la relation entre les rendements réalisés et le niveau de risque, ainsi que les facteurs : size, value et momentum (taille, valeur et momentum) se basant respectivement sur la market capitalisation, le book-to-market ratio et le rendement réalisé d une année sur l autre ; Clarke, de Silva et Thorley tentent de démontrer qu un risque bas n implique pas forcément un rendement faible. Hubert Corpechot Master 104 Finance 9

11 Les poids du portefeuille constitué vérifient un ensemble de contraintes telles que la "budget constraint" : la somme des poids ne dépasse pas 1, et que la contrainte "long-only" : absence de ventes à découvert ; enfin le poids de chaque actif en portefeuille ne doit pas dépasser 3%. Chaque mois, l univers des 1000 titres est sélectionné, puis la matrice de covariance est calculée et corrigée par le biais de l analyse en composantes principales et du bayesian shrinkage, enfin les poids sont calculés par optimisation. Il apparait que le portefeuille à variance minimum est nettement plus performant que le marché de référence pondéré en fonction de la capitalisation. En effet, le ratio de Sharpe du portefeuille MV s élève à 0,55 alors que celui du marché est de 0,36 non seulement à cause d un risque plus faible, mais aussi d un meilleur rendement. On constate effectivement que le MVP présente au terme de l étude un rendement supérieur pour une volatilité plus basse que celle du marché (volatilité inférieur tout au long de la période d étude) cependant à la vue de l évolution du nombre de titres en portefeuille, on constate que le portefeuille MV peut souffrir d un manque de diversification. Afin d évaluer l exposition aux facteurs size, value et momentum Clarke, de Silva et Thorley analysent la répartition de la market capitalisation, du ratio book-to-market et du facteur momentum, et les classe selon les Z-scores correspondant à la distribution centrée réduite des ratios étudiés (moyenne nulle et variance unitaire). A travers l étude de l exposition des portefeuilles en fonction du temps, on constate que le portefeuille MV est relativement neutre à ces facteurs, contrairement au portefeuille de marché qui est (évidemment) fortement exposé au facteur size et très peu au facteur value, et relativement neutre au facteur momentum. Ainsi, une plus faible exposition au facteur size justifie, selon la littérature relative à ce sujet, un rendement supérieur (en moyenne) ; de même la plus forte exposition au facteur value du portefeuille MV peut expliquer un meilleur rendement. II.2. L allocation "naïve" DeMiguel, Garlappi et Uppal tentent de comprendre sous quelles conditions le portefeuille équipondéré peut donner de bonnes performances et testent ainsi 14 stratégies dont l allocation "1/N", ou allocation naïve. Cette dernière diffère par sa simplicité et reflète les règles d allocation basiques utilisées par de nombreux investisseurs. Parmi ces 14 modèles, on constate qu aucun n est réellement plus performant que l allocation "naïve" et ce sur les 8 jeux de données étudiées en termes de turnover, de ratio de Sharpe et de "certaintyequivalent return" (rendement équivalent certain). Afin de comprendre mieux ce phénomène, une analyse du temps critique au bout duquel une stratégie moyenne-variance atteint le même niveau de rendement équivalent certain que le portefeuille 1/N est réalisée. Ce temps critique s avère être une fonction du nombre de titres et du ratio de Sharpe des Hubert Corpechot Master 104 Finance 10

12 différentes stratégies. Il faut une période relativement importante pour que la stratégie naïve soit dominée par les autres types d allocation. Cependant, on constate que la diversification des portefeuilles équipondérés n est pas toujours optimale, en effet, le nombre de titres influence les performances de ce portefeuille, moins celui-ci est important, moins l allocation naïve sera performante. A titre comparatif, et pour pouvoir évaluer la performance des différentes stratégies étudiées, DeMiguel, Garlappi et Uppal mettent en place une approche moyenne-variance où l on considère le vecteur de poids x* qui maximise une fonction d utilité du type Markowitz : argmax 2 Σ Où γ est le coefficient d aversion au risque et µ le vecteur des rendements estimés. La solution analytique est : Σ Parmi les portefeuilles étudiés, on distingue plusieurs types d allocation : La diversification naïve Le modèle moyenne-variance de Markowitz décrit ci-dessus Les approches bayésiennes dont l objectif est de calculer Σ et µ sur la base de prédiction de la distribution future des rendements (par le biais de la vraisemblance conditionnelle). Les portefeuilles où les moments des rendements sont contraints (ce qui inclut le portefeuille à variance minimum) Les portefeuilles soumis à la règle d absence de ventes à découvert Les portefeuilles dits de "combinaison optimale" dont les poids sont obtenus par la combinaison de règles régissant les portefeuilles décrits plus haut (par exemple, on peut considérer un mélange de portefeuille moyenne-variance et minimum-variance) Les indicateurs utilisés sont : Le ratio de Sharpe Le CEQ return : rendement équivalent certain qui mesure le niveau de rendement sans risque équivalent à un couple rendement-risque pour un investisseur donné Une mesure du turnover des poids des actifs en portefeuille Le "return-loss" qui est un indicateur permettant de mesurer le rendement additionnel nécessaire pour égaler le ratio de Sharpe du portefeuille 1/N pour une stratégie donnée L utilisation de ces indicateurs sur les 14 stratégies appliquées aux différents ensembles de données permet de confirmer le fait qu aucune des allocations "optimales" n est plus performante que l allocation naïve qui a en général le ratio de Sharpe et le CEQ return les plus élevés. On remarque aussi que l allocation minimum-variance présente des résultats Hubert Corpechot Master 104 Finance 11

13 moyens en termes de CEQ, comparativement aux autres stratégies, mais montre des ratios de Sharpe assez proches de ceux de l allocation 1/N. DeMiguel, Garlappi et Uppal, par l étude des raisons qui font que les modèles "optimaux" ne surperforment pas le portefeuille 1/N, montrent que les investisseurs attachent trop d importance aux moments des rendements et pas assez aux caractéristiques des actifs. Ces modèles ne prennent pas suffisamment de paramètres en compte ; une analyse transversale des caractéristiques comme le secteur ou la taille des actifs permettrait d améliorer les performances. Martellini présente la recherche d un schéma d allocation d actifs permettant d obtenir le ratio de Sharpe le plus haut. Malgré des résultats médiocres de la méthode mise en place, les résultats obtenus concernant les portefeuilles 1/N et MV sont intéressants. Martellini tente de montrer empiriquement qu il existe un lien entre la volatilité et le rendement grâce un ensemble de données présentant 682 actifs qui ont existé sur toute la période allant de 1975 à Une répartition des rendements par quintiles de volatilité démontre que plus la volatilité est élevée, plus le rendement est important (et inversement). Martellini exploite cette relation afin de mettre en place un proxy pour le ratio de Sharpe basé sur : Σ Σ où σ est le vecteur des volatilités (de dimension N) et un vecteur de 1. Le portefeuille obtenu par la maximisation de ce ratio est comparé au portefeuille équipondéré, au portefeuille à variance minimum et au portefeuille basé sur la capitalisation. Un résultat intéressant est le fait que le portefeuille dont les poids dépendent de la capitalisation est dominé par le portefeuille "1/N" aussi bien en termes de rendement qu en termes de ratio de Sharpe. Le portefeuille à variance minimum malgré un plus faible rendement domine les deux allocations précédentes en termes de ratio de Sharpe. Une autre conclusion tirée de cette analyse est le fait que la volatilité n est certainement pas le meilleur proxy pour le rendement. En effet, le portefeuille basé sur la maximisation du ratio présenté ci-dessus s avère loin du portefeuille présentant le ratio de Sharpe maximum. II.3. Ratio de diversification et Most-Diversified Portfolio Choueifaty et Coignard mettent en avant le fait que contrairement à la volatilité, le rendement est extrêmement difficile à évaluer, et s intéresse, empiriquement et théoriquement, aux propriétés de la diversification en tant que critère principal pour la construction de portefeuilles. Il introduit une mesure de la diversification définie par : Σ Hubert Corpechot Master 104 Finance 12

14 où Σ est la matrice de variances-covariances des actifs considérés, σ est le vecteur de leur volatilité et x est le vecteur des poids attribués à chacun des N actifs constituant le portefeuille : Les poids du portefeuille vérifient : 1 et 1,, 1 1 La contrainte additionnelle "long-only" se traduit par : 1,, 0 D(x) est le ratio de diversification du portefeuille P. Il correspond au quotient de la moyenne pondérée des volatilités des actifs considérés et de la volatilité du portefeuille. Le portefeuille maximisant ce ratio en respectant les contraintes qui lui sont imposées est le portefeuille le plus diversifié, noté MDP (Most-Diversified Portfolio). L allocation de type MD présente certaines propriétés théoriques, on constate notamment que dans le cas où le rendement en excès est proportionnel à la volatilité alors maximiser le ratio de diversification revient à maximiser le ratio de Sharpe. En effet, si on considère l excess return du portefeuille P tel que :. Alors : Σ Une autre propriété remarquable est le fait que dans un univers où chaque actif à la même volatilité, le MDP est égal au portefeuille à variance minimum MVP (Minimum-Variance Portfolio). En effet, dans ce cas maximiser D(x) revient à minimiser x Σ x. La réalité des marchés implique un ensemble de contraintes auxquelles sont soumis les portefeuilles, comme par exemple la contrainte "long-only" qui n autorise pas la vente à découvert et se traduit mathématiquement par la positivité des poids associés à chaque actif en portefeuille. Ces contraintes vont avoir de fortes implications sur le Most-Diversified Portfolio ; dans le cas de la contrainte long-only : La contrainte de positivité va réduire l impact potentiel des erreurs estimées Les portefeuilles seront exposés positivement aux primes de risque des actifs Afin d étudier le comportement du MDP, Choueifaty et Coignard réalisent une étude sur des titres américains (Standard & Poor s 500) et de la zone euro (Dow Jones Euro Stoxx), comparant le Most-Diversified Portfolio au MVP, à l Equally-Weighted Portfolio (EWP) ou portefeuille "1/N" et à un indice Market Cap-Weighted Benchmark. Le calcul des poids du MDP est effectué mensuellement entre décembre 1991 et février 2008, sous la contrainte de ne pas vendre à découvert. La covariance est calculée en utilisant 250 jours de cotation. Hubert Corpechot Master 104 Finance 13

15 De plus les allocations réalisées sont en accord avec les règles UCITS III impliquant que le poids de chaque titre en portefeuille ne dépasse pas 10 % et que la somme des poids supérieurs à 5 % ne dépasse pas 40 %. On constate que pour les deux ensembles de titres considérés, le portefeuille le plus diversifié domine les autres portefeuilles en terme de rendements, de ratios de Sharpe c'està-dire de couple rendement-risque. II.4. Etude de la contribution au risque Maillard, Roncalli et Teiletche confrontent les portefeuilles à variance minimum et EWP ("1/N") au portefeuille ERC : Equally-weigthed Risk Contributions portfolios, afin d éprouver les performances de cette dernière méthode. Celle-ci permet de construire un portefeuille où chaque actif contribue de façon identique au risque total et repose sur l idée qu une bonne diversification du risque peut accroître les performances d un portefeuille. On définit mathématiquement les portefeuilles ERC de la manière suivante : on note σ(x) le risque total du portefeuille définit par le vecteur de poids x tel que : Σ Σ est la matrice de variance-covariance des actifs considérés dont les éléments diagonaux (les variances) sont notées : ; et les éléments non diagonaux (les covariances) sont notés pour, 1,. On définit ensuite la contribution marginale au risque de l actif i par : D un point de vue matriciel on obtient : Σ Σ De la relation : Σ Σ Σ on déduit que la volatilité du portefeuille correspond à la somme pondérée des contributions marginales au risque de chaque actif. Si on note la contribution totale au risque :. Il découle alors de la dernière relation le fait que le risque du portefeuille est la somme des contributions totales au risque : Hubert Corpechot Master 104 Finance 14

16 L objectif du portefeuille ERC est de trouver le vecteur de poids (x) tel que toutes les contributions totales au risque soient égales. En se limitant au portefeuille long-only seulement, Maillard, Roncalli et Teiletche présentent le problème mathématiquement par le fait que le vecteur de poids correspondant au portefeuille ERC est : 0,1 1,, 1, où est un vecteur de taille N dont chaque composante vaut 1. On peut aussi le traduire par : 0,1 1, Σ. où représente le produit d Hadamard, et c est une constante. Dans un second temps Maillard, Roncalli et Teiletche présentent un ensemble de résultats théoriques relatifs aux portefeuilles ERC. Dans le cas général, si on note r i le rendement de l actif i par définition de la covariance entre l actif i et le portefeuille global on a : et :, On introduit alors le beta de la composante i : 1, Or 1,, où c est une constante. Il en découle : De 1, on déduit la relation : Ainsi, on obtient la relation suivante : 1,, Ceci implique que plus le beta du titre est grand, plus son poids dans le portefeuille est faible, et réciproquement ; en d autres termes, les actifs ayant une forte volatilité ou une forte corrélation avec les autres actifs en présence ont une pondération plus faible. Le portefeuille ERC semble être une bonne alternative se trouvant entre le portefeuille 1/N et le portefeuille minimum-variance. Maillard, Roncalli et Teiletche montrent que les volatilités de ces portefeuilles vérifient : Hubert Corpechot Master 104 Finance 15

17 En comparant l approche ERC à la MD, on constate que le que les portefeuilles mis en place par ces deux méthodes sont bien distincts. L approche MDP peut se voir comme la solution au problème suivant : max Σ Σ où Σ* est la matrice de variances-covariances contrainte correspondant à des corrélations unitaires. Le portefeuille ERC et le MDP ne sont équivalents qu à condition que le coefficient de corrélation soit unique. Le MDP a pour but de diversifier le portefeuille en minimisant le risque total du portefeuille et en maximisant la somme pondérée des volatilités, ce qui conduit généralement à des contributions au risque différentes. Les trois approches MVP, ERC et EWP sont comparées à travers l étude de trois jeux de données : un portefeuille de titres américains (Equity US sectors potfolio), un portefeuille de matières premières agricoles (Agricultural commodity portfolio), et un portefeuille de titres mondiaux (Global diversified portfolio). Chacun des portefeuilles est révisé mensuellement, et les matrices de variances-covariances sont calculées sur la base de rendements quotidiens sur une période d un an. L étude des données effectuée sur les titres du marché américain montre que le portefeuille ERC est plus performant que le "1/N" : pour des rendements proches, la volatilité est plus faible, mais le MVP domine légèrement le portefeuille ERC : bien que ce dernier ait un meilleur rendement, la variance du MVP est nettement plus basse. L application à des matières premières agricoles donne des résultats analogues ; bien que le portefeuille MV présente les problèmes déjà mentionnés de diversification, celui-ci domine l ERC en termes de couple rendement-risque. Cependant dans le cadre du portefeuille de titres mondiaux, le portefeuille ERC domine nettement les deux autres. Hubert Corpechot Master 104 Finance 16

18 III / Les indices sur matières premières Avant 2003, les indices sur matières premières se limitaient au Goldman Sachs Commodity Index, au Dow Jones-AIGCI et au Rogers International Commodity Index. Dès lors, leur nombre a très fortement augmenté, mettant en jeu différentes caractéristiques. La construction d indices sur matières premières a donné lieu à de nombreuses recherches et ce malgré la difficulté que représente leur construction. La création de tels indices entraîne un certain nombre de questions : Combien de matières premières doivent être prises en compte et en quelle proportion? Sur quel critère se baser pour déterminer le panier de matières premières? Quels types de contrats doivent être considérés? A quelle fréquence doit-on roller les contrats futures? Les poids attribués doivent-ils être changés périodiquement et à quelle fréquence? Le nombre de matières premières comprises dans les indices est très variable : de 6 pour Deutsche Bank Commodity Index à 45 pour Diapason Commodity Index. Les facteurs déterminant leur pondération sont généralement fonctions de la production et de la consommation mondiale, du niveau de stocks, de l open interest et du market turnover. Concernant le renouvellement des contrats proches de l échéance (roll), l approche traditionnelle consiste à considérer le prochain contrat arrivant à terme (prochain contrat nearby). Cependant on remarque que la mise en place de procédure de roll dynamique est de plus en plus fréquente dans le but de maximiser le rendement du roll. On peut répertorier trois catégories d indices sur matières premières : Poids fixes et rolls fixes Poids fixes et rolls dynamiques Poids dynamiques et rolls fixes III.1. Standard & Poor Goldman Sachs Commodity Index L indice S&P GSCI 1 (anciennement GSCI, avant 2007) est tradé depuis 1991, mais les données historiques remontent à Il constitue l indice le plus important des matières premières. Le S&P GSCI est formé de 24 matières premières représentant les secteurs de l énergie, des métaux précieux, des métaux de base, de l agriculture et de l élevage (livestocks). Le secteur 1 Source : S&P GSCI Index Methodology Hubert Corpechot Master 104 Finance 17

19 prédominant est celui de l énergie. Les matières premières sont sélectionnées pour la liquidité des contrats ; l indice GSCI se veut représentatif de l économie par sa composition et sa méthode de calcul de pondérations. Le poids attribué à chaque matière première est déterminé grâce à son niveau de production durant les 5 dernières années. Chaque contrat à terme est rollé mensuellement. Le calcul des pondérations s effectue en quatre étapes : Evaluation de la quantité totale de production mondiale : WPQ (World Production Quantity). WPQ est calculé sur la base des 5 dernières années pendant lesquelles l ensemble des données de la production mondiale est disponible pour chacune des matières premières composant l indice Evaluation de la production mondiale moyenne : WPA (World Production Average) Calcul du ratio CPW (Contract Production Weight) basé sur le pourcentage de la quantité échangée totale : %TQT (Total Quantity Traded) Ajustement des poids CPW La première étape est donc le calcul des WPQ d c correspondant au contrat c pour le jour d. Il vient alors :, ; 5 %. 10 On calcule le poids total en $, en notant DCRP le prix de référence du contrat :. On évalue ensuite un ratio TDWR permettant d établir une constante de normalisation :... La valeur de l indice S&P GSCI est finalement : & Ce qui équivaut à dire que le poids du contrat c dans l indice est : Hubert Corpechot Master 104 Finance 18

20 SP GSCI 2 Energy 70,18% Crude Oil 39,09% Brent Crude Oil 13,50% RBOB Gas 4,62% Heating Oil 4,30% GasOil 4,69% Natural Gas 3,98% Industrial Metals 8,00% Aluminium 2,42% Copper 3,60% Lead 0,53% Nickel 0,77% Zinc 0,68% Precious Metals 3,34% Gold 2,96% Silver 0,38% Agriculture 14,00% Wheat 3,11% Red Wheat 0,63% Corn 3,03% Soybeans 2,35% Cotton 1,04% Sugar 2,68% Coffee 0,76% Cocoa 0,40% Livestock 4,48% Live Cattle 2,78% Feeder Cattle 0,53% Lean Hogs 1,17% Figure 1 - Répartition des poids du S&P GSCI 2 Source : S&P GSCI Components and Weight 11 septembre 2009 Hubert Corpechot Master 104 Finance 19

21 III.2. Dow Jones-UBS Commodity Index L indice DJ-AIGCI lancé en juillet 1998 est devenu le 7 mai 2009 l indice DJ-UBSCI. Cet indice comprend 19 commodities des secteurs : énergie, métaux précieux, métaux de base, agriculture et livestocks. Il répond à deux contraintes de diversification : Le poids de chaque matière première ne doit pas être en dessous de 2 % et ne doit pas excéder 15 % Le cumul des poids des commodities de chaque secteur ne doit pas dépasser 33 % Le DJ-UBSCI est repondéré tous les mois de janvier ; et la fréquence des rolls dépend des contrats. La pondération de l indice repose sur la liquidité et sur la production des commodities. Les règles auxquelles est soumise la pondération permettent d avoir une allocation diversifiée. En effet, Dow Jones indique qu un poids disproportionné attribué à une matière première ou à un secteur est susceptible d augmenter trop fortement la volatilité et accroîtrait le risque de l indice. DJ UBS 3 Energy 32,97% Natural Gas 11,89% Crude Oil 13,79% Gasoline 3,70% Heatoil 3,60% Industrial Metals 20,28% Aluminium 6,99% Copper 7,29% Zinc 3,10% Nickel 2,90% Agriculture 29,27% Wheat 4,80% Corn 5,69% Soybean 7,59% Soybean Oil 2,90% Sugar 3,00% Cotton 2,30% Coffee 3,00% Livestock 6,69% Live Cattle 4,30% Lean Hogs 2,40% Precious Metals 10,79% Gold 7,89% Silver 2,90% 3 Source : Dow Jones UBS Janvier 2009 Hubert Corpechot Master 104 Finance 20

22 Figure 2 - Répartition des poids du DJ UBS Hubert Corpechot Master 104 Finance 21

23 IV / Description des données et de la méthodologie IV.1. Les données L étude porte sur un ensemble de 22 matières premières représentatives du marché des commodities, disponibles via contrats futures, et relativement liquides. Elles représentent les secteurs de l énergie, des métaux de base, des métaux précieux, de l agriculture et de l élevage. Chaque contrat future a pour échéance décembre à l exception des contrats Sucre et Soja qui arrivent respectivement à échéance en octobre et en novembre. Le contrat Gazoline considéré est celui du RBOB Gasoline à partir de décembre 2006, mais avant cela, on considère le HU Gasoline qui a été retiré du marché pour être remplacé par le RBOB. Secteur Matière Première Maturité Energy WTI Décembre Brent Décembre Heating Oil Décembre Gasoil Décembre RBOB (/HU) Gasoline Décembre US Natural Gas Décembre Precious Metals Gold Décembre Silver Décembre Base Metals Aluminium Décembre Zinc Décembre Lead Décembre Nickel Décembre Copper Décembre Agriculture Corn Décembre Wheat Décembre Sugar 11 Octobre Soybean Novembre Cocoa Décembre Coffee C Décembre Cotton 2 Décembre Live Stocks Live Cattle Décembre Lean Hogs Décembre Le roll est effectué cinq jours avant l échéance du contrat afin d obtenir des données continues. On analyse les données, téléchargées sur Bloomberg, à partir du 31 décembre 1997 (pour le contrat à échéance en décembre, octobre ou novembre 1998) et jusqu au 31 Hubert Corpechot Master 104 Finance 22

24 juillet 2009 (contrat à échéance en fin 2009), ce qui revient à considérer 12 contrats pour chacune des 22 commodities. Les données relatives au S&P GSCI et au DJ UBS sont aussi téléchargées sur Bloomberg sur la même période. IV.2. La méthodologie On compare quatre méthodologies d allocation d actifs : 1/N, stratégie naïve ou équipondérée (EWP) Variance Minimum (MVP) Equally-weigthed Risk Contribution (ERC) Most-Diversified Portfolio (MDP) N représente le nombre de matières premières considérées ; ici N = 22. On reste tout au long de l étude sous la contrainte budgétaire ; en notant w i le poids associé à la matière première i, cette contrainte se traduit par : 1 On se place dans sous la contrainte d absence de ventes à découvert : 1,, 0 1 Compte-tenu du nombre limité de contrats on n impose pas de valeur minimum ni maximum, à l instar des règle UCITS III, aux poids des commodities en portefeuille. La matrice de variances-covariances Σ est calculée mensuellement, sur une période d un an, à l exception de la première année où Σ est calculée sur le plus large ensemble de données disponibles. On considère qu un mois est constitué de 21 jours ouvrés ; les 12 contrats considérés permettent donc de travailler sur 3008 cotations quotidiennes, ce qui représente 143 mois. Les poids des différentes allocations sont obtenus de la manière suivante : EWP : 1,, 1/ MVP : Le vecteur x* des poids du portefeuille minimum-variance est obtenu par minimisation dans la fonction qui à un vecteur de poids de dimension N associe sa variance : argmin Σ Hubert Corpechot Master 104 Finance 23

25 ERC : Le vecteur x* des poids du portefeuille ERC est obtenu en minimisant l écarttype des contributions au risque : argmin Σ. En effet, la solution analytique x* n'étant pas nécessairement évidente à mettre en place, on a recours à une optimisation pour cette allocation aussi. On aurait pu tenter d optimiser la fonction qui va de R N x R dans R :,. Σ Mais on constate que cette optimisation, réalisée sur R est sensiblement similaire à la minimisation de l écart-type de la contribution au risque, cependant la présence d un paramètre supplémentaire à optimiser (c) implique des résultats moins précis. MDP : On optimise la fonction qui à un vecteur de poids associe le ratio de diversification D(x) : argmax Σ Le calcul des pondérations est effectué chaque mois, on construit ainsi dans un premier temps 4 portefeuilles. On introduit dans un second temps le P&L dû au roll. Cinq jours avant la maturité de chaque contrat, le roll introduit un gain ou une perte dû au changement de contrat : si le nouveau contrat est plus élevé que le contrat arrivant à maturité (situation de contango ou report), alors le roll induit une perte (dans le cas inverse on est en situation de backwardation ou déport). L introduction du P&L dû au roll permet la construction de 4 autres portefeuilles que l on notera ER (pour "Excess-Return"). Les poids appliqués sont ceux calculés à partir des données spot. On se trouve donc en présence de 8 portefeuilles : Sans prise en compte du roll EWP MVP.LO ERC.LO MDP.LO Prise en comte du roll EWP.ER MVP.LO.ER ERC.LO.ER MDP.LO.ER Hubert Corpechot Master 104 Finance 24

26 V / Application de quatre méthodes alternatives d allocation à un panier de matières premières V.1. Performances des portefeuilles "spot" Au regard des performances des portefeuilles constitués sur les données spot, on constate que l allocation naïve domine nettement toutes les autres en termes de rendement, mais elle est aussi l'allocation présentant le plus de risque que ce soit au niveau de la volatilité ou des draw-downs 4. L allocation "MD" est devancée par les trois autres, malgré sa volatilité peu élevée, son rendement bas (7.26% de rendement annualisé) implique le ratio de Sharpe le plus faible même s'il reste du même ordre de grandeur que ceux des autres portefeuilles. Le MVP domine effectivement en termes de risque : il présente les draw-downs et la volatilité les plus faibles. Au regard des ratios de Sharpe, le portefeuille optimal est ici l'erc. On constate ici que le MDP se rapproche du portefeuille à minimum variance et que l'allocation ERC se situe bien entre ce dernier et l'allocation naïve. Malgré un rendement annualisé plus faible, l'erc présente une volatilité de deux points inférieure à celle de l'ewp ce qui lui vaut un meilleur ratio de Sharpe. Il domine le MVP par un meilleur rendement, même si sa volatilité est sensiblement plus élevée. Figure 3 - Performances des portefeuilles spot 4 Les Draw-Downs (DD) sont présentés ici en valeur absolue Hubert Corpechot Master 104 Finance 25

27 MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP Rendement annualisé 6.39% 8.16% 7.26% 9.46% Volatilité 9.50% 12.09% 11.09% 14.34% Ratio de Sharpe MDD 1 jour 4.66% 4.96% 4.91% 5.98% MDD 1 semaine 6.95% 8.60% 8.13% 9.67% MDD 1 mois 16.64% 25.65% 21.43% 28.53% DD Maximum 32.49% 43.62% 36.71% 47.20% Performances des portefeuilles long-only En termes de ratio de diversification, on remarque que le MDP domine évidemment les autres. Cependant, bien que les niveaux de diversification soient assez différents pour les quelques premiers mois, avec un ratio de diversification faible pour le portefeuille 1/N, ces ratios se retrouvent rapidement à un niveau proche autour de 3 pour le 30 ème mois et terminent autour de MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP Figure 4 - Evolution des ratios de diversification des portefeuilles spot (/mois) MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP Moyenne Minimum Maximum Ratios de diversification On remarque que le ratio de diversification du portefeuille ERC est entre celui du MDP et de l EWP, contrairement à celui du MVP qui est plus volatile. Hubert Corpechot Master 104 Finance 26

28 Malgré leur plus faible ratio de diversification, les portefeuilles ERC et EWP sont les seuls comprenant en permanence les 22 matières premières. Le portefeuille ERC met en place une allocation où l ensemble des actifs sont représentés, et où les poids attribués sont proches (faible écart type), à l inverse des MVP et MDP dont les valeurs des poids sont beaucoup plus dispersées. Ceci explique les performances proches des portefeuilles ERC et EWP. 75.0% Min MVP.LO Max MVP.LO 25.0% Min ERC.LO Max ERC.LO 65.0% 55.0% 45.0% 20.0% 15.0% 35.0% 10.0% 25.0% 15.0% 5.0% 5.0% 0.0% -5.0% % % 30.0% 25.0% 20.0% 15.0% 10.0% 5.0% 0.0% Min MDP.LO Max MDP.LO -5.0% Figure 5 - Evolution des poids des portefeuilles MVP.LO, ERC.LO et MDP.LO (/mois) MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP Moyenne 4.55% 4.55% 4.55% 4.55% Ecart type moyen 8.41% 2.49% 4.99% 0.00% Minimum 0.00% 1.21% 0.00% 4.55% Maximum 67.16% 20.87% 35.09% 4.55% Nb titres moyen Poids des actifs On vérifie que la contribution au risque est bien la même pour chaque titre au sein de l allocation ERC en constatant que la contribution au risque moyenne est confondue avec la minimum et la maximum. Bien que la contribution au risque devienne plus importante sur les derniers mois, du fait des prix des matières premières plus volatiles, celle de l allocation ERC reste faible devant celle des autres allocations. Ce qui importe ici est le fait que chaque Hubert Corpechot Master 104 Finance 27

29 actif contribue également au risque du portefeuille, ce qui se traduit par un écart type (de la contribution au risque) nul. A l opposé de l ERC, le portefeuille MV montre un écart type le plus important et une valeur maximale de la contribution au risque très élevée devant la moyenne. Ce phénomène montre une forte concentration du risque sur un ou sur un petit nombre d actifs, ce qui met en relief le problème de faible diversification du risque du portefeuille MV. Les portefeuilles MDP et EWP présentent des contributions au risque assez proches avec une moyenne plus importante pour l EWP et un écart type plus grand pour le MDP, essentiellement en fin de période. 5.50E E-05 Min MVP.LO Max MVP.LO Average MVP.LO 1.20E E-05 Min ERC.LO Max ERC.LO Average ERC.LO 3.50E E E E E E E E E E E E-05 Min MDP.LO Max MDP.LO Average MDP.LO 3.00E E-05 Min EWP Max EWP Average EWP 2.00E E E E E E E E E E E E Figure 6 - Evolution de la contribution au risque des portefeuilles spot (/mois) (*1e7) MVP.LO ERC.LO MDP.LO EWP Moyenne Ecart Type Minimum Maximum Contributions au risque Le dernier graphique présente le niveau de volatilité conditionnelle en fonction du temps obtenu par un modèle GARCH(1,1). On rappelle que le modèle GARCH permet une Hubert Corpechot Master 104 Finance 28

30 représentation autorégressive de la variance conditionnelle d un processus. En effet, un processus (r t ) t (ici les rendements) satisfait un GARCH(p,q) s il s écrit sous la forme : où z t désigne un bruit blanc faible homoscédastique de moyenne nulle et de variance σ 2, h t désigne la variance conditionnelle du processus (conditionnelle à l ensemble des observations passées) et les coefficients : ω, α i, β i sont supposés tels que : 0, 0, 0 L objectif ici n est pas de savoir si les rendements des portefeuilles suivent précisément des processus GARCH(1,1), mais d avoir une estimation du niveau de risque des portefeuilles. Figure 7 - Evolution de la volatilité conditionnelle des portefeuilles spot On constate ici, conformément aux attentes, que le portefeuille MV présente une volatilité conditionnelle faible (par rapport aux autres portefeuilles) sur toute la période. La volatilité la plus forte est globalement celle du portefeuille 1/N ce qui est cohérent avec l idée qu il est celui qui présente le risque le plus important. Le portefeuille ERC présente une volatilité comprise entre celle de l'ewp et du MVP. Le MDP présente globalement un risque faible, mais montre des pics de volatilité, ce qui implique qu'il peut localement être plus risqué que les trois autres portefeuilles, ce qui est aussi le cas du MVP même si cela n'arrive que rarement. Hubert Corpechot Master 104 Finance 29

31 V.2 Analyse de l influence du roll L approche traditionnelle pour le traitement des rolls (renouvellement des contrats arrivant à échéance) consiste à considérer le prochain "nearby" (prochain contrat arrivant à échéance), comme le fait le S&P GSCI par exemple. L aspect théorique vu précédemment ne permet pas de mettre en place des indices pouvant être réellement échangé. En effet, pour qu un indice soit tradé il doit prendre en compte le P&L dû au roll, c est ce qui différencie l indice S&P GSCI (spot) et l indice S&P GSCI ER (Excess Return) qui est effectivement tradé. Récemment, les indices sur matières premières ont vu apparaître des procédures de traitement du roll dynamique. Le roll a un impact non négligeable sur les portefeuilles de commodities, comme le montre l étude ci-après, leur prise en compte est très importante. Figure 8 - Performances des portefeuilles ER MVP.LO.ER ERC.LO.ER MDP.LO.ER EWP.ER Rendement annualisé 3.48% 4.51% 3.58% 5.98% Volatilité 8.88% 11.83% 10.58% 14.12% Ratio de Sharpe MDD 1 jour 3.11% 4.96% 3.62% 5.98% MDD 1 semaine 5.94% 8.60% 8.13% 9.67% MDD 1 mois 16.64% 25.65% 21.48% 28.53% DD Maximum 33.25% 46.32% 38.66% 50.40% Performances des portefeuilles ER Hubert Corpechot Master 104 Finance 30

32 On remarque que les performances obtenues sont plus faibles lors de la prise en compte du roll. Les ratios de Sharpe baissent fortement passant de 0.68 pour l ERC à 0.38 et de 0.65 pour le MDP à 0.34, non pas à cause d une plus forte volatilité, celle-ci étant même très légèrement plus basse (globalement), mais à cause de rendements beaucoup plus faibles (5.98 % contre 9.46 % de rendement moyen pour l EWP et 3.48 % contre 6.39 % pour le MVP). Les draw-downs maximums restent proches de ceux obtenus en l absence de roll. L introduction du roll impacte donc très négativement l ensemble des portefeuilles en termes de rendements. Cet impact s explique par un nombre important de contrats en contango lors de la période d étude. En effet, pour les 12 contrats des 22 matières premières considérées, on remarque un nombre moyen de contrats en contango de 6.86 alors que le nombre de contrat en backwardation sur la même période atteint en moyenne Les contrats étudiés perdent en moyenne 3.94 % lors des rolls. Ainsi, sur la période considérée, l ensemble des commodities étudiés souffre des nombreux contrats en contango ce qui impacte fortement les portefeuilles mis en place. DeMiguel, Garlappi et Uppal [2007] préconise d étendre les paramètres pris en compte par les modèles aux caractéristiques des actifs ; ces caractéristiques peuvent ici comprendre les rolls des contrats. En effet, la prise en compte des rolls des contrats dans la pondération des matières premières permettrait d améliorer les performances des portefeuilles "ER". Les niveaux de volatilités conditionnelles obtenues pour les portefeuilles ER sont similaires aux portefeuilles ne tenant pas compte du roll. V.3. Allocations alternatives et indices sur matières premières Parmi les indices de matières premières, le S&P GSCI est une référence, mais celui-ci est fortement pondéré en énergie et particulièrement en crude oil. Un autre indice de référence est le DJ UBS, qui est plus représentatif de l ensemble des matières premières. La pondération de ces deux indices s appuie sur le niveau de production des matières premières. Jusqu'en juillet 2008, les indices S&P GSCI et DJ UBS (spot) montrent de bonnes performances en termes de rendement, ce qui peut d'expliquer par leur forte pondération en matières premières énergétiques notamment pour le GSCI. Cependant le rendement annualisé des deux indices sur toute la période d'étude est au final relativement faible suite Hubert Corpechot Master 104 Finance 31

33 à la chute de ces mêmes matières premières, ce qui leur vaut aussi un draw-down maximum assez important. En terme de ratio de Sharpe, les deux indices spot se retrouvent dominés par toutes les allocation vue précédemment (MVP.LO, ERC.LO, MDP.LO et EWP), ce à cause d'une trop forte volatilité. Le GSCI a le ratio de Sharpe de loin le plus faible, on constate que c'est ici l'allocation la plus risquée que ce soit en termes de volatilité (24.75%) ou en termes de draw-downs (65.54%). Le DJ UBS montre un risque bien plus bas avec une volatilité de % ce qui lui permet d avoir un ratio de Sharpe de 0.54 contre 0.68 pour l'erc et 0.33 pour le GSCI. Même si les draw-downs du DJ UBS spot sont moins élevés que ceux du GSCI, ils restent plus important que ceux des allocations étudiées. Figure 9 - Performances ne tenant pas compte du P&L du roll S&P GSCI DJ UBS S&P GSCI ER DJ UBS ER Moyenne 8.11% 9.22% -0.63% 0.79% Volatilité 24.75% 17.23% 24.78% 17.16% Ratio de Sharpe MDD 1 Jour 7.48% 5.81% 7.48% 5.81% MDD 1 Semaine 14.46% 10.25% 14.46% 10.24% MDD 1 Mois 34.86% 27.42% 35.30% 28.62% DD Maximum 65.54% 53.18% 71.56% 57.13% Performances des indices de matières premières Les indices S&P GSCI ER et DJ UBS ER présentent des rendements annualisés nettement inférieurs pour un volatilité identique aux indices spot, ce qui leur vaut des ratios de Sharpe Hubert Corpechot Master 104 Finance 32

34 très inférieurs. On constate ici que les deux indices sont nettement plus sensibles l'impact du roll. Les draw-downs maximums sont aussi impactés. Cette très nette différence entre les deux indices ER et les portefeuilles ER provient d'une part du choix de la pondération plus équilibrée des allocation MV, MD, ERC et EW, mais aussi du choix des contrats décembre pour la constitution des portefeuilles. D'un part, on constante que l'allocation naïve donne le portefeuille le moins sensible à l'introduction du roll, la bonne diversification de ce portefeuille lui permet d'équilibré les effets du report et du déport. L'ERC, par ces caractéristiques assez proches du portefeuille "1/N" et en mettant en place un portefeuille à la fois diversifié et équilibré en termes de risque, est aussi moins impacté par le roll. Les allocation minimum-variance et mostdiversified, bien que moins diversifiées que les deux précédentes, sont plus équilibrées que les indices S&P GSCI et DJ UBS. D'autre part, le choix des contrats à échéance en fin d'année permet de diminuer l'impact du roll par rapport à l'utilisation de contrats nearby. Figure 10 - Performances des indices et portefeuilles ER On s intéresse aux indices Excess Returns, car ce sont ces indices qui sont échangés. Dans ce cadre, on constate que les allocations EWP et ERC dominent nettement les autres allocations et indices. Ces deux allocations présentent effectivement de meilleures performances du fait de leur meilleure diversification. On confirme ici que pour obtenir de bonnes performances les indices de matières premières doivent prendre en compte l effet du roll. Hubert Corpechot Master 104 Finance 33

35 VI / Conclusion Les méthodes alternatives d allocation entre matières premières Les résultats obtenus sont dans la lignée de ceux présentés dans les articles DeMiguel, Garlappi et Uppal [2007] et Maillard, Roncalli et Teiletche [2009]. Nous avons montré que, bien que naïve, l allocation 1/N ne semble pas être aussi inefficiente qu on peut le penser. Cette méthode d allocation surperforme les allocations de type minimum-variance, mostdiversified ou equally-weighted risk contribution, dans le cas des portefeuilles "Excess Return". L allocation ERC présente des résultats assez proches du portefeuille équipondéré. Ceci est dû au fait que cette allocation permet une bonne diversification, mettant en jeu l ensemble des actifs considérés. C'est également la méthode d'allocation la plus performante en termes de ratio de Sharpe dans le cas "spot", bien que toutes les allocations présentent alors des résultats proches. Le fait de minimiser l écart type de la contribution au risque pour obtenir la pondération du portefeuille ERC permet une approche simple de cette allocation ; en effet les poids attribués à chaque actif sont proches (faible écart type), ce qui la rend comparable à la méthode 1/N. Le portefeuille minimum-variance, malgré un risque ex-post faible présente des rendements faibles. Cette allocation souffre d un manque de diversification : elle concentre le portefeuille autour de quelques actifs présentant une variance et une covariance faible. Enfin, le MDP souffre d un risque trop important pour le niveau de rendement obtenu, ceci est dû à la définition même du ratio de diversification. L introduction du roll dans les portefeuilles considérés permet de se rapprocher de la réalité du marché des matières premières. En effet, les indices sur commodities effectivement tradés prennent en compte le P&L dû au renouvellement des contrats. On constate que les performances obtenues sont inférieures lorsque le roll est pris en compte. Ceci est dû au nombre important de cours de matières premières en contango sur la période d étude parmi les contrats considérés. Une amélioration des méthodes d allocation appliquées à des contrats à terme consisterait à prendre en compte le roll des contrats. En effet, DeMiguel, Garlappi et Uppal préconisent de considérer plus de caractéristiques des actifs pour la mise en place de méthodes d allocation ; le roll étant une problématique concrète et réelle de l allocation de contrats de matières premières, la prise en compte de celui-ci permettrait d améliorer les performances des portefeuilles "ER". Hubert Corpechot Master 104 Finance 34

36 Une autre amélioration relative à la mise en place des méthodes d allocation d actifs étudiées concerne l estimation des matrices de variance-covariance. En effet, le choix de la méthodologie de calcul de ces matrices est généralement assez arbitraire ; en l occurrence la mise en place de fenêtres d estimation d un an ne permet pas de prendre en compte l ensemble de l information disponible et est ainsi source d erreurs. On pourrait par exemple mettre en œuvre une méthodologie du type DCC (Dynamic Conditional Correlation) développée dans Engle [2002], permettant d évaluer des matrices de corrélations sur l ensemble de la période d estimation par un modèle GARCH multivarié. Hubert Corpechot Master 104 Finance 35

37 Table des figures Figure 1 - Répartition des poids du S&P GSCI Figure 2 - Répartition des poids du DJ UBS Figure 3 - Performances des portefeuilles spot Figure 4 - Evolution des ratios de diversification des portefeuilles spot (/mois) Figure 5 - Evolution des poids des portefeuilles MVP.LO, ERC.LO et MDP.LO (/mois) Figure 6 - Evolution de la contribution au risque des portefeuilles spot (/mois) Figure 7 - Evolution de la volatilité conditionnelle des portefeuilles spot Figure 8 - Performances des portefeuilles ER Figure 9 - Performances ne tenant pas compte du P&L du roll Figure 10 - Performances des indices et portefeuilles ER Hubert Corpechot Master 104 Finance 36

38 Bibliographie Les méthodes alternatives d allocation entre matières premières Minimum-Variance Portfolios in the U.S. Equity Market Roger Clarke, Harindra de Silva et Steven Thorley [2006] Journal of Portfolio Management, 33(1), pp Optimal Versus Naive Diversification: How Inefficient is the 1/N Portfolio Strategy? Victor DeMiguel, Lorenzo Garlappi et Raman Uppal [2007] Review of Financial Studies Towards the Design of Better Equity Benchmarks Lionel Martellini [2008] Journal of Portfolio Management, 34(4), pp. 1-8 Towards Maximum Diversification Yves Choueifaty et Yves Coignard [2008] Journal of Portfolio Management, 34(4), pp On the properties of equally-weighted risk contributions portfolios Sebastian Maillard, Thierry Roncalli, Jérôme Teiletche [2009] Dynamic Conditional Correlation - A Simple Class of Multivariate Garch Models Robert Engle [1999] (première version) [2002] (seconde version) Journal of Business and Economic Statistics Hubert Corpechot Master 104 Finance 37