Inégalités - Encadrements

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1 Inégalités - Encadrements - Ecrire sous forme d intervalles les ensembles de nombres réels vérifiants les inégalités suivantes : a) 3 x c) x 5 e) x > b) 3 x d) x f) x < 5 - Décrire à l aide d une inégalité les intervalles, ensembles des réels x tels que : ] a) x ] 3, ] c) x ], 6[ e) x 0, 4 ] 3 b) x [ 5, + [ d) x ], 0;, 0[ 3- Sans calculatrice, trouver le plus grand parmi les nombres : - ; 5 8 ; 34 5 ; 53 5 ; Sans calculatrice, trouver ceux des nombres suivants qui sont compris entre 0, 8 et : a = 7 5 ; b = + 3 ; c = ; d = 7 ; e = Sans calculatrice, ranger les nombres suivants du plus petit au plus grand : 0, 99 ; 0, 99 ;, 0 ;, 0 ; Sans calculatrice, ranger leurs carrés et leurs racines carrées. 6- Comparer, sans calculatrice : a) 7 et 5 c) 7 et b) 30 et d) 8 et Déterminer, parmi les nombres suivants, ceux qui sont solutions de l inéquation : 7x 0 : 3,4 ; 3,5 ; 3,45 ; 3,46 ; π ; 7 ; + 3 ; 355 3

2 8- Résoudre, et écrire les solutions sous forme d intervalles : a) 5x + 0 c) (x + 3) < 0 e) x + 7 > x b) 3 x < 0 d) 3x 0 f) 3 x < 9-Dresser un tableau de signes pour chaque expression : a) x 7 3 b) 4x c) 7 x d) 3x Ecrire sous forme de réunions d intervalles les ensembles de réels tels que : a) x 0 ou x c) x < 3 ou x < 5 b) x ou x > 3 d) x < 5 ou 0 x 4 ou x 8 - Résoudre, et écrire sous forme d une réunion d intervalles les solutions : a) (x )(x 3) < 0 e) x x b) ( 3x)( + 5x) 0 f) x 3 x 0 (x + )( x) c) (x 5)(3x + ) 0 g) 0 3 x d) (7 4x)(4x + ) 0 a) - Dresser le tableau de signes pour chaque expression : ( x)(x + ) b) x 4 x 5 x 3- Ecrire sous forme de réunions d intervalles les ensembles de réels x tels que : a) x 4 d) x g) x < b) x > e) x 3 h) 3x + 4 c) x 5 f) x + < i) < x Trouver les entiers vérifiant 3 x < x + 4 < 5 x. 5- On donne, a, 4 et 9, 7 b 0,. Encadrer a+b et a b. 6- On donne x 3 et y 6. Encadrer x, y et x y. 7- En admettant qu un Euro vaille entre,0 et,0 dollar, combien d Euros peut-on obtenir avec 500 dollars?

3 8- Tout nombre est plus grand que Trouver l erreur dans le raisonnement suivant : On a, pour tout x, x x, d où (x ) x, soit, en développant : x x + x, d où x + 0 d où x. Donc tout nombre est supérieure à!!! 9- Encadrer le périmètre et la surface d un rectangle dont la longueur L et la largeur l vérifient, en mètre : 5, 6 L 5, 8 et 9, 4 l 9, 6 0- Un rectangle a une aire de 70 m. Montrer que sa longueur dépasse 3 m. Sa largeur peut-elle dépasser 3 m? - Un cycliste maintient sa vitesse entre 6 km/h et 3 km/h sur un trajet de 40 km. Sachant qu il est parti entre 0h et 0h5mn, encadrer l heure de son arrivée. - Pierre rejoint, avec sa voiture, des amis qui habitent à 50 km de chez lui. il part entre 8h30mn et 8h45mn et maintient sur son parcours une vitesse comprise entre 50 km/h et 00 km/h. Encadrer l heure de son arrivée. Est-il sûr d arriver pour le repas, prévu à h30? 3- Une voiture a un réservoir d une contenance de 65 litres, et elle consomme entre 7 l et 9 l aux 00 km, sur un circuit de 3 km de long. Combien de tours de circuit peut-elle effectuer avec un réservoir plein? 4- Pour faire le patron d un cube, on a utilisé moins de 96 cm de carton. Quel est le volume maximal de ce cube? 5- Un agriculteur prétend que son champ vérifie les données suivantes :. la largeur est au moins de 30 m.. l aire ne dépasse pas,685 hectare Est-il crédible? 6- Le diamètre de base d un récipient cylindrique est plus petit que 0,8 cm. Sachant qu il contient plus d un litre, montrer que ce récipient est plus haut que large. 3

4 7- Trouver trois entiers consécutifs dont la somme S vérifie : 998 S Une mère a donné naissance à sa fille à l âge de 4 ans. Au cours de leur vie, pendant combien d années l âge de la mère sera-t-il compris, au sens large, entre le triple et le quadruple de celui de la fille? 9- Les côtés de l angle droit d un triangle rectangle mesurent 5 m et 7 m à cm près. Encadrer l aire et le périmètre de ce triangle. 30- Après 00 tours de roue, un vélo a parcouru 440 mètres, à 0,5 m près. En prenant 3, 4 < π < 3, 5, peut-on connaître à mm près le diamètre de la roue? 3- Trouver un entier n tel que, à 0 7 près par défaut, on ait : n 0, et 0, n 3- Deux oranges ne coûtent pas plus que trois bananes, cinq bananes pas plus que quatre poires, et six poires pas plus que cinq oranges. Quel est le fruit le plus cher? ne dépasse pas (b a) En partant de 4 < 7 < 5, donner plusieurs encadrement de 7 en précisant l amplitude de l encadrement obtenu (Continuer jusqu à la 3 e étape. Conserver des encadrements par des nombres rationnels) Vérifier l égalité : 7 = Soient réels a et b supérieurs ou égaux à 4, tels que a < 7 < b. Justifier l encadrement 4 + b + 4 < 7 < 4 + a + 4 Calculer l amplitude de cet encadrement, et vérifier que cette amplitude 34-. Vérifier que, pour x, [. Pour x, 3) 0 x + x x + x = x + x + x. ], démontrer : ) 0 x 4 ; ) 3 + x ; 4

5 [ 3. En déduire que pour x, ], x est une valeur approchée par défaut de + x à x près. 4. En déduire des valeurs approchées de, 004, 0, 9993,, en indi- 3, 006 quant la précision. On pourra comparer les résultats obtenus avec ceux de la calculatrice. 5. Soit x = 0, 99 9 (998 chiffres égaux à 99). Quels sont, de, le 998e x chiffre après la virgule? le 999 e? le 000 e? le 3000 e? 35- Résoudre dans R, les systèmes : { { x > 0 8x 3x a) d) 3x x 8 x { x 3 b) e) 3x 5 x 3 x 3 4 { { 3x 0 (3x )( x 3) < 0 c) f) 7x 4 > 0 x 0 g) h) { x(x + )( x) 0 7 4x { x 0 x 4 + x 36-. Représenter, dans le plan muni d un repère (O, i, j ), l ensemble des points M(x, y) tels que 6x + 0y 4.. Dans une kermesse sont vendues deux sortes de pâtisseries : un éclair au chocolat coûte 6 F ; un morceau de tarte coûte 0 F. Babette, petite gourmande, a 4 F en poche. Que peut-elle se payer avec cet argent? 5