Statistique (4 em ) Le 1er réseau éducatif du Sénégal

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Patrick Pierre Aubé
il y a 7 ans
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1 Statistique (4 em ) Statistiques, branche des mathématiques qui a pour objet la collecte, le traitement et l analyse de données numériques relatives à un ensemble d objets, d individus ou d éléments. La statistique constitue un outil précieux pour l expérimentation de projets, la gestion des entreprises ou encore l aide à la décision. Une recherche statistique se décompose en quatre étapes : la définition et la collecte des données, leur présentation en tableaux, leur analyse, et enfin la comparaison des résultats avec des lois statistiques connues. I. Vocabulaire : 1) Population : C est l ensemble des êtres sur le quel on recueille les données. 2) Individu : Chaque élément de la population est un individu. 3) Echantillon : Une partie ou un sous ensemble de la population est un échantillon. 4) Caractère : C est le phénomène qu on étudie dans la population. Un caractère peut être qualitatif ou quantitatif. a) Caractère qualitatif : un caractère est qualitatif lorsqu on ne peut pas définir (mesurer) son intensité mais simplement sa nature. b) Caractère quantitatif : un caractère est quantitatif lorsqu on peut mesurer son intensité par un nombre. 5) Modalités ( i ) : les différentes valeurs prises par le caractère étudié d une population donnée sont les modalités. 6) Effectif : C est un nombre d individus. a) Effectif total (N) : C est le nombre d individu de la population. b) Effectif partiel (n i ) : C est le nombre d individu pour une modalité. c) Effectif cumulé croissant d un caractère quantitatif : c est le nombre d individus qui a au plus ( ) cette modalité. d) Effectif cumulé décroissant d un caractère quantitatif : c est le nombre d individus qui a au moins ( ) cette modalité.

2 II. Classement des données statistiques : 1) Séries statistiques brutes : Population : Caractère : Exemple d individu : Exemple d échantillon : Effectif total : Population : Caractère : Exemple d individu : Exemple d échantillon : Effectif total : 2) Séries statistiques ordonnées : Modalités Effectifs Modalités Effectifs ECC a) Fréquence d une modalité (F i ) : la fréquence d une modalité est égale au quotient de son effectif partiel sur l effectif total. F i = b) Pourcentage d une modalité : Le pourcentage d une modalité est égal à sa fréquence multipliée par cent. P = F i 100 3) Mode et moyenne d une série statistique : a) Mode : Le mode d une série statistique est la modalité qui a le plus grand effectif. Une série statistique est bimodale lorsqu elle a deux modes.

3 b) Moyenne : (pour un caractère quantitatif) On peut calculer la moyenne à partir de la série brute ou à partir de la série ordonnée. A partir de la série brute : C est le quotient de la somme de toutes les valeurs sur l effectif total. M = = A partir de la série ordonnée : C est le quotient de la somme des produits de chaque modalité par son effectif partiel, le tout, sur l effectif total. Cette moyenne est aussi appelée moyenne pondérée. M = III. Représentation graphique : Pour avoir une vue d'ensemble de nos données statistiques on se sert de représentations graphiques ou diagrammes. 1) Diagramme en bâton / Diagramme à bande : Les valeurs du caractère sont représentées sur l'axe des abscisses et les effectifs, sur l'axe des ordonnées. Pour chaque valeur d'effectif non nul, une barre ou une bande est tracée verticalement ; sa hauteur est déterminée par l'effectif correspondant. 2) Diagramme circulaire / diagramme semi-circulaire : Le principe est de représenter les effectifs par des secteurs circulaires d'un disque, les mesures des angles de ces secteurs étant proportionnelles aux effectifs. - Dans un diagramme circulaire le disque entier, d'angle 360, représente la totalité. Ainsi l angle α pour une modalité i se calcule en appliquant la formule : α( i ) = - Dans un diagramme semi-circulaire le demi-disque, d'angle 180, représente la totalité.

4 Evaluation1 : Exercice1 : Les notes sur 20 d une classe sont : 10, 10, 12, 11, 10, 11, 14,11,11,16,16,12,10,11,10,10 1) Quelle est la population étudiée? 2) Quelle est le caractère étudié? Quel est l effectif total N. 3) Complète le tableau suivant : Modalités ( i ) Effectifs (n i ) Pourcentage ECD 4) Quel est le mode de cette série statistique? 5) Calcule la note moyenne. 6) Dresse le diagramme en bâton de cette série statistique. Exercice2 : Les couleurs préférées des stagiaires d un centre de couture sont : bleu, rouge, bleu, bleu, jaune, bleu, rouge, bleu, bleu, jaune, jaune, bleu, jaune. 1) Quelle est la population étudiée? Quel est le caractère étudié? Quel est l effectif total N? 2) Complète le tableau suivant : Modalités Bleu Effectifs (n i ) 3) Quel est le mode de cette série statistique? 4) Calcule la fréquence de la modalité bleu. 5) Dresse le diagramme semi-circulaire de cette série statistique.

5 Exercice3 : Dans une classe, on a enregistré les notes suivantes en maths: 6; 11; 3; 14; 11; 14; 11; 14; 14; 13; 11; 17; 6; 11; 17; 11. 1) Quel est l'effectif total de cette classe? 2) Dresse un tableau donnant la répartition des notes dans l'ordre croissant et les effectifs. 3) Calcule les fréquences et les fréquences en pourcentage. 4) Calcule la note moyenne de ce devoir. Exercice4 : Dans une salle de karaté il y a 27 filles et 13 garçons. 1) Quelle est la population étudiée? Quel est son effectif? 2) Quel est le caractère étudié? Quelle est sa nature? 3) Dresse un tableau de cette série statistique puis son diagramme circulaire. Exercice5 : Une étude des âges dans une classe de 3 em de 40 élèves a permis d obtenir le tableau cicontre. Par négligence certaines données du tableau ont été omises. Complète le tableau. Exercice6 : Après un contrôle noté sur 5, le professeur a dressé les notes dans le tableau ci-contre. Trouve la valeur de la note sachant que la moyenne est 3,5. Complète le tableau. Dresse le diagramme en bâton de cette série. Age en année Effectifs 12 ECC 7 Pourcentage 5 Note (sur5) 2 3 effectifs ECD Pourcentages PCC

6 IV. Groupement en classes de même amplitude : 1) Notion de classe : Une classe est un intervalle du type : [a ; b[ (avec a<b, a IR et b IR). Le nombre a est la borne inférieur et le nombre b la borne supérieur. La différence b-a est l amplitude de la classe [a ; b[. Le nombre c = est le centre de la classe [a ; b[ 2) Activités : Activité1 : On considère l intervalle [2 ; 7[. a) Détermine tous les nombres entiers appartenant à cet intervalle. b) Quelle est la borne inférieure? Appartient-elle à l intervalle? c) Quelle est la borne supérieure? Appartient-elle à l intervalle? d) Calcule l amplitude puis le centre de cette classe. e) Ecris sous la forme d intervalle l ensemble des nombres tel que f) Traduis sous forme d inégalité : y [2 ; 7[. g) Ecris trois autre intervalles consécutifs à [2 ; 7[ et de même amplitude. Activité2 : Voici les notes sur 20 de 25 élèves d une classe de 3 em ,5 12, , , , , a) Complète le tableau ci-dessous. b) Quelle est la classe modale? Note sur 20 [0 ; 5[ total Effectifs Centre de classes Pourcentage ECC FC C

7 c) Calcule la moyenne des notes à partir de la série brute puis à partir de la série ordonnée. d) Dresse le diagramme semi-circulaire. 3) Histogramme et polygones: Exemple1 : dressons l histogramme et le polygone des effectifs de la série précédente. Exemple2 : on considère le tableau suivant : Classes d âge [14 ; 16[ [16 ; 18[ [18 ; 20[ [20 ; 22[ ECD Effectifs ECC a) Complète le tableau. b) Construis l histogramme et le polygone des effectifs cumulés croissant de cette série. 4) Médiane : a) Définition : La médiane est la modalité pour laquelle il y a autant de données inférieures que de données supérieures. b) Détermination de la médiane : o Si l effectif total est impair et que les valeurs sont ordonnées dans l ordre croissant ou dans l ordre décroissant, la médiane est la valeur qui a pour rang : o Si l effectif total est pair, la médiane est entre la valeur qui a pour rang et la valeur suivante. o Dans le même diagramme La médiane est l abscisse du point d intersection du polygone des ECC et du polygone des ECD. o Dans un polygone des ECD ou un polygone des ECC la médiane est l abscisse du point qui a pour ordonnée c) Exercice d application : Dans chaque exercice de ce chapitre détermine la médiane de la série statistique.

8 Evaluation2 : Exercice1 : Le tableau suivant représente la répartition des notes des élèves dans une classe de 50 élèves Notes sur 20 [0 ; 4[ [4 ; 8[ [8 ; 12[ [12 ; 16[ [16 ; 20[ fréquences 0,1 0,14 0,18 0,16 1) Calcule la fréquence inconnue. 2) Complète le tableau en calculant les effectifs et en y faisant figurer la ligne des ECC et des ECD. 3) Que signifie 33 dans la ligne des ECC? Que signifie 45 dans la ligne des ECD? 4) Construis le diagramme et le polygone des ECC. 5) Détermine graphiquement la médiane en utilisant le théorème de Thales. Exercice2 : Après un devoir de TSQ, le professeur a recensé les notes suivantes : Notes effectifs ) Calcule l effectif de la note 10 sachant que la moyenne de la série est de 9 2) Pour la suite de l exercice on prendra. a) Quel est le nombre d élèves qui ont au moins 9? b) Quel est le pourcentage d élèves ayant au plus 14? c) Calcule la fréquence des élèves qui ont plus de 10. 3) Le professeur décide de regrouper les notes en classes d amplitude 4 de 4 à 20. a) Dresse alors le tableau correspondant en y faisant figurer les effectifs, les fréquences en pourcentage et les fréquences cumulés croissantes. b) Quelle est la classe modale? c) Construis la courbe des FCC en pourcentage. d) Détermine la médiane.

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