3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet

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1 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet Exercice 1 : (1,5 points) Je suis un nombre de 4 chiffres, multiple de 9 et de 10. Mon chiffre des dizaines est le même que celui des centaines. Mon chiffre des unités de mille divise tous les nombres. Qui suis-je? Exercice 2 : (1,5 points) Mon forfait de téléphone me permet d envoyer 250 SMS par mois. J envoie le même nombre de SMS par jour, pendant 30 jours. 1) Combien puis-je en envoyer au maximum par jour? 2) Combien de SMS non envoyés restera-il? Exercice 3 : (2 points) 1) Détermine la liste des diviseurs de ) Détermine la liste des diviseurs de 60. 3) Détermine la liste des diviseurs communs à 144 et 60. 4) En déduire le PGCD de 144 et 60. Exercice 4 : (2,5 points) 1) Détermine à l aide de l algorithme d Euclide, le PGCD d des nombres et ) Calculer les quotients premiers entre eux d et , puis vérifier que ces deux quotients sont d Exercice 5 : (2,5 points) Un professeur d EPS constitue des équipes avec les élèves de deux classes. En 3 ème A il y a 18 filles et 7 garçons, et en 3 ème E 12 filles et 13 garçons. Tous les élèves doivent jouer ; toutes les équipes doivent avoir la même composition en filles et en garçons. 1) Peut-il y avoir 3 équipes? 4 équipes? 5 équipes? Justifier 2) Le professeur souhaite faire le plus grand nombre possible d équipes. Combien d équipes peut-il constituer? Justifier Quelle est la composition de chaque équipe? Justifier

2 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet Exercice 1 : (1,5 points) Je suis un nombre de 4 chiffres, multiple de 2, de 3 et de 5. Mon chiffre des unités de mille est le même que celui des centaines. Mon chiffre des dizaines divise tous les nombres. Qui suis-je? Exercice 2 : (1,5 points) Après le passage d une tempête tropicale, une commune décide de distribuer des bouteilles d eau potable aux familles privées d eau. Elle doit conditionner 257 bouteilles dans des cartons pouvant en contenir 12. 1) Combien de cartons remplira-t-on? 2) Combien de bouteilles manquera-t-il pour remplir le dernier carton? Exercice 3 : (2 points) 1) Détermine la liste des diviseurs de ) Détermine la liste des diviseurs de 75. 3) Détermine la liste des diviseurs communs à 100 et 75. 4) En déduire le PGCD de 100 et 75. Exercice 4 : (2,5 points) 1) Détermine à l aide de l algorithme d Euclide, le PGCD d des nombres et ) Calculer les quotients et 5 184, puis vérifier que ces deux quotients sont d d premiers entre eux. Exercice 5 : (2,5 points) Un professeur d EPS constitue des équipes avec les élèves de deux classes. En 3 ème A il y a 11 filles et 19 garçons, et en 3 ème E 13 filles et 17 garçons. Tous les élèves doivent jouer ; toutes les équipes doivent avoir la même composition en filles et en garçons. 1) Peut-il y avoir 3 équipes? 4 équipes? 5 équipes? Justifier 2) Le professeur souhaite faire le plus grand nombre possible d équipes. Combien d équipes peut-il constituer? Justifier Quelle est la composition de chaque équipe? Justifier

3 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet Exercice 1 : (1,5 points) Je suis un nombre de 4 chiffres, multiple de 9 et de 10. Mon chiffre des dizaines est le même que celui des centaines. Mon chiffre des unités de mille divise tous les nombres. Qui suis-je? Le nombre cherché est du type abb0. Le chiffre des unités de mille est 1. (1 divise tous les nombres.) Donc le nombre cherché est du type 1bb0. Comme le nombre est divisible par 9 alors 1 + b + b = 1 + 2b est un multiple de 9 avec b < 10. Soit 1 + 2b = 9 Soit b = = 4. Le nombre cherché est donc Exercice 2 : (1,5 points) Mon forfait de téléphone me permet d envoyer 250 SMS par mois. J envoie le même nombre de SMS par jour, pendant 30 jours. 1) Combien puis-je en envoyer au maximum par jour? 2) Combien de SMS non envoyés restera-il? 1) On effectue la division euclidienne de 250 par 30 : 250 = On pourra envoyer au maximum 8 SMS par jour. 2) Il restera 10 SMS non envoyés. Exercice 3 : (2 points) 1) Détermine la liste des diviseurs de ) Détermine la liste des diviseurs de 60. 3) Détermine la liste des diviseurs communs à 144 et 60. 4) En déduire le PGCD de 144 et 60. 1) 144 = = 2 72 = 3 48 = 4 36 = 6 24 = 8 18 = 9 16 = Les diviseurs de 144 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 16 ; 18 ; 24 ; 36 ; 48 ; 72 et ) 60 = 1 60 = 2 30 = 3 20 = 4 15 = 5 12 = 6 10 Les diviseurs de 60 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 et 60 3) Les diviseurs communs à 144 et 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. 4) Le PGCD de 144 et 60 est donc 12. 3

4 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 1 Exercice 4 : (2,5 points) 1) Détermine à l aide de l algorithme d Euclide, le PGCD d des nombres et ) Calculer les quotients d et quotients sont premiers entre eux , puis vérifier que ces deux d 1) Dividende Diviseur Quotient Reste Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 156. Donc d après l algorithme d Euclide, d = PGCD( ; ) = ) = 759 et = 89 Dividende Diviseur Quotient Reste Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 1. Donc d après l algorithme d Euclide, PGCD(759; 89) = 1. Donc 759 et 89 sont bien premiers entre eux. Exercice 5 : (2,5 points) Un professeur d EPS constitue des équipes avec les élèves de deux classes. En 3 ème A il y a 18 filles et 7 garçons, et en 3 ème E 12 filles et 13 garçons. Tous les élèves doivent jouer ; toutes les équipes doivent avoir la même composition en filles et en garçons. 1) Peut-il y avoir 3 équipes? 4 équipes? 5 équipes? Justifier 2) Le professeur souhaite faire le plus grand nombre possible d équipes. Combien d équipes peut-il constituer? Justifier Quelle est la composition de chaque équipe? Justifier

5 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 1. 1) Il y a = 30 filles et = 20 garçons. 3 ne divise pas 20 ; donc le professeur d EPS ne peut pas constituer 3 équipes. 3 ne divise pas 20 ; donc le professeur d EPS ne peut pas constituer 4 équipes. 5 est un diviseur commun à 30 et 20 ; donc il est possible de constituer 4 équipes. 2) Pour constituer le plus grand nombre possibles d équipes, il faut choisir le plus grand diviseur commun à 30 et 20 : soit PGCD(30 ;20). Or PGCD(30 ;20) = 10 Le professeur d EPS peut donc constituer au maximum 10 équipes. Il y aura dans chaque équipe : 30/10 = 3 filles et 20/10 = 2 garçons.

6 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet Exercice 1 : (1,5 points) Je suis un nombre de 4 chiffres, multiple de 2, de 3 et de 5. Mon chiffre des unités de mille est le même que celui des centaines. Mon chiffre des dizaines divise tous les nombres. Qui suis-je? Comme le nombre est un multiple de 2 et de 5 alors c est aussi un multiple de 10. Le nombre cherché est du type aba0. Le chiffre des dizaines est 1. (1 divise tous les nombres.) Donc le nombre cherché est du type 1b10. Comme le nombre est divisible par 3 alors 1 + b + 1 = b + 2 est un multiple de 3 avec b < 10. Soit b + 2 = 3 ou b + 2 = 6 ou b + 2 = 9 Soit b = 1 ou b = 4 ou b = 7 Donc le nombre cherché est 1110 ou 1410 ou Exercice 2 : (1,5 points) Après le passage d une tempête tropicale, une commune décide de distribuer des bouteilles d eau potable aux familles privées d eau. Elle doit conditionner 257 bouteilles dans des cartons pouvant en contenir 12. 1) Combien de cartons remplira-t-on? 2) Combien de bouteilles manquera-t-il pour remplir le dernier carton? 1) On effectue la division euclidienne de 257 par = On remplira = 22 cartons 2) Il manquera 12-5 = 7 bouteilles pour remplir le dernier carton. Exercice 3 : (2 points) 1) Détermine la liste des diviseurs de ) Détermine la liste des diviseurs de 75. 3) Détermine la liste des diviseurs communs à 100 et 75. 4) En déduire le PGCD de 100 et 75. 1) 100 = = 2 50 = 4 25 = 5 20 = Les diviseurs de 100 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 ; 25 ; 50 ; ) 75 = 1 75 = 3 25 = 5 15 Les diviseurs de 75 sont : 1; 3; 5; 15; 75. 3) Les diviseurs communs à 100 et 75 sont : 1 ; 5 et 25. 4) Donc le PGCD de 100 et 75 est donc 25. 6

7 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 2 Exercice 4 : (2,5 points) 1) Détermine à l aide de l algorithme d Euclide, le PGCD d des nombres et ) Calculer les quotients et 5 184, puis vérifier que ces deux d d quotients sont premiers entre eux. Dividende Diviseur Reste Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 108. Donc d après l algorithme d Euclide, d = PGCD( ; 5 184) = ) = 7513 et = 48 Dividende Diviseur Quotient Reste Dans la suite des divisions euclidiennes, le dernier reste non nul est 1. Donc d après l algorithme d Euclide, PGCD(7 513; 48) = 1. Donc et 48 sont bien premiers entre eux. Exercice 5 : (2,5 points) Un professeur d EPS constitue des équipes avec les élèves de deux classes. En 3 ème A il y a 11 filles et 19 garçons, et en 3 ème E 13 filles et 17 garçons. Tous les élèves doivent jouer ; toutes les équipes doivent avoir la même composition en filles et en garçons. 3) Peut-il y avoir 3 équipes? 4 équipes? 5 équipes? Justifier 4) Le professeur souhaite faire le plus grand nombre possible d équipes. Combien d équipes peut-il constituer? Justifier Quelle est la composition de chaque équipe? Justifier 1) Il y a = 24 filles et = 36 garçons. 3 est un diviseur commun à 36 et 24 ; donc le professeur d EPS peut constituer 3 équipes.

8 3 ème E IE1 nombres entiers et rationnels Sujet 2 4 est un diviseur commun à 36 et 24 ; donc le professeur d EPS peut constituer 4 équipes. 5 ne divise ni 36 ni 24 ; donc le professeur d EPS ne peut pas constituer 5 équipes. 2) Pour constituer le plus grand nombre possibles d équipes, il faut choisir le plus grand diviseur commun à 36 et 24 : soit PGCD(36 ;24). Or PGCD(36 ;24) = 12 Le professeur d EPS peut donc constituer au maximum 12 équipes. Il y aura dans chaque équipe : 24/12 = 2 filles et 36/12 = 3 garçons.