SPE PSI DL 8 Pour le 05/12/11

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1 SPE PSI DL 8 Pour le 05/12/11 CONDUCTION DANS LES METAUX: L'espace est rapporté à un repère O muni d'une base cartésienne ( e, e, e ). Données numériques: - charge de l'électron: -e = - 1, C. - masse de l'électron: m = 9, kg. - o = 8, F.m µ o = H.m -1. On rappelle les hpothèses classiques de la conductibilité électrique dans les métau: - Les porteurs de charge sont les électrons libres, en nombre n par unité de volume. Dans le conducteur en équilibre, ces électrons ont des mouvements de directions équiprobables et leur vitesse moenne est nulle. - En présence d'un champ électrique E, les électrons libres, de charge - e acquièrent une vitesse moenne d'entraînement v (t) et le conducteur est le siège d'un courant électrique caractérisé par le vecteur densité volumique de courant J. - Les collisions que subissent les porteurs de charge sont équivalentes à une force de frottement appliquée à chaque électron et proportionnelle à sa vitesse v (t) : F m v(t). - En régime permanent chaque électron a une vitesse v (t) constante. 11/ Ecrire l'équation différentielle liant la vitesse v (t) d'un électron au champ électrique E. 12/ Donner la solution, en régime permanent, de cette équation. On définit la mobilité µ des porteurs de charges par la relation v (t) = µ. E. Calculer µ et préciser son unité. 13/ Préciser la dimension de et donner succinctement une interprétation phsique de la dénomination "temps de collision" ou "temps de relaation" utilisée pour. Calculer numériquement dans le cas de l'argent pour lequel µ = - 5, USI. 14/ Eprimer, en régime permanent, le vecteur densité de courant J en fonction de E ; en déduire l'epression de la conductibilité électrique o du conducteur définie par J E. Calculer numériquement pour l'argent, avec n = 7, cm -3. o

2 II/ Le conducteur, supposé remplir tout l'espace, est parcouru par un courant électrique de densité : J J. e J. e J. e lié à la présence d'un champ électrique constant E E. e E. e E. e. Il est en outre soumis à l'action d'un champ magnétique constant et uniforme, dirigé suivant l'ae O: B B e 21/ Ecrire, en régime permanent, l'équation liant la vitesse moenne v au champs électrique et magnétique. En déduire une relation entre B, E et J. 22/ On pose eb. Après avoir eplicité les composantes de J en fonction de celles de E c m, montrer qu'il est possible d'écrire une loi d'ohm locale généralisée de la forme J = [] E où [] est une matrice conductivité dans on déterminera les éléments en fonction de o, c et. 23/ Eaminer les deu cas particuliers suivants: 231/ B et J ont même direction. 232/ B est perpendiculaire à J ; calculer l'angle des lignes de courant par rapport au lignes de champ électrique, en fonction de µ et B. A.N.: cas de l'argent B = 1 T. 24/ On considère une plaquette du conducteur précédent, parallélépipédique de section rectangulaire, de largeur a, de faible épaisseur b ( b << a ) et de très grande longueur. Elle est placée perpendiculairement au champ magnétique constant et uniforme B = B e et est parcourue par un courant constant de densité uniforme J parallèle à sa longueur: J J. e a O b Figure 1 241/ Calculer le rapport de la composante transversale du champ électrique à la composante longitudinale. Eprimer le " champ de Hall " E E e sous la forme EH RH B J et calculer R H, la constante de Hall du conducteur en fonction de µ et. Donner numériquement la valeur de la constante de Hall de l'argent. H

3 242/ Déterminer la force de Laplace conducteur. Comparer à la composante transversale df qui s'eerce sur un élément de volume dv du B df de la force électrique appliquée au T électrons mobiles contenus dans un volume dv et représenter sur un schéma les vecteurs J, E, H df et B df. T 25/ On veut utiliser l'effet Hall décrit au 24/ pour déterminer la mobilité des porteurs de charges du sodium. La plaquette étant parcourue par un courant d'intensité I, on mesure la d.d.p. V H entre deu points M et N de ses bords, situés sur une perpendiculaire à O (figure 2). Les conditions de l'epérience sont I = 5 A; B = 1 T; a = 2 cm; b = 0,05 mm. La conductibilité du sodium est = 2, m -1. M a,j mv N figure 2 La mesure donne V H = 24, V; calculer µ.

4 Problème de thermodnamique : Pompe à chaleur Dans une pompe à chaleur, on utilise comme fluide caloporteur du fréon. Le tableau suivant donne quelques données thermodnamiques à différentes températures relatives à l'équilibre liquide-vapeur. P sat est la pression de vapeur saturante. V liq, H liq et S liq représentent respectivement le volume massique, l'enthalpie massique et l'entropie massique du liquide dans les conditions d'équilibre avec sa vapeur. De même V vap, H vap et S vap représentent respectivement le volume massique, l'enthalpie massique et l'entropie massique de la vapeur dans les conditions d'équilibre avec le liquide. ( C) P sat (bar) V liq (litre.kg ) V vap (litre.kg ) H liq (kj.kg ) H vap (kj.kg ) S liq (kj.kg.k ) S vap (kj.kg.k ) 5 3,6 0,73 48,6 4, ,017 0, ,6 0,80 13, ,133 0, ,2 0,86 11, ,198 0,552 Au voisinage de 60 C, la vapeur est assimilée à un ga parfait de capacité c P = 0,879 kj.kg - 1.K -1 et de constante r = 53,2 J.K -1.kg -1. 1/ Déterminer les caractéristiques (pression P, volume V, température, masse de liquide, entropie S et enthalpie H ) de un kg de fréon correspondant à un état : a) Température de 5 C et une enthalpie de 61 kj. b) Pression 15,2 bars et entropie S = 0,565 kj.k -1. On démontrera en particulier que = 65 C. 2/ Le diagramme de la figure est le diagramme entropique. T T C isobare (Pe) T e liquide liquide + vapeur vapeur S Liq S Vap S entropie massique Donner l'allure du diagramme de Claperon ( p en ordonnée et V en abscisse ) relatif à un kg de fluide. On représentera sur ce diagramme une isobare et une isotherme.

5 3/ La pompe à chaleur sert à chauffer une maison en etraant de l'énergie à une source froide à la température de 10 C. Le dispositif comprend: Un compresseur K, un détendeur D, un évaporateur E(source froide) et un condenseur C (source chaude). Le fréon subit au cours de sa circulation différentes transformations indiquées dans le tableau ci-après : P(bar) en C Etat du fluide (1) 3,6 5 Vapeur (2) 15,2 (3) 15,2 60 Vapeur (4) 15,2 60 liquide (5) 15,2 (6) 3,6 (1)(2) compression adiabatique réversible (2) (5) transformation isobare (5) (6) détente isenthalpique (6) (1) transformation isobare 31/ Pompe à chaleur sans sous refroidissement : L'état (4) est identique à l'état (5) (1) (2) K (2) E condenseur C (3) (4) (6) D (5) (5) 311/ Déterminer les caractéristiques ( température, pression, volume, masse de liquide ) pour un kg de fréon pour les différents états de (1) à (6). On ne manquera pas de faire le lien entre les états (2) et (6) et les états étudiés au 1a) et 1b). 312/ Représenter approimativement le ccle dans les diagrammes (P,V) et ( T,S). 313/ Définir et calculer l'efficacité de la pompe à chaleur. On rappelle que lors d'un écoulement dans une machine, en négligeant l'énergie cinétique : H = H (sortie) - H (entrée) = W machine + Q et

6 32/ Pompe à chaleur avec sous-refroidissement : La température 5 est égale à 40 C. On admet que le fluide liquide a les mêmes propriétés que celui en équilibre avec sa vapeur. On a tracé l'allure du diagramme dans le plan (, S) 321/ Donner l'allure du ccle dans le diagramme (P, V). 322/ Evaluer le titre en liquide dans l'état (6 ), le volume V 6 et son entropie S / Déterminer l'énergie prélevée par transfert thermique Q à la source chaude. En déduire l'efficacité e'. Conclure. C 60 C (4) (3) (2) 40 C (5) 5 C (6) (1) entropie massique S(1) S