- Déterminer la probabilité d événements dans des situations d équiprobabilité. - Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées.

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1 NOTION de PROBABILITE en classe de TROISIEME L'introduction du programme de 3 ème rappelle que : «c est pour permettre au citoyen d aborder l incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle que sont introduits les premiers éléments relatifs à la notion de probabilité.». Programme 2007 ( Rentrée 2008 ) Dans la colonne «Exemples d activités, commentaires», le programme 2007 précise : «La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaisons mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités)». Programme 2008 (Rentrée 2009) Les mêmes situations familières fournissent toujours le cadre de l introduction, mais on précise que «la notion de probabilité est abordée à partir d expérimentations qui permettent d observer les fréquences des issues» (que l on dispose ou non d un modèle intuitif). Programme - Projet Seconde Dans le cadre du chapitre «probabilité 1», l objectif est de rendre les élèves capables : - d étudier et modéliser des expériences relevant de l équiprobabilité (par exemple, lancers de pièces ou de dés, tirage de cartes) ; - de proposer un modèle probabiliste à partir de l observation de fréquences dans des situations simples. Probabilité sur un ensemble fini Probabilité d un événement - Déterminer la probabilité d événements dans des situations d équiprobabilité. - Utiliser des modèles définis à partir de fréquences observées. La probabilité d un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

2 Dans le cadre du chapitre «probabilité 2», les objectifs visés sont les suivants : - Dans le cadre des probabilités, rendre les élèves capables d interpréter des événements de manière ensembliste, de mener à bien des calculs de probabilité ; - Dans le cadre de l échantillonnage faire réfléchir les élèves à la conception et la mise en oeuvre d une simulation, sensibiliser les élèves aux notions de fluctuation d échantillonnage, d intervalle de confiance et à l utilisation qui peut en être faite. CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilité sur un ensemble fini Réunion et intersection de deux événements, Pour les calculs de probabilités, on utilise des arbres, des diagrammes ou des tableaux. formule : p(a B) + p(a B) = p(a) + p(b) Connaître et exploiter cette formule. Échantillonnage Réalisation d une simulation. Concevoir, mettre en oeuvre et exploiter des simulations de situations concrètes à l aide du tableur. A l occasion de la mise en place d une simulation, on apprend à manipuler de nouvelles fonctions du tableur (ALEA, ENT, SI, NB.SI, OU...) Notion d échantillon. Exploiter et faire une analyse critique d un résultat d échantillonnage. On introduit une notion d intervalle de dispersion empirique au seuil de 95% pour la moyenne d une population relativement à un caractère donné. L objectif est d amener les élèves à un questionnement lors des activités suivantes : l estimation d une proportion inconnue à partir d un échantillon ; la prise de décision à partir d un échantillon.

3 Quelques questions relatives à l enseignement des probabilités en Troisième : «Les probabilités, c'est d'abord un mode de pensée» (Claudine Schwartz). I- Quels objectifs peut-on envisager pour l enseignement des probabilités en Troisième? Par exemple : 1. Identifier une expérience aléatoire : décrire l'expérience et ses issues. Distinguer les situations pour lesquelles on possède un modèle intuitif et les autres. 2. Acquérir du vocabulaire : expérience aléatoire, issues, événement élémentaire, événement, probabilité, événements incompatibles, événement contraire, événement certain, événement impossible. 3. Calculer une probabilité à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaisons (modèle d équiprobabilité- Exemple : V). 4. Réaliser des expériences aléatoires et exploiter les résultats obtenus. 5. Modéliser quelques expériences (Exemples : V), montrer une simulation (exemples : V-1. et 2.) et (*) 6. Comprendre la fluctuation (exemple V-1 lancer d une pièce). 7. Calculer une probabilité par une approche fréquentiste (exemple : V-2. la punaise). 8. Connaître quelques propriétés. 0 <= p <= 1 Somme ( Voir doc Acc) P( Non A ) = 1 P(A) A et B incompatibles P(A ou B ) = P(A) + P(B) Arbre : Somme des branches, produit ( admis ) II- Quel vocabulaire introduire? Le minimum incontournable : expérience aléatoire, résultat ou issue, probabilité, arbre. A l occasion d exercices on pourra mentionner en situation les termes : événement, résultats équiprobables, événements incompatibles, événement contraire, Mais aucune connaissance de ces termes ne semble devoir être attendue des élèves. Attention : L interprétation des événements de manière ensembliste est un objectif de la classe Seconde (Projet). Par exemple : A B ou encore A III- Comment organiser la mise en œuvre, que mettre dans le cours? Pas de cours abstrait et hors contexte. Quelques exemples significatifs, à l issue desquels les notions ou résultats indispensables (résultats devant être clairement admis) seraient notés, pourraient constituer la synthèse de cours. Deux séquences de travail espacées dans le temps, l une consacrée aux expériences à une épreuve, l autre aux expériences à deux épreuves, peuvent être envisagées. En ce sens, s'inspirer de l'approche des graphes en TES est sûrement pertinent : pas de cours magistral, mais des problèmes types dont on extrait des contenus, des méthodes... Le plus important est de familiariser les élèves avec un mode de pensée. La définition de la probabilité à donner aux élèves : «La probabilité d un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.» IV- Quelles évaluations? Modestes, dans l esprit des exemples évoqués plus haut, ne comportant pas d exercice hors contexte ou de restitution abstraite de définitions. Associées à l évaluation d autres parties du programme.

4 V- Quels exemples? 1. Exemples d expériences à une épreuve où les probabilités des issues sont accessibles intuitivement. o Donner des exemples simples, proches des préoccupations naturelles des élèves et pour lesquels la description de l univers est assez simple. Choisir des situations équiprobables ou non : lancers de dés ou de pièces, tirage d une boule dans une urne à la composition donnée, roue de loterie o Des problèmes conduisant à un débat pourront être proposés tout au long de cette phase d apprentissage pour contrecarrer certaines idées fausses : Par exemple, si un même résultat a été obtenu 5 fois de suite, quelle est la probabilité de l obtenir si on recommence une sixième fois l expérience? Des exercices extraits des évaluations PISA permettent aussi de travailler dans ce sens (Voir document d accompagnement p. 15). o A l issue de chaque activité, le professeur peut représenter de façon synthétique la situation étudiée à l aide d un arbre des résultats puis, une fois la notion de probabilité introduite, à l aide d un arbre pondéré faisant apparaître à la fois les résultats possibles et leurs probabilités. A ce stade, l arbre n est qu une représentation synthétique commode. Habituer les élèves à ce mode de représentation devrait faciliter le recours à l arbre pour les expériences à deux épreuves. o On pourra ensuite, sur un exemple simple, faire constater puis admettre dans le cas général que, quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d obtention d un résultat se rapproche de la probabilité d obtenir ce résultat. L expérience du lancer d une pièce peut le permettre simplement. Par exemple : chaque élève lance 20 fois la pièce, il note le nombre de fois où il obtient pile, puis il calcule la fréquence d obtention du pile. On mutualise les relevés des élèves : on constate que les résultats sont différents (fluctuation) et qu ils sont différents du modèle intuitif (1/2 ou 0,5). On regroupe alors les effectifs de PILE pour 2 élèves, puis pour 10, pour 30 et on calcule la fréquence d obtention du pile pour chaque groupement. On constate que les fréquences se rapprochent de la valeur «théorique» 0,5. On va plus loin à l aide d une simulation (*) présentée par le professeur à l aide de l ordinateur pour observer que plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence de PILE est proche de 0,5. Objectifs visés et recommandations : o Veiller à la précision de la description des expériences ; o Indiquer nettement ce que sont les résultats (ou issues) de l expérience considérée ; o Veiller à ce que des expressions comme «1 chance sur2» ne sous entendent pas chez les élèves une proportionnalité implicite. S en assurer assez vite en posant des questions du type : «Si on lance 10 fois la pièce, peut-on prévoir combien de fois on obtiendra pile?». o Faire expérimenter et constater le caractère non prédictif et la non-proportionnalité. L objectif est que les élèves fassent la différence entre fréquence et probabilité. o A un moment donné, passer d expressions du type «on a une chance sur deux d obtenir pile» à «on dira qu on obtient pile avec la probabilité ½».. La probabilité d un événement pourra être donnée ensuite, suivant les cas sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage. 2. Exemples d expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement. o Le lancer d une punaise : la punaise peut tomber suivant la position «1» ou la position «0» cidessous. o Autres exemples : jeu du franc carreau : on lance un disque sur un quadrillage régulier (carrelage, damier ) ; le diamètre du disque est inférieur au côté des carrés constituant le quadrillage ; on gagne si le disque tombe à l intérieur d un carré, on perd sinon. lancer d un osselet, Objectifs visés : o Décrire l expérience considérée, définir ses issues (i.e. résultats possibles), faire percevoir qu on n a pas une perception intuitive des probabilités de chaque résultat. o Amener les élèves à réinvestir la démarche fréquentiste mise en oeuvre sur un cas plus simple auparavant.

5 Modalités de mise en œuvre : o Faire expérimenter, en classe ou à la maison. o Prolonger l expérimentation par une simulation tableur (*) exposée par le professeur et visualiser à nouveau graphiquement l évolution de la fréquence d obtention d une des issues en fonction du nombre de répétitions de l expérience. En déduire une valeur approchée de la probabilité cherchée. 3. Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre du socle) Extrait du document d accompagnement : «Cette connaissance n est pas un objectif du programme et on ne proposera que des exemples très simples dans lesquels un raisonnement permet facilement de trouver les résultats en leur donnant du sens.» o Les expériences étudiées doivent rester élémentaires. On se bornera à des expériences conduisant à un petit nombre de résultats (un maximum de 6 cas) et on n abordera pas les cas de tirages successifs dans une urne, avec ou sans remise (Document d accompagnement p. 10). Objectif visé : o Un exemple sera utilisé pour dégager la conjecture du résultat essentiel suivant qui sera ensuite admis : la probabilité d un résultat d une expérience à deux épreuves est égale au produit des probabilités figurant sur la branche de l arbre conduisant à ce résultat. Modalités de mise en œuvre : o On étendra à ce type d expériences le principe de la représentation par un arbre, pondéré ou non. L arbre non pondéré permet de déterminer méthodiquement les résultats possibles de ce type d expérience. On peut les noter au bout des branches de l arbre. (*) Simuler une expérience grâce à un tableur : D abord, cela ne peut se faire qu en supposant connu un modèle (équiprobabilité ou pas)! Par exemple, dans le lancer d une pièce équilibrée, on s intéresse à la fréquence de PILE.. Le lancer d une pièce peut être assimilé à un tirage au hasard d un jeton noir ou blanc dans une urne qui comporte exactement le même nombre de jetons de chaque couleur (on décide que noir, c est PILE). Ou bien au tirage au hasard d un jeton portant le numéro 0 ou 1 dans une urne qui comporte exactement le même nombre de jetons de chaque numéro (on décide que 0, c est PILE). On effectue n tirages en remettant chaque fois le jeton tiré dans l urne après avoir noté son numéro. La simulation avec un tableur consiste à «tirer» un chiffre au hasard : 0 ou 1, et à recommencer n fois (l ordinateur permet de pouvoir prendre n «très grand» en allant très vite!). On comptera alors les PILE pour calculer la fréquence. Pour un lancer : On utilise la fonction ALEA : elle produit des nombres x ( x, c est le résultat de la fonction ALEA) au hasard entre 0 et 1 (0 inclus, 1 exclu) : 0 x < 1. Par exemple x = 0, Pour obtenir 0 ou 1 comme résultat, il faut un nombre entier : ce sera la partie entière du nombre (2x) compris entre 0 (inclus) et 2 (exclu). En effet 0 2x < 2. On veut donc obtenir la partie entière de 2*ALEA(). La formule utilisée sera donc : ENT(2*ALEA) qui s affichera ENT(2*ALEA()). Pour n lancers : Pour avoir d autres résultats de «lancers» on «tire» vers le bas aussi loin que l on veut (n= 1000, 5000, ) Il reste à compter le nombre de 0 avec la fonction NB.SI, puis à calculer la fréquence de 0. Et puis Pour effectuer une nouvelle expérience avec n nouveaux lancers, on utilise la touche F9 du clavier. Etc En résumé : Ce qu on veut obtenir Un nombre au hasard entre 0 inclus et 1 exclu Un nombre au hasard entre 0 inclus et 2 exclu Un nombre entier au hasard entre 0 inclus et 2 exclu, c'est-à-dire un tirage au hasard entre 0 ou 1 Comment on le traduit en Comment on le traduit avec Les résultats possibles maths le tableur 0 x < 1 ALEA() 0, ; etc 0 2x < 2 2* ALEA() 0, ; 1,2154 etc Partie entière de 2x, avec ENT(2* ALEA()) 0 ou 1 0 2x < 2 (**) Pour simuler le lancer d un dé équilibré à six faces (même principe, on simule avec le tirage d un nombre entier au hasard entre 1 et 6, c'est-à-dire avec ENT(ALEA()*6)+1 ou bien ENT(ALEA()*6+1) En effet si 0 x < 1, on a bien 1 6x +1 < 7, donc la partie entière