Fonctions linéaires. Une fonction est linéaire lorsque l image de la variable est le produit de par un nombre constant.

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1 Introduction 1) On considère la fonction définie par a) Compléter le tableau de valeurs suivant : Fonctions linéaires b) Dans un repère orthonormal d origine O, placer tous les points de coordonnées avec du tableau précédent. Quelle semble être la représentation graphique de? Pouvait-on le prévoir? 2) On considère maintenant la fonction définie par où est un nombre non nul. Dans un repère orthonormal d origine O, on place le point tel que. a) On sait que appartient à la représentation graphique de. En déduire la valeur de. b) Démontrer que si un point appartient à la droite alors. On pourra s aider d une figure. Rappel - Proportionnalité Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de la deuxième s obtiennent en multipliant les valeurs de la première toujours par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Les nombres et sont proportionnels s il existe un coefficient tel que. Définition - Fonction linéaire On appelle fonction linéaire de coefficient où est un nombre constant donné. On note ou la fonction, qui à tout nombre, associe le nombre Une fonction est linéaire lorsque l image de la variable est le produit de par un nombre constant. Illustration On donne la fonction définie par. Justifier que est une fonction linéaire et déterminer son coefficient. La fonction définie par est-elle linéaire? Justifier. N. Duceux LFIB Année 2013/14 Page 1

2 Étude des fonctions linéaires Reconnaître des fonctions linéaires Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont linéaires? Indiquer les coefficients des fonctions qui sont linéaires. Méthode Reconnaître une fonction linéaire Seules les fonctions de la forme (où est un nombre non nul donné) sont des fonctions linéaires. Pour vérifier si une expression correspond à une fonction linéaire, on peut éventuellement la transformer en utilisant les règles de calcul usuelles (exemple des fonctions Calculer des images par une fonction linéaire donnée Soit la fonction linéaire de coefficient. a) Déterminer l expression algébrique de. b) Compléter le tableau suivant : Méthode Calculer des images Pour calculer l image d un nombre par la fonction linéaire, on remplace par la valeur choisie dans l égalité. Par exemple l image de 3 par est. Exercice Peut-on trouver une fonction linéaire pour laquelle l image de 0 est 4? Tout nombre admet une image unique par une fonction linéaire. N. Duceux LFIB Année 2013/14 Page 2

3 Calculer des antécédents par une fonction linéaire a) On considère la fonction linéaire définie par. Quels sont les antécédents (s il en existe) de par? de? b) Même questions avec la fonction. Exercice a) Un nombre peut-il ne pas avoir d antécédent par une fonction linéaire? b) Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents par une fonction linéaire? Méthode Calculer des antécédents Pour calculer l unique antécédent de 3 par la fonction linéaire, a) on remplace par 3 dans l égalité. b) on résout l équation d inconnue. On obtient soit. Tout nombre admet un antécédent unique par une fonction linéaire. Calculer le coefficient d une fonction linéaire a) Peut-on trouver une fonction linéaire pour laquelle l image de 1 est 3? b) Déterminer la fonction linéaire telle que. Méthode Déterminer le coefficient d une fonction linéaire Pour déterminer le coefficient d une fonction linéaire et son expression algébrique lorsque l on connaît l image d une valeur. Par exemple a) On explicite la forme de la fonction : où est le coefficient que l on veut calculer b) On remplace par 4 et par 5. On a alors. c) On résout l équation d inconnue. On obtient N. Duceux LFIB Année 2013/14 Page 3

4 Représentation graphique d une fonction linéaire La représentation graphique d une fonction linéaire est une droite qui passe par l origine. Si un point de coordonnées se trouve sur la représentation graphique d une fonction linéaire de coefficient, alors. Vocabulaire Le coefficient droite. est appelé coefficient directeur de la Méthode Déterminer par lecture graphique l équation d une droite passant par l origine a) La droite représente une fonction linéaire. Elle a donc pour équation. b) On détermine les coordonnées d un point de la droite. Le point de coordonnées appartient à. c) On remplace les coordonnées de ce point dans l égalité. On obtient l équation d inconnue. d) On résout l équation. Soit. e) On conclut que la droite a pour équation. Déterminer les équations des droites et de la figure précédente..... Lire les images et les antécédents On donne le graphique ci-contre : a) Lire l image de 2 par puis l image de par b) Lire l antécédent de 4 par puis l antécédent de 3 par f. N. Duceux LFIB Année 2013/14 Page 4

5 Méthode Lecture d image Pour déterminer l image de 4 sur la droite : a) On repère la valeur 4 sur l axe des abscisses. b) On repère le point de la droite qui a pour abscisse 4. c) On relève l ordonnée du point de la droite d abscisse 4. C est l image recherchée. Cette ordonnée est 2. d) On conclut que l image de 4 est 2. Méthode Lecture d antécédent Pour déterminer l antécédent de 6 par : a) On repère la valeur 6 sur l axe des ordonnées. b) On trace la droite parallèle à l axe en 6. c) On repère le point d intersection des deux droites. d) On note l abscisse du point d intersection. C est l antécédent recherché. e) On conclut que l antécédent de 6 est. Coefficient directeur d une droite et accroissement Soit la fonction linéaire définie par. Le coefficient directeur mesure l accroissement de lorsque augmente de 1 unité. Illustration graphique.. Déterminer le coefficient directeur de la droite. N. Duceux LFIB Année 2013/14 Page 5