Les caractéristiques de la courbe de Gauss

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3 Les caractéristiques de la courbe de Gauss 3

4 Caractéristiques de la courbe L aire totale représente 100 % de ce qui est mesuré. les extrémités de la courbe tendent vers l infini 100 % 95,46 % 95 % de la population mesurée se trouve entre -2 et 2 écart-type 68,26 % -3 o -2 o -1 o 0 o 2o 3o Entre -1 et 1 écart-type, on observe 68,3 % de la population mesurée 4

5 Tables loi normale Ces tables donnent pour un «écart-type t» la fréquence correspondant à l aire coloriée (P1; P2 ou P3) P 1 P 2 P t Fonction de répartition probabilité d'une déviation t P1 t P1 t P1 0,00 0,000 1,05 0,353 2,10 0,482 0,05 0,019 1,10 0,364 2,20 0,486 0,10 0,039 1,15 0,374 2,30 0,489 0,15 0,059 1,20 0,384 2,40 0,491 0,20 0,079 1,25 0,394 2,50 0,493 0,25 0,098 1,30 0,403 2,576 0,495 0,30 0,117 1,35 0,411 2,60 0,495 0,35 0,136 1,40 0,419 2,70 0,496 0,40 0,155 1,45 0,426 2,80 0,497 0,45 0,173 1,50 0,433 2,90 0,498 0,50 0,191 3,00 0,498 0,55 0,208 1,55 0,439 0,60 0,225 1,60 0,445 3,20 0, ,65 0,242 1,65 0,450 3,40 0, ,67 0,250 1,70 0,455 3,60 0, ,70 0,258 1,75 0,459 3,80 0, ,75 0,273 1,80 0,464 4,00 0, ,80 0,288 1,85 0,467 4,50 0, ,85 0,302 1,90 0,471 0,90 0,315 1,95 0,474 0,95 0,328 1,96 0,475 1,00 0,341 2,00 0,477 -t 0 + t 0 -t + t Fonction de répartition probabilité d'un écart à la moyenne inférieur à t t P2 t P2 t P2 0,00 0,000 1,05 0,706 2,10 0,964 0,05 0,039 1,10 0,728 2,20 0,972 0,10 0,079 1,15 0,749 2,30 0,978 0,15 0,119 1,20 0,769 2,40 0,983 0,20 0,158 1,25 0,788 2,50 0,987 0,25 0,197 1,30 0,806 2,576 0,990 0,30 0,235 1,35 0,823 2,60 0,990 0,35 0,273 1,40 0,838 2,70 0,993 0,40 0,310 1,45 0,853 2,80 0,994 0,45 0,347 1,50 0,866 2,90 0,996 0,50 0,383 3,00 0,997 0,55 0,417 1,55 0,878 0,60 0,451 1,60 0,890 3,20 0, ,65 0,484 1,65 0,901 3,40 0, ,67 0,500 1,70 0,910 3,60 0, ,70 0,516 1,75 0,919 3,80 0, ,75 0,546 1,80 0,928 4,00 0, ,80 0,576 1,85 0,935 4,50 0, ,85 0,604 1,90 0,942 0,90 0,631 1,95 0,948 0,95 0,657 1,96 0,950 1,00 0,682 2,00 0,954 Fonction de répartition probabilité d'un écart à la moyenne supérieur à t t P3 t P3 t P3 0,00 0,000 1,05 0,293 2,10 0,035 0,05 0,960 1,10 0,271 2,20 0,027 0,10 0,920 1,15 0,250 2,30 0,021 0,15 0,880 1,20 0,230 2,40 0,016 0,20 0,841 1,25 0,211 2,50 0,012 0,25 0,802 1,30 0,193 2,576 0,010 0,30 0,764 1,35 0,177 2,60 0,009 0,35 0,726 1,40 0,161 2,70 0,007 0,40 0,689 1,45 0,147 2,80 0,005 0,45 0,652 1,50 0,133 2,90 0,003 0,50 0,617 3,00 0,002 0,55 0,582 1,55 0,121 0,60 0,548 1,60 0,109 3,20 0, ,65 0,515 1,65 0,099 3,40 0, ,67 0,500 1,70 0,089 3,60 0, ,70 0,484 1,75 0,080 3,80 0, ,75 0,453 1,80 0,071 4,00 0, ,80 0,423 1,85 0,064 4,50 0, ,85 0,395 1,90 0,057 0,90 0,368 1,95 0,051 0,95 0,342 1,96 0, ,00 0,317 2,00 0,045

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7 Représentation graphique Loi Normale Ti Ts m0 La fraction de défectueux augmente lorsque: Déréglage de la moyenne la moyenne de la production n est plus centrée sur la valeur cible m0 Ti m0 Ts l écart-type de la production augmente Déréglage de l écart-type ou une combinaison des deux Ti m0 Ts 7

8 La capabilité machine Pour que la capabilité calculée corresponde à la réalité, la production doit être stable ou maîtrisée. De Cm et Cmk, on déduira les améliorations à mener: - sur le centrage - sur la dispersion. Il faut déceler les causes de ces variations anormales et y remédier. Il est plus difficile d agir sur la dispersion que sur le centrage. Ainsi, lorsque la dispersion de la machine est trop importante pour répondre aux spécifications, il est peut-être nécessaire de changer de machine pour une plus précise. En effet, il ne faut pas oublier que la dispersion d une même machine augmentera avec le temps par suit de l usure. 8

9 Capabilité machine Cm et Cmk Cm < 1,33 Cmk < 1,33 Cm > 1,33 Cmk < 1,33 Cm > 1,33 Cmk > 1,33 m Agir sur la dispersion et le centrage m Agir sur le centrage m Valider les actions Etablir la Capabilité du procédé 9

10 La capabilité process Le milieu La matière La main d oeuvre Production La méthode La machine 10

11 Capabilité Procédé Cp et Cpk Cp < 1 Cpk < 1 Cp > 1 Cpk < 1 Cp > 1 Cpk > 1 m Agir sur la dispersion et le centrage m Agir sur le centrage m Valider les actions Etablir la Carte de contrôle 11

12 Capabilité du moyen de mesure ATTENTION : Vérifier la Capabilité du moyen de mesure utilisé Il existe différentes méthodes de mesure de la capabilité de l appareil de mesure. On vérifie en général et en première analyse que la précision de l appareil de mesure est au moins égale à 1/10 ème de la dispersion mesurée. Il faut ensuite vérifier la répétabilité et la reproductibilité de la mesure. 12

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14 Les cartes de contrôle 1- Présentation

15 Un instrument du quotidien Outil de suivi d un paramètre d un processus permettant d être alerté dès qu une cause spéciale agit. C est un document renseigné (lieu, date, spécifications ) accompagné d un journal de bord ( pour noter les changements effectués sur le procédé). Comment évolue la dimension? Quels réglages ont été effectués hier? Y a t il moins de déchets produit depuis? 15

16 La Carte de contrôle La carte de contrôle inscrit l histoire de la production au travers de deux paramètres statistiques: - la moyenne - la dispersion Carte de maîtrise de la moyenne Carte de maîtrise de la dispersion ( l écart-type ou l étendue ) 16

17 Exemple de Carte de contrôle Echantillon ,4 72,1 71,7 73,9 74, ,3 70,4 73,9 72,9 69, ,3 73,5 72,3 72,2 73, ,1 2 73,8 72,9 70,3 70,9 74,2 72,5 70,3 72,4 72, ,7 69,9 72,3 71,5 70,9 73,4 71,9 74,4 70,3 73,4 3 73,9 74,1 71,4 73,3 73,2 71,9 71,1 71,3 73,3 68,7 71,3 69,6 73,8 73,3 71,3 74,9 72,3 73,3 71,9 69,4 4 73,2 72,6 73,5 72, ,7 71,3 72, , ,8 69,3 71, ,9 68,7 72,1 72,9 73,9 5 74,1 73,6 72,7 69,7 74, ,7 71,7 70,9 73,4 70,9 71,3 73, ,3 74,7 69,8 71,3 71,3 73,5 Moyenne 73,8 72, ,5 73,3 72,7 70, ,8 71,6 71,4 70,1 72,3 72,3 71,8 73, ,9 71,9 72,5 72 Etendue 0,9 4,7 3,2 3,6 3,3 2,7 1 1,1 2,9 5,2 3,2 1,7 4,5 1,9 2,6 2,6 3,6 3,1 2,7 4,5 3 Moyenne Cote nominale: 70 nm TS: 75 nn TI: 65 nn Taille de l'échantillon: 100 Fréquence des prélèvements: horaire Moyen de mesure: complémètre 74 73,8 73, Carte de maîtrise de la moyenne 71 70,9 70, ,43 1,11 0, Carte de maîtrise de la dispersion ( l écart-type ou l étendue ) 17

18 Les cartes de contrôle 2- les limites de contrôle

19 Les tolérances Pour l instant, on ne dispose que des tolérances fixées (les spécifications) Les pièces sont bonnes ou mauvaises- Pas d informations supplémentaires Tolérances fixées par le client Tolérance supérieure (Ts) moyenne Tolérances fixées par le client Tolérance inférieure (Ti) Carte de la moyenne 19

20 Limites de contrôle Pour obtenir d autres informations ( tendance au déréglage ; déréglage confirmé ) on va calculer deux limites de contrôle: - la limite de surveillance: Carte de la moyenne Limite de réglage Limite de surveillance - la limite de réglage: (qui correspond à une sonnette d alarme) Limite de surveillance Limite de réglage 20

21 Limites de contrôle les limites de réglage: tout dépassement de ces limites correspond à un déréglage du processus. le seuil choisit est 0,002. C est à dire 2 chances sur 1000 (0,002) Carte de la moyenne Limite de réglage Limite de surveillance de constater un écart important par rapport à la moyenne. les limites de surveillance: Limite de surveillance Limite de réglage la présence d un point entre ces deux limites indique une tendance au déréglage. le seuil est 0,05. 21

22 Limites de surveillance P 3 = 0,05 Le seuil des limites de surveillance est fixé à 0,05. Une telle probabilité signifie qu il y a 5 chances sur 100 de trouver un point en dehors des limites de surveillance. -1,96o 0 Limite de surveillance + t 1,96o Fonction de répartition probabilité d'un écart à la moyenne supérieur à t t P3 t P3 t P3 0,00 0,000 1,05 0,293 2,10 0,035 0,05 0,960 1,10 0,271 2,20 0,027 0,10 0,920 1,15 0,250 2,30 0,021 0,15 0,880 1,20 0,230 2,40 0,016 0,20 0,841 1,25 0,211 2,50 0,012 0,25 0,802 1,30 0,193 2,576 0,010 0,30 0,764 1,35 0,177 2,60 0,009 0,35 0,726 1,40 0,161 2,70 0,007 0,40 0,689 1,45 0,147 2,80 0,005 0,45 0,652 1,50 0,133 2,90 0,003 0,50 0,617 3,00 0,002 0,55 0,582 1,55 0,121 0,60 0,548 1,60 0,109 3,20 0, ,65 0,515 1,65 0,099 3,40 0, ,67 0,500 1,70 0,089 3,60 0, ,70 0,484 1,75 0,080 3,80 0, ,75 0,453 1,80 0,071 4,00 0, ,80 0,423 1,85 0,064 4,50 0, ,85 0,395 1,90 0,057 0,90 0,368 1,95 0,051 0,95 0,342 1,96 0,050 1,00 0,317 2,00 0,045 La fonction de répartition P3 donne la probabilité P3 en fonction de t, le nombre d écart-type (la valeur de t, l écart-type, est ici 1,96) La limite de surveillance s écrit : m + 1,96 o 22

23 Exercice pratique Sachant que son seuil est de 0,002, déterminer la formule des limites de réglage en fonction de la moyenne et de l écart-type. Placer sur la courbe ci-dessous les limites de réglages et de surveillance. -3 o -2 o -1 o 0 o 2o 3o 23

24 Limites de contrôle Limite de réglage Limite de surveillance 0 moyenne 2o 3o Dans cet exemple, on observe qu un point sort des limites de surveillance. A première vue, il faudra surveiller cette production. 24

25 Lois de probabilités des distributions d échantillonnage Avant de détailler le calcul des limites de contrôle, il est essentiel de comprendre comment on passe d une population à un échantillon c est-à-dire répondre aux questions suivantes: Peut-on considérer que la moyenne de l échantillon est la même que celle de la population? Existe t il une relation entre l écart-type de la population et l écart-type de l échantillon?... 25

26 Rapport entre la population et l échantillon Distribution des données m Ts Ti m La moyenne des moyennes reste Ts identique La taille de l échantillon n = 5 26

27 Théorème 1: distribution des moyennes Théorème 1: Distribution des moyennes o L ensemble constitué par la série des moyennes de k échantillons de taille n prélevés dans une population P (de moyenne m et d écart-type sigma) est distribuée avec: m -la moyenne de l échantillon: m e = m - l écart-type de l échantillon: n est la taille de l échantillon o / Vn o e = o / Vn m 27

28 Exercice pratique Sachant que, pour une Population, on écrit les limites de réglage et de surveillance respectivement ainsi: m + 3,09 et donner la formule des limites de réglage et de surveillance pour un échantillon de taille n. m + a r o o et m + 1,96 m + a s o o Retrouver par le calcul les constantes a r et a s pour la carte de la moyenne ( l écart-type est connu) avec n = 5. Comparer votre résultat avec la table des constantes N 2. 28

29 Théorème 2: distribution des écarts-types Théorème 2: Distribution des écarts-types o L ensemble constitué par la série des écartstypes de k échantillons de taille n prélevés dans une population P (de moyenne m et d écart-type sigma) est distribuée avec: m -la moyenne de l échantillon: m e = o o / V2 n - l écart-type de l échantillon: o e = o / V2 n n est la taille de l échantillon selon une loi normale si P est normale et n assez grand (pratiquement n > 20) o 29

30 Les limites peuvent être modifiées en fonction du taux de défectueux que l on souhaite admettre. Le calcul des limites de réglage et de surveillance est effectué en fonction de la moyenne et de la dispersion (écarttype ou étendue). 30

31 Récapitulatif On distingue plusieurs cas: - carte de la moyenne et de l étendue: - moyenne et écart-type connus - moyenne et écart-type inconnus - carte de la moyenne et de l écart-type - moyenne et écart-type connus - moyenne et écart-type inconnus 31

32 Carte moyenne-étendue (moyenne et écart-type connus) (moyenne et écart-type inconnus) Carte X : Carte R : réglage surveillance X ± a r X ± a s o o Limite inférieure d r(i) d s(i) o o Limite supérieure d r(s) d s(s) o o On utilise la moyenne connue et l écart type connu Table de constante N 2 (moyenne et écart-type connus) carte des moyennes carte des étendues taille de Réglage Surveillance Réglage Surveillance l'échantillon n a r a s d r(i) d r(s) d s(i) d s(s) 2 2,185 1, ,65 0,04 3,17 3 1,784 1,132 0,06 5,06 0,3 3,68 4 1,545 0,98 0,2 5,31 0,59 3,98 5 1,382 0,876 0,37 5,48 0,85 4,2 6 1,262 0,8 0,54 5,62 1,06 4,36 7 1,168 0,741 0,69 5,73 1,25 4,49 8 1,092 0,693 0,83 5,82 1,41 4,61 9 1,03 0,653 0,96 5,9 1,55 4,7 10 0,977 0,62 1,08 5,97 1,67 4,79 32

33 Carte de la moyenne et étendue (moyenne et écart-type inconnus) (moyenne et écart-type inconnus) Carte X : Carte R : réglage surveillance X ± a r R X ± a s R Limite inférieure Limite supérieure d r(i) R d r(s) R d s(i) R d s(s) R On utilise la moyenne estimée et l écart type estimé Table de constante N 3 (moyenne et écart-type inconnus) taille de l'échantillon carte des moyennes Réglage Surveillance carte des étendues Réglage Surveillance n a' r a' s d' r(i) d' r(s) d' s(i) d' s(s) 2 1,937 1,229 0,00 4,12 0,04 2,81 3 1,054 0,668 0,04 2,99 0,18 2,17 4 0,75 0,476 0,10 2,58 0,29 1,93 5 0,594 0,377 0,16 2,36 0,37 1,81 6 0,498 0,316 0,21 2,22 0,42 1,72 7 0,432 0,274 0,26 2,12 0,46 1,66 8 0,384 0,244 0,29 2,04 0,50 1,62 9 0,347 0,22 0,32 1,99 0,52 1, ,317 0,202 0,35 1,94 0,54 1,56 33

34 Carte moyenne-écart-type (moyenne et écart-type connus) (moyenne et écart-type inconnus) réglage surveillance Carte X : Carte : X ± a r X ± a s o o Limite inférieure b r(i) b s(i) o o o Limite supérieure b r(s) b s(s) o o On utilise la moyenne connue et l écart type connu Table de constante N 4 (moyenne et écart-type connus) carte des moyennes carte des écart-types taille de l'échantillon Réglage Surveillance Réglage Surveillance n a r a s b r(i) b r(s) b s(i) b s(s) 2 2,185 1,386 0,001 2,327 0,022 1, ,784 1,132 0,026 2,146 0,130 1, ,545 0,98 0,078 2,017 0,232 1, ,382 0,876 0,135 1,922 0,311 1, ,262 0,8 0,187 1,849 0,372 1, ,168 0,741 0,233 1,791 0,420 1, ,092 0,693 0,274 1,744 0,459 1, ,03 0,653 0,309 1,704 0,492 1, ,977 0,62 0,339 1,670 0,520 1,379 34

35 Carte moyenne-écart-type (moyenne et écart-type inconnus) (moyenne et écart-type inconnus) réglage surveillance Carte X : Carte : X ± a r X ± a s o o Limite inférieure b r(i) b s(i) o o o Limite supérieure b r(s) b s(s) o o On utilise les formules et table identiques au cas moyenne et écart-type connus. MAIS: La valeur de l écart-type étant une approximation, on la calcule ainsi: O = O / b n O est la moyenne des écart-types Table de constante N 4 (moyenne et écart-type connus) carte des moyennes carte des écart-types taille de l'échantillon Réglage Surveillance Réglage Surveillance n a r a s b r(i) b r(s) b s(i) b s(s) 2 2,185 1,386 0,001 2,327 0,022 1, ,784 1,132 0,026 2,146 0,130 1, ,545 0,98 0,078 2,017 0,232 1, ,382 0,876 0,135 1,922 0,311 1, ,262 0,8 0,187 1,849 0,372 1, ,168 0,741 0,233 1,791 0,420 1, ,092 0,693 0,274 1,744 0,459 1, ,03 0,653 0,309 1,704 0,492 1, ,977 0,62 0,339 1,670 0,520 1,379 On utilise la moyenne estimée et l écart type estimé Table de constantes N 5 taille de b n l'échantillon 2 0, , , , , , , , ,923 35

36 Les cartes de contrôle 3- Analyse des cartes de contrôle

37 Procédé sous-contrôle Cette carte de contrôle traduit un fonctionnement normal. On dit que le processus est maîtrisé ou sous - contrôle. Il subit une variation normale. LCS LSS LSI LCI Situation sur la carte de contrôle Procédé souscontrôle Les courbes de moyennes et d étendue oscillent de chaque coté de la moyenne Pour la carte des moyennes Produire Pour la carte des étendues Produire 37

38 Analyse des cartes de contrôle Le SPC a pour objectif de déceler les déréglages ou même les tendances au déréglage. Si un processus n est plus maîtrisé, on recherche les causes vraisemblables: la machine, l homme, les matières premières, la méthode ou l outillage On recherche les causes de déréglage si il y a: - 1 point hors des limites de réglage - une tendance 38

39 Points hors limites ou presque Situation sur la carte de contrôle Pour la carte des moyennes Pour la carte des étendues LCS LSS LSI LCI Point hors limites Le dernier point a franchi une limite de contrôle Régler le procédé de la valeur de l écart qui sépare le point de la valeur cible Cas limite supérieure la capabilité machine se détériore; trouver l origine et intervenir Cas limite inférieure La capabilité machine s améliore; comprendre pourquoi LCS LSS LSI LCI Point proche des limites Le dernier point tracé se situe audelà d une limite de surveillance Confirmer la tendance en prélevant immédiatement un autre échantillon si le point revient dans le tiers central : PRODUIRE si le point est aussi proche des limites ou hors limites : REGLER de l écart entre la moyenne des deux points et la valeur cible Cas limite supérieure la capabilité machine se détériore; trouver l origine et intervenir Cas limite inférieure La capabilité machine s améliore; comprendre pourquoi 39

40 Points hors limites ou presque Situation sur la carte de contrôle Exemple de causes identifiables LCS LSS LSI LCI Point hors limites Le dernier point a franchi une limite de contrôle Par exemple: une imperfection des matières premières ou un défaut un changement dans les dimensions des matières premières (fin de rouleau) mise en marche ou arrêt de la machine LCS LSS LSI LCI Point proche des limites Le dernier point tracé se situe audelà d une limite de surveillance 40

41 Tendance Situation sur la carte de contrôle Pour la carte des moyennes Pour la carte des étendues LCS LSS LSI LCI Tendance supérieure ou inférieure Plus de 7 points consécutifs sont supérieurs ou inférieurs à la moyenne Régler le procédé de l écart moyen qui sépare la tendance de la valeur cible Cas tendance supérieure la capabilité machine se détériore; trouver l origine et intervenir Cas tendance inférieure La capabilité machine s améliore; trouver l origine de cette amélioration pour la maintenir LCS LSS LSI LCI Tendance croissante ou décroissante Plus de 7 points consécutifs sont en augmentation régulière ou en diminution régulière Régler le procédé lorsque le dernier point approche les limites de contrôle, de l écart qui sépare le dernier point de la valeur cible Cas d une série croissante la capabilité machine se détériore; trouver l origine et intervenir Cas d une série décroissante La capabilité machine s améliore; trouver l origine de cette amélioration pour la maintenir 41

42 Tendance Situation sur la carte de contrôle Exemple de causes identifiables LCS LSS LSI LCI Tendance supérieure ou inférieure Plus de 7 points consécutifs sont supérieurs ou inférieurs à la moyenne Par exemple: changement de vitesse de la machin changement de matières premières outils différents changement ou abandon de l instrument de mesure. LCS LSS LSI LCI Tendance croissante ou décroissante Plus de 7 points consécutifs sont en augmentation régulière ou en diminution régulière Par exemple: l usure des outils la détérioration du processus l accumulation de produits défectueux... la fatigue de l opérateur (carte de la dispersion)... 42

43 Cas particuliers Situation sur la carte de contrôle Pour la carte des moyennes Pour la carte des étendues LCS LSS LSI LCI Points éloignés de la moyenne Des séries de points sont proches des limites ou 2 points sur 3 sont au-delà de la limite de surveillance Trouver l origine des modes la production est bimodale; trouver l origine des écarts et du cycle correspondant et intervenir en supprimant la source des déréglages Trouver l origine des modes trouver l origine des variations de la capabilité et du cycle correspondant et intervenir en supprimant la source des variations LCS LSS LSI LCI Tendance à l uniformisation Tous les points sont regroupés sur la tendance centrale de la carte Recalculer les limites de contrôle ou Passer du contrôle à la surveillance en espaçant les fréquences de prélèvement et de mesure Recalculer les limites de contrôle ou Passer du contrôle à la surveillance en espaçant les fréquences de prélèvement et de mesure 43

44 Application Limite de réglage Limite de surveillance Limite de surveillance Limite de réglage Déterminer pour chaque cas quel est le type de situation non maîtrisée ainsi que les actions à entreprendre. 44

45 Les cartes de contrôle 4- Etude de cas construction et analyse de la carte moyenne - étendue (moyenne et écart-type inconnus)

46 Etape 1: collecte des données Lieu de l'étude: Date: Désignation de pièce: Opération: Machine: Numéro de pièce: Caractéristique: Echantillon ,4 72,1 71,7 73,9 74, ,3 70,4 73,9 72,9 69, ,3 73,5 72,3 72,2 73, ,1 2 73,8 72,9 70,3 70,9 74,2 72,5 70,3 72,4 72, ,7 69,9 72,3 71,5 70,9 73,4 71,9 74,4 70,3 73,4 3 73,9 74,1 71,4 73,3 73,2 71,9 71,1 71,3 73,3 68,7 71,3 69,6 73,8 73,3 71,3 74,9 72,3 73,3 71,9 69,4 4 73,2 72,6 73,5 72, ,7 71,3 72, , ,8 69,3 71, ,9 68,7 72,1 72,9 73,9 5 74,1 73,6 72,7 69,7 74, ,7 71,7 70,9 73,4 70,9 71,3 73, ,3 74,7 69,8 71,3 71,3 73,5 Moyenne Etendue Cote nominale: 70 nm TS: 75 nn TI: 65 nn Taille de l'échantillon: 100 Fréquence des prélèvements: horaire Moyen de mesure: complémètre 46

47 Etape 2: calcul moyenne et dispersion Lieu de l'étude: Date: Désignation de pièce: Opération: Machine: Numéro de pièce: Caractéristique: Echantillon ,4 72,1 71,7 73,9 74, ,3 70,4 73,9 72,9 69, ,3 73,5 72,3 72,2 73, ,1 2 73,8 72,9 70,3 70,9 74,2 72,5 70,3 72,4 72, ,7 69,9 72,3 71,5 70,9 73,4 71,9 74,4 70,3 73,4 3 73,9 74,1 71,4 73,3 73,2 71,9 71,1 71,3 73,3 68,7 71,3 69,6 73,8 73,3 71,3 74,9 72,3 73,3 71,9 69,4 4 73,2 72,6 73,5 72, ,7 71,3 72, , ,8 69,3 71, ,9 68,7 72,1 72,9 73,9 5 74,1 73,6 72,7 69,7 74, ,7 71,7 70,9 73,4 70,9 71,3 73, ,3 74,7 69,8 71,3 71,3 73,5 Moyenne 73,8 72, ,5 73,3 72,7 70, ,8 71,6 71,4 70,1 72,3 72,3 71,8 73, ,9 71,9 72,5 72 Etendue 0,9 4,7 3,2 3,6 3,3 2,7 1 1,1 2,9 5,2 3,2 1,7 4,5 1,9 2,6 2,6 3,6 3,1 2,7 4,5 3 Moyenne Cote nominale: 70 nm TS: 75 nn TI: 65 nn Taille de l'échantillon: 100 Fréquence des prélèvements: horaire Moyen de mesure: complémètre 47

48 Etape 3: calcul des limites Echantillon ,4 72,1 71,7 73,9 74, ,3 70,4 73,9 72,9 69, ,3 73,5 72,3 72,2 73, ,1 2 73,8 72,9 70,3 70,9 74,2 72,5 70,3 72,4 72, ,7 69,9 72,3 71,5 70,9 73,4 71,9 74,4 70,3 73,4 3 73,9 74,1 71,4 73,3 73,2 71,9 71,1 71,3 73,3 68,7 71,3 69,6 73,8 73,3 71,3 74,9 72,3 73,3 71,9 69,4 4 73,2 72,6 73,5 72, ,7 71,3 72, , ,8 69,3 71, ,9 68,7 72,1 72,9 73,9 5 74,1 73,6 72,7 69,7 74, ,7 71,7 70,9 73,4 70,9 71,3 73, ,3 74,7 69,8 71,3 71,3 73,5 Moyenne 73,8 72, ,5 73,3 72,7 70, ,8 71,6 71,4 70,1 72,3 72,3 71,8 73, ,9 71,9 72,5 72 Etendue 0,9 4,7 3,2 3,6 3,3 2,7 1 1,1 2,9 5,2 3,2 1,7 4,5 1,9 2,6 2,6 3,6 3,1 2,7 4,5 3 Moyenne Cote nominale: 70 nm TS: 75 nn TI: 65 nn Taille de l'échantillon: 100 Fréquence des prélèvements: horaire Moyen de mesure: complémètre 73,8 73, ,9 70,2 5,43 1,11 0,

49 Etape 3: a) calcul des limites pour la carte de la moyenne (moyenne et écart-type inconnus) Lorsque la moyenne et l écart-type sont inconnus, on utilise les formules suivantes pour calculer les limites de réglage et de surveillance pour la carte de la moyenne. Table de constante N 3 (moyenne et écart-type inconnus) (moyenne et écart-type inconnus) réglage surveillance Carte X : X ± a r R X ± a s R taille de l'échantillon carte des moyennes Réglage Surveillance carte des étendues Réglage Surveillance n a' r a' s d' r(i) d' r(s) d' s(i) d' s(s) 2 1,937 1,229 0,00 4,12 0,04 2,81 3 1,054 0,668 0,04 2,99 0,18 2,17 4 0,75 0,476 0,10 2,58 0,29 1,93 5 0,594 0,377 0,16 2,36 0,37 1,81 6 0,498 0,316 0,21 2,22 0,42 1,72 7 0,432 0,274 0,26 2,12 0,46 1,66 8 0,384 0,244 0,29 2,04 0,50 1,62 9 0,347 0,22 0,32 1,99 0,52 1, ,317 0,202 0,35 1,94 0,54 1,56 49

50 Etape 3: a) calcul des limites pour la carte de la moyenne (moyenne et écart-type inconnus) Dans le cas étudié, on a calculé précédemment la moyenne et l étendue (étape 2): X= 72 R = 3 D après la table de constante, on obtient les constantes suivantes (pour une taille d échantillon de 5) Table de constante N 3 (moyenne et écart-type inconnus) carte des moyennes carte des étendues taille de l'échantillon Réglage Surveillance Réglage Surveillance n a' r a' s d' r(i) d' r(s) d' s(i) d' s(s) 2 1,937 1,229 0,00 4,12 0,04 2,81 3 1,054 0,668 0,04 2,99 0,18 2,17 4 0,75 0,476 0,10 2,58 0,29 1,93 5 0,594 0,377 0,16 2,36 0,37 1,81 6 0,498 0,316 0,21 2,22 0,42 1,72 7 0,432 0,274 0,26 2,12 0,46 1,66 8 0,384 0,244 0,29 2,04 0,50 1,62 9 0,347 0,22 0,32 1,99 0,52 1, ,317 0,202 0,35 1,94 0,54 1,56 a r = 0,594 a s = 0,377 Voici le détail des calculs: Limite pour les moyennes De réglage De surveillance ,594 * 3 = 73, ,377 * 3 = ,594 * 3 = 70,2 72-0,377 * 3 = 70.9 On reporte les limites sur la Carte des moyennes 73,874 73, ,971 70,2 50

51 Etape 3: b) calcul des limites pour la carte de l étendue (moyenne et écart-type inconnus) Lorsque la moyenne et l écart-type sont inconnus, on utilise les formules suivantes pour calculer les limites de réglage et de surveillance pour la carte de l étendue. Table de constante N 3 (moyenne et écart-type inconnus) (moyenne et écart-type inconnus) Carte R : réglage surveillance Limite inférieure Limite supérieure d r(i) R d r(s) R d s(i) R d s(s) R taille de l'échantillon carte des moyennes Réglage Surveillance carte des étendues Réglage Surveillance n a' r a' s d' r(i) d' r(s) d' s(i) d' s(s) 2 1,937 Carte des 1,229 étendues 0,00 4,12 0,04 2,81 3 1,054 0,668 0,04 2,99 0,18 2,17 4 0,75 0,476 0,10 2,58 0,29 1,93 5 0,594 0,377 0,16 2,36 0,37 1,81 6 0,498 0,316 0,21 2,22 0,42 1,72 7 0,432 0,274 0,26 2,12 0,46 1,66 8 0,384 0,244 0,29 2,04 0,50 1,62 9 0,347 0,22 0,32 1,99 0,52 1, ,317 0,202 0,35 1,94 0,54 1,56 51

52 Etape 3: b) calcul des limites pour la carte de l étendue (moyenne et écart-type inconnus) Dans le cas étudié, on a calculé précédemment l étendue (étape 2): D après la table de constante, on obtient les constantes suivantes (pour une taille d échantillon de 5): - pour les limites de réglage: - pour les limites de surveillance: d r(i) = 0,16 et d r(s) = 2,36 d s(i) = 0,37 et d s(s) = 1,81 R = 3 Table de constante N 3 (moyenne et écart-type inconnus) carte des moyennes carte des étendues taille de l'échantillon Réglage Surveillance Réglage Surveillance n a' r a' s d' r(i) d' r(s) d' s(i) d' s(s) 2 1,937 1,229 0,00 4,12 0,04 2,81 3 1,054 0,668 0,04 2,99 0,18 2,17 4 0,75 0,476 0,10 2,58 0,29 1,93 5 0,594 0,377 0,16 2,36 0,37 1,81 6 0,498 0,316 0,21 2,22 0,42 1,72 7 0,432 0,274 0,26 2,12 0,46 1,66 8 0,384 0,244 0,29 2,04 0,50 1,62 9 0,347 0,22 0,32 1,99 0,52 1, ,317 0,202 0,35 1,94 0,54 1,56 Voici le détail des calculs: Limites pour les étendues De réglage De surveillance ,43 Carte des étendues 0,16 * 3 = 0,48 0,37 * 3 = 1,11 3 2,36 * 3 = 7,08 1,81 * 3 = 5,43 1,11 0,

53 Etape 4: reporter les valeurs Echantillon ,4 72,1 71,7 73,9 74, ,3 70,4 73,9 72,9 69, ,3 73,5 72,3 72,2 73, ,1 2 73,8 72,9 70,3 70,9 74,2 72,5 70,3 72,4 72, ,7 69,9 72,3 71,5 70,9 73,4 71,9 74,4 70,3 73,4 3 73,9 74,1 71,4 73,3 73,2 71,9 71,1 71,3 73,3 68,7 71,3 69,6 73,8 73,3 71,3 74,9 72,3 73,3 71,9 69,4 4 73,2 72,6 73,5 72, ,7 71,3 72, , ,8 69,3 71, ,9 68,7 72,1 72,9 73,9 5 74,1 73,6 72,7 69,7 74, ,7 71,7 70,9 73,4 70,9 71,3 73, ,3 74,7 69,8 71,3 71,3 73,5 Moyenne 73,8 72, ,5 73,3 72,7 70, ,8 71,6 71,4 70,1 72,3 72,3 71,8 73, ,9 71,9 72,5 72 Etendue 0,9 4,7 3,2 3,6 3,3 2,7 1 1,1 2,9 5,2 3,2 1,7 4,5 1,9 2,6 2,6 3,6 3,1 2,7 4,5 3 Moyenne Cote nominale: 70 nm TS: 75 nn TI: 65 nn Taille de l'échantillon: 100 Fréquence des prélèvements: horaire Moyen de mesure: complémètre 74 73,8 73, ,9 70, ,43 1,11 0,

54 Etape 5: analyser la carte Echantillon ,4 72,1 71,7 73,9 74, ,3 70,4 73,9 72,9 69, ,3 73,5 72,3 72,2 73, ,1 2 73,8 72,9 70,3 70,9 74,2 72,5 70,3 72,4 72, ,7 69,9 72,3 71,5 70,9 73,4 71,9 74,4 70,3 73,4 3 73,9 74,1 71,4 73,3 73,2 71,9 71,1 71,3 73,3 68,7 71,3 69,6 73,8 73,3 71,3 74,9 72,3 73,3 71,9 69,4 4 73,2 72,6 73,5 72, ,7 71,3 72, , ,8 69,3 71, ,9 68,7 72,1 72,9 73,9 5 74,1 73,6 72,7 69,7 74, ,7 71,7 70,9 73,4 70,9 71,3 73, ,3 74,7 69,8 71,3 71,3 73,5 Moyenne 73,8 72, ,5 73,3 72,7 70, ,8 71,6 71,4 70,1 72,3 72,3 71,8 73, ,9 71,9 72,5 72 Etendue 0,9 4,7 3,2 3,6 3,3 2,7 1 1,1 2,9 5,2 3,2 1,7 4,5 1,9 2,6 2,6 3,6 3,1 2,7 4,5 3 Moyenne Cote nominale: 70 nm TS: 75 nn TI: 65 nn Taille de l'échantillon: 100 Fréquence des prélèvements: horaire Moyen de mesure: complémètre 74 73,8 73,1 2 points sont hors des 73 limites de surveillance; on 72 peut affirmer qu il est nécessaire de régler ,9 70, ,43 1,11 0, Tous les points sont entre les limites de surveillance. 54

55 55

56 Mise en œuvre du contrôle 1- Notion d efficacité

57 Les risques alpha et béta Le contrôle est nécessairement assorti de deux risques d erreur: - le risque alpha α : ( ou risque fournisseur) Conclure à un déréglage alors que la machine est en réalité bien réglée - le risque béta β : ( ou risque client) Conclure à un fonctionnement normal de la machine alors que celle-ci est déréglée. 57

58 Ces risques dépendent de la taille de l échantillon (cf courbe d efficacité). L efficacité du contrôle croit rapidement avec n 58

59 Notion d efficacité Définir les limites de réglage pour 2 tailles d échantillon (5 et 20) en fonction de l écart-type de la population et de la taille de l échantillon. Population normale m Population avec déréglage d un écart-type o 3,09 o Ts En déduire le risque d accepter un déréglage avec cette carte. n = 5 Distribution de la moyenne des échantillons n = 20 59

60 Calcul de la limite supérieure de réglage 3,09 o Ts m Calcul de la limite de réglage sup pour n=5 n = 5 m + 1,4 o m + 3,09 o V5 soit m + 1,4 Calcul de la limite de réglage sup pour n=20 m + 3,09 o soit m + 0,7 o V20 o n = 20 m + 0,7 60 o

61 Déréglage de la production Si la production se dérègle d un écart-type, quel sera le taux de défectueux? on souhaite également connaître le risque d accepter un déréglage suivant la taille de l échantillon (n=5; n=20) Taux de défectueux = 0,001 soit 0,1 % m 3,09 o Ts (cf tablep3: la moitié de P3 (3,09) ) Taux de défectueux = 0,02 soit 2 % (cf tablep3: la moitié de P3 (2,09) ) o 61

62 Calcul du risque béta m 3,09 o Ts Taux de défectueux = 0,02 soit 2 % o Taux de défectueux = 0,19 soit 19 % et d acceptation: 80% ( t = 0,4 * racine carrée(5) = 0,89; à t=0,89 correspond P3 =0,38. n = 5 m + 1,4 o Le taux de défectueux est la moitié de P3(0,89) soit 0,19 Taux de défectueux = 90 % et d acceptation: 10% ( t = 0,3*racine carrée(20) = 1,34; à t=1,34 correspond P3 =0,18. Le taux accepté est la moitié de P3(1,34) soit 0,10 n = 20 m + 0,7 62 o

63 10 9 Proportion de défectueux (p %) Graphique 1a Courbe d efficacité = 3, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 n = 20 Probabilité d acceptation (p%) n=5 Carte de contrôle de la moyenne Paramètre de déréglage de la moyenne (lambda) Graphique 1b Graphique 1a: Pour théta égale 3,09 (limite de réglage),on obtient avec un déréglage d 1 écart-type un taux de défectueux de 2 % Graphique 1b: Pour un déréglage d 1 écarttype, la probabilité d acceptation est égale à: - 80 % pour n=5-10 % pour n=20 63

64 Mise en œuvre du contrôle 2- Synthèse

65 Taille des échantillons La La taille taille n de de l échantillon prélevé prélevé fixe fixe la la fiabilité fiabilité de de l estimation de de la la population fabriquée. Elle Elle détermine ainsi ainsi l efficacité de de la la carte carte de de contrôle contrôle La La valeur valeur n=5 n=5 est est traditionnellement prise prise dans dans les les industries mécaniques pour pour la la facilité facilité de de calcul calcul de de la la moyenne qu elle qu elle procure. procure. Le Le tableau tableau ci-dessous donne donne la la probabilité (en (en%) %) de de détecter détecter un un déréglage de de k écarts écarts types types pour pour n=1 n=1 ààn=7. n=7. C est C est le le risque risque (1-β (1-β).). k 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 n=1 0,6 2,3 6,7 15,9 30, ,1 84,1 93,3 97,7 n=2 1,4 5,7 18,9 43,6 70,2 89,3 97,4 99, n=3 1,7 10,2 34,5 67,7 90,7 98,6 99, n=4 2,3 15, ,1 97,72 99, n=5 3 22,4 63,7 92,9 99, n=6 3,8 29,1 74,8 97, n=7 4,8 36,3 83,4 98, Exemple: Avec un échantillon de taille n=5, un déréglage de 2 écarts-types sera détecté avec une probabilité de 92,9 %. 65

66 Fréquence des prélèvements On choisit, en général, une fréquence relativement élevée au début de la mise en place d une carte et, à mesure que l on maîtrise mieux le processus (amélioration de la stabilité), on diminue la fréquence de prélèvement. Règle empirique : La fréquence de prélèvement d une carte de contrôle doit être au moins 4 fois plus importante que la fréquence des actions correctives sur le procédé R. Cavé propose de calculer l intervalle entre deux prélèvements (noté : I) à l aide de la formule suivante : I(nbre de pièces) = n. N soit 60 I(minutes) = n. N c avec c :cadence horaire de la machine n : nombre de pièces prélevées N : nombre de pièces fabriquées entre deux réglages 66

67 Observation du procédé Réaliser une carte de contrôle sans limites pour connaître la variabilité naturelle du procédé et vérifier la Normalité de la production Calculer la Capabilité du processus Vérifier si le processus est capable et s il est centré Rappel : la capabilité machine se calcule à partir d échantillons produits dans un contexte (4M) figé (court terme) - la capabilité processus se détermine dans un contexte de production «normal» (moyen terme) Mise en place des cartes de contrôle Mettre en œuvre des améliorations sur le processus ou la machine non Cp et Cpk >1,66 Cm, Cmk > 2 Calculer les limites de contrôle Fixer les limites des variations générées par les causes communes en rejetant, le cas échéant, les causes spéciales identifiées Mettre en place les cartes de contrôle en production Déterminer la fréquence des prélèvements et s assurer de la compétence (formation), de la participation des opérateurs et de la faisabilité de la mesure pour placer le processus sous contrôle - Fixer les règles de réaction de l opérateur oui Prévenir l apparition de causes spéciales Découvrir les actions susceptibles d améliorer la capabilité du processus en analysant systématiquement les variations sur les cartes de contrôle Améliorer la capabilité du procédé Résoudre les problèmes identifiés à l aide de l analyse des cartes 67

68 Conclusion Norme la M.S.P selon les recommandations de l'afnor (norme NF X décembre 1995). 68

69

70 2ème partie: Les notions essentielles de statistiques exercice 1: utilisation des tables exercice 2: utilisation des tables exercice 3: test de la droite de Henry 3ème partie: Etude de la capabilité exercice 4 4ème partie: Les cartes de contrôle exercice 5

71 Exercice 1: utilisation des tables 1) Si les tolérances inférieures et supérieures sont fixées à m0 4 o, quelle sera le taux de défectueux? 2) Un client exige un taux de défectueux égal à 0,1 %. Quelles seront les limites des cartes de contrôle à prendre en compte? P 3 -t + t 0 Fonction de répartition probabilité d'un écart à la moyenne supérieur à t t P3 t P3 t P3 0,00 0,000 1,05 0,293 2,10 0,035 0,05 0,960 1,10 0,271 2,20 0,027 0,10 0,920 1,15 0,250 2,30 0,021 0,15 0,880 1,20 0,230 2,40 0,016 0,20 0,841 1,25 0,211 2,50 0,012 0,25 0,802 1,30 0,193 2,576 0,010 0,30 0,764 1,35 0,177 2,60 0,009 0,35 0,726 1,40 0,161 2,70 0,007 0,40 0,689 1,45 0,147 2,80 0,005 0,45 0,652 1,50 0,133 2,90 0,003 0,50 0,617 3,00 0,002 0,55 0,582 1,55 0,121 0,60 0,548 1,60 0,109 3,20 0, ,65 0,515 1,65 0,099 3,40 0, ,67 0,500 1,70 0,089 3,60 0, ,70 0,484 1,75 0,080 3,80 0, ,75 0,453 1,80 0,071 4,00 0, ,80 0,423 1,85 0,064 4,50 0, ,85 0,395 1,90 0,057 0,90 0,368 1,95 0,051 0,95 0,342 1,96 0,050 1,00 0,317 2,00 0,045 71

72 Exercice 2: utilisation des tables Jean prend des échantillons de 5 pièces toutes les heures. Il mesure leur hauteur, puis calcule la moyenne et l étendue de l échantillon. Au bout de 20 heures, il calcule la moyenne des moyennes: 0,206 et la moyenne des étendues: 0,002. 1) Estimer l écart-type de cette production. 2) Jean a vérifié que cette production est distribuée comme la loi normale. La moyenne des hauteurs est 0,206. Déterminer quel pourcentage de pièces st compris entre 0,206 et 0, sigma. 3) Quel pourcentage de pièces est compris entre 0,206-1 sigma et 0, sigma? 4) A quelles hauteurs correspondent «0, sigma», «0,206-1sigma»? 5) Déduire des tables un encadrement de la hauteur de 99,7 % des pièces 72

73 Exercice 3: test de la droite de Henry Tracez l histogramme à partir des valeurs ci-dessous. La population est -elle normale? A partir de la droite de Henry : Déterminez la moyenne de l échantillon Déterminez l écart type N lot Ech1 Ech2 Ech3 Ech4 Ech5 Ech6 Ech7 Ech8 Ech9 Ech ,38 66,92 66,94 66,84 66,96 67,08 66,74 66,66 67,02 66, ,54 66,68 66,80 66,90 66,64 66,54 66,96 66,80 66,80 66, ,98 66,88 66,80 66,72 66,80 66,60 66,52 66,86 66,82 66, ,64 66,88 66,52 67,10 66,92 67,04 66,84 66,90 66,88 66, ,84 66,50 66,82 66,74 66,76 66,90 66,74 66,87 66,74 66,98 73

74 Exercice 3: test de la droite de Henry N lot Ech1 Ech2 Ech3 Ech4 Ech5 Ech6 Ech7 Ech8 Ech9 Ech ,38 66,92 66,94 66,84 66,96 67,08 66,74 66,66 67,02 66, ,54 66,68 66,80 66,90 66,64 66,54 66,96 66,80 66,80 66, ,98 66,88 66,80 66,72 66,80 66,60 66,52 66,86 66,82 66, ,64 66,88 66,52 67,10 66,92 67,04 66,84 66,90 66,88 66, ,84 66,50 66,82 66,74 66,76 66,90 66,74 66,87 66,74 66,98 Moyenne:.....Ecart-type:... Som me Cum ul % c

75 Exercice 4: étude de la capabilité A partir de la droite de Henry, en fonction des limites de tolérance données et pour les différents cas : Déterminez la moyenne de l échantillon Déterminez l écart type Calculez les indices de capabilité Cm et Cmk Evaluez le pourcentage de défectueux par valeur inférieure par valeur supérieure Proposez une amélioration si nécessaire 75

76 Exercice 4 : étude de la capabilité Cas N Moyenne = Ecart type = Cm = Cmk = Taux de défectueux = Amélioration :. 76

77 Exercice 4 : étude de la capabilité Cas N Moyenne = Ecart type = Cm = Cmk = Taux de défectueux = Amélioration :. 77

78 Exercice 4 : étude de la capabilité Cas N Moyenne = Ecart type = Cm = Cmk = Taux de défectueux = Amélioration :. 78

79 Exercice 4 : étude de la capabilité Cas N Moyenne = Ecart type = Cm = Cmk = Taux de défectueux = Amélioration :. 79

80 Exercice 4 : étude de la capabilité Cas N Moyenne = Ecart type = Cm = Cmk = Taux de défectueux = Amélioration :. 80

81 Exercice 4 : étude de la capabilité Cas N Moyenne = Ecart type = Cm = Cmk = Taux de défectueux = Amélioration :. 81

82 Exercice 4 : étude de la capabilité Cas N Moyenne = Ecart type = Cm = Cmk = Taux de défectueux = Amélioration :. 82

83 Exercice 5: la carte de contrôle On réalise une série de 100 mesures en 20 lots de 5 échantillons: Calculer les limites supérieures et inférieures de contrôle de la moyenne et de l écart-type. Tracer les cartes de contrôle ( moyenne - écart-type) Qu en concluez vous? N lot Ech1 Ech2 Ech3 Ech4 Ech5 Moyenne Ecart-type 1 1,22 1,17 1,26 1,22 1,17 1,21 0,04 2 1,12 1,17 1,30 1,26 1,03 1,18 0,11 3 1,03 1,22 1,12 1,08 1,22 1,13 0,08 4 1,17 1,12 1,26 1,12 1,22 1,18 0,06 5 1,12 1,30 1,12 1,17 1,08 1,16 0,09 6 0,99 1,03 1,30 1,08 1,03 1,09 0,12 7 1,26 1,22 1,12 1,17 1,17 1,19 0,05 8 1,08 1,22 1,22 1,17 1,08 1,15 0,07 9 1,08 1,22 1,17 1,08 1,03 1,12 0, ,17 1,30 1,22 1,22 1,26 1,23 0, ,17 1,17 1,12 1,22 1,12 1,16 0, ,12 1,35 1,03 1,26 1,22 1,20 0, ,03 1,26 1,12 1,08 0,99 1,10 0, ,12 1,17 1,03 1,17 1,08 1,11 0, ,12 1,22 1,03 1,17 1,22 1,15 0, ,08 1,08 1,12 1,12 1,03 1,09 0, ,08 1,22 1,03 1,26 1,22 1,16 0, ,26 1,30 1,12 1,17 1,08 1,19 0, ,17 1,26 1,22 1,12 1,26 1,21 0, ,35 1,17 1,35 1,26 1,44 1,31 0,10 83

84

85 2ème partie: Les notions essentielles de statistiques exercice 1: utilisation des tables exercice 2: utilisation des tables exercice 3: test de la droite de Henry 3ème partie: Etude de la capabilité exercice 4 4ème partie: Les cartes de contrôle exercice 5

86 Exercice 1: Utilisation des tables 1) Si les tolérances inférieures et supérieures sont fixées à m0 4 o, quelle sera le taux de défectueux? 6, % 2) Un client exige un taux de défectueux égal à 0,1 %. Quelles seront les limites des cartes de contrôle à prendre en compte? m0 + 3,2 sigma 86

87 Exercice 2: utilisation des tables 1) écart-type estimé = étendue / constante pour n=5 (cf tables) 0.002/2,326 = 0,0097 (soit arrondi: 0,001) 2)Déterminer quel pourcentage de pièces st compris entre 0,206 et 0, sigma. Sur la table P1 pour la valeur de sigma (t) égale à 1, on lit la valeur 0,341 soit 34,1 % 3) Quel pourcentage de pièces est compris entre 0,206-1 sigma et 0, sigma? Sur la table P2 pour la valeur de sigma égale à 1, on lit la valeur 0,682 soit 68,2 % 4) A quelles hauteurs correspondent «0, sigma», «0,206-1sigma»? «0, sigma» soit 0,207 et «0,206-1sigma» soit 0,205 5) Déduire des tables un encadrement de la hauteur de 99,7 % des pièces sur la table P2, la valeur correspondant à 99,7 % (0,997) est 3 sigma. La hauteur de 99,7% des pièces est comprise entre 0,206-3 sigma et 0, sigma soit 0,203 < hauteur de 99,7%des pièces < 0,209 87

88 Exercice 3: test de la droite de Henry Som me Cum ul % c Moyenne: 66,728..Ecart-type: 0,

89 Exercice 4: étude de la capabilité Cas N Moyenne = 20,12 Ecart type = 0,01 Cm = 2,5 Cmk = 2,33 Taux de défectueux = 0 % Amélioration : OK 89

90 Exercice 4: étude de la capabilité Cas N Moyenne = 20,10 Ecart type = 0,01 Cm = 1,66 Cmk = 0,67 Taux de défectueux = 2 % Amélioration : la machine est suffisamment précise (Cm > 1,33) mais on observe un déréglage de la moyenne (Cmk), qui entraîne la formation de produits défectueux 90

91 Exercice 4: étude de la capabilité Cas N Moyenne = 20,15 Ecart type = 0,01 Cm = 3,67 Cmk = 3,67 Taux de défectueux = 0 % Amélioration : aucune mais la machine est beaucoup trop précise pour le travail demandé.! 91

92 Exercice 4: étude de la capabilité Cas N Moyenne = 20,20 Ecart type = 0,01 Cm = 1,67 Cmk = - 0,67 Taux de défectueux = 98 % Amélioration : Il faut agir sur le centrage la précision de la machine est suffisante.. 92

93 Exercice 4: étude de la capabilité Cas N Moyenne = 20,14 Ecart type = 0,04 Cm = 0,42 Cmk = 0,33 Taux de défectueux = 18 % Amélioration : La machine n est pas suffisamment précise. 93

94 Exercice 4: étude de la capabilité Cas N Moyenne = 20,26 Ecart type = 0,005 Cm = 6,67 Cmk = - 2,67 Taux de défectueux = 100 % Amélioration : La machine est trop précise mais le déréglage de la moyenne a entraîné la formation de produits défectueux à 100 %. 94

95 Exercice 4: étude de la capabilité Cas N Moyenne = 20,12 Ecart type = 0,01 Cm = 3,33 Cmk = 3,33 Taux de défectueux = 0 % Amélioration : aucune. 95

96 Exercice 5: la carte de contrôle L écart-type de la production n est pas connu. Pour estimer sigma, on fait le rapport de la moyenne des écarts-types (0,08) par la constante dans la table n 5 (0,841) ; soit un écart-type estimé à 0,1 X = 1.17 Moyenne écart-type = 0.08 Pour un échantillon de n= 5, la table moyenne -écart-type donne les coefficients suivants: ar = ; as = br(i) = ; br(s) = bs(i) = ; bs(s) = Moyenne: Ecart-type: Les limites de réglage et de surveillance sont donc les suivantes: ex: 1,17 * (0,08/0,841) * 1,382 = 1,30 pour la limite de réglage supérieure. Table de constantes N 5 taille de b n l'échantillon 2 0, , , , , , , , ,923 Table de constante N 4 (moyenne et écart-type connus) carte des moyennes carte des écart-types taille de l'échantillon Réglage Surveillance Réglage Surveillance n a r a s b r(i) b r(s) b s(i) b s(s) 2 2,185 1,386 0,001 2,327 0,022 1, ,784 1,132 0,026 2,146 0,130 1, ,545 0,98 0,078 2,017 0,232 1, ,382 0,876 0,135 1,922 0,311 1, ,262 0,8 0,187 1,849 0,372 1, ,168 0,741 0,233 1,791 0,420 1, ,092 0,693 0,274 1,744 0,459 1, ,03 0,653 0,309 1,704 0,492 1, ,977 0,62 0,339 1,670 0,520 1,379 moyenne réglage 1,04 1,30 surveillance 1,09 1,25 écart-type réglage 0,01 0,18 surveillance 0,03 0,14 96

97 Exercice 5: la carte de contrôle Carte de la moyenne Carte de l écart-type La carte de contrôle de la moyenne indique un déréglage, alors que la dispersion est maîtrisée