N 5 Juin 2014 XVA. XVA About CVA, DVA, FVA and other market adjustments. A propos des CVA, DVA, FVA et autres ajustements de marché.

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1 N 5 Juin 2014 & D É B AT S XVA A propos des CVA, DVA, FVA et autres ajustements de marché XVA About CVA, DVA, FVA and other market adjustments Stéphane Crépey

2 1 LABEX LOUIS BACHELIER Stéphane Crépey Sommaire / Content N 5 Juin 2014 & DÉBATS XVA A propos des CVA, DVA, FVA et autres ajustements de marché XVA About CVA, DVA, FVA and other market adjustments 6 Introduction 8 1 L ajustement de valorisation du crédit Flux financiers Modèles Calcul Gestion du risque Les articles publiés dans la série "Opinions & Débats" offrent aux spécialistes, aux universitaires et aux décideurs économiques un accès aux travaux de recherche les plus récents. Ils abordent les principales questions d actualité économique et financière et fournissent des recommandations en termes de politiques publiques. The Opinion and Debates series sheds scientific light on current topics in economics and finance. Bringing together several types of expertise (from mathematicians, statisticians, economists, lawyers, etc.) this publication makes recommendations in the formulation and implementation of government economic policies. Opinions & Débats N 5 Juin 2014 Publication de l'institut Louis Bachelier Palais Brongniart 28 place de la Bourse Paris Tél. : DIRECTEUR DE LA PUBLICATION JeanMichel Beacco CHEF DE PROJETS Cyril Armange CONTACT cyril.armange@institutlouisbachelier.org CONCEPTION GRAPHIQUE Vega Conseil : 45 rue Garibaldi Saint Maur Tél. : IMPRIMEUR IRO : Z.I. rue Pasteur Périgny cedex Tél. : Risque de contrepartie bilatéral et coûts de financement nonlinéaires L ajustement de valorisation de la dette Ajustement de valorisation pour tenir compte du coût du financement 15 3 CVA, DVA, LVA, RC : les quatre piliers de la TVA Equation de la TVA Solution numérique Exemple simplifié 19 4 Collatéral Risque de dépendance adverse et risque de dérive Liquidité 20 5 Chambres de compensation et trading centralisé Appels de marge et procédure de défaut 38 Références 23 Introduction 25 1 Credit Valuation Adjustment Cash Flows Models Computation Risk management 27 2 Bilateral Counterparty Risk and Nonlinear Funding Costs Debt Valuation Adjustment Funding Valuation Adjustment 31 3 CVA, DVA, LVA, RC: The Four Wings of the TVA TVA Equation Numerical Solution Toy example 35 4 Collateral WrongWay and Gap Risks Liquidity 36 5 Clearinghouses and Centrally Cleared Trading Margining and default processes 38 References

3 Editorial Dans ce numéro d Opinions et Débats, nous avons choisi de nous confronter au défi majeur qu affrontent actuellement les banques d investissement. Il s agit du calcul des ajustements liés au risque de contrepartie (CVA, DVA, FVA et autres acronymes à trois lettres génériquement regroupés sous le sigle de XVA). Défi majeur donc, et ce pour plusieurs raisons. Tout d abord, la définition même de ces ajustements est un travail ardu, en témoignent les expressions qui les définissent dans cet article : produits dérivés complexes, hybrides, aux contours flous Cette complexité a pour conséquence une valorisation difficile. Il n existe en effet aucune modélisation standard du risque de contrepartie. Les banques font donc face à une multiplicité de scénarios et les calculs de XVA sont devenus la tâche la plus lourde de leurs calculs. De plus, le contexte actuel est venu ajouter de nouvelles difficultés. D une part, la crise a accru la volatilité. D autre part, elle a affaibli les banques. Leur propre risque de crédit doit désormais être pris en compte dans ces ajustements. Dans cet article, Stéphane Crépey étudie les solutions qui s offrent aux banques d investissement et au marché en général marché largement concerné, puisque le risque de contrepartie concerne désormais l ensemble des produits dérivés de gré à gré. Il recommande la création d une modélisation dynamique, intégrant un horizon long terme de plusieurs décennies. Un tel modèle devrait également prendre en compte la dimension de risque systémique qui accompagne le risque de contrepartie. Quant aux solutions qui ont déjà été envisagées pour réduire ce risque, elles ont prouvé leurs limites ou leurs défauts, comme par exemple les contrats de CSA (credit support annex). Il est apparu que les garanties apportées par ces contrats étaient insuffisantes. Inadaptés également sont les mécanismes de couverture du risque de contrepartie, puisqu ils peuvent engendrer de l instabilité sur les marchés et créer de la procyclicité. Une autre solution se dessine, encouragée par la règlementation. Il s agit du trading interfacé par les chambres de compensation. Ce moyen de garantir contre le risque de dérive a le vent en poupe : à l avenir la moitié des transactions devrait être traitée de manière centralisée. Estce une bonne chose? Cela n est pas certain, comme nous en avertit ici Stéphane Crépey. Par JeanMichel Beacco Directeur général de l'institut Louis Bachelier In this issue of Opinions et Débats, we look at a major challenge currently confronting investment banks, namely the calculation of various counterparty risk related pricing adlustments (CVA, DVA, FVA and other three letter acronyms, generically denoted by XVA). For various reasons, this is a critical issue. Firstly, the very definition of these adjustments is problematic, astestified by the various terms used in this article to define them: complex derivatives, hybrid derivatives, blurred derivatives, etc. This complexity makes calculating it difficult. For there is no standard counterparty risk model. Banks therefore face a multiplicity of scenarios and the XVA calculations have become their most difficult computational task. In addition, the current context has added fresh difficulties. On the one hand, the crisis has increased the volatility. And on the other, it has weakened the banks. Their own credit risk must now be taken into account in these adjustments. In this article, Stéphane Crépey examines the solutions available to investment banks and to the market in general a market that is heavily involved, since counterparty risk now concerns all OTC derivatives. He recommends creating a dynamic model. Such a model should also take into account the systemic risk dimension that accompanies counterparty risk. As for solutions that have been proposed to reduce this risk, they have revealed their limitations or shortcomings, as for example CSA (Credit Support Annex) contracts. Moreover, counterparty risk hedging mechanisms can lead to instability in the markets through procyclicality effects. Another solution is emerging, encouraged by regulation, namely trading interfaced by clearing houses. This way of hedging against derivative risks is on the rise: in the future, half of all transactions are likely be handled centrally. Is this a good thing? It remains to be seen, as Stéphane Crépey here tells us. Prochain Numéro Opinions & Débats Allocation de l épargne et investissements de long terme Luc Arrondel CNRSParis School of Economics Banque de France André Masson CNRSParis School of Economics EHESS 3

4 Biographie Opinions & Débats N 5 Stéphane Crépey est professeur au département de mathématiques de l'université d'evry. Ses intérêts de recherche sont le risque de contrepartie, les équations différentielles stochastiques rétrogrades et la finance numérique. Il est l auteur de "Financial Modeling: A Backward Stochastic Differential Equations Perspective" (juin 2013, Springer) et de "Counterparty Risk and Funding, a Tale of Two Puzzles" (S. Crépey, T. Bielecki and D. Brigo, printemps 2014, Taylor & Francis). Stéphane Crépey is professor at the mathematics department of University of Evry. His research interests are counterparty risk, backward stochastic differential equations and numerical finance. He is the author of "Financial Modeling: A Backward Stochastic Differential Equations Perspective" (June 2013, Springer) and of "Counterparty Risk and Funding, a Tale of Two Puzzles" (S. Crépey, T. Bielecki and D. Brigo, Taylor & Francis, Spring 2014). 4 LABEX LOUIS BACHELIER

5 XVA A propos des CVA, DVA, FVA et autres ajustements de marché Stéphane Crépey* Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d Evry, Université d EvryVald Essonne Juin 2014 Résumé Depuis la crise, un certain nombre d ajustements sont nécessaires dans la gestion des risques des produits dérivés de gréàgré afin de prendre en compte le risque de contrepartie et les coûts de financement, en particulier l ajustement de valorisation du crédit (Credit Valuation Adjustment, CVA), de la dette (Debt Valuation Adjustment, DVA), et du financement (Funding Valuation Adjustment, FVA). Ces ajustements, qui sont, dans une certaine mesure, interdépendants et doivent être calculés conjointement, font désormais partie des principaux enjeux pour les banques. Ils sont au cœur de nombreux domaines : la modélisation, le calcul, la tarification, la gestion du risque, la réglementation, l économie, le droit, le lobbying et la politique, avec des objectifs souvent contradictoires. Les banques doivent ainsi gérer simultanément risque économique, revenus comptables et contraintes réglementaires en termes de capital. La tendance réglementaire actuelle est d inciter les participants à traiter via des chambres de compensation, ou à apporter d importantes garanties en termes de collatéralisation. Cependant, une telle évolution est porteuse de risque de liquidité et de risque systémique. *Ce travail a été soutenu par le laboratoire Louis Bachelier et la Chaire "Marchés en transition", une initiative commune de l Ecole Polytechnique, l Université d EvryVald Essonne et la Fédération Bancaire Française. Clause de nonresponsabilité Les avis exprimés dans cet article sont ceux des auteurs et ne reflètent pas nécessairement ceux de l Institut Louis Bachelier ou ceux du LABEX Louis Bachelier Finance et croissance durable. 5

6 INTRODUCTION La crise mondiale du crédit puis celle des dettes souveraines européennes ont mis en exergue la forme native du risque de crédit (pour ne pas dire du risque financier), à savoir le risque de contrepartie. Le risque de contrepartie est le risque de nonpaiement suite au défaut de l une des parties d une transaction de gréàgré sur un produit dérivé. Par extension, il s agit également de la volatilité du coût que représente ce risque, appelé ajustement de valorisation du crédit (CVA). Un aspect important du problème, en particulier pour les dérivés de crédit, est le risque de dépendence adverse (wrongway risk) entre l exposition, i.e. le montant sur lequel porte le risque de contrepartie, et le risque de défaut de la contrepartie. En outre, dans la mesure où les banques sont ellesmêmes devenues risquées, le risque de contrepartie s entend désormais de façon bilatérale (il ne s agit pas seulement de la CVA, mais aussi de la DVA, ajustement pour tenir compte de son propre risque de crédit ou dette). Dans ce contexte, l hypothèse classique d un actif sans risque utilisable pour le financement (prêt ou emprunt) n est plus vérifiée. Vient donc s ajouter un nouvel ajustement, celui du coût du financement (FVA), ou plus spécifiquement LVA (composante liquidité de ce coût, hors spread de crédit déjà pris en compte dans la DVA). Comme nous le verrons, il existe un autre ajustement, appelé coût de remplacement (RC), correspondant à l écart entre la valeur économique du contrat et son évaluation par le liquidateur au moment du défaut. Et cette liste n est pas exhaustive, d aucuns évoquant désormais la KVA, pour ajustement de valorisation du capital (en référence au coût en capital de la volatilité de la CVA), ou l AVA, pour ajustement de valorisation additionnel (en vue d une valorisation "prudente", tenant compte du risque de modèle et des spreads de crédit dont le sien, récemment opposée par Bâle à la traditionnelle fair value ("valorisation juste"). Un nouvel acronyme, XVA, a même été introduit afin d évoquer cette liste croissante d ajustements (voir Carver (2013)). Enfin, en août 2007 est apparue une dimension de risque de contrepartie systémique, avec l émergence de spreads (écarts) entre des quantités qui étaient très proches auparavant, comme entre les taux de swap OIS et les taux LIBOR (là encore une conséquence du risque de contrepartie des banques, mais à un niveau macroéconomique). A travers sa relation avec le concept d escompte, cette composante systémique du risque de contrepartie a impacté l ensemble des marchés de produits dérivés. L ensemble des ajustements cités cidessus, qui sont interdépendants et doivent être calculés conjointement, font désormais partie des principales sources de P&L des banques d investissement. La tendance réglementaire actuelle est d inciter les participants à traiter via des chambres de compensation, ou à apporter d importantes garanties en termes de collatéralisation. Cependant, une telle évolution est porteuse de risque de liquidité et de risque systémique. Le premier outil de réduction du risque de contrepartie est un contrat de CSA (credit support annex, ou accord ISDA), qui détermine le schéma de valorisation qui sera appliqué par le liquidateur en cas de défaut de l une des parties, ainsi que les règles de "netting" applicables au portefeuille sousjacent. Le processus de valorisation CSA sert également de référence dans le calcul des appels de marge, similaires à ceux des contrats futures, à l exception du fait que le collatéral échangé dans le cadre d un CSA reste la propriété de la partie qui l a délivré, et qu il est à ce titre rémunéré. Cependant, le risque de dépendance adverse (voir plus haut), et le risque de dérive de la valeur du portefeuille entre le défaut et la liquidation ("gap risk") font que ces garanties peuvent être insuffisantes. La collatéralisation pose également des problèmes de liquidité. Aussi ne peuton se contenter de réduire le risque de contrepartie (via la collatéralisation), il faut également le couvrir en termes de risque de défaut et/ou marché. Enfin, le portefeuille collatéralisé et couvert doit être financé, ce qui soulève la question controversée du recoupement (double counting) entre la DVA et la FVA. Au sein d une banque, le netting des positions implique un calcul du risque de contrepartie au niveau portefeuille (ensemble des contrats couverts par un même CSA, voire, en ce qui concerne les coûts de financement, le portefeuille global de la banque). Par conséquent, la tendance est à la création d équipes de XVA centrales, chargées d évaluer et de couvrir le risque de contrepartie (les coûts de financement sont généralement gérés par la trésorerie ou l ALM de la banque). Un prix "de référence" (marktomarket) et une couverture ignorant le risque de contrepartie et supposant que la stratégie est financée 6 LABEX LOUIS BACHELIER

7 au taux sans risque (ou au taux OIS, voir Encadré 7) est d abord fourni par chaque équipe de trading. L équipe XVA évalue ensuite le risque de contrepartie du portefeuille et le transmet aux différentes équipes de trading après désallocation et conversion d une charge globale en une série de coupons fixes. Le prix ainsi que la couverture finale d un produit sont finalement obtenus comme l écart entre le prix et la couverture de référence et les ajustements fournis par l équipe XVA, intégrant aussi les coûts de financement facturés par l ALM. Revue de la littérature Voici une brève revue d ouvrages abordant le risque de contrepartie et le financement 1 : Le livre de Pykhtin (2005) consiste en une collection d articles précurseurs sur la CVA. Le livre de Gregory (2009, 2012) explique clairement les notions essentielles de la CVA. Il est particulièrement adapté aux managers ou aux professionnels de la finance qui ont besoin d une présentation générale des fondamentaux de la CVA, ainsi que de certains éléments sur le financement, sans entrer dans les détails techniques. Le livre de Cesari, Aquilina, Charpillon, Filipovic, Lee et Manda (2010) reste simple quant à la modélisation, mais s intéresse aux défis informatiques de la construction d un système de CVA et tente de résoudre un certain nombre de problèmes pratiques rencontrés pour des portefeuilles de grande taille. Il se concentre sur la méthode de Monte Carlo dit "américain" (ou des moindres carrés), appliquée pour la première fois à la CVA dans Brigo et Pallavicini (2007, 2008). Le livre de Kenyon et Stamm (2012), bien que basique en termes techniques, est original en ce qu il porte sur des problèmes actuels et pertinents tels que la modélisation de courbes multiples et les ajustements de valorisation du crédit, les effets de liquidation et de réputation (qui dépend de la solvabilité d une société et peut donc être utilisée pour la couverture de la DVA). Sont également évoqués les coûts de financement, le risque systémique, la réglementation et Bâle 3. Le livre de Brigo, Morini et Pallavicini (2013) repose principalement sur les travaux de Brigo et de ses coauteurs entre 2002 et Il traite de CVA, DVA, dépendance adverse sur plusieurs classes d actifs, du collatéral, du risque de dérive, de la liquidation et des coûts de financement. Une partie finale aborde la restructuration de la CVA par le biais de CDS contingents (CCDS), de structures par tranches de type CDO, ou de prêt de collatéral. Le livre de Crépey, Bielecki et Brigo (2014) met l accent sur la structure de dépendance mathématique du problème, utilisant des outils classiques d analyse stochastique : les EDSR en particulier, dans la lignée de Crépey (2013), permettent un traitement systématique des difficultés liées à la nature récursive et nonlinéaire du coût du financement ; et les copules dynamiques afin de concilier les aspects "bottomup" et "topdown" de l analyse du risque de contrepartie dans le cadre des dérivés de crédit. Cet article passe en revue les différents aspects du risque de contrepartie et des coûts de financement tels que CVA, DVA, FVA, LVA et RC (Sections 1 à 3), le collatéral, le risque de dépendance adverse (Section 4) et les chambres de compensation (Section 5). En parallèle, nous évoquerons sous forme d encadrés un certain nombre de questions annexes telles que valorisation historique versus risque neutre ("P versus Q"), les courbes multiples, et nous introduirons de façon brève et informelle les EDSR. Les encadrés soulignent également les principaux messages véhiculés dans cet article. 1 Cette revue est principalement tirée du premier chapitre de Crépey, Bielecki et Brigo (2014). 7

8 1. L ajustement de valorisation du crédit L ajustement de valorisation du crédit (CVA) est le prix du risque de contrepartie. Par extension, le risque de contrepartie est également le risque de volatilité de la CVA. En effet, durant la crise financière, seulement un tiers environ des pertes liées au risque de contrepartie a été attribué à de réels défauts, les deux autres tiers étant imputable à cette volatilité (voir Lambe (2011)). Une dette envers une contrepartie en défaut est entièrement due au liquidateur (une partie qui ne paierait pas sa dette serait ellemême déclarée en défaut). Ainsi, l exposition au risque de contrepartie ne représente que la part positive de la valeur d un contrat (ou portefeuille). S ensuit que pour tout contrat de swap (à l opposé d une position obligataire par exemple, qui ne peut être que créditrice ou débitrice), la perte associée au risque de contrepartie présente une caractéristique optionnelle (voir Figure 1) dont il ne peut être rendu compte par l application d un simple spread (prime) au taux d escompte (à moins qu elle ne soit implicite et stochastique). En outre, en raison du netting à l échelle du portefeuille CSA, qui peut comporter des dizaines de milliers de contrats, souvent à travers différentes classes d actifs, la CVA apparaît non seulement comme un produit dérivé, mais comme un dérivé extrêmement complexe, une sorte d énorme option hybride. Elle est d ailleurs traitée comme telle par le contrôle des risques, qui impose des limites au desk de CVA en termes de VaR et de sensibilités. Enfin, la CVA revêt deux aspects : l un comptable, l autre réglementaire. Suite aux évolutions réglementaires de ces dernières années, IFRS 13 autorise les banques à prendre en compte les pertes de CVA et les gains de DVA, alors que dans la mesure où la DVA ne sert pas de tampon en cas de défaut, Bâle 3 ne reconnaît que la CVA dans le calcul des besoins en capital. Ceci est énoncé comme suit au paragraphe 75 du Comité de Bâle sur la Supervision Bancaire (2013): "Décomptabiliser du calcul des actions ordinaires de première catégorie tous les gains et pertes non réalisés issus de changements dans la "juste valeur" des dettes dus à des variations dans le risque de crédit propre à la banque." (voir également le Comité de Bâle sur la Supervision Bancaire (2012) pour un argumentaire détaillé). 1.1 Flux financiers La CVA n est pas un objet aux contours parfaitement définis. Le payoff de "l option" correspondante est, pour partie, sujet à interprétation. En effet, en ce qui concerne le processus d évaluation du CSA, les documents de l ISDA utilisent une formulation en termes de "valeur de remplacement" laissant ouvertes plusieurs possibilités, notamment une valorisation sans risque de défaut ou par substitution, où le terme de "substitution" n est pas non plus déterminé : signifietil de ne prendre en compte que le risque de défaut de la partie restante, ou fautil supposer un contrat entre la partie restante et une nouvelle partie "similaire en tous points" (risque de crédit inclus) à la partie ayant Figure 1 Processus de taux court correspondant à une structure par termes croissante des taux d intérêts (à droite) et processus de prix de référence correspondant d un swap payeur (à gauche). Les paramètres sont définis de sorte que la patte fixe du swap soit égale à 100 à l origine. Chaque échantillon présente vingt trajectoires simulées sur une période de 10 ans discrétisée par 200 points de temps, ainsi que la moyenne et les quantiles 2.5% et 97.5% (en fonction du temps, courbes noires) calculés sur m=10 4 trajectoires simulées (voir Crépey, Gerboud, Grbac et Ngor (2013)). On remarque sur le graphique de gauche que la valeur du swap peut prendre des valeurs positives ou négatives selon la date et les scénarios de marché, avec une tendance positive en raison de la structure par termes croissante des taux d intérêts visible sur le graphique de droite. 8 LABEX LOUIS BACHELIER

9 Encadré 1 versus 2 L une des difficultés majeures et non résolue soulevée par la modélisation du risque de contrepartie est le choix de la mesure de probabilité à utiliser, historique ou risqueneutre. Il existe deux points de vue sur l approche risqueneutre. Le premier repose sur des arguments de couverture, et considère la mesure risqueneutre comme un outil d interprétation. Il s agit alors d une mesure risqueneutre "locale", associée à un produit donnée (ou à plusieurs produits considérés conjointement dans le cadre d une même stratégie de trading). Dans cette optique, de nombreuses mesures risqueneutre peuvent coexister sur différents segments de marché. Comme il n est en général pas possible de couvrir son propre risque de défaut, une valorisation risqueneutre du risque de contrepartie ne se justifie pas dans une telle approche. Cependant, un autre point de vue, plus généralement applicable et de portée globale (une seule mesure pour l ensemble du marché), permet de justifier une approche risqueneutre. Cette alternative s appuie sur une analyse d équilibre économique de type CPAM (voir Cochrane (2005) et les débats sur la CVA, la DVA, et la FVA dans Hull et White (2013a, 2013b), ou Burgard et Kjaer (2012)). On est ici dans une logique d optimisation et de prix d indifférence. Mais une telle approche est mieux adaptée à la modélisation de prix de marché définis par l offre et la demande qu à la valorisation économique, la prise de décision par les traders ou la couverture. En outre, le prix associé reflète la notion d utilité marginale, ce qui suppose implicitement (comme dans la première approche) que la part non couverte de la position est "petite" relativement à la part couverte. Enfin, à moins que l on ne recoure à des notions dynamiques de prix d indifférence (voir Musiela et Zariphopoulou (2011) et El Karoui et Mrad (2010)), la mesure de probabilité risqueneutre en résultant dépend d un horizon temporel (maturité du produit considéré), ce qui est peu satisfaisant. fait défaut? Dans ce dernier cas, comment déterminer le risque de crédit de cette dernière : aton en tête son risque de crédit juste avant son défaut? Mais que signifie exactement "juste avant son défaut"? Une alternative évoquée dans Brigo, Buescu et Morini (2012) est un processus d évaluation du CSA tenant compte d une DVA univariée de la partie restante. Une approche semble cohérente avec les indications suivantes du Protocole de Valeur Liquidative de l ISDA (2009): "L entité en charge du calcul de la Valeur Liquidative peut prendre en considération tout élément pertinent, incluant, sans limitation, l une ou plusieurs des informations suivantes : (i) les prix (exacts ou indicatifs) de transactions de remplacement fournis par un ou plusieurs tiers, qui peuvent intégrer la solvabilité de l entité au moment où le prix est donné." Quoi qu il en soit, l écart entre la valorisation du contrat avant le défaut et la valeur du CSA au moment du défaut fait apparaître un ajustement du risque de contrepartie que nous appelons coût de remplacement (RC). L une des façons de résoudre ces difficultés serait la standardisation, mais celleci est difficilement envisageable en raison de la complexité du sujet. L on pourrait également créer des indices CVA, mais leur mise en place serait délicate, et les expériences de Bear Sterns et Lehman en ce qui concerne les tranches de CDO sur mesure n encouragent pas en ce sens. L autre solution concernant la CVA (et la DVA), celle qui a actuellement la faveur des politiques et régulateurs, est l immunisation à travers des mécanismes de compensation et schémas de collatéralisation très conservateurs (voir les sections 4 et 5). Mais, du moins pour certains produits, cette solution ne peut être complètement efficace (voir la table 3 de la section 4). En outre, elle représente un coût important pour les banques (et donc, in fine, pour les clients finaux). 1.2 Modèles Outre le "risque de payoff" présenté cidessus, la CVA présente également un risque de modèle important. D abord, le choix d une mesure historique ou risqueneutre pour les calculs de CVA n est pas clairement défini. Celuici dépend tout d abord du cadre dans lequel on se place, selon qu il s agit de faire un calcul de prix ou de besoins en capital. Mais, même dans le cas d un calcul de prix, en principe sous une mesure risqueneutre, la situation n est pas si claire. En effet, une approche risqueneutre n est justifiée que dans un marché financier parfait, sans friction. En ce qui concerne les produits dérivés, elle n est valable que dans le cas d un produit réplicable, ou en tout cas suffisamment liquide. Dans le cas contraire, il faut prendre en compte une prime de risque. Mais, dans le cas d une CVA (et d autant plus pour une DVA comme nous le verrons dans la section 2.1), le marché est particulièrement incomplet. Certains partisans de l approche risqueneutre soutiennent que celleci peut aussi être légitimée sur la base de considérations de type équilibre économique, mais là encore, certains écueils demeurent. Lors de l apparition de la CVA, d aucuns ont tenté d adopter une méthodologie hybride, visant à valoriser en historique les risques non couverts, et en risqueneutre les risques couverts. Une telle approche est cependant difficile à implémenter et aboutit généralement à des solutions adhoc, voire incohérentes. Lors de l apparition de la CVA, d aucuns ont tenté d adopter une méthodologie hybride, visant à valoriser en historique les risques non couverts, et en risqueneutre les risques couverts. Une telle approche est cependant difficile à implémenter et aboutit généralement à des solutions adhoc, voire incohérentes. 2 Nous remercions Nicole El Karoui (Université Paris 6) pour la discussion que nous avons eue avec elle sur ce sujet. 9

10 Ensuite, la CVA est très sensible à certains paramètres non observables ou non valorisés de manière liquide par le marché, comme les corrélations (entre le crédit et les taux d intérêt par exemple). Aussi ces paramètres ne peuventils pas être calibrés, mais seulement ajustés à des "vues" du trader, économiques ou autres. En outre, les corrélations sont des quantités instables, en particulier en période de crise. Ceci nous ramène au risque de dépendance adverse (en particulier pour le risque de contrepartie sur produits dérivés de crédit) entre le niveau d exposition et le risque de crédit des parties (voir section 4.1). En principe, le risque opposé, de dépendance favorable, n est d ailleurs pas vraiment préférable, un desk de CVA n ayant pas vocation à réaliser des profits mais plutôt à couvrir ses risques. Enfin, étant donnés les mécanismes de netting entre les contrats, les calculs de CVA supposent une modélisation globale cohérente à travers les différentes classes d actifs. Le caractère optionnel de la CVA implique également une modélisation dynamique. S ajoutent à cela les aspects change et les optionalités de livraison du collatéral lorsque celuici peut être fourni dans différentes devises, en particulier pour les dérivés de change (voir Fujii et Takahashi (2011), Piterbarg (2012) et la section 4.1). Il serait également souhaitable d intégrer aux modèles de CVA la dimension du risque systémique. Tout ceci suppose le recours à des modèles dynamiques avancés pour l ensemble des facteurs de risques, dont les risques de crédit des diverses contreparties. Par ailleurs, d importantes difficultés mathématiques apparaissent dès lors que l on reconsidère les fondements théoriques de l approche d ingénierie financière décrite cidessus : problématiques de marchés très incomplets, de maximisation d utilité en horizon aléatoire, de coûts nonlinéaires, d information imparfaite, etc. 1.3 Calcul Les calculs de CVA (et aussi des quantités jointes DVA, FVA etc.) représentent à l heure actuelle la tâche de calcul la plus lourde au sein de la banque d investissement : Ils supposent la valorisation de l ordre d un million de transactions selon un millier de scenarios sur une centaine de points dans le temps soit une centaine de milliards de valorisations, encore à multiplier par le nombre de grecs liés à la couverture! Ils nécessitent des modèles dynamiques cohérents à travers différentes classes d actifs. Il ne s agit pas seulement de calculs d espérances risqueneutres nécessaires pour la valorisation et la gestion des risques, mais aussi de la détermination de quantiles historiques et d autres mesures de risque à des fins réglementaires, et de la cohérence entre les deux. Ils portent sur de très longs horizons de temps, de l ordre de vingt ou trente ans, sur lesquels toutes tentative de "linéarisation" ou "passage à l échelle" est problématique. Par exemple, les approches standards qui permettent de calculer une VaR 10 jours (plus lourde en principe) comme une VaR journalière (plus simple) multipliée par 10, ne sont pas licites à de telles échelles de temps, pour lesquelles il ne s agit pas d ailleurs pas seulement d horizon de temps, mais aussi de vie des portefeuilles, certains produits arrivant à expiration, d autres étant modifiés, etc. Les simulations sur de tels horizons de temps interdisent également l utilisation de modèles standards (comme les martingales lognormales), qui divergent à cette échelle, et requièrent des techniques spécifiques afin de pallier au manque de données de calibration audelà de quelques années et d éviter que les données disponibles ne soient utilisées hors de leur domaine de validité (par exemple, prétendre déduire un comportement à 30 ans des taux à partir de prix de marché à 10 ans n a pas de sens ; comme l explique Sokol (2013), mieux vaut alors s en remettre à des considérations ou "vues" de nature plus économique). En définitive, la CVA et les autres ajustements que nous évoquerons plus bas représentent un défi de calcul sans précédent pour la banque d investissement. Une valorisation par Monte Carlo est incontournable, et la nature de la CVA, proche d une option composée (sur la valeur future de produits dérivés), ainsi que sa multidimensionnalité, requièrent des programmes intensifs de simulation, voire de simulation/régression (ou "Monte Carlo américain", cf. Cesari, Aquilina, Charpillon, Filipovic Lee et Mada (2010) et Crépey (2013)). Ceci dit, les technologies parallèles multicœur actuelles (GCP, voir Albanese, Bellaj, Gimonet et Pietronero (2011)) permettent globalement de faire face à de tels défis. Des calculs incrémentaux intermédiaires sont également nécessaires, afin d évaluer la rentabilité d une nouvelle transaction, et ceuxci peuvent généralement être faits en moins d une minute sur un ordinateur individuel. 1.4 Gestion du risque La couverture de la CVA n est possible que pour les contreparties bénéficiant d un marché de CDS liquide, ce qui n est au mieux le cas que pour des maturités de 3 et 5 ans, alors que l horizon de la CVA, plus de vingt ans, requerrait l ensemble des maturités des CDS. De plus, les instruments de couverture de la CVA doivent être peu sensibles au risque de contrepartie, donc collatéralisés, ce qui peut être le cas pour les CDS, mais pas pour les swaptions que l on pourrait par exemple envisager d utiliser pour couvrir le risque de taux d intérêt de la CVA. Dans la formule des besoins en capital de Bâle 3, le risque de défaut est pris en compte à travers les spreads de CDS, et non pas en termes de ratings ou d analyse fondamentale. Cela incite les banques à gérer dynamiquement la CVA via des contrats de CDS. Les mécanismes de couverture de la CVA peuvent ainsi altérer la stabilité des marchés et générer de la procyclicité. Lors de la crise de la dette européenne, la couverture de la CVA par les banques a été montrée du doigt comme un facteur de pression important sur les marchés de CDS souverains. 10 LABEX LOUIS BACHELIER

11 2. Risque de contrepartie bilatéral et coûts de financement nonlinéaires Les banques étant ellesmêmes risquées depuis la crise, deux termes supplémentaires, qui se recoupent partiellement, doivent être pris en compte : l ajustement de valorisation pour tenir compte du risque de crédit de la banque et l ajustement de valorisation du coût de son financement. 2.1 L ajustement de valorisation de la dette Dans un cadre d un risque de contrepartie bilatéral, la CVA se double de la DVA (l ajustement de valorisation de la dette), qui correspond à la CVA de la banque d après sa contrepartie. Suite aux recommandations de l IFRS I3 ces dernières années, il est devenu possible pour les banques d intégrer les gains en DVA dans leurs résultats (voir les normes comptables financières 157 et les normes comptables internationales 39), ce qu elles pratiquent couramment (voir, par exemple, Moyer et Burne (2011)). Cependant, la DVA soulève des questions importantes. En particulier, couvrir sa DVA signifierait vendre de la protection par rapport à son propre risque de crédit, ce qui est soit impossible (qui l achèterait), soit la dernière chose à faire étant donné le risque de dépendance adverse associé. Sauf dans certains cas très spécifiques (par exemple si l on est en situation de racheter des obligations qu on aurait préalablement émises), la seule chose que l on puisse faire est de couvrir, par des positions sur des pairs, la composante systémique de son spread de crédit (approche pratiquée Goldman Sachs selon Moyer et Burne (2011)). Mais, comme toute couverture basée sur des corrélations, une telle stratégie peut s avérer très dangereuse en cas de scénarios adverses (de non seulement dégradation, mais de défaut effectif d un pair). L on voit parfois affirmer que la DVA est une 'couverture naturelle' d autres risques, en ce qu elle est contracyclique. Mais, à nouveau, cela n est vrai que de sa composante spread, de sorte que la couverture de la DVA (risque de saut au défaut en particulier) est, in fine, loin d être évidente ; et qu il est par conséquent ardu de la monétiser (réaliser le profit correspondant avant de faire défaut). Si cela ne peut être fait, les gains en DVA n existent que sur le papier (et représentent par ailleurs une perte effective via les taxes qui leur sont appliquées). De ce point de vue, la recommandation d IFRS 13 concernant la DVA peut sembler issue du lobbying des banques, dans la mesure où la prise en compte de gains de DVA dans les environnements de spreads de crédit élevés et volatiles est d un enjeu considérable pour elles. A l inverse, il faut reconnaître que ne pas inclure la DVA dans les résultats soumettrait les banques à une énorme pression en accroissant la volatilité de leur P&L un résultat mensuel passant de 600 M à 500 M est un scénario banal dans le cadre d une CVA unilatérale dont les coûts ne peuvent être compensés par des gains en DVA, banal mais dévastateur pour une banque si les 100 millions de différence sont vraiment considérés comme une perte. Rappelons que IFRS 13 tolère ou autorise la prise en compte des gains en DVA par les banques, sans obligation, et que l esprit de la recommandation est la prédominance d une règle prudentielle globale. Cependant, et c est l un des effets pervers du système, la concurrence tend à faire de telles tolérances une obligation. L argumentaire cidessus concernait la couverture, mais, tout comme la couverture de la DVA implique la vente d une protection contre son propre défaut, la valorisation de la DVA implique l achat d une protection contre son propre défaut. Le principe peut en sembler également absurde, c est pourtant bien ce qui se passe lors de toute transaction à un prix incluant une DVA. Le modèle commercial lié à la DVA est l acceptation d une perte tant que l on est en vie, dans l attente d une compensation lorsque l on fait défaut en un sens, une incitation au défaut! Enfin, dans la mesure où les régulateurs examinent les pertes et non les gains, les exigences en capital de Bâle 3 ne tiennent pas compte du pendant négatif de la CVA, c estàdire de la DVA (voir la fin du paragraphe introductif de la section 1). La différence entre, d une part, des règles comptables autorisant CVA et DVA, et, d autre part, des calculs de capital ne considérant que la CVA, fait sens au regard de motivations divergentes, mais elle rend la tâche des banques difficile, et ce alors même qu elles doivent en premier lieu gérer leur CVA économique, c estàdire le coût de couvrir leur risque de contrepartie le résultat comptable étant sans doute l enjeu le plus pressant pour les banques, comme nous l avons vu précédemment. 2.2 Ajustement de valorisation pour tenir compte du coût du financement Bien qu il n y ait pas de cadre réglementaire sur ce point, il est crucial pour une banque d avoir une vision claire de ses coûts de financement, en vue d avoir une appréciation juste de son P&L, en particulier sur le long terme. Nous évoquerons désormais ces coûts de financement par l acronyme FVA (ou LVA pour sa composante liquidité nette de spread de crédit ; voir section 3). L une des raisons pour lesquelles il n y a pas de cadre réglementaire pour la FVA est un principe comptable fondamental, qui veut que ne soient reconnus au plan comptable que les passifs (ou actifs) effectivement détenus, par opposition à prévus. Une banque se refinançant à courtterme pour financer des investissements longterme, le point de vue comptable ne tient pas compte des remboursements du passif qui devront avoir lieu tout au long de l investissement. Cependant, les coûts de financement associés s accumulent au fil des années et modifient la structure du P&L. Or, dans le cadre d un risque de contrepartie bilatéral où la banque peut ellemême faire défaut, l hypothèse classique d un actif sans risque utilisé par la banque pour se financer, au prêt comme à l emprunt, n est plus vérifiée. L invalidation de cette hypothèse complique grandement le problème de 11

12 valorisation, en raison du caractère récursif et nonlinéaire des coûts de financement (voir l Encadré 2 et Crépey (2011, 2012a, 2012b) ou Pallavicini, Perini et Brigo (2011, 2012)). En résumé, les flux issus du financement sont à tout instant proportionnels à la dette de la banque, qui dépend ellemême des avoirs de la banque à cet instant, y compris son portefeuille de couverture (l opposé de la valeur du portefeuille couvert, si la réplication est correcte). Dans la mesure où le prix initial du contrat est une anticipation de ses flux futurs, dont ses flux de financement, le prix initial du contrat dépend alors des prix futurs. Si la banque est sans risque et a accès aux mêmes taux de prêt et d emprunt non garantis, alors cette dépendance est linéaire et on peut s en défaire en introduisant un facteur d escompte au taux sans risque et obtenir une formule explicite pour le prix initial. A l inverse, si la banque présente un risque de défaut (et/ou en raison d éventuels problèmes de liquidité), son taux d emprunt non garanti sera plus élevé que (du moins, différent de) son taux de prêt (par souci de simplification, nous supposons que l émetteur du prêt non garanti pour la banque est sans risque). Par conséquent, la dépendance mentionnée cidessus est nonlinéaire (voir l exemple 1.1 dans El Karoui, Peng et Quenez (1997)), il n est alors plus possible de rendre explicite la formule récursive en actualisant (à moins que le contrat ne soit toujours du même côté de la monnaie, comme pour une obligation, auquel cas l on y parvient en introduisant un facteur d escompte ajusté du risque de crédit). Le risque de contrepartie bilatéral et les questions de financement associés entraînent ainsi des règles de valorisation récursives (ou implicites), nonlinéaires. D un point de vue mathématique, l outil approprié est la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR, voir l Encadré 3). Les EDSR étant par essence des outils de valorisation nonlinéaires, elles peuvent également intégrer d autres nonlinéarités (autres que la FVA) qui seraient présentes dans le problème (voir par exemple la spécification e. de la CSA dans l équation (7)). De plus, les schémas numérique par simulation/ régression de type "Monte Carlo américain", déjà évoqués pour faire face aux problématiques de grande dimension qui se posent dans le cadre de la CVA, s étendent aux EDSR (voir la section 3.2 et l Encadré 9). Encadré 2 Effets nonlinéaires La CVA est nonlinéaire en ce que son payoff (exposition au moment du défaut) correspond à la partie positive de la valeur marché (en supposant qu il n y a pas de collatéralisation). C est pourquoi la CVA doit être vue comme une option qui confère même aux produits de flux les plus simples une dimension dynamique. La prise en compte de la FVA introduit une nonlinéarité au sens où, comme l explique la section 2.2, si l on inclut la FVA, la valeur initiale d un contrat (ou d un portefeuille) dépend nonlinéairement de ses valeurs futures. Il ne s agit alors non seulement d un payoff nonlinéaire (condition au bord " à maturité ", ou au moment du défaut de la contrepartie dans le cas de la CVA), mais plus généralement d une équation nonlinéaire. Si l équation est linéaire, un payoff, même nonlinéaire, peut être valorisé par une boucle de Monte Carlo classique (comme dans le cas pour la CVA). Cependant, une équation nonlinéaire, comme pour la FVA, ne peut s appréhender que par des schémas numériques plus élaborés, tels que simulation/régression (voir Cesari, Aquilina, Charpillon, Filipovic, Lee et Mancha (2010), Crépey (2013)) expansions (voir Fujii et Takahashi (2012)) ou particules branchantes (voir HenryLabordère (2012)). Encadré 3 Equations différentielles stochastiques rétrogrades Les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) sont une alternative aux équations différentielles partielles (PDE) pour décrire les prix des produits financiers dérivés ainsi que leurs grecs. Les EDSR sont un outil mathématique flexible et puissant. Elles fournissent également un cadre pédagogique efficace pour la présentation de la théorie de valorisation et de la couverture des produits dérivés. Enfin, les EDSR sont utiles pour la résolution numérique des problèmes de valorisation nonlinéaires en grande dimension, comme l on en trouve dans les calculs de XVA. Le terme "rétrograde" provient du fait que ces équations sont définies en termes d une condition terminale (une variable aléatoire), ξ, à une date de maturité future T. Les EDSR furent introduites pour la première fois par Bismut (1973) dans le cas d une dynamique linéaire, puis plus généralement par Pardoux et Peng (1990). Depuis lors, elles ont été abondamment étudiées, en particulier dans le cadre des mathématiques financières (voir El Karoui, Peng, et Quenez (1997) pour un article fondateur et Crépey (2013) ou Delong (2013) pour deux livres récents). La solution d une EDSR est un couple de processus (Π, Δ), où Π correspond au prix d un instrument financier dérivé, et Δ à sa couverture. Dans le cas le plus simple, une solution à une équation différentielle stochastique rétrograde s obtient par un théorème de représentation de martingales. Cependant, la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades à proprement parler commence avec la présence dans l équation d un coefficient implicite g = g t (Π t, Δ t ) (correspondant au "coût" dans un problème de contrôle). Si g est nonlinéaire, comme dans le cas du problème de financement, une itération de Picard et un argument de contraction sont nécessaires, en sus d un théorème de représentation de martingales, pour résoudre l EDSR. 12 LABEX LOUIS BACHELIER

13 Encadré 4 Les déterminants du LOIS La crise des subprimes de 2007 a généré une divergence durable entre les marchés de dérivés Libor de différentes maturités et le marché des swaps sur taux OIS. Les explications généralement avancées des spreads qui en résultent mentionnent un effet combiné de risque de crédit et de risque de liquidité des banques. Cependant, dans la littérature, la notion de liquidité est souvent imprécise, ou simplement définie comme le spread résiduel après retrait de la composante crédit. Crépey et Douady (2013) proposent un modèle de valorisation par indifférence dans lequel le spread LiborOIS (LOIS dans Bloomberg) est la résultante : D une part, d une composante "crédit" déterminée par la pente de la courbe de crédit d un membre représentatif du Libor (jouant le rôle de l "emprunteur" dans un prêt interbancaire) ; De l autre, d une composante "liquidité" correspondant à la volatilité de l écart entre le taux de financement d un membre représentatif du Libor (jouant le rôle du "prêteur") et le taux OIS. La composante "crédit" est ainsi, en réalité, une composante de "pente" de la courbe de crédit (en lien avec le mécanisme de renouvellement du panel de banques constitutives du Libor). La notion de liquidité apparaît comme la valeur de l optionalité d ajuster au cours du temps le montant d un prêt à un jour reconductible, contrairement à un prêt d un montant fixe jusqu à la maturité côté Libor (optionalité quantifiée grâce à la volatilité mentionnée cidessus). Lorsque le taux de financement du prêteur et le taux interbancaire à un jour sont égaux en moyenne, l on obtient, sous des hypothèses de diffusion, une structure par termes en racine carrée de la maturité du LOIS. Sur le marché de l euro étudié entre mi2007 et mi2012 dans Crépey et Douady (2013), on observe bien une structure par termes en racine carrée, cohérente avec l analyse théorique (voir la Figure 3), avec un LOIS expliqué à parts égales par la composante "crédit" et la composante "liquidité" jusqu à début 2009, puis principalement par la composante " liquidité " (voir la Figure 4). La complexité du problème de la FVA peut expliquer pourquoi il n existe pas, à ce jour, de méthodologie standard au sein des banques à ce sujet (voir Carver Figure 2 (2012) et Cameron (2013)). Ceci dit, audelà des difficultés techniques (mathématiques et informatiques), la FVA soulève des questions financières importantes. Divergence entre taux Euribor et taux de swap EONIA : l écart se creuse soudainement, le 6 août 2007, entre les deux taux à trois mois. Dans le passé, une banque utilisait un taux de financement Libor, abordable et principalement sans risque, et en répercutait la charge à son client. Durant la crise, avec l explosion du spread Libor OIS (un autre effet du risque de contrepartie des banques, mais à l échelle macroéconomique : voir la Figure 2 et l Encadré 4), ce coût supplémentaire est devenu problématique. En principe, un taux de financement plus élevé compense un risque de crédit et/ou des coûts de liquidité plus importants. Si l on s en remet à une explication 'crédit' du spread de financement (écart entre le taux de financement d une banque et les taux OIS), et autant qu un bénéfice lors de son propre défaut mérite réellement d être pris en compte, une charge de FVA imputée par la banque à son client n est pas justifiée, puisque la FVA représente simplement la valeur présente pour la banque de ce bénéfice futur. Dans cette optique (qui reste cependant sujette au même problème de "valeur sur le papier" que la DVA en tant que bénéfice lors de son propre défaut), une transaction est intéressante dès lors que les revenus que la banque en attend sont plus élevés que son coût 13

14 Encadré 5 Le débat sur la FVA Avec en filigrane le théorème ModiglianiMiller, qui établit que, sous certaines conditions, la valeur d un projet ne dépend pas de la façon dont il est financé, Hull et White (2013a) ont argué que les banques ne devaient pas prendre en compte la FVA, initiant le "débat sur la FVA". Cependant, Morini (2013) a expliqué comment le raisonnement de Hull et White (2013a) " revient à dire que, si les trois hypothèses suivantes sont vérifiées, il n y a pas de FVA : 1. Le marché est efficient à chaque instant : ce n est pas le cas en réalité des marchés de financement, bien que cette hypothèse soit toujours indirectement utilisée dans les valorisations ; 2. Le financement d une transaction ne se fait qu après que le marché en ait été informé : cela peut être vrai lorsque le projet est financé à courtterme et de façon reconductible, mais la gestion prudentielle comporte souvent une part de financement à maturité ; 3. L effet d une nouvelle transaction sur les coûts de financement d une banque est linéaire : ( ) sous des hypothèses relativement réalistes, cet effet est en fait hautement nonlinéaire. ( ) Hull et White ont le mérite de souligner le fait que la FVA est une distorsion par rapport à un marché efficient ( ) Cependant, dans la situation de marché actuelle, un gérant qui souhaite continuer son activité doit prendre en compte la FVA." Figure 3 Figure 4 Le 16 avril En haut : structure par termes des taux Euribor et taux de swap EONIA (T=1 à 12 mois). En bas : structure par termes en racine carrée du LOIS. Séries temporelles de la composante "crédit" du LOIS (rouge) et de la composante "liquidité" du LOIS 3 mois (bleu) et 6 mois (violet), en %, entre le 15 août 2007 et le 16 avril 2012 (voir Crépey et Douady (2013)). 14 LABEX LOUIS BACHELIER

15 de financement de la banque net de son spread de crédit ; et répercuter la totalité de la FVA au client relève du double comptage. En d autres termes, l ajustement de valorisation du financement imputé par la banque au client ne devrait pas représenter le coût de financement total, mais seulement sa composante "liquidité", nette du spread de crédit de la banque ; il devrait donc être une LVA (coût de la liquidité du financement) plutôt qu une FVA intégrale (crédit et liquidité). Avec l article de Hull et White (2013a) (voir également Burgard et Kjaer (2012)), les débats sur ce sujet sont devenus plus passionnés encore que ceux de 2011 et 2012 sur la DVA (voir l Encadré 5). Etant données les difficultés rencontrées pendant la crise en termes de liquidité, le financement a parfois été la principale motivation d une transaction, permettant à une banque de se financer au taux OIS (le taux de rémunération usuel du collatéral) pour une transaction entièrement collatéralisée, plutôt qu à un taux beaucoup plus élevé dans le cadre d une transaction non collatéralisée. Le financement ne devrait pas être la motivation première d une banque dans une transaction, mais l on peut dire que le financement devrait être un argument pour refuser une transaction qui pourrait s avérer avantageuse si l on ne le prenait pas en compte. A nouveau, le financement peut, à longterme, dégrader le P&L d une transaction qui semble intéressante à plus courtterme. 3. CVA, DVA, LVA, RC : les quatre piliers de la TVA Nous reprenons ici en termes mathématiques les développements des parties précédentes et nous les illustrons numériquement. Nous étudions une situation simplifiée dans laquelle une banque risquée fait face à une seule contrepartie risquée. En réalité, une banque doit gérer des centaines voire des milliers de portefeuilles agrégés et de contreparties, dont tous les crédits devraient être modélisés conjointement, si l on veut appréhender correctement les flux de financement qui sont agrégés à l échelle du portefeuille global de la banque. 3.1 Equation de la TVA Comme expliqué précédemment, différents ajustements de valorisation interdépendants, ou XVA, doivent être calculés en sus d un prix de référence P afin de prendre en compte le risque de contrepartie et les coûts de financement. Nous renvoyons à la section 3 du livre de Crépey, Bielecki et Brigo (2014) pour une présentation détaillée. Rappelons simplement que l ajustement agrégé, nommé TVA pour ajustement de valorisation total, peut être vu comme le prix d une option sur le prix de référence P à l instant du premier défaut τ de l une des parties. De plus, cette option paie des dividendes qui correspondent aux coûts de financement (en excédent par rapport au taux OIS r t ). Plus précisément, pour un CSA de maturité T, l équation de la TVA prend la forme suivante, sous une mesure de valorisation risqueneutre : (1) où Θ t et f t (ϑ) représentent respectivement le processus de TVA que l on cherche et le coefficient qui la génère. Notons que (1) est une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) en le processus de TVA Θ voir l Encadré 3). Le prix 'toutcompris' pour la banque (coût de la couverture correspondante, risque de contrepartie et coût du financement inclus) est Π = P Θ Le coefficient f de l EDSR (1) vérifie, pour tout réel ϑ (représentant la TVA Θ t que l on cherche dans l interprétation probabiliste) : où tb, tc, et t sont les intensités de défaut de la banque, de sa contrepartie et l intensité de leur premier instant de défaut (dans un modèle où la banque et sa contrepartie peuvent faire défaut au même moment, t est plus faible que tb + t c ), R b et R c sont les taux de recouvrement de la banque envers sa contrepartie et réciproquement, Q t est la valeur du contrat selon le schéma utilisé par le liquidateur en cas de défaut à un instant t < T, par exemple Q t = P t (formule qui sera désormais utilisée, sauf mention contraire), ou Q t = P t Θ t, + + t = t t, où t (respectivement, t ) représente la valeur du collatéral fourni à la banque par sa contrepartie (respectivement, à la contrepartie par la banque), par exemple, t = 0 (formule qui sera désormais utilisée, sauf mention contraire) ou t = Q t, CVA coefficient (cva t ) DVA coefficient (dva t ) LVA coefficient (lva t ) RC coefficient (rc t ) b t et b t sont les écarts au taux court OIS (sans risque) r t pour la rémunération + du collatéral t et t fourni par la contrepartie et par la banque, t (respectivement, t ) est le spread de liquidité du financement par rapport au taux court OIS r t correspondant à la rémunération du prêt (respectivement, de la dette) de financement externe de la banque. Par "spread de liquidité du financement" on entend le spread de financement net de sa composante crédit, c estàdire : (2) 15

16 (3) où λ t est le spread emprunteur de la banque et R b représente son taux de recouvrement visàvis de son prêteur non garanti. Rappelons que le prêteur non garanti est supposé sans risque de sorte que λ t ne comporte pas de risque de crédit. Les données Q t, t, b t and b t sont spécifiées dans le contrat CSA qui unit les deux parties. Notons que la présentation cidessus correspond à une modélisation dite "à forme réduite" (ou "prédéfaut"), sous l hypothèse d immersion d une sousfiltration "de référence" dans la filtration du modèle. D un point de vue financier, l hypothèse d immersion est une hypothèse de dépendance faible ou indirecte entre le risque de contrepartie et l exposition du contrat. Pour plus de détails, le lecteur est invité à consulter la remarque 2.1 dans Crépey (2012b) ainsi que Crépey et Song (2014). Dans cet article, nous ne travaillerons qu avec des valeurs prédéfaut (c est la raison pour laquelle les temps de défaut des parties ne sont représentés que par les intensités t c, tb and t dans les équations précédentes). Nous abordons désormais, sous forme d encadrés, les conséquences importantes de la structure (2) du coefficient f de TVA de l équation (1), en ce qui concerne la décomposition du processus de TVA agrégé Θ t Encadré 6), le cas d une collatéralisation complète (Encadré 7), ainsi qu une approche de TVA dite asymétrique qui peut être utilisée pour résoudre le paradoxe du bénéfice lors de son propre défaut (Encadré 8). Encadré 6 Les quatre volets de la TVA D après les équations (1) et (2), la valeur de la TVA à l instant 0 peut s écrire de la façon suivante : CVA0 (4) DVA0 LVA0 RC0 Les quatre volets de la TVA sont les composantes CVA, DVA, LVA et RC. Ces termes ont chacun une interprétation financière claire et distincte, ce qui justifie de les prendre en compte séparément. Cependant, il convient d insister sur le fait qu ils sont interdépendants et qu ils doivent être calculés conjointement, comme le montre la présence de Θ t dans les expressions de LVA 0 et RC 0 dans l équation (4). En réalité, la vraie décomposition est locale, au niveau du coefficient instantané f t (ϑ) de l équation (2). Les composantes positives (resp. négatives) de la TVA, telles que la CVA (resp. DVA), sont défavorables (resp. favorables) à la transaction dans la mesure où elles augmentent la TVA Θ, et diminuent par conséquent le prix Π = P Θ avec, selon le signe de ce dernier Π, un prix "moins positif" Π interprété comme un prix d achat moindre par la banque et un prix "plus négatif" Π comme un prix de vente plus élevé. A noter que de tels "prix d achat et de vente" ne font que refléter le coût du financement pour la banque, ils ne répondent en rien à la notion de différentes mesures de valorisation qui peuvent exister dans un marché incomplet (voir El Karoui et Quenez (1995) ou Eberlein, Madan, Pistorius et Yor (2013), ainsi que l Encadré 1). Encadré 7 CSA entièrement collatéralisé Dans le cas où = Q = Π, où Π = P Θ, l équation (2) entraîne : Le coefficient se réduit alors à la rémunération du collatéral, échangée entre les deux parties. Le prix de la banque, Π, est alors égal au prix de la contrepartie (le coût de sa propre couverture), disons Π, tel que = Q = Π = Π. Le contrat peut alors être qualifié d entièrement collatéralisé. Cependant, si b or b 0, il reste une part de TVA. Seul le cas particulier b = b = 0 (cas où r t est un taux d intérêt de rémunération symétrique du collatéral, typiquement le taux OIS) permet d obtenir Θ = 0 et Π = P = = Q = Π. Il n est alors plus nécessaire de valoriser ni de couvrir la TVA (qui est nulle). Le problème se réduit au calcul du prix de référence P et de la couverture associée. 16 LABEX LOUIS BACHELIER

17 Encadré 8 Bonne pratique : une approche asymétrique de la TVA? En pratique, une banque ne peut pas couvrir son propre saut au défaut, et ne peut donc pas le monétiser (ou en "bénéficier") avant qu il ne se produise réellement. Pour être cohérent avec ce point de vue, on peut ignorer tout gain de la banque au moment de son défaut en fixant R b = R b = 1, R b = R b = 1. En effet, dans ce cas, l équation (2) devient : (5) où le coefficient de DVA disparaît plus (à R b = 1) et où le coefficient de coût de financement de l emprunt λ t s interprète dans son intégralité comme un coût de liquidité. Une telle approche "asymétrique" (mais toujours bilatérale) à la TVA permet d éviter les difficultés et paradoxe liés à la notion de bénéfice résultant de son propre défaut (voir section 2). Cette approche se justifie également par le fait que, si bénéfice de la banque en son défaut il y a, ce bénéfice ne profite qu aux créanciers de la banque (détenteurs d obligations qui pourront être mieux servis lors de la liquidation), alors que seuls les actionnaires devraient être pris en compte dans le processus d optimisation (ou de couverture) de la banque (voir Albanese, Brigo et Oertel (2013) et Albanese et Iabichino (2013)). 3.2 Solution numérique Pour résoudre l EDSR (1) numériquement, la première étape ("forwardation") consiste à générer au cours du temps, par un schéma d Euler, une grille stochastique composée de n intervalles de temps et m = 10 4 scenarios pour un processus de facteurs sousjacent X t (de sorte tous les processus f = f t (ω) concernés se réécrivent sous la forme f (t, X t (ω)) pour une fonction notée par la même lettre que le processus), ainsi que pour le processus de prix de référence P t = P(t, X t ). La seconde étape ("backwardation") consiste à calculer le processus de TVA Θ t, en temps décroissant, par régression nonlinéaire sur la grille générée lors de l étape précédente. On obtient alors une approximation j t sur la grille de la solution Θ t (ω) de l équation (1), où l indice temporel i parcourt l intervalle [1,n] et l indice spatial j l intervalle [1,m]. En notant Θi = (Θ j t ) 1 j m le vecteur des valeurs de la TVA sur la grille au temps i, on a Θ n = 0 et, pour tout i = n 1,..., 0 et j = 1,..., m (en supposant un pas de T temps uniforme h = ): n (6) où est un estimateur de l espérance conditionnelle sachant (voir par exemple la section de Crépey (2013)). Notons que dans le cas d un produit exotique pour lequel il n existe pas de formule explicite pour la fonction P(t, x) dans la première étape, un calcul approché du processus P t peut être effectué conjointement à celui du processus Θ t lors de la seconde étape (voir l Encadré 9). 3.3 Exemple simplifié D après la méthodologie introduite dans la section 3.2, nous calculons la TVA d une banque pour le swap de taux d intérêt illustré en Figure 1. Nous considérons Encadré 9 Régressions nonlinéaires n=100 pas de temps uniformes, m=10 4 scenarios et (essentiellement 3 ) X t = r t. Les résultats de la première étape sont visibles Figure 1. Pour la seconde étape, nous utilisons les paramètres de TVA suivants : γ b = 5%, γ c = 7%, γ = 10%, b = b = λ = 1.5%, λ = 4.5% Et nous étudions cinq cas possibles de CSA (a. avec bénéfice de DVA en cas de défaut, b. avec collatéralisation, c. avec bénéfices de DVA et de financement en cas de défaut, d. sans bénéfice en cas de défaut, e. sans bénéfice en cas de défaut et avec valeur liquidative vue du point de vue de la banque juste avant le défaut) : Les schémas de simulation/régression requièrent toujours une certaine imagination pour identifier les régresseurs appropriés aux marchés et produits qui sont étudiés. A cet égard, il convient de distinguer : Le calcul par simulation/régression de l exposition (prix de référence et collatéral) en chaque point d une grille simulée des facteurs de risque, pour lequel des régressions de faible dimension peuvent être appliquées indépendamment pour les différents contrats constitutifs d un portefeuille CSA, en utilisant les quelques (disons un à trois) facteurs de risques les plus importants pour chaque produit, De la résolution d une équation de TVA, qui comprend la FVA, intrinsèquement nonlinéaire et en grande dimension, à l échelle du portefeuille et sur l ensemble des facteurs de risque. Hormis pour certains exemples simplifiés en basse dimension (voir la Figure 5 et 6), les schémas de simulation/régression ne sont alors plus adaptés. Les schémas à particules branchantes de Henry Labordère (2012) sont pour leur part soumis à des problèmes de variance lorsque la dimension augmente. Il faut alors avoir recours à des approximations (voir Fujii et Takahashi (2012)). 3 Négligeant une légère path dependence du swap en raison des paiements en arrières (voir la section 5.1 dans Crépey, Gerboud, Grbac et Ngor (2013)). 17

18 a. (R b, R b, R c ) = (100, 40, 40)%, Q = P, = 0 b. (R b, R b, R c ) = (100, 40, 40)%, Q = P, = Q = P c. (R b, R b, R c ) = (40, 40, 40)%, Q = P, = 0 d. (R b, R b, R c ) = (100, 100, 40)%, Q = P, = 0 e. (R b, R b, R c ) = (100, 100, 40)%, Q = P Θ, = 0. (7) L égalité Q = P Θ dans le cas e. représente la situation (certes assez artificielle) d une banque qui serait "en position dominante", capable d imposer la valeur du contrat Π, de son point de vue ("coût de sa propre couverture") comme processus de valeur liquidative Q du CSA. La Figure 5, dont le format est le même que pour le processus de prix propre en haut de la Figure 1, montre le processus de TVA obtenu dans les cas a. (en haut) et b. (en bas), en utilisant pour le terme de l équation (6) un estimateur de moyenne sur les plus proches voisins (voir Hastie, Tibshirani et Friedman (2009)). Notons que les échelles des deux sousgraphiques sont différentes (valeurs moindres dans le cas, collatéralisé, de b., pour lequel il n y a ni CVA ni DVA). La table 1 indique la TVA de la banque au temps 0, ainsi que sa décomposition en CVA, DVA, LVA et RC, pour le swap des Figures 1 et 5, pour chaque cas de CSA a. à e. (rappelons que la valeur initiale de la patte fixe du swap est égale à 100 ). Les résultats numériques sont cohérents avec l interprétation en CVA/DVA/LVA/RC des quatre termes du membre de droite de l équation (2). Dans le cas a, une CVA élevée (3.28) reflète le fait que la banque est, en moyenne sur la durée de vie du swap, dans la monnaie, en raison de la structure par termes croissante des taux. La DVA est, au contraire, faible (0.64). La LVA est assez élevé (2.41). Un RC de (1.92) n est pas négligeable par rapport aux trois autres termes. Puis, en passant de : a à b : la CVA et la DVA disparaissent ; l effet dominant est l annulation du terme auparavant élevé de CVA, ce qui occasionne une TVA plus faible, et donc un prix d achat plus élevé pour la banque ; a à c :un bénéfice de financement en cas de son défaut est pris en compte par la banque, ce qui réduit ses LVA et TVA, et augmente le prix d achat; a à d : la DVA est ignorée par la banque, qui la considère comme un bénéfice fictif, la TVA est donc plus élevée, le prix d achat plus faible ; a à e : le RC disparaît et la valeur de la CVA est modifiée. Θ 0 CVA 0 DVA 0 LVA 0 RC 0 a b c d e Table 1 : Valeur initiale de la TVA et de ses composantes CVA, DVA et RC, pour une position longue sur le swap des Figures 1 et 5. Figure 5 Le processus de TVA de la banque pour le swap de la Figure 1, calculé par simulation/régression, selon les spécifications de CSA a (à gauche) et b (à droite). Chaque graphe montre vingt trajectoires du processus de TVA sur deux cent pas de temps, ainsi que sa moyenne et ses quantiles 2.5/97.5% en fonction du temps, calculés sur la base de m = 10 4 trajectoires simulées de r t. 18 LABEX LOUIS BACHELIER

19 Sur ces données, la LVA est significative et positive dans les cas a, d et e. A noter que tous ces chiffres pourraient être bien plus élevés dans un modèle intégrant un risque de dépendance adverse entre les taux d intérêt et le risque de crédit (voir par exemple Brigo, Morini et Pallavicini (2013)). Cas d une position courte La table 2 et la Figure 6 illustrent les mêmes résultats lorsque la banque détient une position courte sur le swap de la Figure 1. Notons qu en raison des données de financement asymétriques et nonlinéaires, la table 2 n est pas simplement l opposée de la table 1. Dans le cas a, la DVA "très négative" ( 2.34) reflète le fait que la banque vendeuse est, en moyenne sur la durée de vie du swap, endehors de la monnaie, en raison de la structure par termes croissante des taux d intérêts. A l inverse, la CVA est relativement faible (0.90). Cette fois, en passant de : a à b : la CVA et la DVA disparaissent ; l effet dominant est l annulation du terme très négatif de DVA dans le cas a, occasionnant un TVA plus élevé (malgré la diminution de la LVA), et donc un prix d achat plus faible pour la banque ; a à c : un bénéfice de financement en cas de son défaut est pris en compte par la banque, ce qui réduit la LVA ainsi que la TVA, et augmente ainsi le prix d achat ; Θ 0 CVA 0 DVA 0 LVA 0 RC 0 a b c d e Table 2 : analogue à la table 1, dans le cas d une position courte de la banque sur le swap de la Figure 1. a à d : la DVA est ignorée par la banque, qui le considère comme un bénéfice fictif, la TVA est donc plus élevée, le prix d achat plus faible ; a à e : le RC disparaît et la valeur de la CVA change. Sur ces données, la LVA est significative et négative dans les cas c. (en raison de la prise en compte d un bénéfice de financement en cas de son propre défaut) et b. En conclusion, l interprétation et le choix des paramètres, en particulier des paramètres de bénéfice résultant de son propre défaut, R b et R b, a des conséquences significatives en termes par exemple de la pertinence ou non d engager une transaction. 4. Collatéral 4.1 Risque de dépendance adverse et risque de dérive Les marges postées à intervalles réguliers par les deux contreparties afin de compenser les variations de valeur du portefeuille ne peuvent suffire à garantir une parfaite collatéralisation. L intervalle de temps entre le dernier appel de marge avant le défaut et la clôture de la position entraîne un risque de dérive entre la position et son collatéral. Sur certaines classes d actifs, notamment les dérivés de crédit (puisque les flux de crédit sont, dans une certaine mesure, imprévisibles ; en témoigne la faillite de Lehman en un weekend), l obtention d un schéma de collatéralisation efficace est particulièrement difficile (voir la table 3). Figure 6 Analogue à la Figure 5, dans le cas d une position courte de la banque sur le swap de la Figure 1. 19

20 Naked Collateralized Tranche 05% 535% 35+% 05% 535% 35+% CVA σ %σ Table 3 : CVA non garantie (non collatéralisée) versus CVA collatéralisée en temps continu sur des tranches de CDO dans le modèle de chocs communs utilisé dans Crépey et Rahal (2013). Chacun des cent débiteurs présente un notionnel de 100, de sorte que la perte maximale sur la tranche (a,b) est égale à (ba) x 10 4, par exemple 5% x 10 4 = 500 pour la tranche equities. Dans le modèle de chocs commun (voir la Partie IV de Crépey, Bielecki et Brigo (2014), ou Bielecki, Cousin, Crépey et Herbertsson (2013) pour une introduction informelle), l impact de la collatéralisation est très limité, en particulier pour les tranches les plus élevées. Ainsi, pour la tranche equities 05%, la CVA non garantie est égal à 4.78, alors que la CVA collatéralisée en temps continu vaut Pour la tranche 35+%, ces chiffres deviennent respectivement 2.44 et Cela vient du fait que les défauts simultanés sont la principale source de risque de contrepartie de ce modèle, et que ceuxci peuvent difficilement être collatéralisés (du moins par une marge de variation comme c est le cas ici, d où le besoin de marges initiales). Pour cette raison ainsi que pour des considérations de risque systémique, sousestimé auparavant, Bâle 3, Dodd Franck aux EtatsUnis et EMIR en Europe incitent au trading centralisé interfacé par des chambres de compensation. Celuici (que nous évoquerons plus en détails dans la section 5) deviendra même obligatoire pour les produits vanilles négociés sur un marché organisé. En sus des marges dites de variation au sens cidessus, une chambre de compensation garantit le risque de dérive à travers un second niveau de marges, dites initiales, qu elle demande à chacun de ses clients. En outre, à compter de janvier 2015, toute transaction même bilatérale (non interfacée par une chambre de compensation ) et de gréàgré entre deux parties (du moins financières, pas dans le cas d un client final pour lequel cela constituerait une pression excessive en termes de liquidité) devra être collatéralisée dans le cadre d un scsa, ou "CSA standard", incluant lui aussi un double niveau de marges (marges de variations et marges initiales, ces dernières étant parfois appelées dans ce contexte "montant indépendant"), et excluant les clauses de CSA exotiques telles que des optionalités concernant le collatéral. La détermination des procédures d appels de marges, dont la possibilité ou non de les calculer de façon agrégée sur plusieurs classes d actifs, a été l objet de débats animés entre les banques et les régulateurs (voir le Comité de Bâle sur la Supervision Bancaire et le Conseil de l Organisation Internationale des Commissions de Valeur (2012, 2013)). Selon les estimations actuelles, environ la moitié des transactions sera traitée de façon centralisée, le reste (en particulier la majorité des transactions sur produits exotiques) restant bilatéral. Quoiqu il en soit, la CVA sera toujours présente, en particulier pour les activités bancaires "cachées" (les transactions de gréàgré entre les banques et les fonds spéculatifs), qui ne sont pas réglementées. 4.2 Liquidité Une collatéralisation intensive mobilise de grandes quantités d actifs liquides (voir Singh et Aitken (2009), Singh (2010), Levels et Capel (2012)), de sorte que l évolution actuelle de la réglementation exerce une forte pression sur la liquidité des marchés. Cela peut s avérer très difficile pour les entreprises, ce qui explique que les clients finaux ne soient pas soumis à l obligation de compensation de leurs transactions. D aucuns pointent du doigt de vastes réserves de liquidités qui ne seraient pas exploitées par le système, coincées chez les dépositaires (comme la Banque de New York) qui suivent la "loi romaine" de conserver les dépôts sans les réinvestir, et ont été très populaires durant la crise (même à des taux de rémunération des dépôts négatifs!). Une autre possibilité serait une titrisation de la CVA, à travers laquelle le paiement des appels de marge serait transféré à des investisseurs (voir Albanese, Brigo et Oertel (2013)). Une approche analogue a été proposée pour la FVA par Albanese et Iabichino (2013). Peutêtre la mise en place de mécanismes financiers permettant de tels transfert des risques pourraitelle en effet enrayer la spirale des CVA, DVA, FVA et autres XVA. Cependant, après la débâcle sur les subprimes en 2008 suite à la titrisation d actifs aussi simples que des obligations, l approbation des régulateurs est très incertaine. Enfin, une collatéralisation excessive peut dégrader les taux de recouvrement (voir Kanyon et Stamm (2012)). La collatéralisation ne créée donc pas seulement des problèmes de liquidité et de risque systémique, elle peut aussi aggraver les défauts lorsqu ils se produisent. 5. Chambres de compensation et trading centralisé La réglementation actuelle incite les participants à négocier via des chambres de compensations (ou CCPs pour "contreparties centrales"). Le risque de contrepartie est alors transféré des contreparties ellesmêmes aux chambres de compensation et des contrats (ou portefeuilles) aux appels de marge. Une chambre de compensation peut gérer ses risques différemment, par mutualisation. Elle demande un double niveau de collatéralisation à ses clients, marge de variation et marge initiale. Les transactions compensées se sont avérées mieux gérées durant la crise que 20 LABEX LOUIS BACHELIER