OS 4 ème Chapitre 3 : La quantité de mouement et les collisions L a dynamique est la branche de la mécanique qui a pour but d expliquer le mouement d un objet en considérant les forces qui agissent sur lui. mouement uniforme». La force est donc l agent du changement ou ce qui modifie le mouement. La force s exprime en Newton et il s agit d une grandeur ectorielle. Définition : masse La masse d un corps est sa quantité de matière. En fait, la masse se manifeste de manières apparemment distinctes : graitationnelle et inertielle. L inertie d un corps est «la résistance» qu il oppose au changement dans l état de son mouement. Cette résistance est physiquement représentée par la masse inertielle (ou la masse tout court, c est-à-dire celle qui apparaît dans la ème loi de Newton F = ma ). Cette même propriété de la matière interient comme une résistance au changement. Par contre, le poids d un corps ( P = mg ) est déterminé par une propriété physique qu il possède, appelée masse graitationnelle. Cette grandeur est proportionnelle à l interaction graitationnelle entre ce corps et les autres. Ces deux notions de masse pourraient, à priori ne pas être identiques, car elles proiennent de concepts différents. L égalité de la masse inerte et de la masse graitationnelle est connue comme le principe d équialence et elle constitue un principe fondamental de la Théorie de la Relatiité Générale (Einstein 95). Il est possible que la graité, c est-à-dire l action graitationnelle de l Uniers sur chaque masse, soit la cause de l inertie. En mécanique, nous aons parlé des corps pouant être considérés comme points matériels. On peut enisager l étude de plusieurs PM en interactions, autrement dit enisager une collection de points matériels qu on appelle un système de points matériels. Aant de parler de la quantité de mouement, il nous faut rappeler quelques notions: Définition : force Au début de son grand ourage «Philosophiae naturalis principia mathematica» ou «Principia», Newton définit la force comme «une action exercée sur un corps, pour changer son état, soit de repos, soit de Rappelons à présent les 3 lois de Newton. 0-03 PG
OS 4 ème Enoncé de la ère loi ou loi d inertie : «Tout corps reste immobile ou consere un mouement rectiligne et uniforme aussi longtemps qu aucune force extérieure ne ient modifier son état». Cette loi, énoncée préalablement par Galilée s oppose à la conception aristotélicienne qui affirmait que tout mouement d un objet nécessite l action d une force. Un PM qui n est soumis à aucune influence extérieure (force) ou à une résultante nulle ne subit aucune ariation de itesse. Si F = 0 = constante () La réciproque est également raie : tous les référentiels d inertie sont en translation rectiligne les uns par rapport aux autres. Théorème : La force agissant sur un PM est la même dans tous les référentiels d inertie Déeloppement : Définition : référentiel d inertie On appelle référentiel d inertie (ou galiléen) un référentiel pour lequel la loi d inertie est érifiée. Théorème : Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel d inertie est également un référentiel d inertie. Déeloppement : Il existe des référentiels non inertiels. En oici une illustration. Exemple : oiture dans un irage. Il arrie souent qu un conducteur se troue agacé par le mouement de a et ient de certains objets dans sa oiture lors d accélération, de décélération en ligne droite ou surtout dans les irages. Le conducteur remarque que les objets se déplacent à gauche lorsqu il tourne à droite et réciproquement. Quelles sont les forces qui agissent sur l objet? Il y a manifestement son poids et la force de soutien du plancher, ces forces se compensant exactement (le sol étant plat). La somme des forces est donc nulle. Le conducteur doit bien admettre que la physique de Sir Isaac Newton est iolée puisque les objets sont accélérés alors que F = 0. Un obserateur placé au bord de la route oit les choses différemment (heureusement!). Pour lui, les objets en question ne subissent aucune force et doient donc garder une itesse constante : leur trajectoire est une droite. Il oit par contre la oiture tourner : son accélération est centripète (dirigée ers le centre du cercle) et la force responsable de cette accélération est la force de frottement entre les pneus et la route. Pour cet obserateur, une face de la oiture se déplace ers les objets plutôt que le contraire. 0-03 PG
OS 4 ème 3 Référentiel lié à la oiture (référentiel accéléré) Trajectoire «accélérée» de l objet Pour un obserateur lié au référentiel non inertiel du camion, celui-ci oit la masse du pendule en équilibre statique et explique l inclinaison par une force d inertie ou pseudo-force F et la deuxième loi de Newton s écrit in donc: Référentiel lié au sol (référentiel inertiel) Trajectoire rectiligne de l objet (MRU) On est donc obligé d admettre que la physique n est pas la même dans tous les référentiels. Si l on reient à l exemple initial, on remarque par contre que la force obserée dans les différents référentiels n est plus la même : l obserateur placé dans le référentiel non-inertiel (la oiture) postule l existence de forces responsables de l accélération de l objet relatiement à ce référentiel. On parle alors de forces d inertie ou pseudo-forces notées. Cette action ne correspond pas une réaction comme l exige la 3 ème loi de Newton (c.f page suiante). Ex : Coriolis Exemple :Soit un pendule suspendu au toit d un camion qui est en accélération constante a par rapport à un référentiel d inertie de la route. Pour un obserateur inertiel, la masse du pendule a une accélération a et la deuxième loi de Newton s écrit donc: Enoncé de la ème loi de Newton ou loi fondamentale de la dynamique «Le changement dans le mouement (la quantité de mouement) est toujours proportionnel à la force motrice qui s exerce et il s effectue dans la direction de la ligne (droite) d action de cette force». La ème loi affirme qu une force F extérieure produit une ariation p de la quantité de mouement p ( p r = m r ) proportionnelle à F. d d d F = ma = m = m = p Newton découre alors l expression de la force de la graitation F G (c.f page suiante) pour une planète en rotation autour du soleil en utilisant la 3 ème loi de Kepler : 3 ème loi de Kepler (68) : Le carré de la période de l orbite est proportionnel au cube du rayon de l orbite (dans le cas d une ellipse, nous considérons en lieu et place du rayon le demi-grand axe a de l orbite) : T a 3 () a 3 /T = constante = G(M+m)/4π (3) 0-03 PG
OS 4 ème 4 où a = demi-grand axe de l orbite T = période de réolution de la planète M = masse du corps situé au foyer de l ellipse m = masse de la planète Déeloppement : Cette interaction est-elle instantanée? Existe-il un médiateur de l interaction, une particule capable de transmettre cette interaction (le graiton)? La physique moderne n a pas encore une réponse définitie sur le sujet. Les deux premières lois de Kepler s énoncent comme suit : ère loi de Kepler (604) : Chaque planète se déplace autour du soleil suiant une trajectoire appelée ellipse aec le soleil à l un de ses foyers. Construction géométrique d une ellipse : clous placés au foyer, aec une ficelle et un crayon. L ellipse est le lieu géométrique des points dont la somme des distances à points fixes (les foyers) est une constante. C est en fait un cercle aplati. ème loi de Kepler (604): les planètes ne tournent pas autour du soleil à une itesse uniforme, mais se déplacent plus rapidement lorsqu elles sont plus proches du soleil. En fait, c est la loi des aires. La itesse orbitale de chaque planète est telle que le rayon balaye des surfaces égales dans des temps égaux. Enoncé de la 3 ème loi de Newton «A chaque action correspond toujours une réaction égale et opposée. Les actions mutuelles de corps, l un sur l autre, sont toujours égales en intensité et de sens opposés» Soit un corps exerçant une force exercée par le corps sur le corps. Alors : F sur un corps et soit F = - F (4) F la force Exemples : ) ous exercez une force F sur un mur, par réaction le mur exerce une force F sur ous. Comment le mur peut-il réagir? Le mur «sait» qu une force s exerce sur lui car, sous l effet de cette force, il se déforme imperceptiblement (le mur est en fait un ressort de constante k très éleée). C est suite à cette déformation que le mur exerce une force opposée à celle qu on exerce sur lui. ) Sur une patinoire, ous êtes immobile. Vous poussez alors un camarade qui a partir dans un sens. Par réaction, il exerce sur ous une force opposée qui ous propulse dans le sens opposé. 3) Prenez un ballon et gonflez-le. Puis, lâchez-le. L air a sortir par le trou : il est donc soumis à une force et par réaction le ballon subit une force opposée, qu on appelle force de propulsion: c est le principe des moteurs à réaction. 0-03 PG
OS 4 ème 5 4) La force de graitation satisfait à la 3 ème loi de Newton. Sous forme ectorielle, elle s écrit : F = G m m r r m F F m Ex : les marées lunaire et solaire, grande marée d équinoxe, Complément sur la force de graitation (aspect énergétique) : La quantité de mouement Les physiciens de l époque de Newton ont remarqué que «quelque chose» est toujours conseré lors des collisions. En 644, Descartes émet l hypothèse selon laquelle «Dieu est la première cause du mouement, et qu il en consere toujours une égale quantité en l uniers». D après cette hypothèse, les changements de itesse que subissent les objets lors d une collision s expliquent par un transfert de «quantité de mouement» d un objet à l autre : la quantité de mouement totale de l Uniers demeure toujours constante. Cette quantité, cntrairement à ce que prétendait Descartes, n est pas un scalaire, comme l énergie, mais un ecteur. Autrement dit, on doit tenir compte de son orientation pour formuler le principe de conseration qui lui est associé. Elle correspond tout simplement à la masse multipliée par le ecteur itesse. Les physiciens anglais l ont baptisée «momentum». La grandeur cruciale à considérer est donc le produit de la itesse par la quantité de matière autrement dit la masse : p = m (5) p s exprime en kg. m/s. Comme N = kg. m/s, on peut également exprimer la quantité de mouement en N. s, c est-à-dire une force multipliée par un temps, soit une impulsion (c.f page suiante). Il est à noter que quantités de mouement directement opposées s annulent. Exemple : Si ous oyagez dans un train à la itesse de 30 km/h ers l est, et ous courez ers l arrière aec une itesse de 30 km/h ers l ouest, ous pouez sauter d une porte ouerte à l extrémité du train comme si ous tombiez de otre chaise. Votre itesse horizontale par rapport au sol est nulle; otre quantité de mouement est nulle aussi. La quantité de mouement est une grandeur relatie (au référentiel dans lequel se troue l obserateur). Et que se passe-t-il à très grande itesse? La réponse est donnée par la théorie de la relatiité restreinte : p = γ. m. (6) 0-03 PG
OS 4 ème Quantité de mouement initiale : 6 p i m où J i = p pi i p i 4 i Ns (0) Impulsion donnée à la boîte : γ = (7) J F t Dém : J = F J. t = p 5i 3 J 5 i Ns La quantité de mouement après 3 secondes : c Ce p f théorème pi J ext nous permet p f 4i de 5 calculer i la itesse p f 9 en ifonction Ns du temps, à Si une force est appliquée à un corps pendant un certain temps Δt, selon la condition de connaître l impulsion, c est-à-dire de connaître la dépendance ème loi de Newton, sa quantité de mouement change : F(t). Si la force arie au cours du temps, alors l outil mathématique «L impulsion intégrale» dera d une être force utilisé non pour constante déterminer l impulsion (égale à l aire F = ma = m / t = (m)/ t = p/ t (8) sous la courbe de la fonction F(t)) : Pour éaluer En forme différentielle, cela donne : J l impulsion t f J d une force F, nous aons besoin d éaluer l aire sous la courbe d un= graphique F de. t force en fonction du temps t. Ce calcul peut s effectuer grâce à l intégrale d une fonction F x t : F = ma = md/ = d/ (m) = d/ (p) (9) à condition que la masse soit considérée comme constante au cours du temps (ce qui est le cas en bonne approximation pour des itesses bien inférieures à c). La force exercée sur un corps est égale à la dériée de la quantité de mouement p par rapport au temps. La force est donc une mesure du taux de ariation de la quantité de mouement en fonction du temps. Exemple : Si plusieurs personnes poussent une oiture en panne pendant un temps plus long, la oiture finit par rouler plus ite. Sa quantité de mouement s accroît de plus en plus. Il est intéressant de considérer alors le produit de la force par son temps d application Δt, appelé impulsion J qui n est autre que la ariation de la quantité de mouement (c.f (8)). Théorème de la ariation de la quantité de mouement L impulsion J de la résultante des forces appliquées sur un PM est égale à la ariation de la quantité de mouement de ce PM : Situation A : On pousse une boîte. Une boîte kg ayant une itesse initiale de m/s selon l axe x est poussée à l aide d une force de 5 N selon l axe des x pendant 3 secondes. On désire déterminer la quantité de mouement de la boîte après 3 secondes de poussée. 0-03 PG t i Force constante dans le temps : Force non constante dans le temps : F x N F x ti J x t t f ts Ex : lancement d un ballon, club de golf, lancement d une fusée, boxe. Équation : J F t J x Fx x x Équation : tti Conseration de la quantité de mouement Définition Sous forme ectorielle, : système isolé l impulsion prend la forme suiante : Un système de points matériels est dit t f isolé lorsqu aucun de ses PM ne subit de force extérieure au système. J En réalité, il est difficile de trouer des systèmes isolés, car il s exerce toujours de forces extérieures. Nous pouons dire qu un système est isolé si la somme des forces extérieures s exerçant sur chaque PM est nulle. C est Référence le cas : Marc par Séguin, exemple Physique de XXI billes Volume sur une A table horizontale roulant Page sans Note de cours rédigée par : Simon Vézina tt i F t f
OS 4 ème 7 frottement. La somme des forces extérieures sur chaque bille est nulle (le poids et la force de soutien se compensent). On peut dire également qu un système est isolé dans la mesure où les forces extérieures sont négligeables deant les forces intérieures. C est le cas lors d un choc même si les billes subissent des forces de frottement : pendant la durée du choc, celles-ci sont négligeables deant les forces d interaction entre les billes. D autre part, les forces de frottement (qui sont des forces extérieures) transfèrent la quantité de mouement de l objet à l ensemble de la Terre (système objet Terre). La quantité de mouement ne peut exister sous forme thermique : comme la quantité de mouement est un ecteur, l agitation thermique des molécules ne possède pas de quantité de mouement. Considérons alors chariots se déplaçant sans frottement sur un plan horizontal. Lors du choc, le chariot a exercer une force F sur le chariot qui subit donc une impulsion J et le chariot exerce une force F sur le chariot qui subit donc une impulsion J. D après la 3 ème loi de Newton : F = - F En multipliant par le temps de l interaction Δt : J = - J () Selon le théorème de la ariation de la quantité de mouement, il ient : ' ' J = p p = ( p p ) = J () soit : Conseration de la quantité de mouement : ou p + (3) ' ' p = p + p F = 0 p = constante Ainsi, même si la quantité de mouement de chaque chariot est modifiée par le choc, la quantité de mouement totale (du système) reste constante : la quantité de mouement du système après le choc est égale à la quantité de mouement du système aant le choc. De plus, si dans notre expérience le frottement est négligeable, cela nous permet de érifier la conseration de la quantité de mouement totale quelques temps aant et après le choc. L expérience confirme cette conseration et puisque le système est isolé (la résultante des forces extérieures au système est nulle), cela eut dire que la 3 ème loi de Newton est érifiée. Il nous faut encore préciser que la loi de la conseration de la quantité de mouement est plus fondamentale que la 3 ème loi de Newton car l interaction entre objets séparés prend du temps pour se propager, et il peut y aoir un certain retard entre l action et la réaction. D après la théorie quantique des champs, toutes les interactions fondamentales (graitationnelles, électromagnétiques, fortes et faibles) sont dues à l échange de particules transportant de la quantité de mouement et qui se déplacent aec des itesses finies. Bien que la quantité de mouement soit conserée à tout instant, nous deons attendre un certain moment après l action pour que la réaction se manifeste. Exemple : La force de graitation qu exerce la Terre sur la Lune et réciproquement ne serait pas instantanée. En effet, la particule responsable de l interaction serait «le graiton». Mais alors, quelle est la cause de la conseration de la quantité de mouement? La réponse a été donnée par Noether (98) qui a démontré que la conseration de la quantité de mouement est une conséquence de l inariance des lois de la nature par rapport à la position. Autrement dit, cette loi de conseration est due à l homogénéité de l espace. L uniers, qui est un système fermé en soi, a une quantité de mouement constante. Donc, chaque fois qu il y a une ariation p quelque part, il doit y aoir une ariation - p dans un autre endroit de l Uniers. 0-03 PG
B n T A B Forces externes résiduelles : OS 4 ème f m g f c + T = ( ma + mb )a c B (supposant que les blocs A et B restent collés) 8 La conseration Collisions de la quantité de mouement Lorsqu un Le système terme collision de masses désigne est parfaitement en général isolé de toutes une formes interaction de force brèe externe entre ou que la corps somme des force pendant externes laquelle est égale à les zéro forces en tout temps, internes il y a conseration de la quantité de mouement p dans (les forces que les corps exercent l un le temps pour l ensemble du système : sur l autre) sont beaucoup plus intenses que les forces externes F ext = 0 p = constante résultantes que l enironnement exerce sur les objets. La durée de l interaction est suffisamment p = p f i courte pour nous permettre de limiter notre étude à l instant précédant immédiatement et à l instant suiant immédiatement l éénement. où Toutefois, p i : Somme la durée de la quantité d une de collision mouement peut aant durer la collision 0-3 s ( pour kg m/s des ) particules élémentaires alors qu une collision entre galaxies dure des millions p f : Somme de la quantité de mouement après la collision ( kg m/s ) d années. Les collisions faisant interenir des objets courants tels que des balles et des automobiles durent de 0-3 s à s eniron. Les collisions peuent être élastiques, inélastiques ou parfaitement inélastiques : la quantité de mouement se consere dans les 3 cas. Une casse au billard est un bon exemple de conseration de la quantité de mouement, car il n y a que des forces normales de contact en jeu (force internes) si l on néglige le frottement de contact durant la collision (force externe). Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 6 Note de cours rédigée par : Simon Vézina Exemple : joueurs de hockey de 0 kg chacun foncent l un ers l autre sur une patinoire, chacun se déplaçant à 0 m/s. Ils entrent en collision et restent empêtrés l un dans l autre. En raison de la symétrie des masses et des itesses initiales, les joueurs restent immobiles. La durée de la collision (le temps entre le premier contact entre les joueurs et l arrêt final) est de 0, s. On désire éaluer le module de la force moyenne qu un joueur exerce sur l autre pendant la collision. Nous constatons dans l exemple précédent que l énergie cinétique a été perdue lors de la collision, car la itesse finale des joueurs est nulle. Cette énergie a été emportée sous la forme d une onde sonore générée lors de la collision, tandis qu une autre a été transformée en énergie thermique. Collisions élastiques Soient PM de masses m et m formant un système isolé et rentrant en collision. Définition : choc élastique Un choc est dit élastique lorsque l énergie cinétique du système est conserée. On peut modéliser un choc élastique comme une collision entre ressorts : ceux-ci se contractent puis restituent totalement l énergie qu ils aaient emmagasinée. Supposons maintenant que les masses m et m ainsi que les itesses initiales et soient connues. Est-il possible de déterminer unioquement les itesses finales? Pour y répondre, il faut faire un bilan des équations à disposition et des inconnues du système. Si l on traaille à 3 dimensions, le cas général, nous aons fois 3 inconnues ʹ, ʹ, ʹ, ʹ, ʹ ʹ ), soit 6 inconnues, qui sont les composantes des ( x y z x y, z ecteurs des itesses finales et les équations à disposition sont : ' ' p = p + p 0-03 PG p + (4) (conseration de la quantité de mouement) ' m + mʹ = m + m (5) (conseration de l énergie cinétique) On obtient 3 équations par la conseration de la quantité de mouement (3 composantes) et équation donnée par la conseration de l énergie cinétique. Comme on a plus d inconnues que d équations, les itesses finales ne sont pas unioquement déterminées. Un même raisonnement à
OS 4 ème 9 dimensions nous conduirait à un système à 3 équations à 4 inconnues, d où une indétermination sur les itesses finales. Cette indétermination tient au fait que les objets en collision sont approximés comme PM et qu il faudrait tenir compte en fait de la localisation de l impact sur les objets. Seul un choc élastique à une dimension (les PM se déplacent aant et après la collision sur la même droite) nous permet de déterminer les itesses finales. Définition : collision centrale Une collision entre corps est dite centrale si les corps se déplacent, aant et après la collision, sur une même droite. Théorème : Lors d un choc élastique, la norme de la itesse relatie est conserée Déeloppement : ʹ (7) ' = Si on connaît les masses et les itesses initiales, alors on peut connaître, dans un choc central et élastique, les itesses finales ( équations à inconnues). Définition : itesse relatie La itesse relatie d un objet relatiement à un objet est la itesse de l objet dans le référentiel lié à l objet. Dans un référentiel lié au sol, un objet a une itesse et un objet a une itesse. La itesse de relatiement à est : r = (6) r Corollaire Lors d un choc central et élastique, la itesse relatie change de signe. ' ' ( ) = ( ) (8) Ce corollaire facilite l étude d un choc central. Pour le calcul des itesses finales, il est commode d utiliser la conseration de la quantité de mouement et le changement de signe de la itesse relatie, équations linéaires (degré ) par rapport aux itesses. Cela éite de passer par l énergie cinétique qui est une forme quadratique (degré ) de la itesse. Corollaire Lors d un choc élastique aec objets de même masse, le produit scalaire des itesses reste conseré. (9) ' ' = 0-03 PG
OS 4 ème BA AB ext ext 0 Déeloppement : Il existe un cas particulier intéressant à discuter : celui où le produit scalaire des itesses initiales est nul. Cela est réalisé lorsque : a) Les itesses initiales sont perpendiculaires b) Une des itesses initiales est nulle Il s en suit que les itesses finales sont soit perpendiculaires, soit une des itesses finales est nulle. Dans le cas du choc frontal où l une des masses est au repos, il y a échange des itesses: l objet qui arrie, s arrête et l objet initialement au repos, part aec la itesse initiale de l objet. Remarque : Soit un objet de masse m entrant en collision aec un objet de masse m au repos, aec m >>m. Dans ce cas, l énergie cinétique du premier objet de masse m est pratiquement conserée. Exemple : Soit un objet de masse m et de itesse entrant en collision aec un objet au repos de masse m. Calculer les itesses finales en supposant le choc central et élastique. Collisions inélastiques Une collision inélastique s accompagne d une perte cinétique sous forme de chaleur ou de déformation permanente. Dans ce cas, l énergie cinétique totale des objets arie. Une partie de l énergie cinétique peut serir à faire passer le système (par exemple, un atome) à un nieau d énergie plus éleé, ou bien être conertie en énergie thermique de ibration des atomes ( F F ) + ( F + F ) F A ext et des molécules ou en énergie lumineuse, sonore, etc (L énergie totale, qui comprend dp toutes les formes d énergie, est toujours conserée). Par A + dpb = 0 exemple, la collision entre boules en bois est accompagnée d un bruit : pa + pb = 0 (Différentielle relaxée, d ) une partie de l énergie est transformée en énergie sonore, et la collision et donc inélastique. ( pb f pbi ) + ( pa f pa i ) = 0 ( p = p f pi ) Collisions p f = parfaitement p i inélastiques Lors d une collision parfaitement inélastique, les corps mis en jeu restent liés. Collision Dans ce élastiques, cas, masse inélastiques résultante est et parfaitement la somme des masses inélastiques des corps. En résumé : dpa dp B + BA B ext AB = + (Remplacer F = F ext + Fint ) dpa dpb + F = + (Supposer F 0 et F 0 ) A = B = dpa dp B 0 = + (3 ième loi Newton : F AB = FBA ) p B f A B, A f A i Bi (Indépendante du temps, simplifier ) + p = p + p (Séparer terme initial et final) A B, (Remplacer par une sommation) Puisque la conseration de la quantité de mouement est toujours applicable dans tous les problèmes de collision, nous pouons distinguer deux grandes familles de collision : Collision Quantité de mouement conserée p f = p ) ( i Énergie cinétique conserée K = K ) ( f i Objets restent collés après la collision Élastique Oui Oui Non Inélastique Oui Non Possiblement Parfaitement inélastique (sous catégorie) N.B. Oui Non Oui Lors d une collision inélastique, l énergie cinétique initiale n est pas perdue mais Comparaison prend une forme entre autre qu en la mouement quantité (ex : chaleur, de déformation mouement permanente et d un objet, bruit, émission de lumière). l énergie cinétique : Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 7 Note de cours rédigée par : Simon Vézina.- La conseration de quantité de mouement est une loi alable en général, alors que la conseration de l énergie cinétique n est raie que dans le cas particulier des collisions élastiques..- La quantité de mouement est un ecteur alors que l énergie cinétique est un scalaire. 3.- La quantité de mouement et l énergie cinétique sont toutes liées à «l effort» nécessaire à modifier la itesse de la particule : 0-03 PG
OS 4 ème J = p = F. t ==> F = p/ t (0) d d F F = (4) Et m m Ecin = F. x ==> F = Ecin / x () Utilisons la relation F = F et réécrions l équation sous la forme La force est soit le taux de ariation de la quantité de mouement en d fonction du temps, soit le taux de ariation de l énergie cinétique en ( ) = ( + ) F (5) fonction de la position. m m Dynamique d un système de particules Considérons le cas de particules qui sont soumises uniquement à leur interaction mutuelle ; autrement dit, il n y a aucune force extérieure agissant sur elles. Les particules pourraient être par exemple un électron et un proton dans un atome d hydrogène isolé. Les forces mutuelles intérieures sont F et F suiant la droite r. Etudions maintenant le mouement relatif des particules. L équation du mouement de chaque particule par rapport à un obserateur d inertie O est : Comme = est la itesse de m par rapport à m, la quantité d ( ) = a (6) est donc l accélération de m par rapport à m. Introduisons une quantité la masse réduite du système, notée µ, et définie par = µ + m m m + m = m m On peut alors écrire (5) sous la forme : a F µ ou µ = (7) m m m + m = (8) où m (d /) = F et m (d /) = F () d F m = et d F m En soustrayant les équations, nous aons : = (3) Résultat important : Le mouement relatif de particules soumises uniquement à leur interaction mutuelle est équialent au mouement, par rapport à un obserateur d inertie, d une particule de masse égale à la masse réduite µ sous l action d une force égale à leur interaction. Exemple : Nous pouons ramener le mouement de la Lune autour de la Terre à un problème à un seul corps en utilisant la masse réduite du système Terre- Lune, et une force égale à l attraction de la Terre sur la Lune. De même, quand nous parlons du mouement d un électron autour du noyau, nous 0-03 PG
OS 4 ème pouons supposer le système réduit à une particule de masse égale à la masse réduite de l ensemble électron noyau et se déplaçant sous l action de la force entre l électron et le noyau. Donc, en décriant le mouement de particules sous l influence de leur interaction mutuelle, nous pouons décomposer le mouement du système en mouement du centre de graité, dont la itesse est constante, et en mouement relatif des particules, donné par l équation (8) qui se rapporte à un référentiel lié au centre de graité. Remarquons que si l une des particules, disons m, a une masse beaucoup plus petite que l autre, la masse réduite est à peu près égale à la masse de la particule la plus légère. Par exemple, quand nous étudions le mouement d un satellite artificiel autour de la Terre, nous pouons utiliser, aec une bonne approximation, la masse du satellite et non la masse réduite du système Terre-satellite. Par ailleurs, si les particules ont la même masse, nous aons alors µ = ½ m. Série d exercices.- hommes se tiennent debout sur la glace. Le plus grand des deux est un géant et pèse 300 kg tandis que le plus petit pèse seulement 00 kg. Le plus petit tend le bras ers le plus grand et le pousse de toutes ses forces, soit une force totale de 00 N. Quel sera le résultat de ce geste? Lequel des deux a glisser sur la glace, et aec quelle accélération?.- Un bloc de kg se déplace initialement à 4 m/s sur une surface horizontale rugueuse : il possède 6 J d énergie cinétique et 8 kg. m/s de quantité de mouement. En raison du frottement, il ralentit et s arrête. Où sont passées : a) son énergie cinétique b) sa quantité de mouement? 3.- Au moment où elle entre en contact aec une raquette, une balle de tennis de 58 g se déplace horizontalement ers la gauche à 5 m/s. Lorsqu elle cesse d être en contact aec la raquette, 0,05 s plus tard, elle possède une itesse de 5 m/s orientée ers la droite, à 0 au dessus de l horizontale. Déterminez : a) l impulsion (module et oritentation) que subit la balle b) la force résultante moyenne (module et orientation) qui agit sur la balle pendant son interaction aec la raquette. 4.- Certaines sondes spatiales possèdent des moteurs ioniques qui fonctionnent en ionisant des atomes de xénon (ceux utilisés également dans les phares des oitures), en les accélérant à l aide d un champ électrique et en les expulsant à grande itesse. Ces moteurs produisent des forces relatiement faibles, mais sont si économes en carburant qu ils peuent fonctionner pendant des dizaines de jours, ce qui permet d atteindre des itesses finales jusqu à 0 fois plus éleées que celles qui résultent de moteurs chimiques à combustion. Un moteur ionique expulse 0 0 atomes de xénon par seconde à 5 km/s. Sachant que la masse d un atome de xénon est de,9. 0-5 kg et que le réseroir de la sonde contient 50 kg de xénon, calculez : a) la force de poussée générée par le moteur (en supposant que la itesse de la sonde est négligeable comparatiement à la itesse d expulsion des ions), et b) le temps requis pour épuiser les réseres de carburant 5.- Une boule de billard qui se déplace à,5 m/s ers la droite subit une collision élastique frontale aec une boule immobile de masse identique. On désire déterminer les itesses des boules immédiatement après la collision. 6.- Un wagon descend sans frottement le long d un plan incliné d angle α par rapport à l horizontale. Dans ce mobile se troue un bac d eau et un pendule de longueur L. a.- Calculer l angle par rapport au plafond que fait le pendule dans sa position d équilibre. b.- Déterminer l inclinaison du plan d eau par rapport au plancher du mobile et la période du pendule. 7.- Un pendule suspendu au toit d un camion fait un angle de 8 aec la erticale. Quel est le module de l accélération du camion? 8.- Une automobile prend un irage plat de rayon 40 m à une itesse de module constant. Le nieau de l eau dans un erre ertical de diamètre 3 cm s élèe de 0,5 cm d un côté par rapport à l horizontale. Quel est le module de la itesse de l automobile? 0-03 PG
OS 4 ème 3 9.- Une balle de 50 g est lancée à 30 m/s. Elle frappe un bâton qui lui donne une itesse de module 40 m/s dans le sens opposé. Si la durée de contact est égale à 0 - s, quelle est la force moyenne agissant sur la balle? 0.- Une limousine Cadillac de masse 000 kg roulant ers l est à 0 m/s entre en collision aec une Honda de masse 000 kg roulant ers l ouest à 6 m/s. La collision est parfaitement inélastique. a) Trouer la itesse commune des éhicules immédiatement après la collision b) Quelle est la fraction d énergie cinétique perdue pendant la collision?.- Une carabine Winchester Super X de masse 3,4 kg, initialement au repos, tire une balle de,7 g dont la itesse a un module de 800 m/s. a) Quelle est la itesse de recul de la carabine? b) Quel est le rapport des énergies cinétiques de la balle et de la carabine?.- Un proton se déplaçant à la itesse = 5 km/s subit une collision élastique aec un autre proton initialement au repos. 4.- Un noyau initialement au repos, subit une désintégration radioactie en émettant un électron dont la quantité de mouement est 9,. 0 - m.kg.s - et perpendiculairement à la direction de l électron, un neutrino dont la quantité de mouement est 5,33. 0 - m.kg.s - a.- dans quelle direction le noyau résiduel recule-t-il? b.- quelle est sa quantité de mouement? c.- sachant que la masse du noyau résiduel est 3,9. 0-5 kg, calculer sa itesse et son énergie cinétique par rapport au laboratoire. 5.- Montrer que lors d un choc parfaitement mou (les masses m et m restent ensemble après le choc) la ariation d énergie cinétique ΔE cin = Q = - ½ µ (il s agit d une réaction de capture). 6.- On lâche d une hauteur h par rapport au point le plus bas un pendule de masse m. Il entre en collision au point le plus bas aec un autre pendule de même longueur mais de masse m initialement au repos. Trouer les hauteurs auxquelles s élèent les masses après le choc sachant que le choc est a.- parfaitement mou b.- parfaitement élastique 7.- Une particule α (noyau d Hélium) de masse égale à 4 uma se déplace à la itesse de,5. 0 7 m/s et subit une collision élastique aec un noyau d or de 97 uma initialement au repos. Trouer la norme de la itesse de recul du noyau sachant que la particule α reient sur sa trajectoire initiale. Sachant que θ = 37, trouer, et θ. 3.- Une fusée est lancée à partir de la Terre aec une itesse dont le module est égal à 85% de la itesse de libération. Trouer la distance maximale qu elle atteindra, à partir du centre de la Terre si elle est lancée erticalement 8.- En 93, James Chadwick (qui décourit le neutron) réalisa une expérience consistant à bombarder dierses substances aec des neutrons de itesses et de masse inconnue. Il s aperçut que la itesse acquise par les protons (masse de uma) était 7,5 fois plus grande que celle acquise par les noyaux d azote (masse de 4 uma). Si l on admet qu il s agissait de collisions élastiques frontales, que pouez-ous en déduire quant à la masse du neutron? On néglige le frottement et la rotation de la Terre. 0-03 PG