1 Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = 25x² - 10x + 1. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) Déterminer la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. Exercice 2 : Bénéfice d une entreprise (5 points) Une entreprise propose des objets que d autres sociétés peuvent faire personnaliser à leur nom pour les utiliser comme support publicitaire. Les contraintes de fabrication imposent une production comprise entre 400 et 1 200 unités. Le coût de production (exprimé en euro) est donné en fonction du nombre n d objets fabriqués par : C(n) = -0,002n² + 5n + 4 000. Le prix de vente de n objets (en euros) est donné par la relation : P(n) = 4n + 3 880. 1) Soit R le résultat pour la vente de n objets. Montrer que R(n) = 0,002n² - n 120. 2) Déterminer le nombre d objets à partir duquel l entreprise réalise un bénéfice. Exercice 3 : (2 points) En augmentant de 5 cm la longueur l du côté d un carré, on augmente son aire de 44%. 1) Montrer que le problème revient à résoudre l équation : 0,44l² - 10l - 25 = 0. 2) En déduire la longueur du côté initial.
2 Première ES DS1 second degré 2014-2015 S2 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = -4x² + 11x + 3. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) Déterminer la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. Exercice 2 : rentabilité d une production (5 points) Une entreprise produit des téléviseurs 3D. Le coût de production C(n), exprimé en milliers d euros pour n articles, est donné par la fonction C avec : C(n) = 0,02n² - 2n + 98 pour n appartenant à l intervalle [50 ;150]. 1) Chaque article étant vendu 1 500, calculer le montant V(n), exprimé en milliers d euros, pour la vente de n articles. 2) On note B(n) le bénéfice pour n articles vendus. Montrer que B(n) = -0,02n² + 3,5n 98. 3) Déterminer l intervalle des valeurs de n pour lesquelles la production est rentable. Exercice 3 : (2 points) La somme d un réel x et de son inverse est 58 21. Quels sont ces deux réels? 1) Montrer que le problème se traduit par l équation : 21x² - 58x + 21 = 0. 2) Résoudre cette équation et donner les deux nombres cherchés.
3 Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = -4x² + 11x + 3. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). 1) Déterminer les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) Déterminer la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. 1) Point d intersection de avec l axe des ordonnées : Ce point a pour abscisse 0. Or 250² - 100 + 1 = 11. Le point d intersection de avec l axe des ordonnées est A(0 ;1). Point(s) d intersection de avec l axe des abscisses L abscisse des éventuels points d intersection de avec l axe des abscisses vérifient l équation : 25x² - 10x + 1 = 0 On calcule le discriminant : = (-10)² - 4251 = 0. Comme = 0, cette équation admet une solution : x0 = - b 2a = 10 50 = 1 5 Le point d intersection de la parabole P avec l axe des abscisse est B 0; 1 5. 2) On étudie le signe de 25x² - 10x + 1. Méthode 1 : (résultat du cours). Comme = 0 et a = 25 > 0, alors 25x² - 10x + 1 > 0 pour x 1 et 25x² - 10x + 1 = 0 pour 5.x = 1 5. Donc la parabole est au dessus de l axe des abscisses pour x 1 et est tangente à 5 l axe des abscisses pour x = 1 (au point B). 5
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Méthode 2 : on factorise le polynôme du second degré et on fait un tableau de signes. 25x² - 10x + 1 = (5x)² - 25x1 + 1² = (5x 2)² Tableau de signes : x (5x 2)² + 0 + 2 5 + 3) L abscisse du sommet de la parabole est b 2a = 1 5. Son ordonnée est : 25 1 5 ² 1 25-10 + 1 = 5 25-2 + 1 = 1 2 + 1 = 0 Le sommet S de la parabole est donc aussi le point B 0; 1 5. 4) Vérification graphique : On retrouve bien les points A et B avec les bonnes coordonnées. 4
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 2 : Bénéfice d une entreprise (5 points) Une entreprise propose des objets que d autres sociétés peuvent faire personnaliser à leur nom pour les utiliser comme support publicitaire. Les contraintes de fabrication imposent une production comprise entre 400 et 1 200 unités. Le coût de production (exprimé en euro) est donné en fonction du nombre n d objets fabriqués par : C(n) = -0,002n² + 5n + 4 000. Le prix de vente de n objets (en euros) est donné par la relation : P(n) = 4n + 3 880. 1) Soit R le résultat pour la vente de n objets. Montrer que R(n) = 0,002n² - n 120. 2) Déterminer le nombre d objets à partir duquel l entreprise réalise un bénéfice. 1) On a R(n) = P(n) C(n) = 4n + 3880 (-0,002n² + 5n + 4 000) Soit R(n) = 0,002n² + 4n 5n + 3880 4000 = 0,002n² - n 120. 2) On résout l inéquation R(n) > 0. Soit 0,002n² - n 120 > 0 Le discriminant de l équation du second degré associée est : = (-1)² - 40,002(-120) = 1 + 0,96 = 1,96 = 1,4². Les deux solutions de l équation du second degré associée sont : n1 = 1 1,4 20,002 = -0,4 1 + 1,4 = - 100 et n2 = 0,004 20,002 = 2,4 0,004 = 600 Comme 0,002 > 0, alors R(n) > 0 si n < -100 ou si n > 600. Comme n [400 ;1200], on en conclut que l entreprise réalise un bénéfice à partir de 600 objets fabriqués. 5
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Vérification graphique n 1 : On trace dans un même repère le segment de droite associée à la fonction affine P et l arc de parabole associée à la fonction polynôme du second degré C pour des valeurs de n comprises entre 400 et 1 200. On détermine les abscisses des points de la droite qui se situent au dessus de la parabole. On retrouve bien l intervalle ]600 ;1200[. Vérification graphique n 2 : On trace dans un repère l arc de parabole associé à la fonction polynôme du second degré R sur l intervalle [400 ;1200]. Et on lit graphiquement les abscisses des points de la courbe situés au dessus de l axe des abscisses. On retrouve bien l intervalle ]600 ;1200[. 6
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S1 Exercice 3 : (2 points) En augmentant de 5 cm la longueur l du côté d un carré, on augmente son aire de 44%. 1) Montrer que le problème revient à résoudre l équation : 0,44l² - 10l - 25 = 0. 2) En déduire la longueur du côté initial. 1) Soit l la longueur du côté du carré initial et S son aire correspondante. On a S = l² Une augmentation de 44% correspond à un coefficient multiplicatif de 1 + 44 100 = 1,44. On a donc : 1,44S = (l + 5)² Soit 1,44l² = (l + 5)² Soit : 1,44l² = l² + 10l + 25 Soit 0,44l² - 10l - 25 = 0 2) On calcule le discriminant : = (-10)² - 40,4425) = 144 = 12² Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : Seule la solution positive convient. Le côté mesurait donc initialement 25 cm. Vérification : Aire initiale = 25² = 625 cm² Aire finale = 30² = 900 cm² 10 12 l1 = 0.88 = -2 10+12 < 0 et l2 = 0.88 0.88 = 25 Et 900 = 1,44 soit bien une augmentation de 44%. 625 7
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S2 Exercice 1 : (3 points) Soit la parabole d équation y = -4x² + 11x + 3. On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J). Déterminer : 1) les coordonnées des points d intersection de avec les axes du repère. 2) la position de par rapport à l axe des abscisses. 3) Les coordonnées du sommet S de la parabole. 4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère. 1) Point d intersection de avec l axe des ordonnées : Ce point a pour abscisse 0. Or -40² + 110 + 3 = 3. Le point d intersection de avec l axe des ordonnées est A(0 ;3). Point(s) d intersection de avec l axe des abscisses L abscisse des éventuels points d intersection de avec l axe des abscisses vérifient l équation : -4x² + 11x + 3 = 0 On calcule le discriminant : = (11)² - 4(-4)3 = 121 + 48 = 169 = 13². Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : x1 = -11 13-8 = 3 et x2 = -11 + 13-8 = - 2 8 = - 1 4 Les points d intersection de la parabole P avec l axe des abscisses sont B - 1 4 ; 0 et C(3 ;0). 2) On étudie le signe de -4x² + 11x + 3. Méthode 1 : (résultat du cours). -4x² + 11x + 3est du signe de -4 sur - ; - 1 4 [3; + [ et de signe contraire à -4 sur - 1 4 ; 3. signes. Méthode 2 : on factorise le polynôme du second degré et on fait un tableau de 8
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S2-4x² + 11x + 3 = -4 x + 1 4 (x 3) Tableau de signes : x 1 4 3 + -4x² + 11x +3-0 + 0 - Donc la parabole est en dessous de l axe des abscisses si x - ; - 1 4 et au dessus de l axe des abscisses si x - 1 4 ; 3. 3) L abscisse du sommet de la parabole est b 2a = 11 8. [3 ; + [ Son ordonnée est : -4 11 8 ² 11 + 11 8 + 3 = -4121 121 + 64 8 + 3 = -121 16 + 242 16 + 48 16 = 169 16 Les coordonnées de S sont donc 11 169 ;- 8 16. 4) On retrouve bien les points A ; B, C et S avec les bonnes coordonnées. - 169 16 = -10,5625 9
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S2 Exercice 2 : rentabilité d une production (5 points) Une entreprise produit des téléviseurs 3D. Le coût de production C(n), exprimé en milliers d euros pour n articles, est donné par la fonction C avec : C(n) = 0,02n² - 2n + 98 pour n appartenant à l intervalle [50 ;150]. 1) Chaque article étant vendu 1 500, calculer le montant V(n), exprimé en milliers d euros, pour la vente de n articles. 2) On note B(n) le bénéfice pour n articles vendus. Montrer que B(n) = -0,02n² + 3,5n 98. 3) Déterminer l intervalle des valeurs de n pour lesquelles la production est rentable. 1) Comme 1500 = 1,5 milliers, on a V(n) = 1,5n 2) B(n) = V(n) C(n) = 1,5n (0,02n² - 2n + 98) = -0,02n² + 2n + 1,5n 98 Soit B(n) = -0,02n² + 3,5n 98 3) On résout l inéquation B(n) > 0. B(n) > 0-0,02n² + 3,5n 98 > 0 Le discriminant de l équation du second degré associée est : = 3,5² - 4(-0,02)(-98) = 4,41 = 2,1². Les deux solutions de l équation du second degré associée sont : n1 = -3,5 2,1 2(-0,02) = -5,6-3,5 + 2,1 = 140 et n2 = -0,04 2(-0,02) = -1,4-0,04 = 35 Comme -0,02 < 0, alors B(n) > 0 si 35 < n < 140 Comme n [50 ;150], on en conclut que l entreprise réalise un bénéfice pour un nombre d articles produits entre 50 et 140. 10
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S2 Vérification graphique n 1 : On trace dans un même repère le segment de droite associée à la fonction linéaire V et l arc de parabole associée à la fonction polynôme du second degré B pour des valeurs de n comprises entre 50 et 150. On détermine les abscisses des points de la droite qui se situent au dessus de la parabole. On retrouve l intervalle [50 ;140]. Vérification graphique n 2 : On trace dans un repère l arc de parabole associé à la fonction polynôme du second degré B sur l intervalle [50 ;150]. Et on lit graphiquement les abscisses des points de la courbe situés au dessus de l axe des abscisses. On retrouve l intervalle [50 ;140]. 11
Première ES DS1 second degré 2014-2015 S2 La somme d un réel x et de son inverse est 58 21. Quels sont ces deux réels? 1) Montrer que le problème se traduit par l équation : 21x² - 58x + 21 = 0. 2) Résoudre cette équation et donner les deux nombres cherchés. Soit x le réel cherché. On a x + 1 x = 58 21 Soit x² + 1 x = 58 21 Soit 21(x² + 1) = 58x On résout cette équation de degré 2. (avec un produit en croix). 21(x² + 1) = 58x 21x² - 58x + 21 = 0 On calcule le discriminant : = (-58)² - 42121 = 1600 = 40² Comme > 0, cette équation admet deux solutions distinctes : x1 = 58 40 42 = 18 42 = 3 7 et x2 = 58 + 40 42 = 98 42 = 7 3 Les deux nombres cherchés sont donc 3 7 et 7 3. Vérification : 3 7 + 7 33 + 77 = = 9 + 49 = 58 3 21 21 21 12