5 Travail, énergie et puissance, V7.1 conservation de l'énergie mécanique, forces dissipatives 1
Le travail L'objet O subit un déplacement indiqué par le vecteur s. Si une force F agit sur O, alors le travail W effectué par la force vaut le produit scalaire W = s F F s O 1 Newton x 1 mètre = 1 Joule [ J ] 2
L'énergie cinétique L'énergie cinétique d'un objet de masse m, ayant vitesse v vaut K = 1 2 mv2 Si l'on effectue un travail W sur un objet ayant énergie cinétique K 0, celle-ci change et devient K 1 = K 0 + W! i) v 0 f) v 1 x 0 x 1 F F: force appliquée entre x 0 et x1 K 0 = 1 2 mv 2 0 K 1 = 1 2 mv 2 1 = K 0 + W = 1 2 mv 2 0 + F(x 1 " x 0 ) 3
L'énergie cinétique.2 Exemple: x=0 x 1 x 2 x 3 m=0.1 kg v=0 v F x 1 x 0 = x 3 x 2 = s =1 m F La force F = 5 N agit sur l'objet entre x 0 et x 1. L'objet est libre entre x 1 et x 2. La force F agit sur l'objet entre x 2 et x 3. K 0 = 0 W = Fs K 1 = W = mv 2 /2 v v=0 v = 2K 1 /m v = 2W /m = 2Fs/m = 2 " 5 "1/0.1 =10 m/s! 4
Energie potentielle Exemples: Energie potentielle gravifique, coulombienne, élastique,... y y f y i Exemple: cas d'un corps de masse m qui s'élève dans le champ gravitationnel: v i m F G K i = mv i2 /2 F G = mg W = F G (y f y i ) < 0! K f = K i + W < K i g= +9.81 ms 2 L'objet a perdu de l'énergie cinétique mais il a gagné de l'énergie "potentielle" qu'il peut rendre en tombant à nouveau en y i 5
Energie potentielle.2 On introduit l'énergie potentielle (gravitationnelle) que le corps possède lorsqu'il se trouve à une hauteur y, U(y). La différence d 'énergie potentielle ΔU entre deux points exprime la quantité d'énergie (gravitationnelle) disponible. y i -mg L'objet tombe de y i à y f. Le travail effectué par le champ gravitationnel vaut W = mg(y f y i ) = = ( mgy f mgy i ) > 0 y f E cinétique: K f = K i + W > K i On introduit U = mgy on a g= +9.81 ms 2 W = U(y f ) U(y i ) = ΔU 6
Energie potentielle.3 A une hauteur y du point de référence (sol, table,...), on va écrire l'expression suivante pour l'énergie mécanique E d'un point matériel de masse m E = K + U(y) = mv 2 /2 + mgy g= +9.81 ms 2 ΔU dépend seulement des points de départ et arrivée, et pas du trajet => la force gravitationnelle est "conservative" i) y i Attention: pas de frottement! f) y f 7
Energie potentielle.4 Travail effectué par la force de gravité: Cas a): W = F g. s = F g (y f - y i ) = F g Δy Cas b): W = F g. s = F // s a) b) = F g sin" # $y sin" = F g$y = y i F g s! y i s y f s = Δy F // F g α y f x i x f 8
Conservation de l'énergie mécanique y i Exemple: un corps initialement a repos, tombe de y i en y f F g E i = K i + U i = 0 + mgy i E f = K f + U f = K f + mgy f Si l'énergie mécanique est conservée E i = E f alors: y f g= +9.81 ms 2 0 + mgy i = K f + mgy f K f = mgy f mgy i = mg(y f y i )... permet de calculer la vitesse finale par K f = mv f2 /2... 9
Autre exemple d'e potentielle: l'e potentielle élastique Hooke avait étudié la proportionnalité entre force F et la déformation δ pour les objets élastiques (en particulier les ressorts). La loi d'hooke pour un objet de constante d'élasticité (ou du ressort) k: F = k δ avant après 0 0 δ F F x x Le travail fait par F = kx entre x=0 (ressort au repos) et x=δ vaut: " W = # Fdx = kxdx = 0 " # 0 x 2 2 k " 0 = 1 2 k" 2 W est l'énergie stockée dans la déformation élastique δ! 10
Interlude: lois de conservation, E = mc 2 et les antiparticules Conservation de l'énergie de la quantité de mouvement du moment cinétique de la charge électrique... Des contre-exemples? (1882-1935) http://www.emmynoether.com/ 11
Les lois de conservation.2 Un contre-exemple (physique): Pas de conservation du nombre de particules annihilation de l'électron et du positon: e + + e " # $$ Toutefois: * la charge électrique est conservée: Charge(e + ) + Charge(e ) = 0 = charge(γ)! * l'énergie de masse des deux particules est transformée en énergie électromagnétique ( particules gamma ), et l'énergie totale est conservée si l'on utilise la formule E= mc 2... 12
Annihilation électron positon Quand un électron rencontre un positon, il y a et on récupère l énergie E = 2 m c 2 annihilation ce sont deux rayons gamma d énergie >mc 2 chacun, que l on peut observer avec des détecteurs e + + e > γ γ (les ondes électromagnétiques: radio, infrarouge, visible, ultraviolet, rayons X, gamma) 13
Tomographie positons 14
Tomographie par émission de positons détecteurs de particules On injecte une substance métaboliquement active émettrice des positons gamma gamma La substance se concentre dans certaines régions du corps (tumeurs, régions du cerveau actives, ) Les positons s annihilent avec les électrons de la matière. Deux rayons gamma sont émis et observés par des détecteurs de particules 15
La tomographie positons permet d étudier le comportement du cerveau lire des mots sur un écran entendre des mots 16
La tomographie positons 17
tomographie films La tomographie positons permet de créer des images 3D de suivre l évolution temporelle du métabolisme d une substance 18
Isotopes pour TEP 19
Création de paires électron-positon L'effet opposé a aussi lieu: un rayon gamma qui frappe un atome se matérialise en un couple électron-positon Pour produire un couple électron-positon il faut disposer d une positon électron ENERGIE > 2mc 2 Conclusion: l'énergie totale est conservée! La charge électrique est aussi conservée,...mais pas le nombre d'électrons dans l'univers 20
Les forces dissipatives Les forces de frottement s'opposent toujours au déplacement du corps. Donc elles contribuent avec un travail < 0, c.à d. elles soustraient de l'énergie mécanique. Dans la figure, F f est parallèle au plan, elle est opposée à s, et a la valeur F f = "µ c F # = "µ c F g cos$ Le travail total vaut y i! W = (F g +! F f ). s = s (F // F f ) = = (F g sin" #µ c F g cos") $ %y sin" Donc l'énergie cinétique finale du corps sera plus petite qu'en l'absence de frottement F f F F // F g s α y f x i x f 21
Energie mécanique totale d'un système E = Energie cinétique + Energie potentielle K + U Conservation de l'énergie mécanique: en l'absence de forces agissant sur un système, l'énergie mécanique totale du système est une constante: E (t 1 ) = E(t 2 ) pour tout temps t 1 et t 2 Dans un système composé de plusieurs corps, on peut avoir une redistribution de l'énergie au cours du temps (choc), mais la somme totale doit être conservée E = " E i (t) = " K i (t) + U i (t) = cte i=1,n i=1,n 22
Conservation de l'energie totale Attention: en cas de forces de frottement, de déformations,... une partie de l'énergie mécanique se transforme en chaleur, modifications structurelles, chimiques,... On va devoir inclure ces effets par des termes additionnels E = K + U + chaleur +... Dans la théorie de la relativité, masse et énergie sont liées par E masse = mc 2, donc E = mc 2 + K + U +... 23
Echelle d'énergie Energie libérée par une supernova 10 44 Joules E solaire sur terre par an 1024 E consommée par l'homme par an 10 20 Bombe à fusion 15 Mtonnes 10 17 E produite par une centrale en 1 an 10 16 E de combustion 1 litre essence 10 7 E alimentaire pour 1 adulte par jour 10 7 E cinétique d'un homme qui court 10 3 E cinétique d'une balle de 5 g à la vitesse du son? Décharge d'un neurone 10-10 E d'un électron dans l'atome 10-18 E la plus élevée observée dans une particule cosmique 1 J 24
Conservation de l'energie mécanique. Exemple Objet de masse m jeté depuis une hauteur h du sol, à vitesse v i, dans une direction arbitraire. On veut calculer (le module de) la vitesse d'arrivée au sol. g=+9.81ms -2 E i = K i + U(h) = mv i2 /2 + mgh } E i = E f E f = K f + U(0) = mv f2 /2 + mg0 mv f2 /2 = mv i2 /2 + mgh v f = [ v i2 /2 + 2gh ] 1/2 h v f est donc indépendante! de la direction initiale 0 25
L'énergie potentielle gravitationnelle revisitée. U(h) = mgh est une expression utile à proximité de la surface terrestre. A distance r >> R, R = rayon terrestre, la force de gravitation faiblit et l'approximation n'est plus valable (si r << R aussi, d'ailleurs). On peut montrer que le travail effectué par F G dépend toujours exclusivement des point de départ et arrivée. La force de gravité est conservative. Comment définir l'e potentielle dans le cas général? U(r 1 ) r 1 r 2 U(r 2 ) Le travail effectué par F G le long des deux trajectoires est identique et vaut U(r 2 ) U(r 1 ) 26
Energie potentielle gravitationnelle.2 M r ^ r F G m Force de M sur m = F G = "G Mm r 2 ˆ r Travail pour porter m de r i à r f : W = r f r " # dr = $ " f G Mm r ˆ # dr = $ G! Mm dr r i F G = G Mm r f r i $ G Mm r i r 2 U(r) = "G Mm r r f " r i r 2 = G Mm r r f = La variation d'énergie du système vaut W = U(r f ) U(r i ) donc r i 27
Energie potentielle gravitationnelle.3 Voyons si cela est cohérent avec U(h) = mgh... A hauteur nulle de la surface terrestre, r = R U(R) = "G Mm R # U 0 On élève l'objet de h << R: U(R + h) = "G Mm! R + h = "GMm 1 R + h = = "GMm 1 R(1+ h/r) = "G Mm R 1 (1+ h /R)!! On utilise l'approximation! 1 1+ x "1# x U(R + h) = "G Mm Mm (1" h/r) = "G R R valable quand x<<1 + G Mm R 2 h = U 0 + mgh g = + 9.81 ms -2 28
Energie potentielle gravitationnelle.4 Examinons l'information transportée par la formule U(r) = "G Mm r U(r) 0 quand r U(r) quand r 0! U(r) Le point de référence naturel est le "zéro" à l'infini, quand la force est aussi nulle. Une particule de masse m qui "tombe" de l'infini à une distance r f change son E potentielle de U f U i = U(r f ) 0 = U(r f ) r Q.: que se passe-t-il quand r 0???? 29
Energie potentielle électrique La force coulombienne entre deux charges Q et q: Les charges se mesurent en "Coulomb" C et k = 9 10 9 N m 2 C 2 Attention: il n'y a pas de signe négatif comme dans le cas de la gravitation! En effet on a une force attractive (comme dans le cas de la gravitation) quand Qq<0 c. à d. pour des charges + ou +.! F = k Qq r 2 ˆ r On en déduit l E potentielle U(r) = k Qq r! 30
Le champ de force Le "champ" donne une description de la distribution des forces dans l'espace. Pour un champ "statique": F = F(x,y,z). Ex.: champ gravitationnel, utiliser la loi de Newton. Les "lignes de champ" décrivent la direction de la force: pour la déterminer, on place au point choisi une "masse de test" et on mesure son accélération. Dans le cas d'une seule masse les lignes sont distribuées radialement autour d'elle. 31
Le champ de force.2 Dans le cas de deux masses identiques... 32
Surfaces équipotentielles Ce sont les surfaces avec U = cte. Pour le champ gravitationnel d'une masse M sphérique, il s'agit de sphères concentriques. Sur toute la sphère de rayon r l'e potentielle pour un masse de test m on a U(r) =!G Mm r r De façon plus générale on introduit le concept de "potentiel": la valeur de U pour m = 1kg. V(r) =!G M r 33
Surfaces équipotentielles.2 Dans le cas de deux masses identiques... surfaces équipotentielles lignes du champ de la force gravitationnelle. Elles sont orthogonales aux surfaces équipotentielles. 34
Analogie: deux pics 35
La puissance indique la quantité de travail qu'un système peut fournir par unité de temps: P = dw/dt L'unité est le J / s = W (Watt) Donc P Δt est une énergie. Une centrale électrique : P = 100 à 1000 MW Le kwh (kilo Watt heure) correspond à l'énergie 1000 (1 heure) = 1000 60 60 = 3.6 10 6 J 36
Puissance.2 On peut dériver la puissance associée à une force F qui provoque le déplacement d'un objet à vitesse v W = F"s P = W "t = F"s "t = Fv! 37
Energie et travail dans mouvement circulaire v = "r K = 1 2 mv2 = 1 2 m ( "r ) 2 = 1 2 mr 2 " 2 = 1 2 I"2 F! déplacement correspondant à un angle θ: "s = r # r θ Δs Travail fait par une force F tangentielle! W = F"s = F r # = $ #! moment de la force par rapport au centre du cercle 38