Nouvelles propositions pour la résolution exacte du sac à dos multi-objectif unidimensionnel en variables binaires Julien Jorge julien.jorge@univ-nantes.fr Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique, UMR CNRS 6241, UFR de Sciences et Techniques de Nantes 11 mai 2010 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 1 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos 1 Le problème multi-objectif de sac à dos 2 Procédures en deux phases 3 Procédures de séparation et d évaluation 4 Conclusions et perspectives Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 2 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Exemple de problème de sac à dos multi-objectif (5, 6, 4) n objets (2, 2, 7) (8, 3, 6) (8, 2, 2) Profits (c 1 i,...,c p i ) Poids w i (1, 2, 8) Capacité ω du sac Quels objets pour un profit maximum? Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 3 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Exemple de problème de sac à dos multi-objectif Quelques solutions Maximiser le premier profit : valeur = (16, 5, 8) (8, 3, 6) (8, 2, 2) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 3 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Exemple de problème de sac à dos multi-objectif Quelques solutions Maximiser le premier profit : valeur = (16, 5, 8) (8, 3, 6) (8, 2, 2) Maximiser le second profit : valeur = (13, 9, 10) (5, 6, 4) (8, 3, 6) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 3 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Exemple de problème de sac à dos multi-objectif Quelques solutions Maximiser le premier profit : valeur = (16, 5, 8) (8, 3, 6) (8, 2, 2) Maximiser le second profit : valeur = (13, 9, 10) (5, 6, 4) (8, 3, 6) Maximiser le troisième profit : valeur = (3, 4, 15) (2, 2, 7) (1, 2, 8) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 3 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Le sac à dos en résumé De nombreuses variantes : nombre d exemplaires des objets (unitaire, entier) : domaine des profits, des poids, de la capacité (entiers, réels, unitaires) plusieurs contraintes (plusieurs poids par objet) un ou plusieurs profits (mono- multi-objectif)... Notre problème de sac à dos est N P-complet, #P-complet. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 4 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Formulation mathématique du problème R q = {y Rq : y i 0, i} R q = Rq \ (0,...,0) R q > = {y R q : y i > 0, i} n max z j (x) = c j i x i j {1,...,p}, c i N p s.c. i=1 n w i x i ω i=1 x i {0, 1} ω, w i N i {1,...,n} 01MOKP X est l ensemble des solutions réalisables Y = {z(x) : x X} Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 5 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Dominance de Pareto (illustrée) y > y R p Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 6 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Dominance de Pareto (illustrée) image non dominée solution efficace X E est l ensemble des solutions efficaces Y N = {z(x) : x X E } Ensemble complet maximal X EM ensemble complet minimal X Em Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 6 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Somme pondérée (Geoffrion, 1968) Soit λ R p. La somme pondérée P λ se formule max z λ (x) = p j=1 λ jz j (x) s.c. x X } P λ C est un problème mono-objectif Les solutions de P λ sont dites supportées Si λ R p >, ce sont des solutions efficaces (X SE, Y SN ) λ 1 λ 2 λ 3 En général, X SE X E λ 4 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 7 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Somme pondérée (Geoffrion, 1968) Soit λ R p. La somme pondérée P λ se formule max z λ (x) = p j=1 λ jz j (x) s.c. x X } P λ C est un problème mono-objectif Les solutions de P λ sont dites supportées Si λ R p >, ce sont des solutions efficaces (X SE, Y SN ) λ 1 λ 2 λ 3 En général, X SE X E X NE = X E \ X SE, (Y NN ) λ 4 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 7 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Méthodes de résolution exacte pour le sac à dos PSE, programmation dynamique (Martello et Toth, 1990) (mono-objectif) Dichotomie (Aneja et Nair, 1979) (X SE, Y SN ) Algorithmes en deux phases (Ulungu, 1995, Visée et al., 1998) bi-objectif, (X Em, Y N ) Dichotomie par ajout de contraintes (Degoutin et Gandibleux, 2002) (X Em, Y N ) Programmation dynamique (Bazgan et al. 2009) (Y N ) Analogie avec les plus longs chemins (Captivo et al. 2003) (Y N ) + algorithmes de réduction a priori dans le cas mono-objectif. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 8 / 50
Le problème multi-objectif de sac à dos Constat Résolution de MOKP, deux approches, deux difficultés : Programmation dynamique, plus longs chemins : algorithmes performants mais gourmands en mémoire À l opposé, une procédure en 2-phases, mais limitée au cas bi-objectif Remarques : 2-phases + ranking efficace sur d autres problèmes, quid de MOKP? 2-phases multi pour AP, jamais évaluée sur KP PSE : algo classique en optimisation, peu de travaux sur une procédure multi- (Bouibede-Hocine, 2007, Sourd et Spanjaard, 2008) Performantes pour KP mono-objectif, passage au multi? Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 9 / 50
Procédures en deux phases 1 Le problème multi-objectif de sac à dos 2 Procédures en deux phases 3 Procédures de séparation et d évaluation 4 Conclusions et perspectives Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 10 / 50
Procédures en deux phases Principe général Procédure initialement proposé par Ulungu (1995), appliquée au KP. Améliorée par Visée et al. (1998). Phase 1 (X SE ) : bi-objectif : dichotomie (Aneja et Nair, 1979) tri-objectif : partitionnement de l espace des poids (Przybylski, 2006) Phase 2 (X NE ) : PSE (Visée et al., 1998) ranking (affectation (Przybylski, 2006), chemins (Raith, 2008)) Toujours conserver la structure du problème Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 11 / 50
Procédures en deux phases Calcul de X SE, cas bi-objectif Phase 1 Phase 2 bi tri bi tri xp Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 12 / 50
Procédures en deux phases Phase 1 : dichotomie (illustration) 22 y r 14 y s 13 23 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 13 / 50
Procédures en deux phases Phase 1 : dichotomie (illustration) 22 y r 14 y s 13 23 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 13 / 50
Procédures en deux phases Phase 1 : dichotomie (illustration) 22 y r 19 y t 14 y s 13 19 23 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 13 / 50
Procédures en deux phases Phase 1 : dichotomie (illustration) 22 y r 19 y t 14 y s 13 19 23 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 13 / 50
Procédures en deux phases Phase 1 : dichotomie (illustration) 22 21 19 14 13 16 19 23... Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 13 / 50
Procédures en deux phases Phase 1 : dichotomie (Aneja et Nair) Procédure : 1 Calculer les solutions lexicographiquement optimales 2 Choisir deux points supportés adjacents y r et y s 3 Construire et résoudre P λ, λ (y r, y s ), obtenir y t N 2 4 Si λ y t λ y r, conserver y t 5 Si il reste des adjacences non traitées, retourner en 2 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 14 / 50
Procédures en deux phases Calcul de X SE, cas tri-objectif Phase 1 Phase 2 bi tri bi tri xp Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 15 / 50
Cas multi-objectif Procédures en deux phases W 0 = {λ R p > : λ p = 1 p 1 i=1 } permet d obtenir toutes les solutions supportées. λ 2 1 Chaque point de Y SN est optimal pour un P λ, λ choisi dans W 0 : 1 1 λ 1 W 0 (y) = {λ W 0 : λ y λ y, y Y SN } λ 3 Calcul de Y SN déterminer W 0 (y), y Y SN Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 16 / 50
Cas multi-objectif Procédures en deux phases W 0 = {λ R p > : λ p = 1 p 1 i=1 } permet d obtenir toutes les solutions supportées. Chaque point de Y SN est optimal pour un P λ, λ choisi dans W 0 : W 0 (y) = {λ W 0 : λ y λ y, y Y SN } 1,0 0,8 0,6 λ2 0,4 0,2 0 W 0 0,2 0,4 λ 0,6 0,8 1,0 1 Calcul de Y SN déterminer W 0 (y), y Y SN Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 16 / 50
Procédures en deux phases Illustration 1,0 Points initiaux : 0,8 y 1 = (16, 5, 8) y 2 = (13, 9, 10) 0,6 y 3 = (3, 4, 15) λ2 0,4 W 0 p (y 2 ) Exploration de la facette W 0 p (y 1 )/W 0 p (y 2 ) 0,2 W 0 p (y 3 ) W 0 p (y 1 ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 λ 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 17 / 50
Illustration Procédures en deux phases 1,0 0,8 Construction d un problème bi-objectif. 0,6 Puis calcul des solution supportées : λ2 0,4 W 0 p (y 2 ) y 4 = (9, 5, 14) 0,2 W 0 p (y 3 ) W 0 p (y 1 ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 λ 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 17 / 50
Illustration Procédures en deux phases Mise à jour de W 0 p (y) Exploration de la facette W 0 p (y 1 )/W 0 p (y 4 ) Pas de nouveau point. Toutes les facettes de W 0 p (y 1 ) ont été explorées : W 0 (y 1 ) = W 0 p (y 1 ) 1,0 0,8 0,6 λ2 0,4 0,2 0 Wp 0 (y 2 ) Wp 0 (y 1 ) Wp 0 (y 4 ) 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 W 0 p (y 3 ) λ 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 17 / 50
Illustration Procédures en deux phases 1,0 Traitemente de W 0 p (y 2 ). 0,8 Exploration de la facette 0,6 W 0 p (y 2 )/W 0 p (y 4 ) λ2 0,4 W 0 p (y 2 ) Nouveau point supporté : y 5 = (6, 8, 12) 0,2 W 0 p (y 4 ) W 0 (y 1 ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 W 0 p (y 3 ) λ 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 17 / 50
Illustration Procédures en deux phases 1,0 0,8 W 0 (y 5 ) Processus répété tant qu il existe des faces non explorées. λ2 0,6 0,4 W 0 (y 2 ) 0,2 W 0 (y 4 ) W 0 (y 1 ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 λ 1 W 0 (y 3 )... Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 17 / 50
Procédures en deux phases Calcul de X NE, cas bi-objectif Phase 1 Phase 2 bi tri bi tri xp Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 18 / 50
Procédures en deux phases Seconde phase, cas bi-objectif Espace représenté par des triangles. La seconde phase explore ces triangles un à un. 22 21 19 Procédure de Visée et al. : PSE «mono-objectif» 14 Y SN R 2 Évaluation des nœuds adaptée au cas multi-objectif. 13 16 19 23 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 19 / 50
Procédures en deux phases Amélioration de l évaluation : point utopique z 1 z 1 Relaxation objectif 1 z 1, arrêt si z 1 z 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 20 / 50
Procédures en deux phases Amélioration de l évaluation : point utopique z 2 z 2 Relaxation objectif 2 z 2, arrêt si z 2 z 2 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 20 / 50
Procédures en deux phases Amélioration de l évaluation : point utopique y U = ( z 1, z 2 ) Le point ( z 1, z 2 ) est dominé Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 20 / 50
Procédures en deux phases Amélioration de l évaluation : z λ plus serrée P λ Borne évaluée sur les points nadirs locaux. Relaxation objectif P λ z λ, arrêt si z λ z λ. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 21 / 50
Procédures en deux phases Amélioration de l évaluation : z λ plus serrée P λ Borne évaluée sur les images des solutions potentiellement efficaces. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 21 / 50
Procédures en deux phases Amélioration de l évaluation : z λ plus serrée P λ Borne évaluée sur les images des solutions potentiellement efficaces, avec conservation des solutions équivalentes. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 21 / 50
Procédures en deux phases Phase 2 : exploration des triangles avec un ranking Obtenir les solutions de P λ dans l ordre décroissant de z λ (x) Points forts : Trouve au plus tôt les solutions efficaces Ces solutions ne seront pas remises en question Incrément rapide de z λ Pour le sac à dos : une analogie KP plus longs chemins (PLC) un ranking pour les PLC Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 22 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking P λ borne inférieure z λ Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking valeur courante de z λ (x) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Illustration du ranking Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 23 / 50
Procédures en deux phases Calcul de X NE, cas tri-objectif Phase 1 Phase 2 bi tri bi tri xp Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 24 / 50
Procédures en deux phases Seconde phase, cas tri-objectif Espace non dominé non exploré à l issue de la phase 1 Y SN R p Y SN z 3 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 z2 161412108 z 1 6 4 2 0 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 25 / 50
Procédures en deux phases Cas multi-objectif Principale difficulté du passage bi-objectif à multi-objectif : l espace à explorer n est plus décrit de manière triviale Solution : autre description de la zone de recherche (Przybylski, 2006) Description de la zone de recherche Un ensemble de points D(U), U Y N tel que : aucun point n est dans l espace strictement dominé tout l espace non dominé est au dessus d un point de D(U) les points de D(U) ne se dominent pas Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 26 / 50
Mise à jour de D(U) Procédures en deux phases 1 Obtenir les points Q = {d D(U) : d y} y Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 27 / 50
Procédures en deux phases Mise à jour de D(U) 1 Obtenir les points Q = {d D(U) : d y} 2 j {1,...,p}, remplacer la coordonnée j de d Q par y j. Obtenir l ensemble Q de ces nouveaux points. y Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 27 / 50
Procédures en deux phases Mise à jour de D(U) 1 Obtenir les points Q = {d D(U) : d y} 2 j {1,...,p}, remplacer la coordonnée j de d Q par y j. Obtenir l ensemble Q de ces nouveaux points. 3 Retirer les d Q tels que d Q : d d y Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 27 / 50
Procédures en deux phases Mise à jour de D(U) 1 Obtenir les points Q = {d D(U) : d y} 2 j {1,...,p}, remplacer la coordonnée j de d Q par y j. Obtenir l ensemble Q de ces nouveaux points. 3 Retirer les d Q tels que d Q : d d 4 D(U {y}) D(U) \ Q Q Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 27 / 50
Procédures en deux phases Application du ranking 1,0 Le ranking est appliqué comme dans le cas bi-objectif, avec 0,8 W 0 (y 5 ) partitionnement de W 0 donne λ D(Y SN ) associé avec les les plus proches facettes λ2 0,6 0,4 W 0 (y 2 ) z λ adapté à D(Y SN ) 0,2 W 0 (y 4 ) W 0 (y 1 ) 0 0,2 0,4 λ 1 0,6 0,8 1,0 W 0 (y 3 ) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 28 / 50
Procédures en deux phases Expérimentations numériques Phase 1 Phase 2 bi tri bi tri xp Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 29 / 50
Procédures en deux phases Expérimentations numériques (bi-objectif) Pentium 4 à 3,73 GHz avec 3 Go de mémoire vive Phase 1 : P λ résolus par programmation dynamique (Martello et Toth, 1990) Environ 300 instances aux caractéristiques variées : A-1, B-1, C-1 de type random A-2, A-4 aux objectifs conflictuels A-3, A-4 aux profits générés par plateaux B-2, C-{2-3} aux profits corrélés B-3 profits corrélés avec les poids C-4 profits de B-3 et poids corrélés avec profits Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 30 / 50
Procédures en deux phases Conséquences de nos modifications de l évaluation Un gain allant jusqu à 60% sur des instances de 50 à 500 variables. 70 Pourcentage de gain CPU 60 50 40 30 20 10 0 0 100 200 300 400 500 Taille de l instance Gain moyen par taille d instance. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 31 / 50
Procédures en deux phases Temps de résolution (bi-objectif) Taille des instances 10 000 50 500 1 000 50 500 50 500 50 500 Programmation dynamique Ranking PLC 50 50 1000 50 1000 100 CPU (s.) 10 1 0,1 0,01 0,001 A-1 A-2 A-3 A-4 B-1 Instance B-2 B-3 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 32 / 50
Procédures en deux phases Temps de résolution (bi-objectif) Taille des instances 10 000 100 700 600 4000 100 500 100 250 4 1 7 1 000 CPU (s.) 100 10 1 0,1 C-1 Prog. dynamique Ranking C-2 C-3 Instance C-4 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 32 / 50
Procédures en deux phases Évidence du point faible du ranking 45000 46000 47000 48000 49000 50000 51000 52000 46900 46950 47000 47050 47100 47150 z 2 z 1 Points visités X Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 33 / 50
Procédures en deux phases Nombre de solutions (bi-objectif) 10000 50 500 50 500 X EM XEm 50 500 50 500 50 50 1000 50 1000 Nombre de solutions 1000 100 10 1 A-1 A-2 A-3 A-4 B-1 Instance B-2 B-3 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 34 / 50
Procédures en deux phases Nombre de solutions (bi-objectif) 10000 100 700 600 4000 100 500 100 250 Nombre de solutions 1000 100 10 1 C-1 C-2 Instance C-3 X Em X EM C-4 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 34 / 50
Procédures en deux phases Expérimentations numériques (tri-objectif) Présentation des instances 700 instances D-1 de type random D-2 second profit corrélé avec le premier, troisième profit corrélé avec les deux autres Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 35 / 50
Procédures en deux phases Expérimentations numériques (tri-objectif), résultats Taille des instances CPU (s.) 10 000 1 000 100 10 5 10 30 50 70 90 110 130 150 170 19010 30 50 70 90 110 9 4 1 9 6 2 8 8 7 3 2 6 3 1 9 1 0,1 Ranking Prog. dynamique D-1 D-2 Instance Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 36 / 50
Procédures en deux phases Expérimentations numériques (tri-objectif), résultats 35 000 Taille de X EM 7 8 30 000 3 25 000 20 000 15 000 2 8 10 000 5 000 0 0 50 100 150 200 Taille de l instance Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 37 / 50
Procédures de séparation et d évaluation 1 Le problème multi-objectif de sac à dos 2 Procédures en deux phases 3 Procédures de séparation et d évaluation 4 Conclusions et perspectives Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 38 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Grandes lignes Trois éléments dans les PSE : 1 Ordre des sélection des variables 2 Évaluation des nœuds 3 Ordre de traitement des nœuds Pour le KP mono : 1 Efficacité d un objet c w ց 2 Relaxation linéaire 3 Profondeur d abord PSE pour KP mono grandement aidées par une fixation a priori des variables. Quid de MOKP? Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 39 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Une procédure de réduction de problème pour MOKP Ensemble des données : V = {v i = (ci 1,...,c p i, w i )} Définition de : Pref(i) = {j : v j V v i } Dom(i) = {j : v j V v i } w i Dom Propriétés : 1 x i = 0 si j Pref(i) w j + w i > ω Pref 2 x i = 1 si j Dom(i) w j ω w i c i En pratique, résultat mitigés, efficaces sur les instances bi- sans corrélation. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 40 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր c i w i Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր π 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր π 2 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր (6, 3) (3, 2) (5, 6) (4, 1) π min (2, 5) (1, 4) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր (6, 3) (3, 2) (5, 6) (4, 1) π max (2, 5) (1, 4) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր π sum Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր π rg Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր π dom Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Ordre de considération des objets Multi-objectif : π j : un objectif à la fois rang (position selon π j ) min, max et somme, croissant rang «niveau de dominance» préférence pour les non dominés nombre de données dominantes, ր π # Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 41 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Évaluation des nœuds Description de l espace de recherche D(U) point utopique (cf phase 2) mono (vers utopique) enveloppe, de utopique à conv(y SN ) (phase 1 utilisée par la suite) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 42 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Évaluation des nœuds Description de l espace de recherche D(U) point utopique (cf phase 2) mono (vers utopique) enveloppe, de utopique à conv(y SN ) (phase 1 utilisée par la suite) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 42 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Évaluation des nœuds Description de l espace de recherche D(U) point utopique (cf phase 2) mono (vers utopique) enveloppe, de utopique à conv(y SN ) (phase 1 utilisée par la suite) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 42 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Évaluation des nœuds Description de l espace de recherche D(U) point utopique (cf phase 2) mono (vers utopique) enveloppe, de utopique à conv(y SN ) (phase 1 utilisée par la suite) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 42 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Branchement Profondeur d abord : Sélection de la première variable x i libre selon l ordre initial Brancher sur x i = 1, diffusion sur Pref(v i ) Brancher sur x i = 0, diffusion sur Dom(v i ) Délai : Même sélection Préparer et évaluer un nœud pour x i = 1 Préparer et évaluer un nœud pour x i = 0 Ajouter ces nœuds dans une file d attente Brancher sur le nœud en tête de file Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 43 / 50
Procédures de séparation et d évaluation File d attente des nœuds Critère de sélection du suivant : ratio résiduel au plus loin de 1 2 solutions supportées du sous arbre peu dominées un maximum de solutions supportées capacité disponible la plus faible cardinalité la plus grande Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 44 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Temps de résolution en moyenne (profondeur), D-1 CPU (s.) 10 000 1 000 100 10 1 π 1 π 2 π 3 π dom π max π min π sum π rnd π rg π # 2-phases 8 5456163265 0,1 0,01 0,001 10 20 30 40 50 60 70 Nombre de variables Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 45 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Temps de résolution en moyenne (délai), D-1 CPU (s.) 10 000 1 000 100 10 1 π 1 π 2 π 3 π dom π max π min π sum π rnd π rg π # 9 9 9 86 7 5644222322 0,1 0,01 0,001 10 20 30 40 50 60 Nombre de variables Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 46 / 50
Procédures de séparation et d évaluation Nombre de nœuds en moyenne π min, D-1 10 20 30 40 50 60 70 z U 43, 5% 60, 2% 60, 8% 71, 7% 64, 8% 74, 6% 66, 2% P λ 0, 7% 4, 8% 16, 4% 16, 3% 28, 4% 22, 2% 30, 8% Vus 58 814 6416 3, 6.10 4 2, 4.10 5 8, 5.10 5 2, 1.10 6 Nœuds fermés et nombre de nœuds visités (profondeur) 10 20 30 40 50 60 z U 46, 9% 63, 5% 58% 66% 67, 6% 57, 7% P λ 0% 2, 3% 13, 9% 13, 4% 15, 5% 22, 5% conv 20, 34% 13% 16, 3% 13, 3% 12, 4% 17, 8% Vus 27 350 2383 1, 2.10 4 5, 7.10 4 1, 1.10 5 Nœuds fermés et nombre de nœuds visités (délai) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 47 / 50
Conclusions et perspectives 1 Le problème multi-objectif de sac à dos 2 Procédures en deux phases 3 Procédures de séparation et d évaluation 4 Conclusions et perspectives Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 48 / 50
Conclusions Conclusions et perspectives Programmation dynamique : multi-objectif, rapide et gourmand 2-phases : lent mais endurant La 2-phases bi-objectif avec ranking surpasse l existant 2-phases : jamais évaluée pour plus de 2 objectifs sur MOKP Une limitation qui n a plus lieu d être. L efficacité de la méthode est confirmée. PSE : une approche principalement mono-objectif, deux travaux sur du bi-objectif Deux procédures multi-objectif Une nouvelle approche pour la réduction de problème Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 49 / 50
Perspectives Conclusions et perspectives PSE : le passage au multi révèle plusieurs verrous Positionnement par rapport à ǫ-contrainte, k PPM? Réduction de problème : une procédure aux performances discrètes Procédure par comparaison de frontières et d ensembles bornant? 2-phases : Extraction d un type d instance bloquant le ranking Influence directe des données, nécessité de caractériser les instances. Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 50 / 50
Nouvelles propositions pour la résolution exacte du sac à dos multi-objectif unidimensionnel en variables binaires Julien Jorge julien.jorge@univ-nantes.fr Laboratoire d Informatique de Nantes Atlantique, UMR CNRS 6241, UFR de Sciences et Techniques de Nantes 11 mai 2010 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 1 / 1
Illustration Points initiaux : y 1 = (16, 5, 8) y 2 = (13, 9, 10) y 3 = (3, 4, 15) Face Wp(y 0 1 )/Wp(y 0 2 ) : λ W 0 : λ y 1 = λ y 2 λ 1 y1 1 +λ 2y2 1 +(1 λ 1 λ 2 )y3 1 =λ 1 y1 2 +λ 2y2 2 +(1 λ 1 λ 2 )y3 2 1,0 0,8 0,6 λ2 0,4 0,2 W 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 λ 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 2 / 1
Illustration Points initiaux : y 1 = (16, 5, 8) y 2 = (13, 9, 10) y 3 = (3, 4, 15) Face Wp(y 0 1 )/Wp(y 0 2 ) : λ W 0 : λ y 1 = λ y 2 λ 1 y1 1 +λ 2y2 1 +(1 λ 1 λ 2 )y3 1 =λ 1 y1 2 +λ 2y2 2 +(1 λ 1 λ 2 )y3 2 5λ 1 2λ 2 2 = 0 1,0 0,8 0,6 λ2 0,4 0,2 0 5λ 1 2λ 2 2 = 0 W 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 λ 1 Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 2 / 1
Description de la zone de recherche D(U) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 z 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 z2 161412108 z 1 6 4 2 0 Toutes les solutions efficaces ont leur image dans 0+R p, représenté par D(0) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 3 / 1
Description de la zone de recherche D(U) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 z 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 z2 161412108 z 1 6 4 2 0 La connaissance d un point y Y N invalide une partie de l espace décrite par (D(U)+R p ) (y Rp ) Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 3 / 1
Description de la zone de recherche D(U) 16 14 12 10 8 6 4 2 0 z 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 z2 161412108 z 1 6 4 2 0 déterminer les remplaçants à d D(U) (y R p ) pour décrire l espace hors de y R p Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 3 / 1
Temps de résolution en moyenne, D-2 CPU (s.) 10 000 1 000 100 10 1 π 1 π 2 π 3 π dom π max π min π sum π rnd π rg π # 2-phases 8 9 6 8 9 9 0,1 0,01 0,001 10 20 30 40 Nombre de variables Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 4 / 1
Temps de résolution en moyenne (délai), D-2 CPU (s.) 10 000 1 000 100 10 1 π 1 π 2 π 3 π dom π max π min π sum π rnd π rg π # 4 2 5 3 1 1 1 5 1 1 0,1 0,01 0,001 10 20 30 40 Nombre de variables Julien Jorge (LINA) Soutenance de thèse 11 mai 2010 5 / 1