SOMMAIRE Descriptif de l épreuve 5 Conseils généraux 6 Les suites numériques 7 Cours 7 Méthodes : Montrer qu une suite est arithmétique 2 Montrer qu une suite est géométrique 2 3 Calculer un terme d une suite arithmétique dont on connaît le premier terme u o et la raison r 3 4 Calculer un terme d une suite géométrique dont on connaît le premier terme u o et la raison q 4 5 Calculer une somme de termes consécutifs d une suite arithmétique 4 6 Calculer une somme de termes consécutifs d une suite géométrique 6 7 Obtenir et comparer les termes de suites à l aide de la calculatrice 8 Exercices 20 Sujets du Bac 22 Corrigés 27 2 Les séries statistiques à une variable 35 Cours 35 Méthodes : Construire un diagramme en boîte 42 2 Déterminer la moyenne et l écart type d une série à caractère continu 43 Exercices 45 Sujets du Bac 48 Corrigés 50 3 Les séries statistiques à deux variables 55 Cours 55 Méthodes : Effectuer un ajustement affine d un nuage de points si on connaît deux points de la droite d ajustement 58 2 Effectuer un ajustement affine d un nuage de points si on connaît un point et le coefficient directeur de la droite d ajustement 59 3 Effectuer un ajustement affine d un nuage de points si on connaît l équation de la droite d ajustement 60 Exercices 63 Sujets du Bac 66 Corrigés 68 4 Les probabilités 73 Cours 73 Méthodes : Compléter un tableau à double entrée 82 2 Utiliser un tableau à double entrée pour le calcul de probabilités 84 3 Compléter un arbre pondéré 87 4 Utiliser un arbre pondéré pour le calcul de probabilités 89 Exercices 9 Sujets du Bac 94 Corrigés 97
5 Les fonctions 03 Cours 03 Méthodes : Obtenir la courbe représentative d une fonction et un tableau de valeurs à l aide d une calculatrice 0 2 Lire des images et des nombres dérivés 3 Tracer la tangente à une courbe 3 4 Résoudre graphiquement des équations et des inéquations de la forme f(x) = k et f(x) > k 4 5 Résoudre graphiquement des équations et des inéquations de la forme f(x) = g(x) et f(x) > g(x 6 6 Étudier le signe de la dérivée d une fonction afin d en déduire son sens de variation 7 7 Établir le sens de variation d une fonction à partir de son expression algébrique 20 Exercices 22 Sujets du Bac 25 Corrigés 35 6 La fonction logarithme décimal 49 Cours 49 Méthodes : Simplifier des écritures utilisant les logarithmes décimaux 53 2 Résoudre des équations et des inéquations 54 3 Utiliser le logarithme décimal pour étudier des suites géométriques 57 Exercices 59 Sujets du Bac 64 Corrigés 69 7 Les fonctions exponentielles 80 Cours 80 Méthodes : Simplifier des écritures utilisant les exposants réels 84 2 Résoudre des équations et des inéquations 85 3 Utiliser les fonctions de la forme x ka x 87 Exercices 89 Sujets du Bac 94 Corrigés 97
Les suites numériques Chapitre Les suites arithmétiques les suites géométriques A Les suites arithmétiques On passe d un terme au suivant en ajoutant à chaque fois un même nombre r appelé raison de la suite La suite est donc définie par la donnée du premier terme u 0 ou u (précisé dans l exercice) et de la raison r Ex :, 3, 5, 7, 9, Alors u 0 =, u = 3, u 2 = 5, u 3 = 7 On passe d un terme au suivant en rajoutant 2 Cette suite est donc une suite arithmétique de premier terme u 0 = et de raison r = 2 Ïu 0 = Óu n+ + 2 Expression de u n + en fonction de u n : u n + + r Expression de u n en fonction de n et u 0 : u n + rn Dans l exemple, u n = + 2n Expression de u n en fonction de n et u p : u n = u p + r(n p Dans l exemple, en prenant p =, on obtient : u n = u + 2(n ) = 3 + 2n 2 = + 2n On retrouve ainsi la formule précédente en utilisant la valeur de u au lieu de u 0 (On utilisera cette expression lorsque la suite est définie à partir de u et non de u 0 ) Si r > 0, alors la suite est croissante (u n + > u n : les nombres de la suite sont de plus en plus grands Si r < 0, alors la suite est décroissante (u n + < u n : les nombres de la suite sont de plus en plus petits 7
Les suites numériques cours méthodes exercices sujets bac corrigés B Les suites géométriques On passe d un terme au suivant en multipliant à chaque fois par un même nombre q appelé raison de la suite La suite est donc définie par la donnée du premier terme u 0 ou u et de la raison q En ST2S, on se limite à u 0 > 0 et q > 0 Ex 2 :, 3, 9, 27, 8 Alors u 0 =, u = 3, u 2 = 9, u 3 = 27 On passe d un terme au suivant en multipliant par 3 Cette suite est donc une suite géométrique de premier terme u 0 = et de raison q = 3 ÏÔ u 0 = ÓÔ u n+ 3 Expression de u n + en fonction de u n : u n + q Expression de u n en fonction de n et u 0 : u n q n Dans l exemple 2, u n = 3 n = 3 n Expression de u n en fonction de n et u p : u n = u p q n p Dans l exemple, en prenant p =, on obtient : u n = u 3 n = 3 3 n On retrouve bien la même formule : en effet, 3 3 n = 3 n (On utilisera cette expression lorsque la suite est définie à partir de u et non de u 0 ) Si q >, alors la suite est croissante (u n + > u n Si 0 < q <, alors la suite est décroissante (u n + < u n 2 Représentation graphique Une suite (u n ) est représentée dans le plan par l ensemble des points de coordonnées (n ; u n 8
Les suites numériques COURS méthodes EXERCICES SUJETS BAC CORRIGÉS montrer qu une suite est arithmétique ExERCiCE type Au er janvier 2000, la population de la ville A À l aide de l énoncé, on repère est de 3 500 habitants En étudiant l évolution le premier terme et la raison, puis de la population de cette ville, entre 2000 et u on écrit : 0 = 2007, on observe que celle-ci a augmenté de { un + + 250 personnes tous les ans On note u 0 la population au er janvier 2000 et u n la population au er janvier 2000 + n On définit ainsi une suite (u n Montrer que cette suite est une suite arithmétique CoRRigé CoMMEnté Le premier terme de la suite est u 0 = 3 500 Pour obtenir u n+, il faut rajouter 250 à u n ÏÔ u Alors 0 = 3 500 ÓÔ u n+ + 250 Cette suite est donc une suite arithmétique de premier terme u 0 = 3 500 et de raison 250 ExERCiCE type 2 Le er août 2007 une pisciculture comporte 2 000 poissons dans un de ses bassins Le pisciculteur, inquiet de l évolution de sa population, décide de les compter hebdomadairement Il remarque que leur nombre diminue de 20 toutes les semaines On note u 0 le nombre de poissons le er août 2007 et u n le nombre de poissons au bout de la n-ième semaine On définit ainsi une suite (u n Montrer que cette suite est une suite arithmétique CoRRigé CoMMEnté Le premier terme de la suite est u 0 = 2 000 Pour obtenir u n +, il faut soustraire 20 à u n ÏÔ u Alors 0 = 2 000 ÓÔ u n+ - 20 Cette suite est donc une suite arithmétique de premier terme u 0 = 2 000 et de raison ( 20
Les suites numériques COURS méthodes EXERCICES SUJETS BAC CORRIGÉS 2 montrer qu une suite est géométrique ExERCiCE type 3 Au er janvier 2000, la population de la ville À l aide de l énoncé, on repère B est de 650 habitants En étudiant l évolution de la population de cette ville, entre u 0 le premier terme et la raison, puis = 2000 et 2007, on observe que celle-ci a augmenté de 5 % tous les ans on écrit : { un + On note v 0 la population au er janvier 2000 et v n la population au er janvier 2000 + n On définit ainsi une suite (v n Montrer que cette suite est une suite géométrique CoRRigé CoMMEnté Le premier terme de la suite est v 0 = 650 Augmenter un nombre de 5 % revient à le multiplier par + 5 00 =,05 Donc, pour obtenir v n + il faut multiplier v n par,05 ÏÔ v Alors 0 = 650 ÓÔ v n+ = v n,05 Cette suite est une suite géométrique de premier terme v 0 = 650 et de raison,05 À REtEniR Augmenter un nombre de a % revient à le multiplier par + a 00 ExERCiCE type 4 Dans un autre de ses bassins comportant 500 poissons au er août 2007, le pisciculteur de l exemple 2 remarque que le nombre de poissons diminue de 2 % toutes les semaines On note v 0 le nombre de poissons le er août 2007, v n le nombre de poissons au bout de la n-ième semaine On définit ainsi une suite (v n Montrer que cette suite est une suite géométrique CoRRigé CoMMEnté Le premier terme de la suite est v 0 = 500 2
Les suites numériques COURS MÉTHODES SUJETS BAC CORRIGÉS EXERCICES S entraîner 7 5 min (u ) est une suite arithmétique de premier terme u = 2 et de raison 3 n 0 Calculer u 20, puis la somme S + u + u 2 + + u 20 Corrigé p 27 8 5 min (u ) est une suite arithmétique telle que u = 4 et u = 58,4 n 0 7 Quelle est sa raison? Corrigé p 27 9 0 min (u ) est une suite géométrique de premier terme u = 256 et de n 0 raison,5 Calculer u 8, puis la somme S + u + u 2 + + u 8 Corrigé p 27 0 5 min (u ) est une suite géométrique telle que u = 25 et u = 5,84 n 0 4 Quelle est sa raison? Corrigé p 27 5 min La somme des sept premiers termes d une suite géométrique de raison 0,5 est 57,5 Quel est son premier terme? Corrigé p 28 2 0 min La somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison 3 est 26 572 Calculer n sachant que le premier terme est 0, Corrigé p 28 3 5 min Calculer les sommes : S = 38 + 47 +56 + 65 + 74 + + 46 S 2 = 5 + 0 + 20 + 40 + 80 + + 40 960 S 3 = 000 + 900 + 80 + 729 + (S 3 contient 8 termes S 4 = 3 + 4,3 + 5,6 + 6,9 + 8,2 + (S 4 contient 00 termes Corrigé p 28 4 0 min Lors d une période de crue, la hauteur d eau d une rivière était de 2,50 m à midi Elle augmente régulièrement de 5 cm par heure À quelle heure sera atteinte la cote d alerte qui est de 3,80 m? Corrigé p 28 5 5 min Que devient un capital de 2 500 _ placé pendant 8 ans à intérêts composés au taux annuel de 6 %? Corrigé p 29 6 0 min La population d un département rural diminue de 2 % en moyenne par an Dans combien d années la population aura-t-elle diminué de moitié? Corrigé p 29 2
Les suites numériques cours méthodes exercices sujets bac corrigés 7 30 min Un pays en voie de développement comptait, en l an 2000, quatre millions d enfants d âge scolaire mais seuls 800 000 d entre eux étaient scolarisés Des études statistiques ont montré que l on pouvait construire un modèle mathématique de l évolution de la situation en considérant que : la population d âge scolaire augmente de 3 % par an ; la population scolarisée augmente de 60 000 par an On note p n la population d âge scolaire et s n la population scolarisée en l an (2000 + n), p n et s n étant exprimés en milliers et arrondis à l unité si nécessaire On a ainsi p 0 = 4 000 et s 0 = 800 Quelle est la nature de la suite (p n )? En déduire l expression de p n en fonction de n 2 Quelle est la nature de la suite (s n )? En déduire l expression de s n en fonction de n 3 Calculer p 3 et p 6 puis s 3 et s 6 4 Quel était le pourcentage d enfants scolarisés dans la population d âge scolaire en 2000? Et en 2003? Quel sera-t-il en 206? 5 On veut déterminer en quelle année, pour la première fois, plus de la moitié de la population d âge scolaire sera scolarisée Pour cela, on envisage de remplir à l aide d un tableur un tableau du type ci-dessous : A B C D Population d âge Population Année n scolaire : p n scolarisée : s n 2 2000 0 4 000 800 3 200 4 2002 2 5 2003 3 6 2004 4 a) Quelle formule faut-il écrire en C3, à recopier vers le bas, pour remplir la colonne C? b) Quelle formule faut-il écrire en D3 pour remplir la colonne D? c) Déterminer à l aide de la calculatrice le plus petit entier n tel que : s n > 2 p et conclure n Corrigé p 29 22
Les suites numériques COURS MÉTHODES EXERCICES SUJETS BAC Corrigés Énoncé p 20 b) ; 2 c 2 Énoncé p 20 a) ; 2 b 3 Énoncé p 20 a) ; 2 d 4 Énoncé p 20 c) ; 2 a 5 Énoncé p 20 c 6 Énoncé p 20 d 7 Énoncé p 2 u 20 + 20 3 = 2 + 60 = 62 Ê S = 2 2 + 62 ˆ Ë Á 2 = 672 8 Énoncé p 2 u 7 + 7r (si r est la raison D où 4 + 7r = 58,4 puis 7r = 54,4 d où r = 54,4 7 S contient 2 termes de u 0 à u 20 et donc r = 3,2 9 Énoncé p 2 u 8,5 8 = 256,5 8 = 6 56 Ê S = 256 -,59 ˆ Ë Á -,5 = 9 7 S contient 9 termes 0 Énoncé p 2 u 4 q 4 (si q est la raison D où 25 q 4 = 5,84 puis q 4 = 2,0736 Pour trouver q, on remarque que 4 = et que 2 4 = 6 donc q est entre et 2 On essaie alors, 4 =,464 puis,2 4 = 2,0736 On constate donc que q =,2 Une autre méthode pour résoudre une équation du type a n = b sera vue dans le chapitre 6, La fonction logarithme décimal 27