Terminale S - ACP Ex1 : Antilles Septembre 2006 Partie A - Restitution organisée des connaissances On suppose connu le résultat suivant : Si est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif alors, pour tout réel positif, a)) Démontrer l'égalité =. =. b)) En déduire que pour et réels positifs, l'égalité suivante est vraie : += Partie B : La durée d'attente exprimée en minutes à chaque caisse d'un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif. 1. a. Déterminer une expression exacte de sachant que : 10=0,7. On prendra pour la suite de l'exercice, la valeur 0,12 comme valeur approchée de. 1. b. Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle! 15. 1. c. Sachant qu'un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près de la réponse. 2. On suppose que la durée d'attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10 minutes. 2. a. Donner la nature et les paramètres caractéristiques de Y. 2. b. Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d'attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes. Déterminer à 0,01 près la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses. Ex2 : Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Il est prévu que l autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km. Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d espérance µ = 200 et d écart-type # = 40. 1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville? 2. La probabilité de pouvoir faire l aller-retour jusqu à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01? Justifier votre réponse. EX 3 (d après 2013 06 Polynésie STI2D STL) Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l industrie. L objectif de cet exercice est d exploiter divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production. A. Loi normale Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l intervalle [74,4; 75,6]. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire L suit la loi normale d espérance 75 et d écart type 0,25. 1. Calculer )74,4 * 75,6. 2. Quelle valeur doit-on donner à h pour avoir )75 h * 75+h = 0,95? B. Loi binomiale Les pièces produites par l entreprise sont livrées par lots de 20. On note D l événement : «une pièce prélevée au hasard dans la production n est pas conforme». On suppose que P(D) = 0,02. On prélève au hasard 20 pièces dans la production. La production est assez importante pour que l on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu il contient. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02. 2. Calculer la probabilité P(X = 0). 3. Calculer la probabilité qu il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20 pièces. 4. Calculer l espérance mathématique, E(X), de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.
Ex4 : Pondichéry avril 2014 Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. 1. La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre, où est un réel strictement positif. On sait que 2=0,15. Déterminer la valeur exacte du réel. Dans la suite de l exercice on prendra 0,081 pour valeur de. 2. a. Déterminer 3. b. Montrer que pour tous réels positifs t et h, / +h= h c. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu il fonctionne encore 2 ans? d. Calculer l espérance de la variable aléatoire X et donner une interprétation de ce résultat. 3. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à 10 3 près. L entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux. Le résultat de ce test remet-il en question l annonce de l entreprise A? Justifier (On pourra s aider d un intervalle de fluctuation.) Ex1 Antilles Septembre 2006 Partie A - Restitution organisée des connaissances Si est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif alors, pour tout réel positif, =1 < =1 =1 1 =1 2 1 4 =1 5 6 =1+ 1 = Pour tous réels et positifs : + = 7 +9 = + = :; = ; = ; = =.
Partie B : 1. a. Déterminer une expression exacte de sachant que : 10=0,7. 10=0,7 10 1 =0,7 0 5 6 0 10 =0,7! +1=0,7! =0,3 10=ln0,3 = 1 10 ln0,3 On remarque que!! ln0,3 0,1204 1. b. Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle! 15.! 15=! 10+5 =5 cf R.O.C : loi de durée de vie sans vieillissement or 5= @ =,A, cf R.O.C D où! 15=,A 1. c. Sachant qu'un client a déjà attendu BC minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes. «un client a déjà attendu 10 minutes» : 10 «un client n attend pas plus de 15 minutes» : 15! 15=1! 15=1,A 0,45 Ainsi, la probabilité qu'un client ayant déjà attendu 10 minutes à une caisse n attende pas plus de 15 minutes est égale à 1,A en valeur exacte, ou 0,45 à 0,01Dè. 2.a on répète 6 fois de manière identique et indépendante une même épreuve qui n a que deux issues : E «le temps d attente est supérieur à 10mn» de probabilité E=10=0,3 et E de probabilité 0,7 donc la variable aléatoire G qui désigne le nombre de caisses pour lesquelles la durée d'attente est supérieure à 10 minutes, suit une loi binomiale de paramètres 6 et 0,3. 2.b. H «le temps d attente est supérieur à 10mn à au moins 4 des 6 caisses» : I J K=G 4 =G=4+G=5+G=6 =L 6 4 M 0,3N 0,7 O +L 6 5 M 0,3@ 0,7! +L 6 6 M 0,3A 0,7 =15 0,3 N 0,7 O +6 0,3 @ 0,7! +0,3 A 0,07047 Ainsi, la probabilité d'ouverture de nouvelles caisses est de 0,07 à 0,01 près. Ex2 Soit X la variable aléatoire désignant l autonomie en km. suit la loi normale P200 ;40 1 «ne pas atteindre cette ville» : <160 <160=0,5 160< 200 0,16 La probabilité de ne pas atteindre cette ville est 0,16 2 «pouvoir faire l aller-retour jusqu à cette ville sans recharge des batteries» : 320
320=0,5 200<<320 0,0013<0,01 La probabilité de pouvoir faire l aller-retour sans recharge est inférieure à un centième. EX 3 (d après 2013 06 Polynésie STI2D STL) Partie A. L suit une loi normale N( 75, 0,25²) soit Q=75 et#=0,25 1 On a donc p( 74,4 < L < 75,6) = normalfrep( 74,4, 75,6, 75, 0,25 ) = 0,9836..= 0,984 à 10-3 près 2 )75 h * 75+h= 0,95 )Q h * Q+h = 0,95 Si * suit la loi normale P75 ;0,25 O alors G= RS@ suit la loi normale P0 ;1,O@ 75 h * 75+h h 0,25 * 75 0,25 h 0,25 Cours : Pour G qui suit la loi normale P0 ;1, on a 1,96 G 1,96=0,95 D où U =1,96 donc h=1,96 0,25=0,49,O@ Partie B. 1. Il s agit d une expérience de Bernoulli (succès p = 0,02 échec q= 0,98) répétée n = 20 fois dans les mêmes conditions et de façon indépendante, donc le nombre X de succès suit une loi binomiale B(n,p) = B(20, 0,02) 2. On a alors = 0=L 20 0 M 0,020 0,98 20 =0,98 20 0,668 binomfdp( n, p, k) = binomfdp(20, 0,02, 0) 3. ) 1 = 1 = 0 = 0,332 à 10 Y près 4. L espérance d une loi binomiale est facile : Z= [ = 20 0,02 = 0,4 Donc en moyenne, sur 20 pièces, il y en aura 0,4 de non conforme Ou plutôt : sur 200 pièces, 4 seront non conformes en moyenne (Ou 40 sur 2000 etc..) Ex4 1. La durée de vie, exprimée en années, d un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un réel strictement positif. D après le cours : \ ]=1 Donc pour 0, = =1 Donnée : 2=0,15 _ ^ =2 1 ^ 4 = ^+_ = _ ^ _ 2=0,15 1 O =0,15 O =0,85 2=ln0,85 = 1 2 ln0,85 D où =! O ln0,85 0,081 Dans la suite de l exercice on prendra 0,081 pour valeur de λ.
2. a. Pour t 0 : =1 =1 71 9= Donc ) 3= Y,`! =,ONY 0,78 b. Pour tous réels positifs t et h : = +h= :U Pour tous réels et positifs : +h = 7 +h9 = +h = :U = U = U =h c. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. La probabilité pour qu il fonctionne encore 2 ans est : Y 3+2=2=1 2=1 0,15=0,85. d. D après le cours, pour une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ, l espérance de X est Z=! =!,`! 12,35 Ce qui veut dire que la durée moyenne de vie d un moteur est de 12,35 années. 3. L entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1%. Afin de vérifier cette affirmation 800 moteurs sont prélevés au hasard. Pour une proportion p et un échantillon de taille n, l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% est : Au seuil de 0,95 : h i =j 1,96 k1 ;+1,96 k1 m [ [ Avec les conditions d application, [ 30 [ 5 [1 5 L échantillon de l enquête est de taille n = 800 et l entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux est égal à 1% donc p = 0,01. Regardons si les trois conditions sont vérifiées : [ = 800 30, [ = 800 0,01 = 8 5 [1 = 800 0,99 = 792 5. Intervalle : 1,96 k1 0,0031 1,96 k1 0,0168 [ [ D où h` =[0,003 ;1,017] On constate que 15moteurs sont détectés défectueux sur 800, ce qui fait une fréquence de n =!@ ` =0,0187515 Prise de décision n h` I donc, au seuil de 95%, le résultat de ce test remet en question l annonce de l entreprise.