MATHEMATIQUES ET ELEVES EN DIFFICULTE I. Repérage et signalement des élèves en difficulté en mathématiques. a) Le repérage des difficultés. Il n est pas aisé de définir objectivement un élève en difficulté en mathématiques. Le repérage des difficultés d un élève se base en partie sur les résultats aux évaluations proposées à la classe, ce qui conduit à prendre en compte plusieurs facteurs subjectifs : le support d évaluation est mis au point par le maître ou par une équipe d enseignants ; il dépend du travail mis en place avec les élèves et se retrouve en partie tributaire du contexte de la classe ou de l école (à cet égard, un bon élève pourrait devenir un élève moyen dans une autre école). Selon D. Butlen et M. Pézard, on peut proposer une définition des élèves en difficulté en mathématiques en prenant en compte deux types de critères : - des critères quantitatifs : un élève en difficulté est un élève qui échoue massivement aux items réussis à plus de 80 % nationalement ; les évaluations de début cycle 3 et de début collège apportent une réelle lisibilité dans ce domaine. - des critères qualitatifs : certaines régularités ont pu être mises en évidence dans le comportement des élèves en difficulté ; ces derniers capitalisent mal les notions à retenir, ne font pas confiance à leurs connaissances, manquent de méthode, cherchent souvent à faire fonctionner de manière automatisée des règles, etc... b) Des signalements tardifs en mathématiques. Le signalement des élèves en difficulté mathématique est souvent tardif. Dans l article les difficultés des élèves en mathématiques (tiré de l ouvrage collectif publié par le CNEFEI) F. Boule voit à cela plusieurs ordres d explications : - les enseignants considèrent souvent que les difficultés en lecture sont prioritaires, ou bien que l échec en mathématiques s inscrit généralement dans un ensemble de comportements scolaires et ne serait pas souvent spécifique. - la conception classique des mathématiques valorise le calcul, les techniques opératoires, plus généralement l aspect instrumental aux dépends des aspects méthodologiques ou culturels (raisonnement, logique, espace, géométrie) ; cela expliquerait un signalement tardif : les difficultés dans l ordre numérique apparaissent vers la fin du CE, quoique les causes aient pu passer auparavant inaperçues ; mais alors ces difficultés sont moins surmontables. - plus profondément, il peut s agir de l image que l enseignant et les parents peuvent se faire des mathématiques à travers leur propre formation. Il est moins rare d éprouver - et d annoncer - une aversion pour les mathématiques que, par exemple, pour la lecture ou pour la langue maternelle. II. Des connaissances lacunaires. 1) La numération. C est dans le domaine de la numération que les difficultés sont le plus souvent signalées durant le cycle 2 : lecture et écriture des nombres en chiffres, lien entre les écritures chiffrées et les collections structurées par paquets de dix (sens de la dizaine) etc... 1 Document rédigé par P. URRUTY
Ce domaine est privilégié car il comporte : - des notions clés qui seront approfondies au cycle 3 : grands nombres, décimaux. - des notions qui conditionnent la plupart des apprentissages numériques : en effet, les instructions officielles relativisent aujourd hui la virtuosité dans la maîtrise des techniques opératoires et mettent l accent sur les procédures personnelles de calcul ( calcul réfléchi ) et sur la perception du fonctionnement les techniques opératoires. Or, la compréhension de ces processus nécessite précisément des connaissances portant sur la numération et sur les propriétés des opérations. REFERENCE AUX DOCUMENTS D APPLICATION DES MATHEMATIQUES AU CYCLE 2 Le calcul posé est limité, au cycle 2, à la technique opératoire de l addition. Cela ne signifie pas que d autres calculs relevant de la soustraction ou de la multiplication ne sont pas abordés. Mais, chaque fois, leur traitement relève d un calcul réfléchi (purement mental ou aidé par des traces écrites) construit par l élève en s appuyant sur la connaissance qu il a des nombres et des opérations et sur les résultats qu il a mémorisés : c est donc un raisonnement qui guide son traitement. 2) La résolution de problèmes. La résolution de problèmes est également présente dans le signalement des difficultés des élèves, essentiellement à partir de la fin du cycle 2 ou du début du cycle 3 (les évaluations nationales de CE2 jouent souvent le rôle de déclencheur dans ce domaine). Plusieurs facteurs expliquent l importance que les enseignants accordent aujourd hui à la réussite dans ce domaine : - la place centrale donnée à la résolution de problèmes en mathématiques dans les programmes depuis les instructions de 1985. On peut aujourd hui lire dans les documents d accompagnement que dès le cycle 2, la résolution de problèmes occupe une place centrale dans l appropriation par les élèves des connaissances mathématiques répertoriées dans les différentes rubriques du programme : conquête des nombres entiers naturels, compréhension de leurs désignations (écrites en chiffres, orales), premiers éléments du calcul, structuration de l espace et approche des formes géométriques, découverte de quelques grandeurs et de leurs mesures. - une réflexion épistémologique sur la nature de l activité mathématique amène souvent à donner une valeur emblématique de la résolution de problèmes dans ce domaine, on dit souvent que faire des mathématiques, c est résoudre des problèmes. - le but de l enseignant est d amener les élèves à construire des savoirs qui soient réellement transférables, c est-à-dire mobilisables spontanément par l élève dans des situations nouvelles. La disponiblité des savoirs se mesure donc en partie grâce à l aptitude avec laquelle on peut les réinvestir dans des situations de résolution de problèmes. - la résolution de problèmes est souvent un révélateur de difficultés dans des domaines plus transversaux : compétences méthodologiques ou liées à la lecture par exemple,..etc... Néanmoins, les signalements des élèves en difficulté dans ce domaine sont souvent tardifs, sans doute pour plusieurs raisons : - le regard des enseignants sur les cycles : l objectif du cycle 2 serait en priorité de doter les élèves d un ensemble d outils mathématiques fondamentaux (numération, calcul, problèmes d application, etc..) ; la résolution de problèmes apparaîtrait davantage au cycle 3, en vue 2 Document rédigé par P. URRUTY
d approfondir les notions construites antérieurement et de les exploiter dans des situations plus complexes. - le lien entre en lecture et résolution de problèmes : la part de l écrit dans les problèmes à énoncé devient plus importante à partir du cycle 3 ; le traitement de ces supports écrits présente des difficultés spécifiques souvent mises en relation de manière plus générale avec la lecture. - la place faite traditionnellement à la résolution de problèmes dans les manuels de cycle 2 : jusqu à une époque relativement récente, elle était extrêmement restreinte ; on pouvait lire dans le ERMEL CP publié en 1991 la disparition ou la faible place laissée aux problèmes au CP nous paraissent avoir des conséquences négatives sur le long terme. On trouve en revanche aujourd hui dans les guides pédagogiques, conformément aux instructions officielles, des problèmes de différents types (découverte, recherche, entraînement). 3) La structuration de l espace. Les difficultés liées au repérage dans l espace ou à la latéralisation sont également mentionnées par les enseignants de cycle 2. Le caractère à la fois transversal et fondamental des apprentissages en jeu dans ce domaine ne fait pas de doute ; on peut lire par exemple dans l article de F. Boule penser l espace, c est prolonger l expérience par des représentations ; celles-ci peuvent être langagières mais aussi gestuelles ou visuelles, extériorisées ou non. C est la condition de la géométrie, bien sûr mais bien plus fondamentalement un des moyens de la connaissance. Les travaux de M.H Salin et R. Berthelot ont mis en évidence la nécessité d introduire explicitement dans les programmes de mathématiques au cycle 2 des objectifs relatifs à la maîtrise des rapports à l espace. On peut lire aujourd hui dans les documents d accompagnement : La structuration de l espace doit être développée tout au long de la scolarité ; elle doit retenir toute l attention des enseignants au cycle 2 et constituer un objet de préoccupation permanente en liaison avec d autres disciplines comme l EPS ou la géographie. Savoir, dans l espace environnant, observer, situer, repérer, guider, communiquer des informations est indispensable à la maîtrise de certaines activités humaines. Ces apprentissages ne s effectuent pas spontanément. Ils nécessitent l organisation d activités se déroulant dans l espace réel, mettant en liaison, le cas échéant, cet espace avec certaines de ses représentations (maquettes, photos, plans). Un travail limité à des espaces évoqués ou représentés, sans mise en relation effective avec un espace réel, ne permet pas la construction de connaissances efficaces. III. Des comportements spécifiques. Selon D. Butlen et M. Pézard, différents types d attitudes caractérisent les élèves en difficulté : - le manque de confiance dans les connaissances antérieures : on peut très facilement déstabiliser certains élèves en leur demandant es-tu sûr que 5 est plus grand que 4?, est-ce que c est pareil une dizaine et une unité?,...etc.. - l absence d identification des savoirs en jeu dans les situations d enseignement : lorsqu on propose par exemple de déterminer le nombre de cubes obtenu en réunissant deux collections connues, certains élèves ne voient qu un nouveau problème de comptage, tandis que d autres ont sais le lien avec l addition. - l absence de comportements de recherche face aux situations nouvelles : lorsqu on propose un problème original à la classe, certains élèves se lancent et se débrouillent avec les moyens du bord, tandis que d autres restent secs, bloquent, n osent pas essayer, se tromper, recommencer,... 3 Document rédigé par P. URRUTY
- le besoin de recourir à des règles ou des techniques automatisées : la plupart du temps, face à une situation nouvelle, les élèves ne tentent pas d entrer dans un processus de compréhension, mais utilisent des indices superficiels qui permettent de s orienter vers le choix d une réponse stéréotypée (c est le cas dans la résolution de problèmes en particulier). Cette conduite très répandue apporte à la fois une économie intellectuelle à l élève tout en le sécurisant en le déresponsabilisant (on se contente de faire son métier d élève en donnant une réponse). - la difficulté à formuler les procédures mises en oeuvre dans les problèmes résolus : on constate souvent que certains élèves sont capables de décrire clairement les enjeux d un problème, les stratégies utilisées, les difficultés rencontrées, etc...tandis que d autres ne peuvent prendre du recul par rapport à la situation qu ils maîtrisent pourtant. -la difficulté à contrôler les stratégies mises en oeuvre : on se contente souvent de faire sans chercher à vérifier la plausibilité du résultat, sans vérifier en recomptant ou en reprenant les calculs, etc... - la recherche d une relation privilégiée avec l adulte (besoin d être en permanence rassuré, manque d autonomie dans le travail...) Ces comportements sont souvent interprétés comme un défaut de compétences à caractère métacognitif ou méthodologique. V. Le rapport au savoir mathématique. 1) Les enseignants et les parents. De nombreux paramètres ont affecté le rapport aux mathématiques que les enseignants et les parents ont pu construire durant leur propre cursus : - la révolution des mathématiques modernes : elle a conduit à introduire dans la classe, dès l école maternelle, des concepts mathématiques très généraux (classes d equivalence, théorie des ensembles, structures algébriques,...). En proposant d enseigner des notions éloignées des mathématiques de la vie quotidienne, souvent inconnues des parents (voire des enseignants euxmêmes dans un premier temps!) les programmes des années soixante-dix ont largement contribué à détériorier l image des mathématiques (elles ne servent à rien puisqu elles n ont pas de rapport avec la réalité) et à provoquer des phénomènes de rejet. - une interprétation hâtive des travaux de Piaget : la théorie des stades de développement proposée par Piaget, a conduit à pointer la réussite à des épreuves de type logicomathématiques comme révélatrice du niveau de développement de l enfant. Outre son impact sur les programmes scolaires (par exemple le nombre se retrouve exclu de l école maternelle dans les années soixante-dix), cette théorie a parfois donné lieu à un amalgame entre intelligence et aptitude aux mathématiques. - les mathématiques comme outil de sélection : parallèlement, dans un monde où les sciences et les techniques prennent une place prépondérante, les mathématiques constituent, depuis une trentaine d années, la voie royale qui ouvre les portes de toutes les filières universitaires et conditionne en partie l orientation des élèves au lycée. Cette spécificité génère naturellement à des effets d adhésion ou au contraire de répulsion importants, et conduit à associer réussite 4 Document rédigé par P. URRUTY
scolaire et aisance dans le domaine des mathématiques. 2) Les élèves. Le rapport aux mathématiques que les élèves vont commencer à construire progressivement, dès le début de la scolarité, dépend en partie de de l image des mathématiques véhiculée par le cadre familial et par le maître de la classe. De manière générale la nature des activités proposées en classe, le rôle joué par l erreur dans la pratique quotidienne, la façon de prendre en compte les itinéraires d apprentissage individuels, etc... sont autant de paramètres qui influencent le rapport que les élèves vont entretenir avec les mathématiques. BIBLIOGRAPHIE -S. BARUCK «comptes pour petits et grands», volumes 1 et 2, Magnard, 2003. - O. BASSIS «concepts-clés et situations problèmes en mathématiques», Hachette éducation, 2003. - C. BERDONNEAU «aider les élèves en difficulté en mathématiques CP/CE1», tome 1 et 2, Hachette éducation, 2006. F. BOULE les difficultés rencontrées en mathématiques, pp. 67 à 74, extrait de l ouvrage collectif les aides spécialisées à dominante pédagogique, CNEFEI, 2001. - D. BUTLEN et M. PEZARD une expérience d enseignement à des élèves en difficulté dans une ZEP, cahier de didirem numéro 13, Université Paris VII, 1992. - R. CHARNAY et coauteurs chacun, tous, différemment,...différenciation en mathématiques au cycle des apprentissages fondamentaux, INRP, 1995. - A.GAUDREAU «échec en maths? Dépistage et intervention auprès des élèves à risque au préscolaire et au premier cycle», Hurtubise HMH, 2005 (édition Québecoise). - M.-L. PELTIER et coauteurs dur d enseigner en ZEP (analyse des pratiques de professeurs des écoles enseignant les mathématiques en ZEP, edition La pensée sauvage, 2004. - M.-H. SALIN et R. BERTHELOT l enseignement de l espace à l école primaire, pp. 37 à 59, Grand N numéro 65, 1999. 5 Document rédigé par P. URRUTY
RESUME : difficultés analysées à partir du triangle didactique (R. Charnay). PREVENIR LES DIFFICULTES DES ELEVES L analyse des difficultés des élèves (lacunes+comportements) conduit à mettre l accent sur un certain nombre de points... identifier les objectifs essentiels. des situations spécifiques des modes de gestion spécifique, verbalisation, etc... 6 Document rédigé par P. URRUTY