Année 2013-2014 Préparation au CRPE Mathématiques Concours Blanc Documents interdits, calculatrice autorisée. Les réponses doivent être justifiées. Ce document contient treize pages avec celle-ci La page 13, feuille d annexes A & B est à rendre avec la copie P a g e 1
Partie 1 : problème (d après Pisa 2012) /13 pts CARGO À VOILE Quatre-vingt-quinze pour cent du commerce mondial s effectue par voie maritime, par environ 50 000 bateaux-citernes, vraquiers et porte-conteneurs. La plupart de ces cargos fonctionnent au diesel. parskysails Des ingénieurs ont l intention de mettre au point un système utilisant la puissance du vent pour assister les cargos. Ils proposent de fixer un cerf-volant servant de voile sur les cargos et ainsi d utiliser la puissance du vent pour diminuer la consommation de diesel ainsi que l impact de ce carburant sur l environnement. Les cerfs-volants ont l avantage de voler à une hauteur de 150 m. Là-haut, la vitesse du vent est approximativement de 25 % supérieure à celle au niveau du pont du cargo. 1. Quelle est la vitesse approximative à laquelle le vent souffle sur le pont du cargo lorsque la vitesse du vent dans le cerf-volant est de 30km/h? 2. Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde du cerf-volant pour pouvoir tirer le cargo à un angle de 45 depuis une hauteur verticale de 150 m, comme indiqué sur le schéma ci-contre? 3. En raison du prix élevé du diesel (0,42 zed par litre), les propriétaires du cargo NouvelleVague envisagent de l équiper d un cerf-volant. On estime qu un cerf-volant de ce type permettrait de réduire globalement la consommation de diesel d environ 20 %. Nom : NouvelleVague Type : cargo Longueur : 117 mètres Largeur : 18 mètres Charge utile : 12 000 tonnes Vitesse maximale : 19 nœuds Corde : Le schéma n est pas à l échelle. 45 90 parskysails 150 m Consommation de diesel par an sans cerf-volant : approximativement 3 500 000 litres Équiper le Nouvelle Vague d un cerf-volant coûte 2 500 000 zeds. P a g e 2
Au bout de combien d années environ, les économies de diesel auront-elles couvert le coût du cerf-volant? 4. Dans cette question on s intéresse à l impact sur l environnement de l utilisation de tels cerfsvolants. Le tableau ci-dessous donne les quantités annuelles de différents gaz émises selon le type de transports qui les a produites. Le sigle COV désigne l ensemble des composés organiques volatils. a) Si on était parvenu, grâce à une utilisation généralisée de cerfs-volants de ce type à toute la navigation, à diminuer les émissions de gaz de 20%, quelle serait, en pourcentage par rapport aux émissions de COV générées par l ensemble de transports, la diminution d émissions de COV réalisée? b) On peut s aider d un tableur pour calculer, en pourcentages, la part de la navigation dans les émissions de gaz et les diminutions d émission de chacun des gaz qui pourraient être générés grâce à l utilisation généralisée de cerfs-volants, par exemple dans une feuille de ce type : Indiquer les formules à saisir dans chacune des cases B7, B8 et B9 qui, recopiées vers la droite dans le tableur effectuent tous les calculs demandés. P a g e 3
c) A l aide du tableur on peut ensuite générer les deux graphiques suivants : 1 2 5 3 4 Diminution des émissions de chaque gaz 0,726% 0,504% 0,137% 0,160% 0,209% a b c d e Retrouver le nom des gaz correspondants, dans la légende, aux chiffres 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et aux lettres a, b, c, d, e. Justifier. P a g e 4
Partie 2 : exercices / 13 pts Exercice 1 : 4 pts 1. Voici trois propositions concernant des nombres entiers donnés en écriture décimale. Dire, pour chacune d'elles, si elle est vraie ou fausse et justifier. Proposition A : Si l'écriture d'un nombre entier se termine par 4, alors l'écriture du carré de ce nombre se termine par 6. Proposition B : Si l'écriture du carré d un nombre entier se termine par 6, alors l'écriture de ce nombre entier se termine par 4. Proposition C : Il y a une chance sur deux pour qu un nombre entier qui se termine par 4 soit un multiple de 4. 2. L'écriture dans la base dix d'un nombre entier n est de la forme : où a est le chiffre des dizaines, différent de zéro. a. Démontrer que n 2 s'écrit avec quatre chiffres au plus. b. Démontrer que l'écriture de n 2 se termine par 25 et que le nombre de centaines de n 2 est égal à : a(a + 1). c. Expliquer comment on peut calculer mentalement le carré d un nombre de 2 chiffres se terminant par 5. Exercice 2 : 5 pts Soit un rectangle ABCD de longueur AB et de largeur BC. Le cercle de centre B passant par C coupe la droite (AB) à l extérieur de [AB] en E. F est le milieu du segment [AE]. Le cercle de centre F passant par E coupe la droite (BC) en deux points dont l un est noté G. BGIH est le carré extérieur au rectangle ABCD. a) Faire cette construction à la règle et au compas à partir du rectangle ABCD donné sur la dernière page en Annexe A. b) Effectuer les mesures nécessaires sur le dessin et comparer l aire du rectangle ABCD et du carré BGIH. A partir de cette comparaison, quelle conjecture peut-on faire sur les aires? c) On sait que la longueur AB = FA + FB, montrer que la largeur BC = FA - FB. d) Jean affirme que quelles que soient les dimensions du rectangle ABCD, le carré BGIH obtenu par cette construction a toujours la même aire que le rectangle ; Jacques pense que ce n est pas le cas. Qui a raison? (Pour répondre à cette question, vous pourrez vous appuyer sur les relations de la question c pour construire votre raisonnement) Exercice 3 : 4 pts La consommation en carburant d un engin de travaux publics s évalue en litre par heure de fonctionnement. Cette consommation horaire dépend du travail effectué, elle est indiquée dans le tableau suivant : Travail demandé Consommation en litre par heure Déplacement 8,5 Chargement 12 Terrassement 20 P a g e 5
Sur le graphique ci-contre, la ligne ABCDEF représente le volume de gazole dans le réservoir de l engin au cours d une matinée, entre 6 h et 12 h. 1) Retrouver sur le graphique agrandi donné à la dernière page en Annexe B, à quelle(s) heure(s) le volume de gazole contenu dans le réservoir était de 25 litres. 2) Recopier et compléter le tableau ci-dessous en donnant les types de travaux effectués par l engin entre 6h et midi. Période Travail effectué par l engin Justifications de 6 h à 7 h 10 de 7 h 10 à 8 h 40 de 8 h 40 à 9 h 20 de 9 h 20 à 9 h 30 de 9 h 30 à 12 h 3) Pour cette matinée, quelle a été la consommation moyenne de carburant en une heure? P a g e 6
Partie 3 : Analyse d un dossier /14 pts Le dossier porte sur la multiplication d un entier par un nombre entier à un chiffre. Il est composé de six annexes : Annexe 1 : Des productions d élèves de CM1 à qui on a demandé de calculer mentalement 18 5 Annexe 2 : un extrait du manuel, Tous en Math CE 2 Nathan 2012 Annexe 3 : un extrait du manuel, J apprends les maths CE 2 Retz 2010 Annexe 4 : un extrait du fichier Euromath CE1 Hatier 2012 Annexe 5 : un extrait du manuel du maitre Cap math CE1 Hatier 2009 Annexe 6 : Extraits des programmes de mathématiques de l'école élémentaire. 1) A propos de l annexe 1 En CM1 lors d une séance de calcul mental le maître a écrit au tableau le calcul à faire. Après un moment de recherche, au signal, les enfants ont écrit leur résultat sur l'ardoise et levé leur ardoise. Le maître a alors demandé à certains enfants d'expliquer comment ils avaient obtenu leur résultat. En annexe 1 vous trouverez les réponses et les explications orales fournies par 6 enfants que l'on désignera par leur prénom. a) Parmi les six réponses, relever et analyser les erreurs commises. Quelles étaient les procédures mises en œuvre qui ont abouti à un résultat erroné? b) Parmi les six réponses, relever les procédures qui ont permis d'obtenir le résultat correct et identifier l enfant qui l a employée. Par quelles propriétés ou règles de la multiplication chacune des procédures se justifie-t-elle? 2) A propos de l annexe 2 «Tous en Math CE 2 Nathan 2012» et de l annexe 3 «J apprends les maths CE 2 Retz 2010» a) Dans l extrait «Tous en Math CE 2» décrire la seconde technique de multiplication (celle employée au milieu par Nora). b) Les deux extraits proposent des techniques de multiplication d un nombre entier par un nombre à un chiffre. Le premier extrait «Tous en Math» propose la technique de Nora et la technique de Max, le second extrait «J apprends les maths»propose une technique de calcul en ligne. Comparer ces trois techniques ; en quoi sont-elles semblables / différentes? On pourra organiser sa réponse sous la forme d un tableau. c) Les auteurs de «J apprends les maths» proposent, avant d aborder la multiplication posée, de consacrer une leçon à la multiplication en ligne. Quelles raisons ont pu motiver leurs choix? 3) A propos des annexes 4 «Euromath CE1 Hatier 2012» et 5 «manuel du maitre Cap math CE1 Hatier 2009» Les deux manuels proposent des approches différentes de la multiplication. a) Décrire ces deux approches. b) Préciser en quoi elles sont différentes. c) En s appuyant sur les documents étudiés et sur les extraits des programmes reproduits en annexe 8, donner des avantages et des inconvénients de chacune des deux approches. 4) A l issue de cette étude du dossier Citer trois compétences importantes nécessaires d être travaillées par les élèves avant d aborder la multiplication posée. P a g e 7
Annexe 1 Calcul à faire : 18 x 5 Bérénice : sur l'ardoise 90 Explications : 18 plus 18 ça fait 36 et encore 36, 72, et encore 18, 90. Cindy : sur l ardoise : 45 Explications : je compte 5 fois 8 quarante et 5 fois 1 cinq. Ça fait 45. Elvis : sur l ardoise : 94 Explications : j'ai posé l'opération dans ma tête : 5 fois 8 quarante, 0 et je retiens 4, 5 fois 1 cinq et 4 neuf. Fatoumata : sur l ardoise : 90 Explications : j'ai fait 20 moins 2 égal 18, 20 fois 5, 2 fois 5 dix et cent moins 10 ça fait 90. Gaëlle : sur l'ardoise 90 Explications : 18 fois 5 c'est comme 9 fois 2 fois 5. Hugo : sur l ardoise : 540 Pas d explication. P a g e 8
Annexe 2 Tous en Math CE 2 Nathan 2012 Annexe 3 J apprends les maths CE 2 Retz 2010 P a g e 9
Annexe 4 Euromath CE1 Hatier 2012 P a g e 10
Annexe 5 manuel du maitre Cap math CE1 Hatier 2009 P a g e 11
Annexe 6 Extraits des programmes de mathématiques de l'école élémentaire Nombres et calcul Cours préparatoire - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 100. - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 ( table d addition ). - Comparer, ranger, encadrer ces nombres. - Écrire une suite de nombres dans l ordre croissant ou décroissant. - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. - Connaître la table de multiplication par 2. - Calculer mentalement des sommes et des différences. - Calculer en ligne des sommes, des différences, des opérations à trous. - Connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition et commencer à utiliser celles de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 100). - Résoudre des problèmes simples à une opération. Cours élémentaire première année - Connaître (savoir écrire et nommer) les nombres entiers naturels inférieurs à 1 000. - Repérer et placer ces nombres sur une droite graduée, les comparer, les ranger, les encadrer. - Écrire ou dire des suites de nombres de 10 en 10, de 100 en 100, etc. - Connaître les doubles et moitiés de nombres d usage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. - Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. - Calculer en ligne des suites d opérations. - Connaître et utiliser les techniques opératoires de l addition et de la soustraction (sur les nombres inférieurs à 1 000). - Connaître une technique opératoire de la multiplication et l utiliser pour effectuer des multiplications par un nombre à un chiffre. - Diviser par 2 ou 5 des nombres inférieurs à 100 (quotient exact entier). - Résoudre des problèmes relevant de l addition, de la soustraction et de la multiplication. - Approcher la division de deux nombres entiers à partir d un problème de partage ou de groupements. - Utiliser les fonctions de base de la calculatrice. Cours élémentaire deuxième année Cours moyen première année Cours moyen deuxième année Nombres et calcul Calcul sur des nombres entiers Calculer mentalement - Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d addition et de multiplication. - Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction et multiplication. - Connaître une technique opératoire de la division et la mettre en œuvre avec un diviseur à un chiffre. - Organiser ses calculs pour trouver un résultat par calcul mental, posé, où à l aide de la calculatrice. - Utiliser les touches des opérations de la calculatrice. - Problèmes - Résoudre des problèmes relevant des quatre opérations. Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Effectuer un calcul posé - Addition et soustraction de deux nombres décimaux. - Multiplication d un nombre décimal par un nombre entier. - Division euclidienne de deux entiers. - Division décimale de deux entiers. - Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. - Problèmes - Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. Calcul Calculer mentalement - Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. Effectuer un calcul posé - Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux. - Division d un nombre décimal par un nombre entier. - Utiliser sa calculatrice à bon escient. - Problèmes - Résoudre des problèmes de plus en plus complexes. P a g e 12
Annexe A Annexe B P a g e 13