Feuille d exercices II-1

Feuille d exercices II-1 Dans un restaurant universitaire, on propose deux desserts à chaque repas. La probabilité que l un des deux soit un yaourt est 0,4 et que l un des deux soit une orange est 0,8. La probabilité que les deux desserts proposés soient exactement un yaourt et une orange est 0,3. Calculer la probabilité que l on propose : a) «un yaourt et pas d orange» b) «une orange et pas de yaourt» c) «ni yaourt ni orange» Exercice 2 : Un dé à six faces est truqué de façon à ce que le 6 a six fois plus de chances de sortir que les cinq autres numéros, qui ont eux la même chance d apparaître. On jette une fois le dé et on note S k l événement "le chiffre k est obtenu". 1. Préciser l univers Ω (ensemble des résutats possibles). 2. Déterminer la probabilité d obtenir un 6. 3. On jette une fois ce dé. Quelle est la probabilité d obtenir un nombre pair? Exercice 3 : indépendance 1. On jette deux dés à six faces bien équilibrés. (a) Préciser Ω et donner son cardinal. (b) On note S la somme des résultats obtenus. Calculer P (S = 4). 2. On répète cette expérience 10 fois de manière indépendante. Pour k {1,..., 10} on note S k l événement «on obtient une somme égale à 4 lors de la k-ième expérience». Quelle est la probabilité pour que l on obtienne, au moins une fois sur 10, une somme égale à 4? 3. On répète cette expérience n 1 fois. Lorsque l on obtient au moins une fois une somme égale à 4, la partie est considérée comme «gagnée». Combien faut-il jouer au minimum de partie pour que la probabilité de gagner soit supérieure à 0,9? Exercice 4 : indépendance Les questions sont indépendantes. 1. Soit A et B deux évènements tels que P (A) = 0, 4, P (B) = 0, 5 et P (A B) = 0, 35. Les évènements A et B sont-ils indépendants, incompatibles? 2. On lance deux fois un dé à 6 faces équilibré. On note A l événement «le premier nombre obtenu est pair», B l événement «le deuxième nombre obtenu est impair»et C l événement «la somme des deux nombres est paire». Montrer que ces trois événements ne sont pas mutuellement indépendants alors qu ils le sont 2 à 2. Exercice 5 : indépendance Un tireur atteint une cible quatre fois sur cinq. On suppose que les tirs sont indépendants. 1. Interpréter en terme d indépendance l hypothèse émise ci-dessus. En déduire la probabilité qu il atteigne la cible 3 fois de suite. 2. Quelle est la probabilité qu il atteigne la cible au moins une fois avec 17 lancers? On notera S k l événement «la cible est atteinte au k-ième lancer». 3. Combien de tirs doit-il effectuer pour être sûr à 99,9 % d atteindre la cible au moins une fois? Exercice 6 : On considère deux pièces de monnaie A et B. La pièce A est équilibrée mais la pièce B donne «face»avec une probabilité 2 3. On choisit une pièce au hasard et on la lance. Si on obtient «face», on la garde sinon on change de pièce. On lance ainsi n N pièces selon ce procédé et on considère A n l événement «le n-ième lancer s effectue avec la pièce A». On note p n = P (A n ). 1. Déterminer p 1. 2. Montrer que pour tout entier n 2 : p n = 1 6 p n 1 + 1 3. simplementconnexe.free.fr 1/5

dd Feuille d exercices II-2 Le gérant d un magasin de matériel informatique a acheté un stock de boîtes de disquettes. 5 % des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que : 60 % des boîtes abimées contiennent au moins une disquette défectueuse, 98 % des boîtes en bon état ne contiennent aucune disquette défectueuse, les états des diverses boîtes sont indépendants les uns des autres. Un client achète au hasard une des boîtes du lot. On désigne par A l évènement : «la boîte achetée est abîmée»et par D l évènement : «la boîte achetée contient au moins une disquette défectueuse». 1. Représenter un arbre et y faire figurer les différentes probabilités. Calculer P (D). 2. Le client constate qu une des disquettes est défectueuse. Quelle est la probabilité qu il ait acheté une boîte abîmée? Exercice 2 : Des pièces indiscernables au toucher sont stockées dans deux lots A et B. On sait que le lot A contient 100 pièces, dont 5 défectueuses alors que le lot B contient 100 pièces dont 8 défectueuses. L employé chargé d une expédition choisit l un des lots au hasard avec équiprobabilité et choisit au hasard une pièce dans ce lot. 1. Traduire les hypothèses de l énoncé à l aide de probabilités. On pourra introduire les évènements D : «la pièce est défectueuse», A et B. 2. Sachant que la pièce est défectueuse, quelle est la probabilité pour que le lot choisi soit le lot B? Exercice 3 : fiabilité d un test de dépistage Dans une population donnée, la proportion d individus atteint d une certaine maladie est x (0 x 1). On souhaite étudier la fiabilité d un test de dépistage de cette maladie. On dispose des données suivantes : on effectue le test de dépistage sur 100 personnes considérées comme malades : 98 ont un test positif. on effectue le test de dépistage sur 100 personnes considérées comme saines : une seule a un test positif. On choisit au hasard un individu de cette population et on le soumet au test. On note M l événement «l individu est malade» et T + l événement «le test est positif». 1. Traduire les données à l aide d un arbre de probabilités. 2. Exprimer P (M T + ) puis P (T + ) en fonction de x. 3. On note f(x) la probabilité qu une personne ayant un test positif soit malade. Montrer que f(x) = 98x 97x + 1. 4. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu un individu ayant un test positif soit malade est supérieure à 0,95. (a) Le test est-il fiable si la proportions d individus atteints de la maladie est de 5%? (b) A partir de quelle proportion x, le test est-il fiable? On donnera une valeur en pourcentage arrondie à 0,01 près. Exercice 4 : tirs au but Lors d une séance de tirs, un gardien arrête le premier tir avec la probabilité 0,3 puis : s il a arrêté un tir, il prend confiance et arrête le suivant avec la probabilité 0,5. s il prend un but, il se décourage et arrête le suivant avec la probabilité 0,2. On note A n l événement «le gardien arrête le n ième tir». On admet que tous les tirs sont «cadrés» et l on note p n la probabilité de A n. Ainsi p 1 = 0, 3. 1. Calculer p 2. 2. On note A n l événement «le gardien arrête le n ième tir». Déterminer deux réels a et b tels que p n+1 = ap n + b pour tout n 1. 3. Désormais on fixe n 3. Soit k {1,..., n}. On note B k l évènement «le gardien arrête un seul tir au cours des n premiers pénaltys et cet arrêt a lieu au k ième pénalty». (a) Calculer P (B 1 ) à l aide de la formule des probabilités composées. (b) Calculer P (B n ). (c) Calculer P (B k ) pour k {2,..., n 1}. (d) Écrire l événement B «le gardien arrête un seul tir au cours des n premiers pénaltys» à l aide des B k. En déduire P (B). simplementconnexe.free.fr 2/5

Feuille d exercices II-3 Soit n un entier naturel non nul. On dispose de n urnes numérotées de 1 à n qui contiennent chacune n boules, des noires et des blanches. De plus pour tout i {1,..., n}, l urne i contient exactement n i boules noires. On choisit une urne au hasard puis on prélève une boule dans l urne choisie. 1. Soit i {1,..., n}, on note U i l événement «l urne i est choisie» et B l événement «la boule tirée est blanche». Déterminer P (U i ) et P Ui (B). 2. Calculer P (B). 3. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit de l urne 1 sachant qu elle est blanche? Exercice 2 : extrait HEC 2000 On dispose de deux jetons A et B que l on peut placer dans deux cases C 0 et C 1 et d un dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable l une des lettre a, b ou c. Au début de l expérience, les deux jetons sont placés dans C 0 : on procède alors à une série de tirages indépendants de l une des trois lettres a, b ou c. A la suite de chaque tirage, on effectue l opération suivante : si la lettre a est tirée, on change le jeton A de case, si la lettre b est tirée, on change le jeton B de case, si la lettre c est tirée, on ne change pas le placement des jetons. On note, pour tout n 1 : A n l événement «le jeton A se trouve dans C 0 à l issue de la n-ième opération» B n l événement «le jeton A se trouve dans C 1 à l issue de la n-ième opération» J n l événement «à l issue de la n-ième opération, le jeton A n a jamais quitté la case C 0» 1. (a) Exprimer les événements J 1, J 2 et J 3 en fonction des événements (A k ) k 1. (b) Déterminer les probabilités P (J 1 ), P (J 2 ) et P (J 3 ). (c) Soit n un entier strictement positif quelconque. Déterminer la probabilité P (J n ). 2. Justifier que pour tout entier n 1, P (A n+1 ) = 2 3 P (A n) + 1 3 P (B n) et P (B n+1 ) = 1 3 P (A n) + 2 3 P (B n) 3. Pour tout entier naturel n 2, on s intéresse à D n l événement «à l issue de la k-ième opération, le jeton A revient pour la première fois dans C 0». (a) Calculer les probabilités P (D 2 ) et P (D 3 ). (b) Soit n 2 un entier naturel. Exprimer l événement D n en fonction des événements (A k, B k ) k 1 (c) Déterminer P (D n ). Exercice 3 : extrait INSEEC 2002 Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, numérotés de 1 à 12. Une personne fait tourner la roue devant un repère fixe. On suppose que chaque secteur a la même probabilitéde s arrêter devant ce repère. A chaque partie un joueur mise une certaine somme d argent en choississant un, deux ou trois numéros sur les 12 ; il est gagnant si le secteur qui s arrète devant le repère porte l un des numéros qu il a choisi. Un joueur possèdant un crédit illimité, effectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante : Il mise sur le chiffre 1 à la première partie. S il perd à la n-ième partie, n 1, il mise uniquement sur les chiffres 1 et 2 à la partie suivante et s il gagne à la n-ième partie, il mise sur les chiffres 1, 3 et 5. 1. On note p n la probabilité de l événement A n : «le joueur gagne la n-ième partie». (a) Calculer les probabilité conditionnelles P An (A n+1 ) et P An (A n+1 ). (b) En déduire que : n N p n+1 = 1 12 p n + 1 6. 2. Désormais on fixe n 3. Soit k 1, n on note B k l événement : «le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties et ce gain a lieu à la k-ième partie» (a) A l aide de la formule des probabilités composées, calculer P (B n ). (b) Calculer P (B 1 ). (c) Soit k 2, n 1 calculer P (B k ). (d) En déduire la probabilité q n pour que le joueur gagne une seule fois au cours des n premières parties. simplementconnexe.free.fr 3/5

Feuille d exercices II-4 Soit X une VAR prenant uniquement les valeurs 4, 3, 4 avec P (X = 4) = 0, 2 et P (X = 3) = 0, 3. 1. Déterminer E(X). 2. Déterminer les lois des variables aléatoires Y = 2X 1 et Z = X 2. Exercice 2 : (Max et Min : version sans remise) Une urne contient 4 boules numérotées de 1 à 4. On y effectue deux tirages sans remise. Soit X, Y,Z les VAR représentant respectivement le plus grand, le plus petit et la somme des deux numéros obtenus. 1. Déterminer les lois de probabilité de X, Y,Z (on fera un arbre). 2. Déterminer les fonctions de répartition F X, F Y et F Z. 3. Calculer l espérance et la variance de ces variables aléatoires. Exercice 3 : (Max : version avec remise) Un sac contient n boules numérotées de 1 à n. On tire deux boules avec remise. On note X 1 le numéro de la première boule, X 2 le numéro de la seconde et X le plus grand des numéros obtenus. 1. Justifier que, pour tout k 1, n, P (X k) = P (X 1 k) P (X 2 k). 2. En déduire la fonction de répartition de X puis sa loi de probabilité. 3. Vérifier que n P (X = k) = 1. k=1 Exercice 4 : Une urne contient 4 boules blanches, 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules. Un joueur effectue deux tirages indépendants, en remettant dans l urne avant le second tirage les deux boules tirées la première fois. Il mise au départ la somme de 30 euros. Pour chaque tirage : si deux boules sont de même couleur, il reçoit 40 euros, si elles sont de couleurs différentes, il reçoit alors 5 euros. On appelle gain algébrique du joueur la différence, à l issue des deux tirages, entre la somme reçue par le joueur et sa mise initiale (ce gain peut-être positif ou négatif). On désigne par X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 1. Donner X(Ω), l ensemble des valeurs pouvant être prises par X. 2. Calculer p = P (G 1 ) la probabilité de tirer deux boules de même couleur au premier tirage. 3. Déterminer la loi de probabilité de X, on donnera les résultats à l aide de p. 4. Calculer l espérance de X. Interpréter. Exercice 5 : binomiale À la sortie d une chaîne de fabrication, on a constaté que 2% de pièces fabriquées sont défectueuses. On note X la VAR égale au nombre de pièces défectueuse dans un lot de 20 pièces. 1. Quelle est la probabilité pour que 3 pièces exactement soient défectueuses? 2. Quelle est la probabilité que 3 pièces au moins soient défectueuses dans ce lot? 3. Quelle est la probabilité pour qu une pièce au plus soit défectueuse? Exercice 6 : binomiale Un service après-vente dispose d équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu un retard se produise dans le dépannage à la suite d un appel est p = 1/4. Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer E(X) et V (X). Exercice 7 : binomiale Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement n boules avec remise. S il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3. Soit X n le nombre de boules blanches et Y n le nombre de points obtenus. Déterminer la loi de X n, puis E(X n ) et V (X n ). Exprimer Y n en fonction de X n et en déduire E(Y n ) et V (Y n ). simplementconnexe.free.fr 4/5

Feuille d exercices II-5 binomiale encore! Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0, 1, 2,..., n, de gauche à droite. Une puce se déplace vers la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit X n le numéro de la case occupée par la puce après n sauts et Y n le nombre de fois où la puce a sauté d une case au cours des n premiers sauts. 1. Déterminer la loi de probabilité de X 1, et calculer E(X 1 ) et V (X 1 ). 2. Donner la loi de Y n, E(Y n ) et V (Y n ). 3. Exprimer X n en fonction de Y n et n. En déduire E(X n ) et V (X n ) puis la loi de X n. Exercice 2 : this is the end... On considère X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi binomiale B(n, 1/2) avec n 2. On admettra dans ( ) cet exercice que n 2 ( ) n 2n =. k=0 k n 1. Montrer que P (X = Y ) = n P ([X = k]) P ([Y = k]). k=0 2. Application : deux joueurs lancent une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, n fois chacun. Calculer la probabilité qu ils obtiennent le même nombre de piles. 3. Calculer P (X + Y = n). Exercice 3 : uniformité Une urne contient initialement une boule blanche et une boule rouge. On effectue des tirages successifs d une boule dans l urne selon le protocole suivant : après chaque tirage, la boule tirée est remise dans l urne et on rajoute dans l urne, avant le tirage suivant, une boule de la même couleur que celle qui vient d être tirée. On effectue n tirages. On note X n la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues au cours des n premiers tirages. On note aussi B n l événement " j obtiens une blanche au n ième tirage ". 1. Déterminer la loi de X 1 et la loi de X 2. Désormais jusqu à la fin de l exercice, n désigne un entier naturel non nul fixé. 2. Donner le support de X n et déterminer P (X n = 0). 3. Soit k 1, n. Donner P (Xn=k) ( Bn+1 ) et P(Xn=k 1) (B n+1 ). 4. Soit k 1, n. Exprimer l évènement [X n+1 = k] à l aide des évènements [X n = k], [X n = k 1] et B n+1. 5. Montrer par récurrence sur n N que, pour tout k [[1, n]], P (X n = k) = 1 n+1. 6. Reconnaître la loi de X n. simplementconnexe.free.fr 5/5