SYNTHÈSE er SEMESTRE Vous devez traiter le devoir ans l ordre du sujet. Séparer les questions (je ne prendrai pas en compte les réponses reportées à la fin du sujet) Identifier proprement les différentes réponses (soulignement, encadrement,...). Éviter le "bla-bla" inutile dans votre rédaction, limitez vos calculs aux calculs nécessaires. Bon travail Devoir - Chaudière à bois déchiqueté Corrigé page 3 A. Présentation générale (Voir document figures 6, 7 et figure 2) Dans le cadre du «Grenelle de l environnement» et de la mise en place de la «taxe carbone», l avenir du chauffage est conditionné au fait que la biomasse est neutre en dégagement de CO2. HARGASSNER développe la technologie du chauffage au bois déchiqueté et aux granulés de bois dans le but de concilier un chauffage à la fois écologique et confortable d utilisation. L entreprise est devenue un leader en matière de technique innovante, de développement, de service, de qualité et de longévité dans le domaine du chauffage au bois. L étude porte sur la chaudière HSV 30, alimentée en bois déchiqueté, qui développe une puissance de chauffe de25à35kw. Le bois déchiqueté est amené jusqu à la chaudière dans un premier temps à l aide d un extracteur à lames puis de la vis d extraction et enfin par la vis d introduction. Il est alors brûlé au sein d un foyer réfractaire développant des gaz dans la chambre de combustion. Les gaz sont dépoussiérés dans la chambre de détente avant de passer dans un échangeur tubulaire équipé de turbulateurs. Ces turbulateurs augmentent l efficacité de l échangeur et permettent son nettoyage automatique. L échangeur permet le chauffage de l eau à partir des fumées. Une vis de dépoussiérage et une vis de décendrage, associées aux turbulateurs évacuent automatiquement les cendres et les suies dans un cendrier. Figure : Diagramme des cas d utilisation On retrouve dans les pages 6 à 7, la description fonctionnelle partielle de la chaudière. Q. Après avoir étudié la description du fonctionnement et des constituants, compléter les cadres blancs du diagramme des blocs internes de la figure 2 page 0, avec les informations suivantes :
2 «Bois déchiqueté dans le silo», «Cendres évacuées», «Bois quantifié», «Fumées et cendres». Figure 2: Mise en situation du mécanisme de déplacement des turbulateurs B. Vérification de la fonction «Dépoussiérer Décendrer» B.. Mise en mouvement des turbulateurs (Voir les figures 2) Le système de décendrage nettoie la chaudière à intervalle de temps régulier. La chambre de détente permet la séparation entre les cendres volatiles et les fumées. Les cendres volatiles de dépoussiérage des fumées sont automatiquement transportées et évacuées avec les cendres de combustion grâce d abord à la vis de dépoussiérage puis à la vis de décendrage, vers le cendrier. Le nettoyage de l échangeur à partir des turbulateurs fait tomber les suies sur la vis de dépoussiérage. Celle-ci évacue les suies et les poussières de fumées au dessus de la vis de décendrage. La vis de décendrage évacue les suies, les poussières et les cendres du foyer dans le cendrier. Toutes ces opérations sont réalisées à partir d un seul motoréducteur (MD). Le but de cette partie est d étudier la relation entre la vitesse de rotation du moteur de décendrage (MD) et la vitesse de translation des turbulateurs. En effet cette vitesse est un élément déterminant pour un nettoyage optimum de l échangeur qui contribue au bon rendement de la chaudière. Le cahier des charges stipule que la vitesse maximum des turbulateurs par rapport à l échangeur soit comprise entre 0,5 m/s et 0,25 m/s. Q2. À partir de la description du fonctionnement et du diagramme de définition des blocs, préciser les constituants du diagramme des blocs internes de la figure 3 page.
3 Figure 3: Chaîne cinématique On considère le mécanisme plan (dans le plan ( x #» 0, y #» 0 )), dans la situation proposée sur le schéma cinématique de la figure 3 dans le repère R 0 (O, x #» 0, y #» 0, #» z ). la manivelle d entraînement est mise en rotation par le motoréducteur de décendrage (MD), lié au bâti 0, à partir d une liaison pivot d axe (O, #» z ) à la vitesse de rotation Ω #» /0 = ω #» 0 z, tel que l angle θ0 = ( x #» 0, x #» ) et #» OA = r x #» ; le repère R (O, x #», y #», #» z ) manivelle d entrainement ; la bielle 2 est liée à la manivelle d entrainement par la liaison pivot d axe (A, #» z ) ; le repère R 2 (A, x #» 2, y #» 2, #» z ) est lié à la bielle 2. On note l angle θ 20 = ( x #» 0, x #» 2 ) ; l accouplement 3 est lié à la bielle 2 par une liaison pivot d axe (B, #» z ) ; le repère R 3 (B, x #» 3, y #» 3, #» z ) est lié à l accouplement 3. On note AB #» = l y #» 2 ; l accouplement 3 est lié au bâti 0 par une liaison pivot d axe (C, #» z ) ; on note l angle θ 30 = ( x #» 0, x #» 3 ) et BC #» = R x #» 3 ; on note CO #» = L x #» 0. C. Étude de la fonction «Chauffer l eau» C.. Modélisation Par l intermédiaire d un échangeur thermique, la combustion des granules de bois permet de chauffer de l eau. L étude porte sur la montée en température de l eau qui sert à chauffer les pièces au travers de radiateurs. Cette température est obtenue à partir d une puissance calorifique fournie par le bois brûlé au niveau du foyer réfractaire de la chaudière. On considère que : p(t) est la puissance calorifique en Watt fournie par le bois brûlé au niveau du foyer réfractaire. Elle permet la montée en température du bâti de la chaudière ; l air situé dans la chambre de combustion permet de monter à la température θ e (t) l eau située dans l échangeur ; l eau chaud, au travers des radiateurs permet de chauffer les pièces à une température θ ext (t). θ b (t) la température du bâti de la chaudière ; m b la masse du bâti à monter en température ; m b = 200 kg ; c b la capacité calorifique massique du bâti ; c b = 500 J kg K ; θ a (t) la température de l air dans la chambre de combustion ;
4 échangeur m e, θ a, c e chambre de combustion m a, θ a, c a radiateurs θ e pièces à chauffer θ ext bâti de la chaudière m b, θ b, c b Foyer réfractaire P(t) Figure 4: Chaudière à bois m a la masse de l air à monter en température ; m a =2kg ; c a la capacité calorifique massique de l air ; c a = 700 J kg K ; θ e (t) la température de l eau dans l échangeur et les radiateurs ; m e =50kg ; c e la capacité calorifique massique de l eau c e = 4000 J kg K ; θ ext la température ambiante des pièces à chauffer. Les principes de conservation de l énergie conduit à une modélisation par les équations différentielles suivantes : m b c b dθ b (t) dt +K ab (θ b (t) θ a (t)) = p(t); dθ m a c a (t) a +K dt ae (θ a (t) θ e (t)) =K ab [θ b (t) θ a (t)] ; dθ m e c e (t) e +K dt ae (θ e (t) θ ext (t)) =K ae [θ a (t) θ e (t)]. Avec : K ab la conductance thermique entre le bâti et l air dans la chambre de combustion ; K ab la conductance thermique entre le bâti et l air dans la chambre de combustion ; K ab =40J s K ; K ae la conductance thermique entre l air et l eau au travers de l échangeur ou des radiateurs ; K ae = 400 J s K. On suppose que le corps de chauffe est parfaitement isolé de l extérieur. Les transformées de Laplace sont notées : L[θ i (t)] =T i (p) etl[p(t)] =P(p). Q3. En supposant que les conditions initiales sont nulles (conditions de Heaviside), donner dans le domaine de Laplace, la transformée des équations différentielles précédentes. Q4. Exprimer T b (p) en fonction de T a (p)etdep(p) en faisant apparaître les variables m b, c b et K ab et mettre T b (p) sous la forme T b (p)=h (p)t a (p)+h 2 (p)p(p). Q4a. Préciser l ordre du système définit par la fonction de transfert H (p), ainsi que, littéralement, ses caractéristiques. Q4b. Calculer la valeur numérique approchée de τ, la constante de temps de ce système. Q4c. Donner le schéma-bloc associé à l expression de T b (p) en utilisant les variables K ab et τ. Q5. Exprimer T a (p) en fonction de T e (p) etdet b (p) en faisant apparaître les variables m a, c a,k ae et K ab. Q5a. Mettre T a (p) sous la forme T a (p)=h 3 (p)t e (p)+h 4 (p)t b (p). Q5b. Préciser l ordre des systèmes définis par les fonctions de transfert respectives H 3 (p), H 4 (p), ainsi que littéralement, leurs caractéristiques. Q5c. Calculer la valeur numérique approchée de τ 3, la constante de temps de ce ces systèmes. Q5d. Donner le schéma-bloc associé à l expression de T a (p). Q6. Exprimer T e (p) en fonction de T a (p) etdet ext (p). Q6a. Préciser l ordre du système définit ainsi que, littéralement, ses caractéristiques. Q6b. Calculer la valeur numérique approchée de τ 5, la constante de temps de ce système.
5 Q6c. Tracer le schéma bloc ayant pour entrées T a (p) ett ext (p) et pour sortie T e (p) et comme perturbation T ext (p). Finalement, le schéma bloc global de la chaudière peut se mettre sous la forme de la figure 5. K 3 +τ 3 p P(p) K ab + + +τ p T b (p) K 4 + T a (p) + +τ 4 p + K 5 + +τ 5 p T e (p) T ext (p) Figure 5: Schéma bloc global Q7. Par manipulations successives du schéma bloc précédent, exprimer T e(p) P(p) en considérant que T ext(p)=0. Q8. Mettre cette expression sous la forme canonique la plus simple possible. Compte tenu des valeurs numériques, la fonction de transfert s écrit : T e (p) P(p) 0,025 0 + 35000 p +,4 0 7 p 2 +4,8 0 7 p 3 Suite à la simplification des équations de la thermodynamique, le système peut se modéliser par la fonction de transfert simplifiée H s (p) suivante : H s (p)= T e(p) P(p) = 400( + 450 p)( + 3050 p) C.2. Validation du modèle simplifié La figure 4 du document réponse présente les diagrammes de Bode de la fonction de transfert de H(p). Q9. Déterminer la fonction de transfert complexe H s (j ω) puis le module en décibel H db (ω)=20 log( H s (j ω) ) et l argument Φ(ω) = arg(h s (j ω)). Q0. Tracer sur les diagramme de Bode de H(p), les diagrammes asymptotiques de Bode du modèle simplifié. Q. Compléter le tracé avec le tracé du module et de l argument. Q2. Justifier que le modèle simplifié est valide. Pour la suite, on ne considère que : H(p)=H s (p)= T e(p) P(p) = 400( + 450 p)( + 3050 p) C.3. Prévision de l allure de la réponse temporelle L étude porte sur la montée en température de l eau qui sert à chauffer les pièces au travers de radiateurs. Cette température est obtenue à partir d une puissance calorifique fournie par le bois brûlé au niveau du foyer réfractaire de la chaudière. T e représente la température de l eau à atteindre dans les radiateurs de la maison, P(p) représente la puissance calorifique en Watt, fournie par le bois brûlé. On considère que le corps de chauffe de la chaudière est soumis à un échelon de puissance de p(t)=p 0 u(t)où u(t) est la fonction causale, avec P 0 = 0kW. On note la transformée de Laplace de la manière suivante : L[θ e (t)] =T e (p). Q3. Donner les valeurs initiales et les valeurs finales prévisibles pour la température de l eau θ e (t). Préciser les pentes à l origine et en régime permanent. Q4. Mettre la fonction de transfert sous forme canonique.calculer les paramètres caractéristiques. Q5. Déterminer le temps de réponse Q6. Tracer l allure de la réponse θ e (t) pour une entrée échelon de puissance de 0 kw. Prendre soin de bien préciser tous les éléments remarquables sur le graphique.
6 Figures et images Figure 6: Mise en situation Figure 7: Mise en situation
7 Figure 8: Diagramme de contexte Figure 9: Diagramme des exigences partiel
8 Figure 0: Diagramme de définition des blocs
9 Annexes f (t) H(t) F(p) Dirac : δ(t) δ(t τ) Heaviside : H(t) a H(t) a H(t τ) a t H(t) t n H(t) e a t H(t) e a t H(t) a e τ p p a p a p e τ p a p 2 n! p n+ p + a p (p + a) Table 0: Transformées de Laplace usuelles 80 T r ω n 50 30 H(p)= K +2 z ωn p + p2 ω 2 n 0 5 3 z 0.05 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7.5 2 3 4 5 0 Figure : Abaque du temps de réponse réduit T r ω n d un système du second ordre