Auch 9 février 2011 Enseigner la géométrie aux cycles 2 et 3 Marie-Lise PELTIER Maître de conférences en didactique des mathématiques Laboratoire de didactique André Revuz Université Paris 7 Denis Diderot Auteur de la collection Euro Maths et Mosaïque Calcul mental (Ed. Hatier)
En guise d introduction
Un petit «problème»
Un autre : voici un patron de cube Quels segments vont coïncider au montage pour former une arête et quels points vont coïncider pour former un sommet? 4
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Apprendre les mathématiques c est en «faire»! C est - Résoudre des problèmes en développant un raisonnement - Faire des prévisions - Anticiper le résultat d une action - Faire des hypothèses, faire des essais, les valider les invalider - Trouver des mots pour dire - S entraîner - Apprendre et retenir 6
Apprendre les mathématiques c est entrer dans la culture scientifique Les mathématiques sont une science Science des quantités, de l espace et des formes, des grandeurs Science qui a une histoire Science qui a une épistémologie Les mathématiques sont une pratique Elles sont un outil pour le citoyen Un outil pour d autres disciplines Une activité autonome, ludique Les mathématiques contribuent au développement général de la personne initiative, imagination, autonomie, anticipation, aptitude à communiquer, à débattre, à argumenter 7
Cadre théorique de cette intervention Approche socio constructiviste de l apprentissage (Piaget, Gréco, Vygotski, Doise, Mugny, Bruner) Approche didactique des relations entre enseignement et apprentissage (Brousseau, Chevallard, Vergnaud) - Apprentissage par adaptation - En milieu scolaire (rôle des pairs et de l enseignant)
Apprendre en résolvant des problèmes
Qu est-ce qu un problème? «Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre, demandant au sujet d élaborer une suite d actions ou d opérations pour atteindre ce but. Il n y a problème que dans un rapport sujet/situation où la solution n est pas disponible d emblée, mais possible à construire. C est dire aussi qu un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple.» BRUN Jean, Math-Ecole n 141.
Des objectifs différents pour les problèmes Problèmes dont la résolution vise la construction d une nouvelle connaissance Problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer Problèmes plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances Problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher. En général, pour résoudre ces problèmes, la solution experte n est pas à la portée des élèves, elle n est en aucun cas le but recherché.
Et en géométrie, est-ce possible?
L espace et la géométrie A l école primaire la géométrie est la modélisation de l espace L intérêt de ce domaine pour les élèves est multiple: La géométrie constitue un outil pour répondre à des problèmes de l espace physique, posés dans le cadre de pratiques sociales, culturelles et plus tard professionnelles La géométrie établit des «ponts» entre plusieurs disciplines: mathématiques, géographie, EPS, arts plastiques La géométrie est un lieu privilégié de l initiation au raisonnement
Un cadre pour penser l enseignement de la géométrie 4 niveaux déterminés en fonction : - des objets physiques graphiques théoriques - des modes de validation qui appartiennent à différents registres la perception globale la perception instrumentée le raisonnement (déductif)
Plusieurs «géométries» Houdement Kuzniak Parsysz 1999, 2002 Berthelot Salin 1992
1. Des problèmes pour introduire des notions
Pour plusieurs notions, notamment celles - de distance, de milieu - d alignement - d orthogonalité, de parallélisme, d angle droit - de symétrie axiale des aller-retour entre des problèmes posés dans l espace environnant dans l espace de la feuille de papier permettent de mieux prendre en charge le passage de la connaissance de l espace à la géométrie.
Trois temps Émergence des connaissances spatiales à partir de jeux, de manipulations, de résolution de problèmes spatiaux Passage de ce qui est vécu dans le «mésoespace» à ce qui est représenté sur la feuille de papier, importance du langage Étude instrumentée des relations géométriques dans le «micro-espace», mise en place du langage spécifique 6
Quelques exemples 1
L alignement : les visées - dans la classe ou dans la cour avec des tubes en carton - sur la feuille de papier 2
L alignement : les points alignés 3
La droite : solution géométrique des problèmes d alignement 1
Repérer des alignements pour reproduire des figures 2
le concept de «milieu» du «méso» au «micro» du jeu du béret aux propriétés du milieu d un segment A B 3
Pour quelles raisons chacun des points points A, B, C, D ne peut-il pas être le milieu du segment [EF]? 4
Les notions de perpendicularité et de parallélisme Une progression par changement de points de vue du CE au CM 1
Au Cycle 2 : le double pliage: droites perpendiculaires et angle droit 2
Au CE2 : l angle droit L angle droit : outil expert de résolution du problème 3
Au CE2 et au CM La perpendicularité comme solution experte de la recherche de la plus courte distance d un point à une droite
A d
De la situation spatiale évoquée à sa représentation sur le plan 6
Droites parallèles et droites perpendiculaires Deux points de vue : 1. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles 7
2. Droite parallèle à une droite : solution experte de la recherche de l ensemble des points à même distance de cette droite
D où deux procédés de construction 9
Plus tard Les situations de reproduction de figures mettent en jeu les notions à travailler : alignements, milieux, orthogonalité
Le rôle de l anticipation pour introduire certaines notions le cas de la symétrie axiale 11
Symétrie axiale et pliages : du CE au CM
On connaît le modèle, on cherche le pliage les découpes 13
On connaît le pliage et les découpes on cherche le résultat
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Vers la recherche des axes de symétrie des figures usuelles
Symétrie axiale et retournement Un autre point de vue 18
Recherche des propriétés de figures symétriques par rapport à un axe
Construire par symétrie Sur quadrillage un axe
Sur quadrillage Deux axes Sur quadrillage un axe oblique Sur papier uni Un axe quelconque
2. Des problèmes qui ponctuent l organisation l des savoirs en vue de leur enseignement
Le e cas de l él étude des figures planes au CM2 Cercle comme ensemble de points situés à une distance donnée d un point fixé Triangles, comme figures entièrement caractérisées par la donnée de trois nombres (longueurs des côtés) sous certaines conditions Quadrilatères, comme figures déformables et donc non caractérisées par la longueurs de ses côtés : d où la nécessité de penser un autre élément pour les caractériser : diagonale, angle, etc. Polygones comme pouvant être reproduits par triangulation
Le cercle Dans le «méso-espace» : placer 18 palets à 3m d un piquet Dans le «micro-espace»: placer 18 points à 3cm d un point A
Le triangle Le professeur a préparé deux triangles qu il a découpé dans du papier cartonné en plusieurs exemplaires
Les élèves travaillent par groupes associés 2 à 2 Chaque groupe doit rédiger un message pour que le groupe partenaire construise un triangle superposable au modèle Après échange, les élèves construisent le triangle Les deux groupes associés vérifient les constructions effectuées à l aide des modèles en carton Le professeur énonce les raisons des difficultés rencontrées et relance la recherche
Importance du milieu Exemples de messages
Les quadrilatères Comment identifier un quadrilatère parmi plusieurs lorsque tous ont des côtés de même longueur?
La donnée de la mesure d une diagonale ou d un angle est la solution du problème
3. Des problèmes pour travailler les objets géométriques et leurs propriétés
Figures planes et polygones Vers la notion de «propriété» d une figure 10
Reconnaître des quadrilatères à partir de ses propriétés 11
Construire des figures usuelles sur divers supports : utilisation nécessaire des propriétés Construire un carré rouge, un carré vert, un carré bleu. Dans chaque cas, un côté est déjà tracé 12
Construire un carré rouge, un carré vert, un carré bleu. Dans chaque cas, un côté est déjà tracé 13
Construire un losange rouge, un losange bleu. Dans chaque cas, deux côtés sont déjà tracés 14
Envisager les quadrilatères à partir de leurs diagonales Exemple 1: construire un quadrilatère ayant de diagonales de même longueur Exemple 2: 15
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Décrire des figures 17
Pour les reproduire 18
Figures et programmes de construction 1 figure, 3 programmes Quel est le bon? 19
1 programme, 3 figures Quelle est la bonne? 20
Construire des figures à partir de schémas 21
4. Des problèmes pour apprendre à chercher, à élaborer un raisonnement
Les dessins à main levés supports pour le raisonnement
5. Organisation de la classe situation de recherche exercices d entraînement institutionnalisation
Les exercices d entrad entraînement sont nécessaires pour permettre aux élèves de s approprier s les savoirs et savoir-faire en jeu dans les problèmes qui ont permis leur introduction. Le processus didactique ne peut pas aboutir en l absence d institutionnalisations qui permettent de mettre en évidence les savoirs de référence communs à tous
un exemple 26
Quand faire de la géométrie? une fois par semaine? Nécessité de comprendre la différence entre progression et programmation Etablir une progression précise et spiralaire pour chaque notion à étudier Etaler cette progression dans le temps, éventuellement une fois par semaine en s autorisant toutefois à travailler plusieurs jours de suite en géométrie lorsque cela est nécessaire
6. Des réponses à quelques questions que l on se pose souvent
En mathématiques faut-il «manipuler»? Le rôle de la manipulation - accumulation d expériences - entrée dans l activité - représentation du but à atteindre - validation des résultats obtenus Mais la manipulation ne doit pas se substituer au raisonnement Faire des mathématiques, c est penser!
Y a-t-il une spécificité du langage mathématique? Quatre fonctions essentielles - Communication entre pairs, avec le maître - Mémoire pour soi, pour les autres (rappel, évocation, institutionnalisation ) - Aide à l élaboration des concepts - Argumentation Vocabulaire spécifique Règles de fonctionnement spécifiques
Que doit-on écrire en mathématiques? et quand? Quatre types écrits Brouillons personnels (cahier personnel) Écrits pour être discutés (affiches) Écrits pour rendre au professeur (cahier du jour, évaluations ) Écrits de référence (aide mémoire)
Validation évaluation Différentes formes de validation : L autovalidation exemple : utilisation d une figure dessinée sur papier calque dans les situations de reproduction L expérimentation exemple : construction effective d un polyèdre pour vérifier les relations d adjacence La mise en commun et le débat argumentatif Et plus tard la démonstration
7. Créer des liens avec d autres disciplines Un exemple : les arts plastiques 33
Autour de l angle droit 34
Autour du cercle Kenneth Noland Mysteries: Excavate the past 2001 35
Autour du carré et du rectangle Bart Van der Leck 36
Autour des diagonales du carré Théo Van Doesburg Composition arithmétique 1930 37
Autour des cercles et des rectangles Max Bill Chromographie magique 38
Conclusion
Parler d apprentissage par la résolution de problème, c est construire, pour les notions fondamentales, un milieu «adéquat» et des situations d apprentissage par adaptation dans lesquelles la responsabilité est en partie transférée aux élèves. Naturellement, pour certaines notions, des situations d apprentissage par familiarisation sont nécessaires car les élèves ne vont pas «reconstruire» à l école l ensemble des mathématiques! Pour toutes les notions, les situations d entraînement, de consolidation, d institutionnalisation sont nécessaires à l acquisition des savoirs.
Notre rôle en tant qu enseignant est de permettre aux élèves - d acquérir des compétences, - de s approprier des savoirs, mais surtout - de développer leur capacité à penser, à anticiper, à raisonner de manière à ce qu ils puissent mobiliser leurs connaissances et utiliser leurs compétences dans un milieu non didactique.
Je souhaite vous avoir donné envie de faire faire de la géométrie à vos élèves, c est un domaine passionnant qui permet de mêler intuition, imagination, réflexion, raisonnement, rigueur et précision! Merci