Séance 1 : Notion de fonction : fonction linéaire et fonction affine

Séance 1 : Notion de fonction : fonction linéaire et fonction affine La première partie de la première séance est dédiée à la lecture de la fiche méthodologique. Pourquoi débuter les révisions par une séance de méthodologie? Parce que pour apprendre, il faut apprendre à apprendre. Chaque matière requiert une méthode d apprentissage. Chaque élève se construit sa propre méthode. Pour autant, il nous semble important de vous livrer quelques règles primordiales. La séance se poursuivra avec la notion de fonction, notion clef de votre programme de Troisième. Déroulement de la séance : - révisions des notions du cours (30 min) - exercices d application (60 min) - exercices pour aller plus loin (30 min) LE COURS 1. Généralités sur les fonctions a) Définition Définition : Une fonction f est un procédé qui, à tout nombre réel x, associe un seul nombre réel y. - x se nomme la variable. - y se nomme l'image de x par la fonction f et se note f(x). f est le nom de la fonction. On note: f : x y. Attention : on veillera à ne pas confondre f (qui est le nom de la fonction) et f(x) (qui est une valeur particulière de la fonction). 1

Remarque : Les façons d'associer un nombre à un autre nombre peuvent être soit : - Des formules mathématiques. Exemple : f(x) = 3x+4 - Des courbes représentatives. Exemple : la courbe donnant la température moyenne d une ville en fonction du temps. - Un tableau de valeurs, chaque élément de la seconde ligne étant associé à un élément de la première ligne. Méthode : Pour calculer l'image d'un nombre par une fonction f, on remplace x par ce nombre dans la formule donnant f(x). Exemple : Soit f(x) = x 2 + 4 L'image de 1 par f s'obtient en remplaçant x par ( 1) dans la formule ci-dessus : f( 1) = ( 1) 2 +4 = 1+4 = 5. Définition : Soit y un nombre réel. Déterminer les antécédents de y par f, c'est trouver les valeurs de x telles que f(x)=y. Le(s) antécédent(s) de y par f sont donc tous les x tels que : f(x) = y. Exemple : Soit la fonction f(x) = 2x. L image de 3 par f est 6 car f(3) = 6. L unique antécédent de 2 par f est 1 car f(1) = 2. L unique antécédent de 6 par f est 3 car f(3) = 6. Remarque : Un nombre peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s). Exemples : - f(x) = x 2 Si on considère le nombre -1. Il est impossible de trouver un nombre réel tel que x 2 = 1, donc il est impossible de trouver un réel x tel que f(x) = 1, 1 n a donc pas d antécédent par f. 2

- g(x) = 3x+2 Si on considère le nombre 8. Alors g(x) = 8 3x + 2 = 8 3x = 6 x = 6 3 = 2. 8 a donc un unique antécédent par g qui est 2. - On reprend l exemple de f(x) = x². Si on considère le nombre 1. 1 a deux antécédents par la fonction f qui sont -1 et 1. Méthode : Soit a un nombre réel. Pour trouver les antécédents de a par la fonction f, on résout l'équation f(x)= a d'inconnue x. Exemple : Soit la fonction f définie par f(x) = 4x 2. Pour trouver le(s) antécédent(s) du nombre 0 on résout l'équation f(x) = 0, c'est-à-dire : 4x - 2 = 0 4x = 2 x = 2 4 = 1 2 Donc 0 a un seul antécédent par la fonction f qui est le nombre 1 2. b) La courbe représentative Définition : Un repère du plan est un triplet de points non alignés (O, I, J). Le point O est appelé l'origine du repère, la droite (OI), l'axe des abscisses et la droite (OJ), l'axe des ordonnées. Un repère est orthonormé si les points O, I, J forment un triangle rectangle isocèle de sommet O. NB : Le plan est muni d'un repère (O, I, J). On désigne par M un point du plan. M a pour coordonnées (x ; y), le nombre x est l'abscisse du point M et le nombre y est son ordonnée. 3

Définition : La courbe représentative de la fonction f dans un repère (O, I, J) est l ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)). NB : On a ainsi un critère qui permet de déterminer si un point A(α ; β) appartient ou non à la courbe représentative d'une fonction f. On calcule f(α) et on regarde si f(α) = β. Exemple : f(x) = 1 + 2x. Les points A(4 ; 3), B(6 ; 10) et C(2 ; 7) appartiennent-ils à la courbe représentative C f de la fonction f? Pour A : f(4) = 1+2 4 = 9 n'est pas l'ordonnée de A. Donc A C f. Pour B : f(6) = 1+2 6 = 1+12 = 13 n est pas l'ordonnée de B. Donc B C f. Pour C : f(2) = 1+2 6 = 1+6 = 7 est l'ordonnée de C. Donc C C f. Méthode : Une méthode simple mais approximative pour tracer la courbe représentative d'une fonction f consiste : - à calculer f(x) pour plusieurs valeurs de x. - puis à placer les points correspondant aux valeurs (x ; f(x)) obtenues et enfin à relier ces différents points. Exemple : Pour tracer la courbe représentative de la fonction : x 4x - 2 on calcule quelques images : X -1 0 1 2 f(x) -6-2 2 6 4

On place les points correspondants puis on les relie pour obtenir la courbe 2. Les fonctions linéaires a) Définition Soit a un nombre fixé. En associant à chaque nombre «x» un nombre «ax» appelé image de x, on définit une fonction linéaire de coefficient a. On notera cette fonction f : x ax. L image de x sera notée f(x). NB : La fonction linéaire f traduit une situation de proportionnalité, et le nombre a est appelé le coefficient de proportionnalité. Exemple de fonction linéaire : Soit f la fonction linéaire de coefficient 7. Elle est notée : f : x 7x. Alors l image de 4 par f est : f(4) = 7 4 = 28. 5

L image de (-1) par f est : f(- 1) = 7 (- 1) = - 7. L image de 0 par f est : f(0) = 7 0 = 0. Remarque : Ces résultats peuvent être consignés dans un tableau qui est alors un tableau de proportionnalité de coefficient 7. x -1 0 4 f(x) -7 0 28 Exemple : Soit h la fonction linéaire telle que h(9) = 18. Quel est le coefficient de h? On cherche a tel que : h : x a x On a : h(9) = 18 Ainsi, on en déduit que : si x = 9, alors ax = 18 Dès lors, on obtient : 9a = 18 a = 18 9 = 2 Le coefficient de h est 2 : h : x 2x b) La courbe représentative La représentation graphique d une fonction linéaire f : x a x est la droite d équation : y = ax. Elle passe par l origine du repère et par le point (1 ; a). Démonstration : Prenons la fonction affine t(x)= Ax. On a : t(0) = A 0 = 0. t(1) = A 1 = A. 6

Exemple : Prenons l exemple de la fonction affine t(x)= 3x. On a : t(0) = 3 0 = 0. t(1) = 3 1 = 3. La représentation graphique d une fonction linéaire f : x ax est une droite passant par l origine et d équation y = ax. Remarque : Pour la construire, il suffit de connaître un point (abscisse x et son image f(x)). Définition : a est le coefficient directeur de la droite d. Propriété réciproque : Toute droite passant par l origine est la représentation graphique d une fonction linéaire. Exemple : Soit g la fonction linéaire de coefficient -2. On la note g : x -2 x. Sa représentation graphique est une droite passant par l origine. En effet, on a : g(0) = 0 et g(1) = 1 (-2) = -2 7

On peut tracer la droite : y = -2x. 3. Les fonctions affines a) Définition Définition : Soit a et b deux nombres fixés. En associant à chaque nombre «x» un nombre «ax + b» appelé image de x, on définit une fonction affine f. On notera cette fonction f : x ax + b L image de x sera notée f(x). 8

Remarque : Une fonction linéaire est une fonction affine particulière car f(x) = ax peut s écrire sous la forme f(x) = ax + 0. Ainsi, une fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0. Exemple : Soit f la fonction affine définie par f : x 4x + 3. Alors l image de 4 par la fonction f est f(4) = 4 4 + 3 = 16 + 3 = 19. L image de (-5) par la fonction f est f(- 5) = 4 (-5) + 3 = -20 + 3 = -17. Le nombre qui a 7 pour image par f est le nombre x tel que : 4 x + 3 = 7 4 x = 7 3 4 x = 4 x = 4 4 = 1 Le nombre qui a 7 pour image par f est 1, c est à dire que l antécédent de 7 par f est 1. b) Représentation graphique de fonctions affines Propriétés : La représentation graphique d une fonction affine f : x ax + b est une droite d équation y = ax + b. Cette droite est parallèle à la droite représentant la fonction linéaire associée et passe par le point (0 ; b). Remarque : Pour la construire, il suffit de connaître deux points (d abscisses x et d ordonnées leurs images f(x)). Sachant que la représentation graphique passe nécessairement par le point (0 ; b), il faut seulement trouver un autre point (x, f(x)) et tracer la droite passant par ce point et par (0 ; b). Définitions : a est le coefficient directeur de la droite (D) ; b est l ordonnée à l origine. Exemple : g(x) = -x + 2. Sa représentation graphique est une droite passant par le point A(0 ; 2) et par le point B(1 ;1). En effet g(0)= -0 + 2 = 2 et g(1) = -1 + 2 = 1. 9

Méthode : Pour une fonction affine donnée telle que y = mx + p, l accroissement des images (c est-à-dire la différence entre deux images) est proportionnel à l accroissement des antécédents correspondants suivant le coefficient m. Ainsi, si on connaît les deux images et les deux antécédents correspondants à ces images, on peut déterminer la valeur de m : m = y 2 y 1 x 2 x 1 On cherche ensuite la valeur de p pour en déduire l expression générale de la fonction. 10

LES EXERCICES D APPLICATION Exercice 1 a) On définit la fonction f par f(x) = 5x + 3. - Calculer l antécédent de 3 par f. - Calculer l antécédent de 13 par f. - Calculer l image de 3 par f. - Calculer l image de 13 par f. - Tracer dans un repère la représentation graphique de f. b) On définit la fonction m par m(x) = 3x 4. - Calculer l antécédent de 0 par m. - Calculer l antécédent de 13 par m. - Calculer l image de 9 par m. - Calculer l image de 2 par m. - Tracer dans un repère la représentation graphique de m. c) On définit la fonction t par t(x) = -3x 4. - Calculer l antécédent de 3 par t. - Calculer l antécédent de 10 par t. - Calculer l image de 3 par t. - Calculer l image de 13 par t. - Tracer dans un repère la représentation graphique de t. Exercice 2 Jean va acheter du sucre glace pour son usine produisant des gâteaux à la chaîne. Il sait que 1kg de sucre glace coûte 2 euros. Il commande 1 tonne de sucre glace. a) Donner la fonction représentant le prix payé en fonction du nombre de kilos commandés. b) Quel prix Jean va-t-il payer? c) Jean n a pas le temps de se déplacer chez le grossiste lui vendant son sucre. Il le commande sur internet. Chaque commande sur internet coûte 3 euros de surcoût qu il faut donc rajouter à la facture. Quelle est alors la fonction représentant le prix payé en fonction du nombre de kilos commandés? 11

Exercice 3 Le graphe ci-dessous est celui de la fonction représentant le nombre de satellites produits par Saturnet dans sa nouvelle usine implantée sur Mars en fonction du nombre d années. 0 25 a) Combien de satellites Saturnet produit-il en 5 ans? En 10 ans? b) Déterminer la fonction représentée. Quelle est la caractéristique de cette fonction? c) Combien de satellites auront été produits dans 50 ans si la production continue sur le même rythme? Exercice 4 Deux entreprises proposent un même modèle de boîte de sardines. L entreprise A propose la boîte de sardines à 3 euros avec des frais de livraison de 5 euros. L entreprise B propose la boîte de sardines à 4 euros sans aucun frais de livraison. 12

Sophie cherche à savoir quelle offre est la plus avantageuse a) Donner l expression de la fonction f qui donne le prix d achat de x boîtes de sardines dans l entreprise A. Quelle est la caractéristique d une telle fonction? b) Donner l expression de la fonction g qui donne le prix d achat de x boîtes de sardines dans l entreprise B. Quelle est la caractéristique d une telle fonction? c) Quelle est l entreprise la plus avantageuse si elle commande 3 boîtes? 5 boîtes? d) Représenter sur un graphe chacune des deux fonctions. Exercice 5 Déterminer les fonctions dont on a la représentation graphique ci-dessous : a) 13

b) 14

c) 15

d) Exercice 6 Le salaire d un gérant de magasin dépend directement du montant des ventes réalisées. Il touche un salaire minimum de 1200 euros par mois et un bonus qui correspond à 2% des ventes réalisées sur le mois. a) Quelle est la fonction correspondant au salaire du gérant en fonction de x qui est le montant du chiffre d affaires? b) Quel salaire touche-t-il pour 20 000 euros de ventes? c) Quel chiffre d affaires doit-il réaliser pour avoir 3000 euros de salaire 16

EXERCICES «POUR ALLER PLUS LOIN» Exercice 1 Dans ce problème, on considère qu un mois est composé de 4 semaines. Jade cherche à s inscrire dans un club de sport. Ce dernier propose différents tarifs. - Option A : Un abonnement à 20 euros par mois, offrant un nombre illimité d entrées. - Option B : Un abonnement à 10 euros, permettant de payer seulement 2 euros par entrée pour une durée de 1 mois. - Option C : Ne pas prendre d abonnement mais payer 4 euros par entrée. a) Quel est le tarif, dans chacun des trois cas, si elle se rend à la salle de sport deux fois par semaine? Deux fois par mois? Une fois par mois? b) Soit x le nombre de fois où Jade se rend à la salle de sport. Exprimer, en fonction de x le prix qu elle paiera avec l option A, le prix qu elle paiera avec l option B et avec l option C? c) Représenter graphiquement ces trois fonctions dans un même repère orthogonal. d) Par lecture graphique, déterminer le tarif le plus intéressant pour Jade si elle va trois fois par mois à la salle de sport. e) À partir de combien d entrées Jade a-t-elle intérêt à choisir l option A? Exercice 2 Edgar et Emilie cherchent à se rejoindre. Emilie habite à Croix. Ils habitent à 39 km de distance l un de l autre. Ils s appellent et décident de partir tous les deux à la rencontre l un de l autre et se mettent en route. Emilie part à pied et avance à une vitesse de 5 km/h. Edgar part en skateboard dans la direction d Emilie et avance à une vitesse de 8 km/h. On note t le temps écoulé depuis le départ (en heures), t = 0 l heure à laquelle les deux amis partent de chez eux. a) A quelle distance de Croix Emilie se trouve-t-elle à t = 2? A quelle distance de Croix Edgar se trouve-t-il à t = 1? b) Déterminer les fonctions f et g représentant respectivement en fonction de x la distance à laquelle Emilie et Edgar se trouvent de Croix. c) Tracer les courbes représentatives de f et g? d) A quel moment les deux amis vont ils se retrouver? A quelle distance de Croix les deux amis se croiseront? 17

Séance 1 : Corrigé. Notion de fonction : fonction linéaire et fonction affine LES EXERCICES D APPLICATION DIRECTE DU COURS Exercice 1 a) On définit la fonction f par f(x) = 5x+3. - Calculer l antécédent de 3 par f : f(x) = 3 5x+3 = 3 5x = 3-3 5x = 0 x = 0 L antécédent de 3 par f est 0. - Calculer l antécédent de 13 par f : f(x) = 13 5x+3 = 13 5x = 13-3 5x = 10 x = 10 5 = 2 L antécédent de 13 par f est 2. - Calculer l image de 3 par f : f(3) = 5 3 + 3 = 15 + 3 = 18. L image de 3 par f est 18. - Calculer l image de 13 par f : f(13) = 5 13 + 3 = 65 + 3 = 68. L image de 13 par f est 68. - Tracer dans un repère la représentation graphique de f : 18

b) On définit la fonction m par m(x) = 3x 4. - Calculer l antécédent de 0 par m : m(x)= 0 3x-4 = 0 3x = 4 x = 4 3 L antécédent de 0 par m est 4/3. - Calculer l antécédent de 13 par m : m(x)= 13 3x-4 = 13 3x = 17 x = 17 L antécédent de 13 par m est 17/3. - Calculer l image de 9 par m : m(9) = 3 9 4 = 27 4 = 23 L image de 9 par m est 23. - Calculer l image de 2 par m : m(2) = 3 2 4 = 6 4 = 2 L image de 2 par m est 2. - Tracer dans un repère la représentation graphique de m : 3 19

c) On définit la fonction m par t(x) = -3x 4 - Calculer l antécédent de 3 par t : t(x) = 3 3x 4 = 3 3x = 7 x = 7 3 L antécédent de 3 par t est 7 3. - Calculer l antécédent de 10 par t : t(x)= 10 3x 4 = 10 3x = 14 x = 14 L antécédent de 10 par t est 14 3. - Calculer l image de 3 par t : t(3) = -3 3 4 = 9 4 = 13 L image de 3 par t est -13. - Calculer l image de 13 par t : t(13) = -3 13 4 = 39 4 = 43 L image de 13 par t est -43. 3 - Tracer dans un repère la représentation graphique de t : 20

Exercice 2 Jean va acheter du sucre glace pour son usine produisant à la chaîne des gâteaux. Il sait que 1kg de sucre glace coûte 2 euros. Il commande 1 tonne de sucre glace. a) On note cette fonction f. On sait qu un kilo de sucre glace coûte 2 euros, alors x kilos de sucre glace coûtent 2x euros. Ainsi, f(x) = 2x. b) Jean veut acheter 1 tonne de sucre glace, soit 1000 kilos de sucre. Jean doit donc payer f(1 000) = 2 000 euros. Jean va donc payer 2000 euros. c) Jean doit payer 2 euros par kilo de sucre glace acheté. On doit rajouter le surcoût lié aux frais de livraison de la commande sur internet, c est-à-dire 3 euros. La fonction représentant le prix payé en fonction du nombre de kilos commandés est donc : g(x) = 2x +3. Exercice 3 Le graphe ci-dessous représente la fonction représentant le nombre de satellites produits par Saturnet dans sa nouvelle usine implantée sur Mars en fonction du nombre d années. 0 25 21

a) Sur le graphe, on voit que 25 satellites ont été produits en 5 ans. Sur le graphe, on voit que 50 satellites ont été produits en 10 ans. b) On voit que la courbe passe par le point (0 ; 0) et par le point (5 ; 25). C est une droite passant par le point (0 ; 0) donc la fonction représentée est une fonction linéaire. Le coefficient directeur de la fonction est : 25 0 5 0 = 25 5 = 5. Conclusion : la fonction représentée est f(x)=5x. c) Si la production continue au même rythme, il y aura f(50) satellites produits en 50 ans. Or : f(50) = 250. Il y aura donc 250 satellites produits dans 50 ans si la production continue au même rythme. Exercice 4 Deux entreprises proposent un même modèle de boîte de sardines. L entreprise A propose la boîte de sardines à 3 euros avec des frais de livraison de 5 euros. L entreprise B propose la boîte de sardines à 4 euros sans aucun frais de livraison. Sophie cherche à savoir quelle offre est la plus avantageuse a) Une boîte de sardines coûte 3 euros. Ainsi, x boîtes de sardines coûtent 3x euros. Le prix d achat en fonction de x est la somme des x boîtes de sardines auxquelles on rajoute les frais de livraison. Ainsi, f(x) = 3x + 5. Il s agit d une fonction affine. b) Donnons maintenant l expression de la fonction g qui exprime le prix d achat de x boîtes de sardines dans l entreprise B. Quelle est la caractéristique d une telle fonction? Une boîte de sardines coûte 4 euros. Ainsi, x boîtes de sardines coûtent 4x euros. Le prix d achat en fonction de x est la somme des x boîtes de sardines car il n y a pas de frais de livraison. Ainsi, g(x) = 4x. Il s agit d une fonction linéaire. 22

c) - Si Sophie commande 3 boîtes, alors elle payera f(3) = 14 euros avec l entreprise A et g(3) = 12 euros avec l entreprise B. Si Sophie veut acheter 3 boîtes, elle a intérêt à choisir l entreprise B. - Si Sophie commande 5 boîtes, alors elle payera f(5) = 20 euros avec l entreprise A et g(5)= 20 euros avec l entreprise B. Si Sophie veut acheter 5 boîtes, elle peut choisir soit l entreprise A, soit l entreprise B, et cela de manière indifférente. d) Représentons sur un graphe chacune des deux fonctions. 23

Exercice 5 Déterminer les fonctions dont on a la représentation graphique ci-dessous : a) On remarque que la droite passe par le point (0 ; 3) et par le point (1 ; 5). Le coefficient directeur a est donc : 5 3 1 0 = 2 1 = 2. L ordonnée à l origine b est 3. La fonction est donc f(x)=2x+3. 24

b) On remarque que la droite passe par le point (0 ; 0) et par le point (1 ; 4). Le coefficient directeur a est donc : 4 0 1 0 = 4 1 = 4. L ordonnée à l origine b est 0. La fonction est donc f(x)=4x. 25

c) On remarque que la droite passe par le point (0 ; 3) et par le point (3 ; 0). Le coefficient directeur a est donc : 0 3 = 3 = 1. 3 0 3 L ordonnée à l origine b est 3. La fonction est donc f(x)= x +3 d) On remarque que la droite passe par le point (0 ; 0) et par le point (-1 ; 1). Le coefficient directeur a est donc : 1 0 = 1 = 1. 1 0 1 L ordonnée à l origine b est 0. La fonction est donc f(x)= x. 26

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Exercice 6 Le salaire d un gérant de magasin dépend directement du montant des ventes réalisées. Il touche un salaire minimum de 1200 euros par mois et un bonus qui correspond à 2% des ventes réalisées sur le mois. a) On sait que le gérant a un salaire fixe : 1200 euros auxquels on rajoute le bonus, qui représente 2% du chiffre d affaires, c est-à-dire 0,02x euros. Ainsi, le salaire du gérant est h(x) = 0,02x + 1200. b) Pour 20 000 euros de chiffre d affaires, il touche h(20 000)= 0,02 20 000 + 1200 = 400 + 1200 = 1600 euros. c) Pour savoir quel montant de chiffre d affaires le gérant doit atteindre pour toucher 3 000 euros de salaire, on résout l équation : h(x)=3000. h(x) = 3000 0,02x + 1200 = 3000 0,02x = 3000 1200 = 1800 x = 1800 = 90 000 0,02 Il faut donc atteindre 90 000 euros de chiffre d affaires (par mois) pour qu il reçoive un salaire de 3000 euros par mois. EXERCICES «POUR ALLER PLUS LOIN» Exercice 1 Jade cherche à s inscrire dans un club de sport. Ce dernier propose différents tarifs. - Option A : Un abonnement à 20 euros pour 1 mois, offrant un nombre illimité d entrées. - Option B : Un abonnement à 10 euros, permettant de payer seulement 2 euros par entrée pour une durée de 1 mois. - Option C : Ne pas prendre d abonnement mais payer 4 euros par entrée. b) Tarifs si elle se rend à la salle deux fois par semaine : Option A : 20. Option B : 8 2 + 10 = 26. Option C : 8 4 = 32. Tarifs si elle se rend à la salle deux fois par mois : Option A : 20. Option B : 2 2 + 10 = 14. Option C : 2 4 = 8. 28

Tarifs si elle se rend à la salle une fois par mois : Option A : 20. Option B : 1 2 + 10 = 12. Option C : 1 4 = 4. b) Soit x le nombre de fois où Jade se rend à la salle de sport. - Si elle choisit l option A, elle paye 20 d abonnement pour un accès illimité pour un mois. Ainsi, quel que soit le nombre de fois où elle se rend à la salle de sport ce mois, elle payera 20. A(x) = 20. - Si elle choisit l option B, elle paye 10 d abonnement pour un mois et elle ne paye que 2 par séance. Ainsi, pour x séances, elle payera 10+2 x. B(x) = 2x+10. - Si elle choisit l option C, elle ne paye aucun abonnement mais 4 par séance. Ainsi, pour x séances, elle payera 4x. C(x) = 4x. c) 29

d) Pour déterminer l offre la plus intéressante, on regarde la courbe en position inférieure pour l abscisse x=3. Ici, il vaut mieux ne pas prendre d abonnement car la courbe tout en dessous est la courbe bleue correspondant à l option C. e) La courbe jaune correspondant à l offre A est en dessous des deux autres à partir de x = 10. Prendre l abonnement à 20 est intéressant à partir de 10 séances de sport par mois. Exercice 2 Edgar et Emilie cherchent à se rejoindre. Emilie habite à Croix. Ils habitent à 39 km de distance l un de l autre. Ils s appellent et décident de partir tous les deux à la rencontre l un de l autre et se mettent en route. Emilie part à pied et avance à une vitesse de 5 km/h. Edgar part en skateboard dans la direction d Emilie et avance à une vitesse de 8 km/h. On note t le temps écoulé (en heures) depuis le départ, t = 0 est l heure à laquelle les deux amis partent de chez eux. a) Elle avance à 5 km/h, donc après 2 heures elle aura parcouru 2 5 km = 10 km. Edgar a parcouru 8 km au bout d une heure. Sachant que son point de départ (sa maison) se situait à 39 km de Croix, à t = 1, il se situe à 39 8 = 31 km de Croix. b) On cherche à déterminer f. Sachant qu elle avance à une vitesse de 5 km/h, alors au bout de t heures, elle sera à une distance de 5t km de Croix. Ainsi, f(t)= 5t. On cherche à déterminer g. Sachant qu il avance à une vitesse de 8km/h et qu il partait d un point situé à 39 km de Croix, alors au bout de t heures, il sera à 39 8t km de Croix. Ainsi, g(t)= 39-8t. 30

c) d) Pour trouver le moment où les amis se croisent, on résout l équation : f(x) = g(x) 5t = 39 8t 5t + 8t = 39 13t = 39 t = 39 13 = 3 Les 2 amis se rencontrent donc à t = 3, c est-à-dire au bout de 3 heures. Emilie et Edgar se situent alors f(3) = g(3) = 15 km de Croix. 31